Actions d`un champ magnétique sur un courant

Action d’un champ magnétique sur un courant
A. Forces de Lorentz et de Laplace
Les expériences menées pour déterminer l’action d’un champ magnétique sur des particules
montrent que :
- un champ magnétique n’exerce aucune action sur les particules non chargées ;
- un champ magnétique n’exerce aucune action sur une particule chargée immobile par
rapport au champ ;
- qu’un champ magnétique modifie la trajectoire de particules chargées en mouvement.
L’étude des trajectoires de particules chargées en présence de champs magnétiques conduit à
l’expression de la force de Lorentz. Une particule de charge q aminée d’une vitesse v
ሬԦ par
ሬ
Ԧ
rapport à un référentiel lié à un champ magnétique B subit une force :
Ԧf = q v
ሬԦ ∧ ሬBԦ
Considérons un conducteur parcouru par un courant. Nous savons que ce courant a pour
origine un mouvement d’ensemble des charges mobiles dans ce conducteur. En présence d’un
champ magnétique ces charges en mouvement sont soumises à la force de Lorentz. La
résultante macroscopique de ces forces agit sur le conducteur. Le conducteur est alors soumis
à la force de Laplace.
Pour évaluer cette force considérons des charges mobiles de type i. Nous notons ni le nombre
de porteurs mobiles par unité de volume, qi leur charge et ‫ݒ‬Ԧi leur vitesse moyenne. La somme
des forces subies par les porteurs contenus dans un volume élémentaire dτ est donc :
dfԦi = ni dτ q i ‫ݒ‬Ԧi ∧ ሬBԦ
Or ρi = ni q i représente la densité volumique de charges mobiles de type i et Ԧji = ρi ‫ݒ‬Ԧi la
densité de courant correspondante. Nous pouvons donc écrire :
dfԦi = Ԧji dτ ∧ ሬBԦ
En sommant sur les divers types de porteurs dans le conducteur considéré nous obtenons pour
la force de Laplace :
dfԦ = Ԧj ∧ ሬBԦ dτ
Un élément de volume d’un conducteur de section SሬԦ et de longueur dlԦ peut s’écrire :
dτ = ሬԦS dlԦ
Ce qui nous donne en reportant dans l’expression de la force de Laplace :
dfԦ = Ԧj dτ ∧ ሬBԦ = Ԧj SሬԦ dlԦ ∧ ሬBԦ = i dlԦ ∧ ሬBԦ
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IX - 1
où i = Ԧj SሬԦ représente l’intensité. Ainsi un élément de longueur dlԦ d’un circuit filiforme
ሬԦ est soumis à une force :
parcouru par un courant d’intensité i dans un champ magnétique B
dfԦ = i dlԦ ∧ ሬBԦ
La résultante des forces magnétiques sur un circuit s’obtient par une somme vectorielle sur
l’ensemble du circuit :
Ԧf = ර
i dlԦ ∧ ሬBԦ
circuit
Selon la forme du conducteur ou la nature du champ magnétique, ce calcul direct peut être
compliqué. C’est pourquoi on utilise souvent un raisonnement basé sur un bilan énergétique.
B. Travail des forces magnétiques
B.1. Travail de la force de Lorentz
Considérons tout d’abord le travail de la force de Lorentz agissant sur une particule chargée.
ሬԦ dt. Le travail de
Pendant un intervalle de temps élémentaire dt la particule parcourt drԦ = v
Lorentz pendant cet intervalle est donc :
d࣮ = Ԧf drԦ = q ൫v
ሬԦ ∧ ሬBԦ൯ v
ሬԦ dt = 0
La force de Lorentz ne travaille pas.
B.2. Travail de la force de Laplace
Considérons un élément de longueur dlԦ d’un circuit filiforme parcouru par un courant
d’intensité i dans un champ magnétique ሬBԦ.
Fig. 1 : Déplacement élémentaire d’un circuit filiforme.
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IX - 2
Soit drԦ un déplacement élémentaire de cette portion de circuit, calculons le travail effectué
par la force de Laplace :
d2 ࣮ = dfԦ drԦ = i ൫dlԦ ∧ ሬBԦ൯ drԦ = i ሬBԦ ൫drԦ ∧ dlԦ൯
Or dSሬԦ = drԦ ∧ dlԦ représente la surface "balayée" par le vecteur dlԦ dans le déplacement drԦ.
Nous avons donc :
ሬԦ dSሬԦ = i d2 ϕbalayé
d2 ࣮ = i B
L’intégration le long du circuit permet d’évaluer le travail de la force de Laplace s’exerçant
sur celui-ci :
d࣮ = i dϕbalayé
et pour un déplacement fini et une intensité constante :
ଶ
࣮ = i ϕbalayé = i න dϕbalayé
ଵ
Ce résultat constitue le théorème de Maxwell : Le travail effectué par les forces magnétiques
appliquées à un circuit parcouru par un courant d’intensité constante est égal au produit de
cette intensité par le flux balayé par le circuit au cours du déplacement.
Attention à l’orientation de la surface balayée.
Fig. 2 : Orientation de la surface balayée.
B.3. Circuit rigide dans un champ stationnaire
Un circuit parcouru par un courant placé dans un champ magnétique est en fait soumis à deux
champs : il faut en effet tenir compte du champ magnétique induit par le circuit lui-même. Si
le circuit est indéformable ce champ induit suit le circuit dans son déplacement et le flux
induit balayé est nul. Nous pouvons également dire que ce champ induit est à l’origine de
forces internes qui ne travaillent pas si le circuit ne se déforme pas.
Pour un circuit indéformable il ne faut donc considérer que le champ extérieur dans
l’évaluation du flux balayé.
Intéressons nous au déplacement fini d’un circuit rigide dans un champ magnétique
stationnaire (indépendant du temps). Considérons la surface constituée par le tube latéral
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balayé dans le déplacement fermée par deux surfaces s’appuyant sur les positions initiale et
finale du circuit. Le champ magnétique étant un champ vectoriel à flux conservatif nous
savons que le flux sortant de cette surface est nul. Le champ étant stationnaire ce flux est
identique à tout instant sur toute la surface.
Notons Φ1 et Φ2 les flux traversant le circuit respectivement dans ses positions initiale et
finale, les surfaces étant orientées en cohérence avec l’orientation du circuit. La figure 3
présente les orientations des trois surfaces à considérer pour des déplacements opposés. Il
s’agit d’une figure de principe pour illustrer notre propos : le circuit rigide peut être de forme
quelconque et le déplacement n’est pas nécessairement limité à une translation.
Fig. 3 : Orientations respectives des surfaces du circuit et balayée.
Nous constatons que par rapport au volume fermé considéré, les deux surfaces s’appuyant sur
le circuit en positions initiale et finale sont d’orientations opposées : l’une est orientée vers
l’intérieur et l’autre vers l’extérieur. Nous observons d’autre part que la surface balayée est
orientée dans le même sens que la surface en position initiale. La figure 3 a été dessinée pour
une orientation du circuit. L’autre orientation conduit aux mêmes observations.
Ainsi le flux sortant ou entrant de la surface fermée définie par le circuit et son déplacement
conduit à un résultat indépendant des orientations :
Φ1 + ϕbalayé − Φ2 = 0
⇒
ϕbalayé = Φ2 − Φ1
Ce qui nous donne pour le travail des forces de Laplace agissant sur le circuit :
࣮ = i ሺΦ2 − Φ1 ሻ = i ΔΦ
Le travail produit par un circuit rigide parcouru par un courant d’intensité constante se
déplaçant dans un champ magnétique stationnaire est mesuré par le produit de la mesure de
l’intensité et de la mesure de la différence entre le flux final et le flux initial produit à travers
le circuit par le champ magnétique extérieur.
B.4. Energie d’interaction d’un circuit avec un champ magnétique
Supposons qu’il existe dans l’espace un champ magnétique stationnaire de module nul à
l’infini. Considérons un circuit rigide parcouru par un courant d’intensité constante. Pour
amener ce circuit de l’infini à une certaine position dans le champ magnétique il faut fournir
un travail opposé à celui des forces de Laplace, soit :
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W = −i Φ
où Φ représente le flux du champ magnétique extérieur traversant le circuit dans sa position
finale.
Dans un déplacement de ce circuit nous pouvons écrire pour le travail des forces de Laplace :
࣮ = i ሺΦ2 − Φ1 ሻ = W1 − W2
Le travail des forces de Laplace correspond à une diminution de W. Nous pouvons donc
interpréter cette quantité comme une énergie potentielle. Il s’agit de l’énergie d’interaction du
circuit avec le champ magnétique extérieur. Elle ne prend pas en compte les énergies
nécessaires pour faire circuler le courant et pour créer le champ magnétique.
Dans le cas d’une spire nous pouvons écrire pour le flux du champ magnétique :
ሬԦ SሬԦ
Φ=B
Ce qui nous donne pour l’énergie d’interaction en reconnaissant le moment magnétique de la
spire :
ሬԦ SሬԦ = −m
ሬԦ
W = −i B
ሬሬሬԦ B
Un système physique évolue toujours de manière à minimiser son énergie potentielle. Ainsi
un circuit placé dans un champ magnétique tend à se déplacer de manière que le flux qui le
traverse soit maximal compte tenu des liaisons. Cela constitue la règle du flux maximal.
B.5. Torseur des forces de Laplace
Considérons un circuit rigide traversé par un courant d’intensité constante placé dans un
champ magnétique stationnaire. Nous pouvons utiliser le résultat précédent pour calculer les
ሬԦ൯ du torseur des forces de Laplace appliquées à ce circuit.
ሬԦ, C
composantes ൫R
Imaginons par exemple un déplacement infinitésimal dlԦ nous avons pour le travail des forces
de Laplace :
d࣮ = ሬRԦ dlԦ = −dW = i dΦ
Dans un repère cartésien nous pouvons choisir ce déplacement parallèle à un des axes, par
exemple Ox. Il vient alors :
d࣮ = ሬRԦ dlԦ = R x dx = i dΦ
⇒
Rx = i
߲Φ
߲x
Pour une rotation infinitésimale dα
ሬԦ nous avons pour le travail des forces de Laplace :
d࣮ = ሬԦ
C dα
ሬԦ = −dW = i dΦ
Nous pouvons choisir l’axe de rotation parallèle à un des axes, par exemple Ox. Il vient alors :
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d࣮ = ሬԦ
C dα
ሬԦ = Cx dα = i dΦ
⇒
Cx = i
߲Φ
߲α
Nous pouvons tenir les mêmes raisonnements dans les trois directions. Ce qui nous donne
pour les composantes de la résultante et du couple :
߲Φ
ሬԦ R x = i
R
߲x
ተ
߲Φ
Ry = i
߲y
ተ
߲Φ
Rz = i
߲z
et
߲Φ
ሬԦ Cx = i
C
߲α
ተ
߲Φ
Cy = i
߲β
ተ
߲Φ
Cz = i
߲γ
Dans le cas d’un champ magnétique uniforme la résultante des forces de Laplace est nulle :
ሬBԦ ∶ uniforme
⇒
ሬԦ = ሬԦ
R
0
Dans le cas d’une rotation infinitésimale nous pouvons également écrire :
ሬԦ SሬԦ൯
d࣮ = ሬCԦ dα
ሬԦ = i d൫B
La rotation modifie uniquement la surface, nous avons donc :
Ce qui nous donne :
ሬԦ ൫dα
dΦ = ሬBԦ dSሬԦ = B
ሬԦ ∧ ሬԦS൯ = dα
ሬԦ ൫SሬԦ ∧ ሬBԦ൯
ሬԦ dα
C
ሬԦ = i dα
ሬԦ ൫SሬԦ ∧ ሬBԦ൯
Ce résultat doit être valable quelque soit la rotation. Nous avons donc pour le couple :
ሬԦ
C = i SሬԦ ∧ ሬBԦ
Nous reconnaissons le moment magnétique du circuit :
ሬԦ = ሬm
C
ሬሬԦ ∧ ሬBԦ
Dans une translation la surface est inchangée, nous pouvons donc écrire :
Ce qu’on résume parfois par :
ሬԦ
߲B
ሬRԦ R x = i SሬԦ
= ሬm
ሬሬԦ
߲x
ተ
ሬԦ
߲B
R y = i SሬԦ
= ሬm
ሬሬԦ
߲y
ተ
ሬԦ
߲B
R z = i SሬԦ
= ሬm
ሬሬԦ
߲z
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
ሬԦ = ൫m
ሬԦ൯B
ሬԦ
R
ሬሬሬԦ ∇
ሬԦ
߲B
߲x
ሬԦ
߲B
߲y
ሬԦ
߲B
߲z
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