La correction du DS3

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION
Samedi 14 Novembre 2015 - 2h
Exercice 1
Les parties A et B sont indépendantes
Un site internet propose des jeux en ligne.
On donnera une valeur approchée à 10−2 près des résultats.
Partie A :
Pour un premier jeu :
2
• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à .
5
4
• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à .
5
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G n l’événement « l’internaute gagne la n-ième partie » et
on note p n la probabilité de l’événement G n .
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p 1 = 1.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
2
5
pn
G n+1
Gn
3
5
1
5
G n+1
4
5
G n+1
G n+1
1 − pn Gn
1
1
2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p n+1 = p n + .
5
5
G n et G n+1 forme une partition de l’univers, d’après la formule des probabilités totales, on a
p n+1 = p(G n+1 ) = p(G n ∩ G n+1 ) + p(G n ∩G n+1 )
= p(G n ) × p G n (G n+1 ) + p(G n ) × p G n (G n+1 )
1
2
+ (1 − p n ) ×
5
5
1
1
p n+1 = p n +
5
5
= pn ×
1
3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose u n = p n − .
4
(a) Montrer que (u n )n∈N est une suite géométrique de raison
1
et de premier terme u 1 à préciser.
5
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1
par définition
4
1
1 1
= p n + − d’après la question précédente
5
5 4
1
1
= pn −
5(
20 )
1
1
pn −
=
5
4
1
= un
5
u n+1 = p n+1 −
1
et de premier terme u 1 = p 1 − 14 = 1 − 14 = 34 .
5
(b) Exprimer u n en fonction de n, puis en déduire l’expression de p n en fonction de n.
Comme (u n ) est la suite géométrique de raison 15 et de premier terme u 1 = 34 , on a pour tout
( )n−1
n ∈ N∗ , u n = 34 15
.
( )n−1 1
+ 4.
Comme, pour tout entier n ∈ N∗ , u n = p n − 14 , on a p n = u n + 14 = 34 15
(
)
n−1
Donc, pour tout entier naturel n non nul, on a p n = 34 15
+ 14 .
La suite (u n ) est donc la suite de raison
(c) Déterminer la limite de p n .
( )n−1
Comme −1 < 15 < 1, on a lim 15
= 0.
n→+∞
On en déduit par opérations que
lim p n = 41 .
n→+∞
Partie B :
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
1
La probabilité de gagner chaque partie est égale à .
4
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1.
(a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
Soit l’expérience aléatoire « jouer une partie ». On considère un succès S :« la partie est gagnée »
de probabilité p = 14 et un échec S :« la partie est perdue » de probabilité 1 − p = 34 .
On répète cette expérience 10 fois de manière identique et indépendante.
La variable aléatoire X donnant le nombre de parties gagnées par le joueur à la fin des 11 parties
suit alors la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 14 .
(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à
10−2 près.
P (X Ê 1) = 1 − P (X = 0) = 0, 94.
(c) Déterminer l’espérance de X.
Comme X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 14 , on a E (X ) = n × p = 10 × 14 = 2, 5.
2. Le joueur doit payer 30 A
C pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 A
C.
(a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
D’après la question précédente, le joueur peut espérer gagner 2, 5 parties soit remporter 2, 5 × 8 =
20A
C.
Or, d’après l’énoncé il doit payer 30A
C pour jouer les 10 parties. Donc il peut espérer gagner 20 −
30 = −10A
C, c’est-à-dire perdre 10A
C.
Ce jeu est donc désavantageux pour le joueur.
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(b) Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 A
C. Le résultat sera
−5
arrondi à 10 près.
Pour que le joueur réalise un bénéfice supérieur à 40A
C, le joueur doit gagner 70A
C lors des 10 parties.
Comme une partie gagnée rapporte 8A
C, pour remporter 70A
C, il doit gagner ( 70
= 8, 75) au moins 9
8
parties.
On calcule alors la probabilité P (X Ê 9) = 1 − P (X É 8) = 0, 00003 à 10−5 près.
La probabilité de réaliser un bénéfice supérieur à 40A
C est environ égale à 0, 00003.
Exercice 2
On
 considère la suite numérique (v n ) définie pour tout entier naturel n par
 v0
= 1
9
 v n+1 =
6 − vn
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donnée, tous les termes de la suite,
du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No 1
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Algorithme No 2
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Algorithme No 3
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
9
v prend la valeur
6−v
Fin pour
Début de l’algorithme :
Lire n
Pour i variant de 1 à n faire
v prend la valeur 1
Début de l’algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
Afficher v
Fin pour
Fin algorithme
Fin algorithme
Afficher v
Afficher v
v prend la valeur
9
6−v
v prend la valeur
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme
9
6−v
Le premier algorithme ne convient pas car il n’affiche que la dernière valeur de la suite v. Le second
n’est pas celui recherché car il n’affiche que des 1.
Finalement, l’algorithme 3 est celui qui convient pour afficher toutes les valeurs voulues de la suite.
2. Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :
1
1,800
2,143
2,333
2,455
2,538
2,600
2,647
2,684
2,714
2,969
2,969
2,970
2,970
2,970
Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :
2,967
2,968
2,968
2,968
2,969
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (v n ) ?
On peut conjecturer que la suite (v n ) est croissante et que lim v n = 3.
n→+∞
3.
(a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < v n < 3.
Montrons que la proposition P n :« 0 < v n < 3 » est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation Montrons que P 0 est vraie.
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On a v 0 = 1. Or 0 < 1 < 3 donc P 0 est vraie.
Hérédité On suppose qu’il existe un rang k ∈ N tel que P k soit vraie, càd 0 < v k < 3. Montrons sous
cette hypothèse que P k+1 est vraie, càd 0 < v k+1 < 3.
0 < vk < 3
Par hypothèse de récurrence
⇐⇒
0 > −v k > −3
⇐⇒
6 > 6 − vk > 3
1
1
1
1
<
< par stricte décroissance de x 7→ sur R+∗
x
6 6 − vk 3
9
< v k+1 < 3
6
1 < v k+1 < 3 Donc P k+1 est vraie.
⇐⇒
⇐⇒
=⇒
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, on a 0 < v n < 3.
(3 − v n )2
.
6 − vn
9
9 − v n (6 − v n ) 9 − 6v n + v n2 (3 − v n )2
v n+1 − v n =
− vn =
=
=
.
6 − vn
6 − vn
6 − vn
6 − vn
(b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, v n+1 − v n =
La suite (v n ) est-elle monotone ?
D’après la question précédente, pour tout entier naturel n, on a 0 < v n < 3, donc 6 − v n > 0. Ainsi,
pour tout entier naturel n, v n+1 − v n > 0.
La suite (v n ) est donc croissante.
(c) Démontrer que la suite (v n ) est convergente.
Comme la suite (v n ) est croissante et majorée par 3, elle est convergente.
Partie B Recherche de la limite de la suite (v n )
On considère la suite (w n ) définie pour tout n entier naturel par
wn =
1
.
vn − 3
1
1. Démontrer que (w n ) est une suite arithmétique de raison − .
3
1
1
1
6 − vn
3 − vn + 3
3 − vn
3
1
= −9+3v =
w n+1 =
= 9
=
=
+
= − + wn .
n
v n+1 − 3 6−v − 3
3v n − 9
3v n − 9
−3(3 − v n ) 3(v n − 3)
3
6−v n
n
1
1
La suite (w n ) est donc la suite arithmétique de raison − et de premier terme w 0 = v 01−3 = 1−3
= − 12 .
3
2. En déduire l’expression de (w n ), puis celle de (v n ) en fonction de n.
Comme (w n ) est la suite arithmétique de raison − 13 et de premier terme w 0 = − 21 , on a pour tout entier
naturel n, w n = − 12 − 31 n.
1
1
1
+ 3.
Comme pour tout entier naturel n, w n =
, on a v n =
+3 =
1 1
vn − 3
wn
− − n
2 3
3. Déterminer la limite de la suite (v n ).
lim n = +∞. Par opérations, on a lim − 12 − 13 n = −∞.
n→+∞
(
) n→+∞
1
Donc par inverse lim
= 0.
n→+∞ − 1 − 1 n
2
3
On en déduit par somme que
lim v n = 3 .
n→+∞
Exercice 3
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On considère la fonction f par
(2x + 1)5
f (x) =
.
x +1
1. Déterminer en justifiant, l’ensemble de définition de la fonction f .
La fonction f étant définie par un quotient, elle est définie sur l’ensemble où le dénominateur x + 1 ne
s’annule pas. Donc f est définie partout sauf en x = −1.
On a donc D f =] − ∞; −1[∪] − 1; +∞[ .
2. On admet à cette question que f est définie sur I =] − ∞; −1[∪] − 1; +∞[.
(a) Montrer que la fonction f est une primitive sur I de la fonction g définie sur I par
g (x) =
(2x + 1)4 (8x + 9)
.
(x + 1)2
La fonction f est dérivable sur I comme quotient de deux fonction dérivables sur I avec x + 1 ̸= 0.
On a
5 × 2 × (2x + 1)4 × (x + 1) − (2x + 1)5 × 1
(x + 1)2
(2x + 1)4 (10(x + 1) − (2x + 1))
=
(x + 1)2
4
(2x + 1) (8x + 9)
= g (x)
=
(x + 1)2
f ′ (x) =
.
Comme pour tout x de I , f ′ (x) = g (x), on peut en conclure que la fonction f est une primitive de
la fonction g sur I .
(b) En déduire le tableau de variation de la fonction f .
Etudions le signe de f ′ (x) = g (x) sur I .
• Pour tout x de I , on a (2x + 1)4 > 0.
• Pour tout x de I , on a (x + 1)2 > 0.
• 8x + 9 Ê 0 ⇐⇒ x Ê − 98 .
On obtient alors le tableau de variations suivant :
x
f ′ (x)
−∞
− 98
−
0
+∞
−1
+
+
f (x)
3125
128
(
( )
)5 ( 5 )5
2 × − 98 + 1
−4
( 9)
3125
On a f − 8 =
=
=
.
( 9
)
128
−8 +1
− 18
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