La correction du DS3

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION Samedi 14 Novembre 2015 - 2h
Exercice 1
Les parties A et B sont indépendantes
Un site internet propose des jeux en ligne.
On donnera une valeur approchée à 10−2près des résultats.
Partie A :
Pour un premier jeu :
•si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à 2
5.
•si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4
5.
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gnl’événement «l’internaute gagne la n-ième partie »et
on note pnla probabilité de l’événement Gn.
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1=1.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
Gn
pn
Gn+1
2
5
Gn+1
3
5
Gn
1−pn
Gn+1
1
5
Gn+1
4
5
2. Montrer que, pour tout nentier naturel non nul, pn+1=1
5pn+1 5.
Gnet Gn+1forme une partition de l’univers, d’après la formule des probabilités totales, on a
pn+1=p(Gn+1)=p(Gn∩Gn+1)+p(Gn∩Gn+1)
=p(Gn)×pGn(Gn+1)+p(Gn)×pGn(Gn+1)
=pn×2
5+(1 −pn)×1 5
pn+1=1
5pn+1 5
3. Pour tout nentier naturel non nul, on pose un=pn−1
4.
(a) Montrer que (un)n∈Nest une suite géométrique de raison 1
5et de premier terme u1à préciser.
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un+1=pn+1−1
4par définition
=1
5pn+1 5−1 4d’après la question précédente
=1
5pn−1 20
=1
5pn−1 4
=1
5un
La suite (un) est donc la suite de raison 1
5et de premier terme u1=p1−1
4=1−1 4=3 4.
(b) Exprimer unen fonction de n, puis en déduire l’expression de pnen fonction de n.
Comme (un) est la suite géométrique de raison 1
5et de premier terme u1=3 4, on a pour tout
n∈N∗,un=3
41 5n−1.
Comme, pour tout entier n∈N∗,un=pn−1
4, on a pn=un+1 4=3 41 5n−1+1 4.
Donc, pour tout entier naturel nnon nul, on a pn=3
41 5n−1+1 4.
(c) Déterminer la limite de pn.
Comme −1<1
5<1, on a lim
n→+∞ 1
5n−1=0.
On en déduit par opérations que lim
n→+∞ pn=1
4.
Partie B :
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1
4.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
Soit l’expérience aléatoire «jouer une partie ». On considère un succès S :«la partie est gagnée »
de probabilité p=1
4et un échec S:«la partie est perdue »de probabilité 1 −p=3 4.
On répète cette expérience 10 fois de manière identique et indépendante.
La variable aléatoire Xdonnant le nombre de parties gagnées par le joueur à la fin des 11 parties
suit alors la loi binomiale de paramètres n=10 et p=1
4.
(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à
10−2près.
P(XÊ1) =1−P(X=0) =0,94.
(c) Déterminer l’espérance de X.
Comme Xsuit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=1
4, on a E(X)=n×p=10 ×1 4=2,5.
2. Le joueur doit payer 30 AC pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 AC.
(a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
D’après la question précédente, le joueur peut espérer gagner 2,5 parties soit remporter 2,5 ×8=
20AC.
Or, d’après l’énoncé il doit payer 30AC pour jouer les 10 parties. Donc il peut espérer gagner 20 −
30 = −10AC, c’est-à-dire perdre 10AC.
Ce jeu est donc désavantageux pour le joueur.
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(b) Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 AC. Le résultat sera
arrondi à 10−5près.
Pour que le joueur réalise un bénéfice supérieur à 40AC, le joueur doit gagner 70AC lors des 10 par-
ties.
Comme une partie gagnée rapporte 8AC, pour remporter 70AC, il doit gagner ( 70
8=8,75) au moins 9
parties.
On calcule alors la probabilité P(XÊ9) =1−P(XÉ8) =0,00003 à 10−5près.
La probabilité de réaliser un bénéfice supérieur à 40AC est environ égale à 0, 00003.
Exercice 2
On considère la suite numérique (vn)définie pour tout entier naturel npar
v0=1
vn+1=9
6−vn
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel ndonnée, tous les termes de la suite,
du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No1 Algorithme No2 Algorithme No3
Variables : Variables : Variables :
vest un réel vest un réel vest un réel
iet nsont des entiers naturels iet nsont des entiers naturels iet nsont des entiers naturels
Début de l’algorithme : Début de l’algorithme : Début de l’algorithme :
Lire nLire nLire n
vprend la valeur 1 Pour ivariant de 1 à nfaire vprend la valeur 1
Pour ivariant de 1 à nfaire vprend la valeur 1 Pour ivariant de 1 à nfaire
vprend la valeur 9
6−vAfficher vAfficher v
Fin pour vprend la valeur 9
6−vvprend la valeur 9 6−v
Afficher vFin pour Fin pour
Afficher v
Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme
Le premier algorithme ne convient pas car il n’affiche que la dernière valeur de la suite v. Le second
n’est pas celui recherché car il n’affiche que des 1.
Finalement, l’algorithme 3 est celui qui convient pour afficher toutes les valeurs voulues de la suite.
2. Pour n=10 on obtient l’affichage suivant :
1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714
Pour n=100, les derniers termes affichés sont :
2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn)?
On peut conjecturer que la suite (vn) est croissante et que lim
n→+∞ vn=3.
3. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 <vn<3.
Montrons que la proposition Pn:«0<vn<3»est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation Montrons que P0est vraie.
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On a v0=1. Or 0 <1<3 donc P0est vraie.
Hérédité On suppose qu’il existe un rang k∈Ntel que Pksoit vraie, càd 0 <vk<3. Montrons sous
cette hypothèse que Pk+1est vraie, càd 0 <vk+1<3.
Par hypothèse de récurrence 0 <vk<3
⇐⇒ 0> −vk> −3
⇐⇒ 6>6−vk>3
⇐⇒ 1
6<1 6−vk
<1
3par stricte décroissance de x7→ 1
xsur R+∗
⇐⇒ 9
6<vk+1<3
=⇒ 1<vk+1<3 Donc Pk+1est vraie.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, on a 0 <vn<3.
(b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,vn+1−vn=(3−vn)2
6−vn
.
vn+1−vn=9
6−vn
−vn=9−vn(6 −vn)
6−vn
=9−6vn+v2
n
6−vn
=(3 −vn)2
6−vn
.
La suite (vn)est-elle monotone ?
D’après la question précédente, pour tout entier naturel n, on a 0 <vn<3, donc 6 −vn>0. Ainsi,
pour tout entier naturel n,vn+1−vn>0.
La suite (vn) est donc croissante.
(c) Démontrer que la suite (vn)est convergente.
Comme la suite (vn) est croissante et majorée par 3, elle est convergente.
Partie B Recherche de la limite de la suite (vn)
On considère la suite (wn)définie pour tout nentier naturel par
wn=1
vn−3.
1. Démontrer que (wn)est une suite arithmétique de raison −1
3.
wn+1=1
vn+1−3=1
9
6−vn−3=1
−9+3vn
6−vn
=6−vn
3vn−9=3−vn+3 3vn−9=3−vn −3(3 −vn)+3 3(vn−3) = − 1 3+wn.
La suite (wn) est donc la suite arithmétique de raison −1
3et de premier terme w0=1
v0−3=1 1−3= − 1 2.
2. En déduire l’expression de (wn), puis celle de (vn)en fonction de n.
Comme (wn) est la suite arithmétique de raison −1
3et de premier terme w0= − 1 2, on a pour tout entier
naturel n,wn= − 1
2−1 3n.
Comme pour tout entier naturel n,wn=1
vn−3, on a vn=1 wn
+3=1
−1
2−1 3n
+3.
3. Déterminer la limite de la suite (vn).
lim
n→+∞ n= +∞. Par opérations, on a lim n→+∞ −1
2−1 3n= −∞.
Donc par inverse lim
n→+∞ 1
−1
2−1 3n=0.
On en déduit par somme que lim
n→+∞ vn=3 .
Exercice 3
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On considère la fonction fpar
f(x)=(2x+1)5
x+1.
1. Déterminer en justifiant, l’ensemble de définition de la fonction f.
La fonction fétant définie par un quotient, elle est définie sur l’ensemble où le dénominateur x+1 ne
s’annule pas. Donc fest définie partout sauf en x= −1.
On a donc Df=]− ∞;−1[∪]−1;+∞[ .
2. On admet à cette question que fest définie sur I=]− ∞;−1[∪]−1; +∞[.
(a) Montrer que la fonction fest une primitive sur Ide la fonction gdéfinie sur Ipar
g(x)=(2x+1)4(8x+9)
(x+1)2.
La fonction fest dérivable sur Icomme quotient de deux fonction dérivables sur Iavec x+1̸= 0.
On a
f′(x)=5×2×(2x+1)4×(x+1) −(2x+1)5×1
(x+1)2
=(2x+1)4(10(x+1) −(2x+1))
(x+1)2
=(2x+1)4(8x+9)
(x+1)2=g(x)
.
Comme pour tout xde I,f′(x)=g(x), on peut en conclure que la fonction fest une primitive de
la fonction gsur I.
(b) En déduire le tableau de variation de la fonction f.
Etudions le signe de f′(x)=g(x) sur I.
•Pour tout xde I, on a (2x+1)4>0.
•Pour tout xde I, on a (x+1)2>0.
•8x+9Ê0⇐⇒ xÊ − 9
8.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
x
f′(x)
f(x)
−∞ −9
8−1+∞
−0+ +
3125
128
3125
128
On a f−9
8=2×−9
8+15
−9
8+1=−5
45
−1
8
=3125
128 .
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