Les conducteurs électriques

C.N.C
CORRECTION PHYSIQUE II 2010
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Les conducteurs électriques
premiére partie
conduction électrique dans un milieu matériel
1.1
1.1.1 systéme etudié :charge elémentaire q d’aprés la loi fondamental on a :
m−→ a=−→ Fe+−→ Fa+−→ Fr
en remplacant par l’expression de chaque force on aura :
m−→ a=q−→ E−m
τ−→
v−mω2
0−→
r
1.1.2
1.1.2.1 Le choix du régime sinusoïdal permet d’eliminer le regime transistoire du soultion
générale de l’equation différentielle.
1.1.2.2 en régime sinusoïdal forcé on a −→ v=−→ vmei(ωt+ϕ)donc d−→
v
dt =iω−→
vet
−→
r=Z−→ v dt =−→
v
iωce qui permet de déduire l’expréssion suivante :
−→
v=
q
m−→
E
(iω+1
τ+ω2
0
iω)
on déduit l’expression finale :
−→
v=
qω
m−→
E
(ω
τ+i(ω2−ω2
0))
1.1.3 On définit la densite volumique des charges par la relation suivante :ρ=δN
δV=nq
1

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1.1.4 −→ j=nq−→ v
1.1.5 on a −→ j=nq−→ vdonc σ=
nqω2
m
(ω
τ+i(ω2−ω2
0)) d’où : −→
j=nq−→ vdonc
σ=
nq2τ
m
(1+iτ
ω(ω2−ω2
0))
d’où : σ0=nq2τ
m
1.2
1.2.1 si ω0=0 on a
σ=σ0
(1+iωτ)
1.2.2 par multiplication de cojugué on aura :
σ=σ0(1−iωτ)
(√1+ω2τ2)
Par décomposition on a :
σ=σ0
(√1+ω2τ2)−σ0iωτ
(p1+ω2τ2)
d’où : 
σ1=σ0
(√1+ω2τ2), ;
σ2=σ0ωτ
(√1+ω2τ2), .
1.2.2
1.2.3 1.2.3.1 n=N
V=mNA MV =ρNA M
1.2.3.2 n=8, 43.1028/m3
1.2.3.3 on a σ0=nq2τ
mdonc on déduit :
τ=mσ0
nq2=2, 53.10−14s
1.2.3.4 si ω¿1
τon aura f1¿9.26.1012 Hz
1.2.4 si ωτ ¿1 on a ¯σ1≈σ0, ;
σ2=iωσ0ωτ, .
1.2.5 −→ j=σ−→ Edonc −→
j= (σ1−iσ2)−→ E
−→
j= (σ0−→ E−i2σ0τ−→ E)
−→
j= (σ0−→ E−i2σ0ωτ−→ E)
−→
j= (σ0−→ E+σ0ωτ−→ E)
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et on a ∂−→
E
∂t=iω−→
Edonc ε0χ=ωσ0τet on a :
χ=σ0τ
iε0
1.2.6 D’aprés MAXWELL-AMPERE on a : −→ rot−→ B=µ0(−→ j+ε0
∂−→ E
∂t)en remplaçant :
−→
rot−→ B=µ0(σ0−→ E+ε0(1+χ)∂−→
E
∂t)
1.2.7 −→
rot−→ B=µ0(−→ jc+−→ jd)
1.2.8 η=jc
jd
=σ0
ωε0(1+χ)
1.2.9 1.2.9.1 η=1⇐⇒ωc=σ0
ε0|1+χ|
1.2.9.2 on a 1 +χ=1−iσ0
ε0
τdonc |1+χ|=r1+ (σ0
ε0
τ)2d’où ωc=σ0
ε0q1+ (σ0
ε0τ)2
deuxiéme partie
Propagation d’ondes électromagnetiques dans un plasma
2.1
2.1.1. Un modéle sera valable si le courant de déplacement est négligeable devant le courant
de conduction : jd
jc¿1=⇒σ0 ε0ωÀ1
donc
ω¿ε0
σ0
=1017
on traville dans le domaine des hautes fréquences.
2.1.2.
−→
rot−→ B=µ0Ã−→ j+ε0
∂−→ E
∂t!
2.1.3. D’aprés MAXWEL-FARADAY on aura
−→
rotE =−∂−→
B
∂t
−→
rot−→ rotE =−∂−→
rotB
∂t
par suite on trouve
−∆−→ E=−µ0
∂−→ E
∂t−µ0ε0
∂2−→ E
∂t2
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d’ou l’expression finale
∆−→ E=iωõ0σ0−→ E+µ0ε0
∂−→ E
∂t!
2.1.4. Les équations de maxwell sont des équations lineaires qui vérifie la loi de superposition
2.1.5. d’aprés l’expression donnée du champ on conclut ∆−→ E=∂2−→
E
∂z2ei(ωt)donc en déduit
l’equation différentielle :
∂2E(z)
∂z2=iωµ0σ0E(z)−µ0ε0ω2E(z)
2.1.6. on a ∂2E(z)
∂z2=−k2E(z)donc en déduit :
−k2E(z) = iωµ0σ0E(z)−µ0ε0ω2E(z)
d’où
k2=µ0ε0ω2−iωµ0σ0
2.1.7. 2.1.7.1. d’aprés −→ rotE =−∂−→
B
∂tsi l’on considére que la solution E1eikz on aura ik−→
uz∧−→ E=
−iω−→ Bsoit finalement :
−→
B=k
ωuz∧−→
E1
2.1.7.2. k est un complexe donc le champ magnétique et électrique sont déphasés.
2.2
2.2.1. on a k=qµ0ε0ω2−iωµ0σ0=ω√µ0ε0r1−iσ
ωε0
en utilisant l’approximation on aura
k'ω√µ0ε0(1−iσ
ωε0
) = (k0−iσ
2rµ0 ε0
)
Il apparaît une longueur caracteristique :
lp=2
σrε0 µ0
On peut écrire : k=k0−i1
lp
avec k0=ω√µ0ε0
2.2.4. Les solutions à l’équation de propagation sont donc dans ce cas :
E(z;t) = E1expi((k0−i1
lp)z−ωt)+E2expi(−(k0−i1 lp)z−ωt)
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2.2.2. Soit en revenant à l’amplitude réelle :
E(z;t) = E1e−z
lpcos(k0z−ωt+ϕ1) + E2e
z
lpcos(−k0z−ωt+ϕ2)
Le premier terme correspond à une onde qui se propage vers les z croissants tout en s’atté-
nuant tandisque la seconde correspond à une onde qui se propage vers les zdécroissants
qui s’atténue elle aussi. L’amplitude de l’onde décroit de 1
lp
au bout de la distance lp: On
remarquera que cette distance d’absorption ne dépend pas de la fréquence.
2.2.5.
2.2.Propagation dans les bons conducteurs :l’effet de peau
2.3.1. pour les bons conducteurs ( ε0ω¿σ) c’est le second terme qui est dominant :
k2=−iωµ0σ0
dont la solution de partie imaginaire négative est
k=1−i
2√ωµ0σ0= (1−i)rωµ0σ0 2
ks’exprime en fonction d’une longueur caractéristique δappelé épaisseur de peau
δ=s2
ωµ0σ0
2.3.2. Cette longueur caractéristique est trés petite devant la longueur d’onde dans le vide :
2πδ
λ=k0δ=√ωµ0ε0rωµ0σ0 2=r2ε0ω σ¿1
puisque nous avons fait l’hypothése de bon conducteur (ε0ω¿σ)
2.3.3. La solution de l’équation s’écrit alors :
E=E1e−z
δei(z δ−ωt)+E2ez δei(−z δ−ωt)
Soit en notation réelle
E=E1e−z
δcos(z
δ−ωt+ϕ1) + E2ez
δcos(−z
δ−ωt+ϕ2)
La décroissance exponentielle fait penser à ce qui se passe dans le cas du mauvais conduc-
teur mais il n’en est rien comme nous allons le voir en étudiant la réflexion d’une onde
électromagnétique sur un conducteur.
2.3.4.
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