De la caract\`erisation matricielle des drapeaux complets d

arXiv:1401.3982v1 [math.DG] 16 Jan 2014
De la caractérisation matricielle des drapeaux
complets d’extensions riemanniennes aux
feuilletages riemanniens transversalement
diagonaux sur une variété compacte connexe
Cyrille Dadi (1) et Adolphe Codjia(2)
Laboratoire de Mathématiques Fondamentales,
Université Félix Houphouët-Boigny, ENS
08 BP 10 Abidjan (Côte d’Ivoire)
email(1) :[e-mail] , email(2) :[e-mail]
January 17, 2014
Résumé
Ici, nous caractérisons matriciellement les drapeaux complets d’extensions
riemanniennes DFq= (Fq−1,Fq−2, ..., F1)d’un feuilletage riemannien Fqsur
une variété compacte connexe sous l’hypothèse d’existense d’une métrique quasi-
fibrée commune à tous les feuilletages Fsde ce drapeau. Cette caractérisation
nous permet de voir que chaque feuilletage de ce drapeau est un feuilletage
riemannien transversalement diagonal.
Mots-clés:feuilletage riemannien transversalement diagonal, extension d’un
feuilletage,drapeau complet d’extension riemannienne.
Abstract
In this paper we characterise with the matrix the complete flag of rieman-
nian extension (see définition) DFq= (Fq−1,Fq−2, ..., F1)on a riemannian
compact manifold whose metric is bundlelike for any foliation Fsof this flag.
This study show us that a foliation of a complete flag of riemannian extension
on a riemannian compact manifold whose metric is bundlelike for any foliation
of this flag is a transversely diagonal riemannian foliation (see définition).
Keywords:transversely diagonal riemannian foliation, extension of a foli-
ation, complete flag of riemannian extension.
1

1 Introduction
Etant donné un feuilletage Fqde codimension qsur une variété M, un drapeau
d’extension du feuilletage Fqest une suite Dk
Fq= (Fq−1,Fq−2, ..., Fk)de
feuilletages sur la variété Mtelle que Fq⊂ Fq−1⊂ Fq−2⊂... ⊂ Fket chaque
feuilletage Fsest de codimension s.
Pour k= 1, le drapeau d’extension Dk
Fqsera dit complet et sera noté DFq.
Si chaque feuilletage Fsest riemannien, le drapeau d’extension Dk
Fqsera
appelé drapeau d’extension riemannienne du feuilletage Fq.
On montre que si Fqest un feuilletage riemannien de codimension qadmet-
tant un drapeau complet d’extension riemannienne DFq= (Fq−1,Fq−2, ..., F1)
sur une variété compacte connexe Met s’il existe une métrique Fs-quasifibrée
commune à tous les feuilletages Fsalors chaque feuilletages Fsest transver-
salement diagonal c’est à dire que chaque feuilletage Fsest défini par un cocycle
feuilleté (Ui, fi, T, γij )i∈Ivérifiant les conditions suivantes:
i) les ouverts Uisont F-distingués,
ii) la métrique gTest une métrique sur la variété transverse Tet les γij sont
des isométries locales pour cette métrique,
iii) sur chaque ouvert fi(Ui)il existe un système yi
1,yi 2,...,yi qde coordon-
nés F-transverses locales tel que relativement aux systèmes de coordonnés F-
transverses locales yi
1,yi 2,...,yi qi∈Isur les ouverts fi(Ui), la matrice jacobienne
Jγij de γij est diagonale et orthogonale.
On établit aussi pour un feuilletage riemannien minimal (M, Fq, gT)de codi-
mension qsur une variété compacte connexe Md’algèbre de Lie structurale G
ce qui suit:
1) Il existe une sous-algèbre de Lie GFde Gtelle qu’à toute extension F′
de Fqcorrespond (de façon unique) une sous-algèbre de Lie G′de Gvérifiant
GF⊂ G′.
2) Toute extension F′de Fqest un feuilletage riemannien et il existe une
métrique quasi-fibrée commune à Fqet F′.
3) Fqadmet un drapeau complet d’extension si et seulement si Fqest
transversalement diagonal.
Dans tout ce qui suit, les variétés considérées sont supposées connexes et la
différentiabilité C∞.
2 Rappels
Dans ce paragraphe, nous réformulons dans le sens qui nous est utile certaines
définitions et certains théorèmes qui se trouvent dans ([3],[4],[5],[7],[8] [9],
[10],[11] [12],[13]).
Théorème 2.1 [10]Soient Fun feuilletage riemannien de codimension qsur
une variété compacte connexe M, F♮l’adhérence d’une feuille F♮du feuilletage
relevé F♮de Fsur le fibré π:M♮→Mdes repères orthonormés F-transverses,
j:F♮֒→M♮l’injection canonique de F♮dans M♮,φ=π◦jet z∈F♮.
2

Aors:
i) πF♮est une feuille de Fet φF♮=π(F♮).
ii) L’application φ:F♮→φF♮est une fibration principale.
Définition 2.2 Une extension d′un feuilletage (M, F)de codimension qest un
feuilletage (M, F′)de codimension q′tel que 0< q′< q et les feuilles de (M, F′)
sont des réunions de feuilles de (M, F) (on notera F ⊂ F′).
On montre que si (M, F′)est une extension simple d’un feuilletage simple
(M, F)et si (M, F)et (M, F′)sont définis respectivement par les submersions
π:M→Tet π′:M→T′,alors il existe une submersion α:T→T′telle que
π′=α◦π.
On dira que la submersion αest une liaison entre le feuilletage (M, F)et
son feuilletage extension (M, F′).
On montre dans [4]que si le feuilletage (M, F)et son extension (M, F′)
sont définis respectivement par les cocycles (Ui, fi, T, γij )i∈Iet (Ui, f′
i, T ′, γ′ ij )i∈I
alors on a
f′
i=θi◦fiet γ′
ij ◦θj=θi◦γij
où θsest une liaison entre le feuilletage (Us,F)et son feuilletage extension
(Us,F′).
Proposition 2.3 [5]Etant donné un feuilletage (M,F)de variété transverse
modèle T, soit T′une variété de dimension q’ > 0. Si les difféomorphismes
locaux de transition de Fpréservent les fibres d′une submersion de Tsur T′,
alors le feuilletage Fadmet une extension de codimension q’ et de variété modèle
transverse T′.
Théorème 2.4 [3]Soit Fun feuilletage riemannien transversalement inté-
grable sur une variété riemannienne connexe complète (M, g),f Mle revètement
universel de (M, g),e Fet e F⊥les feuilletages relevés respectifs de Fet F⊥sur
f
M.
Alors:
i) f Mest difféomorphe à e L×e Hoù e Let e Hsont respectivement des feuilles
de e Fet e F⊥.
ii) e Let e Hsont des revêtements universels respectifs des feuilles respectives
Let Hdes feuilletages respectifs Fet F⊥.
iii) Toute feuille de e Fest difféomorphe à e L× {p}où p∈e H.
iv) Toute feuille de e F⊥est difféomorphe à {p} × e Hoù p∈e L.
v) La projection de f Msur e Hsuivant e Lest une submersion riemannienne.
Théorème 2.5 [7]Soit D= (F1,F2, ..., Fn−1)un drapeau d’une n-variété
riemannienne connexe compacte (M, g).Si la métrique gest quasi-fibrée pour
chacun des feuilletages, alors on a les propriétés suivantes:
1) La variété Mest complètement parallélisable et les feuilletages du drapeau
sont à la fois transversalement parallélisables et transversalement intégrables.
3

De façon précise, il existe un unique parallélisme (Yk)1≤k≤nde Mdit paral-
lélisme du drapeau tel que:
- pour tout k≥1, Ykest unitaire, tangent à Fket oriente le flot qu’il définit,
- pour tout 1≤k‹s≤n, [Yk, Ys] = cks Ykoù les fonctions cks , dites fonctions
de structures du drapeau, sont, pour k≥2,basiques pour le feuilletage Fk−1.
2) Le drapeau se relève sur le revètement universel f Mde Men un dra-
peau e D=e
F1,e F2, ..., e Fn−1de feuilletages simple. De plus pour tout k∈
{1,2, ..., n −1}le revètement universel f Mest difféomorphe à e Fk×e F⊥
koù e
Fket
e
F⊥
ksont respectivement des feuilles de e
Fket e F⊥
k.
On notera que :
i) Les champs de vecteurs Ykdu parallélisme (Yk)1≤k≤nde Msont orthog-
onaux deux à deux.
ii) Sur chaque feuille F⊥
s,le parallélisme (Yk)1≤k≤ninduit un parallélisme
que l’on notera (Yk)s≤k≤n.
iii) Le parallélisme (Yk)s≤k≤nde F⊥
sse relève sur le revêtement universel
f
Mde Men un parralélisme e
Yks≤k≤nsur e
F⊥
s.
Théorème 2.6 [5]Soit (M, F)un G-feuilletage de Lie minimal d’une variété
compacte et connexe, d’algèbre de Lie G.
Alors:
1-Il y a une correspondance biunivoque entre les sous-algèbres de Lie de
G=Lie (G) (ou si l’on préfère entre les sous-groupes de Lie connexes de G)et
les extensions de F.
2- Une extension de Fest un G
H-feuilletage transversalement riemannien à
fibré normal trivial, définie par une 1-forme vectorielle à valeurs dans G
H.
3- Une extension de Fest transversalement homogène (resp.de Lie)si et
seulement si le sous-groupe de Lie de Gcorrespondant est un sous-groupe fermé
(resp. un sous-groupe normal) dans G.
Théorème 2.7 [14]Soit M×Nle produit de deux variétés Met N,
Rh1:TxM→T(x,y)M×N
u7→ uh1= (u, 0) ,Rh2:TxN→T(x,y)M×N
w7→ wh2= (0, w),
Xi∈ X (M)et Yj∈ X (N).
Alors hXh1
1, Xh1
2i= [X1, X2]h1,hYh2
1, Y h2
2i= [Y1, Y2]h2et hXh1
1, Y h2
2i= 0.
3 Drapeau complet d’extension de feuilletage rie-
mannien sur une variété compacte connexe
Définition 3.1 Soit Fqun feuilletage de codimension qsur une variété M.
4

Un drapeau d’extension du feuilletage Fqest une suite
Dk
Fq= (Fq−1,Fq−2, ..., Fk)de feuilletages sur la variété Mtelle que
Fq⊂ Fq−1⊂ Fq−2⊂... ⊂ Fket chaque feuilletage Fsest de codimension s.
Pour k= 1, le drapeau d’extension Dk
Fqsera dit complet et sera noté DFq.
Si chaque feuilletage Fsest riemannien, le drapeau d’extension Dk
Fqsera
appelé drapeau d’extension riemannienne du feuilletage Fq.
Définition 3.2 Un feuilletage Fest dit transversalement diagonal si et seule-
ment s’il est défini par un cocycle feuilleté (Ui, fi, T, γij )i∈Itel que les ou-
verts Uisoient F-distingués et sur chaque ouvert fi(Ui)il existe un système
yi
1,yi 2,...,yi qde coordonnés F-transverses locales tel que relativement aux sys-
tèmes yi
1,yi 2,...,yi qi∈Ide coordonnés F-transverses locales sur les ouverts
fi(Ui), la matrice jacobienne Jγij de γij soit diagonale.
Proposition 3.3 Soit Fqun feuilletage transversalement diagonal de codimen-
sion qsur une variété M.
Alors Fqadmet un drapeau complet d’extension DFq= (Fq−1,Fq−2, ..., F1).
Preuve. Soit (Ui, fq
i, T q, γq ji )i∈Iun cocyle feuilleté définissant le feuilletage
transversalement diagonal Fqde codimension qet yi
1,yi 2,...,yi qi∈Iles systèmes
de coordonnées Fq−transverses sur les fq
i(Ui)suivant lesquels Jγq
ij est diagonal.
Notons que Jγq
ji =εq
jirsrs étant une matrice inversible à tous ses éléments
diagonaux non nuls.
Ceci dit, considérons sur chaque fq
i(Ui)le flot défini par le champ de vecteurs
∂
∂yi
q.
Quitte à réduire la "taille" des ouverts Ui,on peut considérer un recouvre-
ment (Ui)i∈Ide la variété Mtel que dans chaque fq
i(Ui)le flot de ∂
∂yi
qest un
feuilletage simple.
Soit θq
ila submersion définissant le flot Fθq
ide ∂
∂yi
qsur fq
i(Ui)et Uθq
i
la
variété quotient du feuilletage simple Fθq
i.
La variété Tqpeut être considérée comme une union disjointe des fq
i(Ui).
Par conséquent nous pouvons affirmer que les submersions θq
idéfinissent une
submersion θqsur Tqdont la restriction à chaque fq
i(Ui)est θq
i.
Comme
γq
ji ∗∂
∂yi
q=εq
jiji ∂
∂yi
q=εq
ji11.∂
∂yj
q
et εq
ji11 6= 0
alors les γq
ji préservent les fibres de la submersion θq.
Il résulte de cela ([4],[5])(cf.prop.2.3 et def.2.2) que le feuilletage Fqde
codimension qa une extension Fq−1de codimension q−1définie par le cocycle
feuilleté (Ui,fq−1
i, T q−1, γq−1 ji )i∈Ioù
γq−1
ji :Uθq
i
→ Uθq
j
5