De la caract\`erisation matricielle des drapeaux complets d

arXiv:1401.3982v1 [math.DG] 16 Jan 2014
De la caractérisation matricielle des drapeaux
complets d’extensions riemanniennes aux
feuilletages riemanniens transversalement
diagonaux sur une variété compacte connexe
Cyrille Dadi (1) et Adolphe Codjia (2)
Laboratoire de Mathématiques Fondamentales,
Université Félix Houphouët-Boigny, ENS
08 BP 10 Abidjan (Côte d’Ivoire)
email (1) :[email protected] , email (2) :[email protected]
January 17, 2014
Résumé
Ici, nous caractérisons matriciellement les drapeaux complets d’extensions
riemanniennes DFq = (Fq−1 , Fq−2 , ..., F1 ) d’un feuilletage riemannien Fq sur
une variété compacte connexe sous l’hypothèse d’existense d’une métrique quasifibrée commune à tous les feuilletages Fs de ce drapeau. Cette caractérisation
nous permet de voir que chaque feuilletage de ce drapeau est un feuilletage
riemannien transversalement diagonal.
Mots-clés: feuilletage riemannien transversalement diagonal, extension d’un
feuilletage, drapeau complet d’extension riemannienne.
Abstract
In this paper we characterise with the matrix the complete flag of riemannian extension (see définition) DFq = (Fq−1 , Fq−2 , ..., F1 ) on a riemannian
compact manifold whose metric is bundlelike for any foliation Fs of this flag.
This study show us that a foliation of a complete flag of riemannian extension
on a riemannian compact manifold whose metric is bundlelike for any foliation
of this flag is a transversely diagonal riemannian foliation (see définition).
Keywords: transversely diagonal riemannian foliation, extension of a foliation, complete flag of riemannian extension.
1
1
Introduction
Etant donné un feuilletage Fq de codimension q sur une variété M, un drapeau
d’extension du feuilletage Fq est une suite DFk q = (Fq−1 , Fq−2 , ..., Fk ) de
feuilletages sur la variété M telle que Fq ⊂ Fq−1 ⊂ Fq−2 ⊂ ... ⊂ Fk et chaque
feuilletage Fs est de codimension s.
Pour k = 1, le drapeau d’extension DFk q sera dit complet et sera noté DFq .
Si chaque feuilletage Fs est riemannien, le drapeau d’extension DFk q sera
appelé drapeau d’extension riemannienne du feuilletage Fq .
On montre que si Fq est un feuilletage riemannien de codimension q admettant un drapeau complet d’extension riemannienne DFq = (Fq−1 , Fq−2 , ..., F1 )
sur une variété compacte connexe M et s’il existe une métrique Fs -quasifibrée
commune à tous les feuilletages Fs alors chaque feuilletages Fs est transversalement diagonal c’est à dire que chaque feuilletage Fs est défini par un cocycle
feuilleté (Ui , fi , T, γij )i∈I vérifiant les conditions suivantes:
i) les ouverts Ui sont F -distingués,
ii) la métrique gT est une métrique sur la variété transverse T et les γij sont
des isométries locales pour cette métrique,
i i
iii) sur chaque ouvert fi (Ui ) il existe un système y1,
y2,...,yqi de coordonnés F -transverses locales tel que
relativement aux systèmes de coordonnés F i i
transverses locales y1,
y2,..., yqi i∈I sur les ouverts fi (Ui ), la matrice jacobienne
Jγij de γij est diagonale et orthogonale.
On établit aussi pour un feuilletage riemannien minimal (M, Fq , gT ) de codimension q sur une variété compacte connexe M d’algèbre de Lie structurale G
ce qui suit:
1) Il existe une sous-algèbre de Lie GF de G telle qu’à toute extension F ′
de Fq correspond (de façon unique) une sous-algèbre de Lie G ′ de G vérifiant
GF ⊂ G ′ .
2) Toute extension F ′ de Fq est un feuilletage riemannien et il existe une
métrique quasi-fibrée commune à Fq et F ′ .
3) Fq admet un drapeau complet d’extension si et seulement si Fq est
transversalement diagonal.
Dans tout ce qui suit, les variétés considérées sont supposées connexes et la
différentiabilité C∞ .
2
Rappels
Dans ce paragraphe, nous réformulons dans le sens qui nous est utile certaines
définitions et certains théorèmes qui se trouvent dans ([3], [4], [5], [7], [8] [9],
[10], [11] [12], [13]).
Théorème 2.1 [10] Soient F un feuilletage riemannien de codimension q sur
une variété compacte connexe M, F ♮ l’adhérence d’une feuille F ♮ du feuilletage
relevé F ♮ de F sur le fibré π:M ♮ → M des repères orthonormés F -transverses,
j : F ♮ ֒→ M ♮ l’injection canonique de F ♮ dans M ♮ , φ = π ◦ j et z ∈ F ♮ .
2
Aors: i) π F ♮ est une feuille de F et φ F ♮ = π (F ♮ ).
ii) L’application φ : F ♮ → φ F ♮ est une fibration principale.
Définition 2.2 Une extension d′ un feuilletage (M, F ) de codimension q est un
feuilletage (M, F ′ ) de codimension q ′ tel que 0 < q ′ < q et les feuilles de (M, F ′ )
sont des réunions de feuilles de (M, F ) (on notera F ⊂ F ′ ).
On montre que si (M, F ′ ) est une extension simple d’un feuilletage simple
(M, F ) et si (M, F ) et (M, F ′ ) sont définis respectivement par les submersions
π : M → T et π ′ : M → T ′ , alors il existe une submersion α : T → T ′ telle que
π ′ = α ◦ π.
On dira que la submersion α est une liaison entre le feuilletage (M, F ) et
son feuilletage extension (M, F ′ ) .
On montre dans [4] que si le feuilletage (M, F ) et son extension (M, F ′ )
sont définis respectivement par les cocycles (Ui , fi , T, γij )i∈I et (Ui , fi′ , T ′ , γij′ )i∈I
alors on a
fi′ = θi ◦ fi et γij′ ◦ θj = θi ◦ γij
où θs est une liaison entre le feuilletage (Us , F ) et son feuilletage extension
(Us , F ′ ) .
Proposition 2.3 [5] Etant donné un feuilletage (M ,F ) de variété transverse
modèle T , soit T ′ une variété de dimension q’ > 0. Si les difféomorphismes
locaux de transition de F préservent les fibres d′ une submersion de T sur T ′ ,
alors le feuilletage F admet une extension de codimension q’ et de variété modèle
transverse T ′ .
Théorème 2.4 [3] Soit F un feuilletage riemannien transversalement intéf le revètement
grable sur une variété riemannienne connexe complète (M, g), M
⊥
e
e
universel de (M, g), F et F les feuilletages relevés respectifs de F et F ⊥ sur
f.
M
Alors:
f est difféomorphe à L
e×H
e où L
e et H
e sont respectivement des feuilles
i) M
⊥
e
e
de F et F .
e et H
e sont des revêtements universels respectifs des feuilles respectives
ii) L
L et H des feuilletages respectifs F et F ⊥ .
e × {p} où p ∈ H.
e
iii) Toute feuille de Fe est difféomorphe à L
⊥
e
e
e
iv) Toute feuille de F est difféomorphe à {p} × H où p ∈ L.
f sur H
e suivant L
e est une submersion riemannienne.
v) La projection de M
Théorème 2.5 [7] Soit D = (F1 , F2 , ..., Fn−1 ) un drapeau d’une n-variété
riemannienne connexe compacte (M, g) . Si la métrique g est quasi-fibrée pour
chacun des feuilletages, alors on a les propriétés suivantes:
1) La variété M est complètement parallélisable et les feuilletages du drapeau
sont à la fois transversalement parallélisables et transversalement intégrables.
3
De façon précise, il existe un unique parallélisme (Yk )1≤k≤n de M dit parallélisme du drapeau tel que:
- pour tout k ≥ 1, Yk est unitaire, tangent à Fk et oriente le flot qu’il définit,
- pour tout 1 ≤ k‹s ≤ n, [Yk , Ys ] = cks Yk où les fonctions cks , dites fonctions
de structures du drapeau, sont, pour k ≥ 2, basiques pour le feuilletage Fk−1.
f
2) Le drapeau
se relève sur
le revètement universel M de M en un dra
e = Fe1 , Fe2 , ..., Fen−1 de feuilletages simple. De plus pour tout k ∈
peau D
f est difféomorphe à Fek × Fe⊥ où Fek et
M
k
Fek et Fek⊥ .
{1, 2, ..., n − 1} le revètement universel
Fek⊥ sont respectivement des feuilles de
On notera que :
i) Les champs de vecteurs Yk du parallélisme (Yk )1≤k≤n de M sont orthogonaux deux à deux.
ii) Sur chaque feuille Fs⊥ , le parallélisme (Yk )1≤k≤n induit un parallélisme
que l’on notera (Yk )s≤k≤n .
iii) Le parallélisme (Yk )s≤k≤n de Fs⊥ se relève sur le revêtement universel
f de M en un parralélisme Yek
M
sur Fe⊥ .
s≤k≤n
s
Théorème 2.6 [5] Soit (M, F ) un G-feuilletage de Lie minimal d’une variété
compacte et connexe, d’algèbre de Lie G.
Alors:
1-Il y a une correspondance biunivoque entre les sous-algèbres de Lie de
G =Lie (G) (ou si l’on préfère entre les sous-groupes de Lie connexes de G) et
les extensions de F .
G
-feuilletage transversalement riemannien à
2- Une extension de F est un H
G
.
fibré normal trivial, définie par une 1-forme vectorielle à valeurs dans H
3- Une extension de F est transversalement homogène (resp. de Lie) si et
seulement si le sous-groupe de Lie de G correspondant est un sous-groupe fermé
(resp. un sous-groupe normal) dans G.
Théorème 2.7 [14] Soit M × N le produit de deux variétés M et N ,
Rh1 : Tx M
u
→ T(x,y) M × N
,
7→ uh1 = (u, 0)
Rh2 : Tx N
w
→ T(x,y) M × N
,
7→ wh2 = (0, w)
Xi ∈ X (Mh ) et Yj ∈ iX (N ).
i
i
h
h
h
h
Alors X1h1 , X2h1 = [X1 , X2 ] 1 , Y1h2 , Y2h2 = [Y1 , Y2 ] 2 et X1h1 , Y2h2 = 0.
3
Drapeau complet d’extension de feuilletage riemannien sur une variété compacte connexe
Définition 3.1 Soit Fq un feuilletage de codimension q sur une variété M.
4
Un drapeau d’extension du feuilletage Fq est une suite
DFk q = (Fq−1 , Fq−2 , ..., Fk ) de feuilletages sur la variété M telle que
Fq ⊂ Fq−1 ⊂ Fq−2 ⊂ ... ⊂ Fk et chaque feuilletage Fs est de codimension s.
Pour k = 1, le drapeau d’extension DFk q sera dit complet et sera noté DFq .
Si chaque feuilletage Fs est riemannien, le drapeau d’extension DFk q sera
appelé drapeau d’extension riemannienne du feuilletage Fq .
Définition 3.2 Un feuilletage F est dit transversalement diagonal si et seulement s’il est défini par un cocycle feuilleté (Ui , fi , T, γij )i∈I tel que les ouverts Ui soient
F -distingués et sur chaque ouvert fi (Ui ) il existe un système
i i
y1,
y2,..., yqi de coordonnés F -transverses locales tel que relativement aux sys
i i
tèmes y1,
y2,..., yqi i∈I de coordonnés F -transverses locales sur les ouverts
fi (Ui ), la matrice jacobienne Jγij de γij soit diagonale.
Proposition 3.3 Soit Fq un feuilletage transversalement diagonal de codimension q sur une variété M .
Alors Fq admet un drapeau complet d’extension DFq = (Fq−1 , Fq−2 , ..., F1 ) .
q
Preuve. Soit (Ui , fiq , T q , γji
)i∈I un cocyle feuilleté définissant le feuilletage
i i
transversalement diagonal Fq de codimension q et y1,
y2,...,yqi i∈I les systèmes
q est diagonal.
de coordonnées Fq −transverses sur les fiq (Ui ) suivant lesquels Jγij
q
q = ε
Notons que Jγji
jirs rs étant une matrice inversible à tous ses éléments
diagonaux non nuls.
Ceci dit, considérons sur chaque fiq (Ui ) le flot défini par le champ de vecteurs
∂
∂yqi .
Quitte à réduire la "taille" des ouverts Ui , on peut considérer un recouvrement (Ui )i∈I de la variété M tel que dans chaque fiq (Ui ) le flot de ∂y∂ i est un
q
feuilletage simple.
Soit θiq la submersion définissant le flot Fθiq de ∂y∂ i sur fiq (Ui ) et Uθq la
q
i
variété quotient du feuilletage simple Fθiq .
La variété T q peut être considérée comme une union disjointe des fiq (Ui ).
Par conséquent nous pouvons affirmer que les submersions θiq définissent une
submersion θq sur T q dont la restriction à chaque fiq (Ui ) est θiq .
Comme
∂ ∂
∂
q q
= εji ji
= εqji11 . j et εqji11 6= 0
γji
∂yqi
∂yqi
∗
∂yq
q
alors les γji
préservent les fibres de la submersion θq .
Il résulte de cela ([4], [5])( cf.prop.2.3 et def.2.2 ) que le feuilletage Fq de
codimension q a une extension Fq−1 de codimension q − 1 définie par le cocycle
q−1
feuilleté (Ui ,fiq−1 , T q−1 , γji
)i∈I où
q−1
γji
: Uθ q → Uθ q
i
5
j
est le difféomorphisme induit par le difféomorphisme local
q
γji
: fiq (Ui ) → fjq (Uj ) sur les variétés quotients locales Uθq et Uθq . On a aussi
i
j
([4], [5]) ( cf def.2.2 ):
T q−1 = ∪ θiq ◦ fiq (Ui ) = ∪ Uθq ,
i∈I
i∈I
i
q−1
q
fiq−1 = θiq ◦ fiq et γji
◦ θiq = θjq ◦ γji
.
Montrons maintenant que le feuilletage Fq−1 est transversalement diagonal.
q−1
q
En utilisant l’égalité γji
◦ θiq = θjq ◦ γji
on obtient:
i)
!
∂ ∂
∂
q−1
q
γji
◦ (θiq )∗
= θjq ∗ ◦ γji
= Jθjq εqji11 . j = 0,
∂yqi
∂yqi
∗
∗
∂yq
ii) pour k 6= q,
∂
q
q−1
γji
◦ (θi )∗
=
∗
∂yki
=
=
θjq ∗
θjq ∗
∂ q
◦ γji
∗
∂yki
εqij(q−k+1)(q−k+1) .
εqij(q−k+1)(q−k+1)
θjq ∗
∂
∂ykj
∂
∂ykj
!
!
(∗) .
On vérifie aisement en utilisant le systême differentielle intégrable
(q−1
)
X
∂
qi
q
∞
Px =
fik (x) . i (x) / fik : fi (Ui ) −→ R de classe C
∂yk
k=1
sur fiq (Ui ) que pour k 6= q, les q − 1 champs de vecteurs (θiq )∗ ∂y∂ i sur Uθq
k
i
définissent un système de coordonnées Fθiq -transverse sur Uθq .
i
i
Soit zq−1
, ..., z1i ce système de coordonnées Fθiq -transverse sur Uθq . On a
i
(θiq )∗ ∂y∂ i = ∂z∂ i . Et, en utilisant les égalités (∗) on obtient
k
k
!
∂ ∂
q
q−1
= εij(q−k+1)(q−k+1)
γji
.
∂zki
∗
∂zkj
Ainsi le feuilletage Fq−1 est transversalement
diagonal. En fait, relativement au
i
système de coordonnées zq−1
, ..., z1i , la matrice diagonaleJγ q−1 est la matrice
ji
q privée de sa première ligne et de sa première colonne.
Jγji
On construit Fq−2 , Fq−3 , ... , F1 en utilisant la même technique de construction de Fq−1 .
En utilisant le théorème 2.4 de décomposition de Blumenthal-Hebda [3], on
montre le théorème suivant en utilisant les mêmes techniques de demonstration
du théorème 2.5 dans [7] :
6
Théorème 3.4 Soit DFq = (Fq−1 , Fq−2 , ..., F1 ) un drapeau complet riemannien d’extension d’un feuilletage riemannien Fq de codimension q sur une variété compacte connexe M et pour tout k ∈ {1, ..., q} , Fek désigne le feuilletage
f de M.
relevé de Fk sur le revêtement universel M
S’il existe une métrique g quasi-fibrée commune pour Fq et pour chaque
feuilletage du drapeau complet d’extension DFq alors:
i) Chaque feuilletage Fk est transversalement intégrable et transversalement
parallélisable. Les champs de vecteurs du parallélisme Fk −transverse (Ys )0≤s≤k−1
sont orthogonaux et chaque champ de vecteurs Ys est une section unitaire de
⊥
(T Fs+1 ) ∩ (T Fs ) .
f en un drapeau simple
ii) Le drapeau DFq se relève sur M
= Feq−1 , Feq−2 , ..., Fe1 d’extension riemannien du feuilletage riemanD
eq
F
nien Feq .
On notera que le parallélisme Fq −transverse (Ys )0≤s≤q−1 sera dit associé
à DFq .
Le résultat qui suit est la version locale du théorème de décomposition de
Blumenthal-Hebda [3] :
Théorème 3.5 Soit F un feuilletage riemannien transversalement intégrable
sur une variété riemannienne connexe compacte (M, g).
Alors il existe un recouvrement (Ui )i∈I d’ouverts de la variété M tel que:
⊥
i) Chaque ouvert Ui est difféomorphe au produit Li × L⊥
i où Li et Li sont
⊥
⊥
respectivement des feuilles de FUi et FU où FUi et FU sont respectivement les
i
i
restrictions respectives de F et F ⊥ à Ui .
ii) Toute feuille de FUi est difféomorphe à Li ×{p} où p ∈ L⊥
i et toute feuille
⊥
⊥
de FU est difféomorphe à {p} × Li où p ∈ Li .
i
f → M le revêtement universel de M, π (M ) le groupe
Preuve. i) Soit p : M
1
e
f, (U )i∈I un recouvrement d’ouverts
fondamental de M , F le relevé de F sur M
i
de la variété M par des ouverts de trivialisation local du revêtement universel
f de M , FU et F ⊥ les restrictions respectives de F et F ⊥ à U .
M
i
Ui
i
−1
k
e
On a p (U ) = ∪ U .
i
k∈K
i
Dans tout ce qui suit on fixe a ∈ K.
Quitte à réduire la "taille" de l’ouvert Ui , on peut supposer en utilisant le
théorème 2.4 de décomposition de Blumenthal-Hebda qu’il existe un difféomorea → L
e ia × L
e ⊥ où L
e ia est une feuille de la restriction Fe e a de Fe
phisme φiaa : U
ia
U
i
e ⊥ est une feuille de la restriction Fe⊥ de Fe⊥ à U
e a.
e a et L
àU
ia
ea
i
i
U
i
a
b
e =p U
e = U alors il existe
Soit b ∈ K. Comme p U
i
σiab ∈ π1 (M ) tel que
i
i
e b.
ea = U
σiab U
i
i
7
i
Par construction des feuilletages relevés Fe et Fe⊥ on a
⊥
e
e
e
σiab FUe a = FUe b et σiab FUe a = FeU⊥
eb .
i
i
i
e ia est une feuille de Fe e b
Ainsi σiab L
U
i
i
e ⊥ est une feuille de Fe⊥ .
et σiab L
ia
eb
U
i
1
e ia et σ 2 la restriction de σiab à
Considérons σiab
la restriction de σiab à L
iab
e⊥ .
L
ia
1
e ⊥ qui sont des
e ⊥ → σiab L
e ia et σ 2 : L
e ia → σiab L
On a σiab
: L
ia
ia
iab
difféomorphismes. Par conséquent σiab induit un difféomorphisme
e⊥
e ia × σ 2 L
e ia × L
e⊥ → σ1 L
σ iab : L
ia
iab
ia
iab
tel que
1
2
σ iab = σiab
◦ p1ia , σiab
◦ p2ia
e ia × L
e⊥ → L
e ia est la première projection et p2 : L
e ia × L
e⊥ → L
e ia est
où p1ia : L
ia
ia
ia
la seconde projection.
Il résulte de ce qui précède qu’il existe un difféomorphisme φiab qui rend le
diagramme suivant commutatif:
ea
U
i
↓ σiab
eb
U
i
φiaa
→
φiab
→
e ia × L
e⊥
L
ia
↓
σ
iab
.
2
1
e⊥
e
σiab Lia × σiab L
ia
e k sur
On construit ainsi un difféomorphisme de p−1 (Ui ) = ∪ U
k∈K i
2
eb
e⊥
e
e k = ∪ σ1
∪ φik U
iak Lia × σiak Lia dont la restriction à Ui est φiab . Ce
i
k∈K
k∈K
e a mais seulement de U ,
difféomorphisme ne dépend pas du choix de l’ouvert U
i
i
de la feuille
1
e ia
e ia
=p L
L
Li = p σiab
de FUi et de la feuille
2
⊥
e
e⊥
L⊥
=
p
σ
L
=
p
L
iab
i
ia
ia
de FU⊥ . Dans la suite, ce difféomorphisme ce notera φi .
i
1
2
On peut donc dire en remarquant que σiaa = Id, σiaa
= Id et σiaa
= Id
b
a
e
e
qu’on a σiab U = U ,
i
i
e ⊥ et σ iab ◦ φi = φi ◦ σiab
e ia × σ 2 L
e b = σ1 L
φi U
ia
iab
iab
i
et l’égalité
1
2
σ iab = σiab
◦ p1ia , σiab
◦ p2ia
8
entraine que
φi p−1 (Ui )
π1 (M )
=
=
1
e⊥
e ia × σ 2
∪ σiak
L
iak Lia
k∈K
π1 (M )
2
1
e⊥
e ia
∪ σiak
L
∪ σiak
L
ia
k∈K
k∈K
×
.
π1 (M )
π1 (M )
1
e ia et σ 2
Par construction de Fe et Fe⊥ , σiak
étant la restriction de σiak à L
iak
⊥
e , on a:
la restriction de σiak à L
ia
1
2
e ia
e⊥
∪ σiak
L
∪ σiak
L
ia
k∈I
k∈I
= Li et
= L⊥
i .
π1 (M )
π1 (M )
L’égalité σ iab ◦ φi = φi ◦ σiab montre que φi est invariant par l’action de
π1 (M ) . Par conséquent φi passe au quotient sous l’action de π1 (M ) en un
difféomorphisme
φi p−1 (Ui )
p−1 (Ui )
φi :
→
.
π1 (M )
π1 (M )
Comme
p−1 (Ui )
π1 (M)
= Ui et
φi p (Ui )
π1 (M )
−1
=
=
1
e ia
∪ σiak
L
k∈K
π1 (M )
Li ×
×
L⊥
i
2
e⊥
∪ σiak
L
ia
k∈K
π1 (M )
alors φi passe au quotient sous l’action de π1 (M ) en un difféomorphisme
φi : Ui → Li × L⊥
i .
ii) Soit Fep−1 (U ) et Fep⊥−1 U les restrictions respectives de Fe et Fe⊥ à p−1 (Ui ) .
( i)
i
Pour a ∈ K fixé, on a pour tout k ∈ K
⊥
e
e
e
σiak FUe a = FUe k et σiak FUe a = FeU⊥
ek .
i
i
i
i
D’où l’égalité σ iak ◦ φi = φi ◦ σiak montre que
⊥
e
F
σ iak φi FeUe a
=
φ
= φi FeUe k et σ iak φi FeU⊥
i
ek .
ea
U
i
i
i
i
⊥
e
e
sont invariant
Par conséquent les feuilletages φi Fp−1 (U ) et φi Fp−1 U
( i)
i
par l’action de π1 (M ) et passe donc au quotient en un feuilletage sur Li × L⊥
i .
9
Comme d’après le théorème 2.4 de décomposition
les
de Blumenthal-Hebda
2
1
e⊥
e
e
feuilles du feuilletage simple φi FUe k sont σiak Lia × {p} où pe ∈ σiak L
ia
i
e ia et comme
e ⊥ × {p} où p ∈ σ 1
L
L
et celles de φi Fe⊥ sont σ 2
ek
U
iak
ia
iak
i
1
2
σ iak = σiak
◦ p1ia , σiak
◦ p2ia ,
2
1
e⊥
e ia
∪ σiak
L
∪ σiak
L
ia
k∈K
k∈K
= Li et
= L⊥
i ,
π1 (M )
π1 (M )
alors le feuilletage quotient
et
e⊥
φi F
ek
U
i
π1 (M)
e −1
φi F
p
(Ui )
π1 (M)
à ses feuilles qui sont Li ×{x} où x ∈ L⊥
i
à ses feuilles qui sont L⊥
i × {x} où x ∈ Li .
Définition 3.6 On dit qu’un feuilletage F est riemannien transversalement
diagonal relativement à une métrique gT si et seulement s’il est défini par un
cocycle feuilleté (Ui , fi , T, γij )i∈I vérifiant les conditions suivantes:
i) les ouverts Ui sont F -distingués,
ii) la métrique gT est une métrique sur la variété transverse T et les γij sont
des isométries locales pour cette métrique,
i i
iii) sur chaque ouvert fi (Ui ) il existe un système y1,
y2,...,yqi de coordonnés F -transverses locales tel que
relativement aux systèmes de coordonnés F i i
transverses locales y1,
y2,..., yqi i∈I sur les ouverts fi (Ui ), la matrice jacobienne Jγij de γij est diagonale et orthogonale.
i i
Les systèmes y1,
y2,...,yqi i∈I de coordonnés F -transverses locales sur les
ouverts fi (Ui ) seront appelés systèmes de coordonnés transverses diagonaux de
F.
On notera que ce qui suit:
Si (M1 , F1 ), (M2 , F2 ), ..., (Mk , Fk ) sont k feuilletages riemanniens de codimension un alors le feuilletage produit (M1 × M2 × ... × Mk , F1 × F2 × ... × Fk )
est un feuilletage riemannien transversalement diagonal de codimension k sur
la variété produit M = M1 × M2 × ... × Mk .
Dans la preuve du résultat qui suit on donne une caractérisation matricielle
des drapeaux complets riemanniens d’extension d’un feuilletage riemannien.
Théorème 3.7 Soit DFq = (Fq−1 , Fq−2 , ..., F1 ) un drapeau complet riemannien d’extension d’un feuilletage riemannien Fq de codimension q sur une variété compacte connexe M tel qu’il existe sur la variété M une métrique g quasifibré commune à tous les feuilletages riemanniens Fk .
Alors chaque feuilletage riemanien Fk est transversalement diagonal.
f.
M
f → M le revêtement universel M, Fek le relevé de Fk sur
Preuve. Soit p : M
10
Considérons (Ui )i∈I un recouvrement d’ouverts de la variété M par des ouf de M qui sont distingués
verts de trivialisation local du revêtement universel M
⊥
pour chaque feuilletage Fk et soit Fk/Ui et Fk/U les restrictions respectives de
i
Fk et Fk⊥ à Ui .
D’après le théorème 4.3 chaque ouvert Ui est difféomorphe (≃) au produit
i
i⊥
⊥
Liq × Li⊥
q où Lq est une feuille de Fq/Ui et Lq est une feuille de Fq/Ui .
e ⊥ une feuille de Feq au "dessus" de U qui se projette sur U suivant
Soit L
q
i
i
Li⊥
q .
On montre dans [7] que le drapeau relevé DFeq = Feq−1 , Feq−2 , ..., Fe1 de
f se projète sur L
e⊥
DFq sur M
q en un drapeau complet simple
e⊥
L
q
DFeq−1 =
e⊥
e⊥
e⊥
Lq
Lq
L
Feq−2
, Feq−3
, ..., Fe1 q
e⊥
e⊥
Lq
L
d’extension riemannienne du feuilletage Feq−1
où Fek q désigne le feuilletage proe⊥
e⊥
e
f
e Lq
jeté sur L
q du feuilletage relevé Fk de Fk sur M . On vérifie aisement que Fq−1
est un flot riemannien.
e⊥
Ainsi comme L
q est une varieté complète connexe et simplement connexe
le théorème 2.4 de décomposition de Blumenthal-Hebda [3] assure qu’il existe
e⊥
e⊥ → H
e Yq−1 × H
e
un difféomorphe φ2 : L
q
Yq−1 où HYq−1 est une feuille du flot
⊥ ⊥
e⊥
e
L
L
q
q
⊥
e
e
.
riemannien Fq−1 et HYq−1 est une feuille du feuilletage Feq−1
En appliquant le théorème 4.3 on obtient qu’il existe un difféomorphisme
e⊥ .
qui passe au quotient par l’action de π1 L
→ φ2 p−1 Li⊥
φ2i : p−1 Li⊥
q
q
q
2
i
i⊥
i
(cf.preuve théo.4.3 ) en un difféomorphisme φi : Li⊥
q → HYq−1 × HYq−1 où HYq−1
⊥ ⊥
⊥
e
e
i⊥
L
L
q
q
e
.
est une feuille du flot FYq−1 = p Fq−1 et HYq−1 est une feuille de p Feq−1
i
i⊥
On obtient ainsi que Ui est difféomorphe au produit Liq × HYq−1 × HYq−1 .
De proche en proche on obtient que chaque ouvert Ui est difféomorphe au
i
i
i
i
i
produit Lq × HYq−1 × ... × HY0 où Lq est une feuille de Fq/Ui , HYk est une feuille
de la restriction FYk /Ui du flot FYk à Ui .
On vérifie aisement en appliquant le théorème 4.3 que si on désigne par Fk/Ui
i
la restriction à Ui de Fk alors chaque feuille de Fk/Ui est de la forme Lk × {p}
i
i
i
i
i
i
i
i
i
avec Lk = Lq ×HYq−1 ×HYq−2 ×...×HYk et p ∈ Hk = HYk−1 ×HYk−2 ×...×HY0 .
i
On vérifie aussi aisement que sur chaque feuille HYk le champ de vecteurs
unitaire Yk induit un champ de vecteurs Yki et les champs de vecteurs Yki sont
orthogonaux deux à deux pour la métrique g.
i
i
i
Considérons maintenant (aq , aq−1 , ..., a0 ) ∈ Lq × HYq−1 × ... × HY0 .
11
On pose
i
Rhk : Tak HYk
Xai k
i
i
i
→ Taq Lq × Taq−1 HYq−1 × ... × Ta0 HY0
h
7→
Xai k k = 0, 0, ..., 0, Xai k , 0, ..., 0
ième
où Xai k est à la (q − k + 1)
position. On remarquera que q − k + 1 est la
i
i
i
i
position de T HYk dans le produit cartesien T Lq × T HYq−1 × ... × T HY0 .
i i
Soit X HYk l’algèbre de lie des champs de vecteurs tangents à HYk et
i Xki ∈ X HYk .
i
hk
i
i
i
Les sections Xki a
de T Lq × HYq−1 × ... × HY0 où ak ∈ HYk définisk
h
i
i
i
sent un champ de vecteurs sur Lq × HYq−1 × ... × HY0 qu’on notera Xki k .
i
i
On montre dans [14] que pour Xki ∈ T HYk et Xsi ∈ T HYs on a
h
hq−s+1 i
hq−k+1
= 0 pour k 6= s.
, Xsi
Xki
i
Il résulte de cela, Yki étant le champ induit par Yk sur la feuille HYk , que
h
hq−k+1
hq−s+1 i
Yki
= 0 pour k 6= s.
, Ysi
i
i
i
i
Ainsi, l’ouvert Ui étant un produit des variétés Lq , HYq−1 , HYq−2 , ..., et HY0 ,
hq−s+1
on a les champs de vecteurs Ysi
sur Ui qui définissent un système de
i
, ..., y0i sur Ui .
coordonnés Fq −transverse yq−1
hq−s+1
se notera ∂y∂ i .
Dans la suite Ysi
s
Le champ de repères orthonormés Fq -transverse local ∂y∂i , ∂y∂i , ..., ∂y∂ i
0
q−1
q−2
sur Ui sera dit compatible avec le drapeau riemannien DFq . On dira aussi que
i
le système de coordonnés Fq −transverse yq−1
, ..., y0i est également compatible
avec DFq .
Soit (Ui , fik , T k , γijk )i∈I un cocyle feuilleté définissant le feuilletage riemannien Fk sur l’ouvert distingués Ui .
On désigne par θik−1 la liaison riemannienne entre les feuilletages riemanniens
(Ui , Fk ) et (Ui , Fk−1 ) .
i
Comme chaque feuille de Fk/Ui est de la forme Lk × {p} avec
i
i
i
i
i
Lk = Lq × HYq−1 × HYq−2 × ... × HYk
i
i
i
i
i
et p ∈ Hk = HYk−1 × HYk−2 × ... × HY0 alors θik−1 est la projection de Hk sur
i
i
Hk−1 suivant HYk−1 .
Il en résulte que
θik−1 ∗
∂
i
∂yk−1
12
!
= 0.
i
i
i
On signale avant de continuer que HYk−1 ×HYk−2 ×...×HY0 est difféomorphe
⊥
. On peut de ce fait identifier fik (Ui ) et
à une variété intégrable de T Fk/Ui
j
j
j
HYk−1 × HYk−2 × ... × HY0 .
j
j
j
Sous l’identification fik (Ui ) ≃ HYk−1 × HYk−2 × ... × HY0 on peut considérer
i
le système de coordonnés Fk −transverse yk−1
, ..., y0i sur Ui comme étant un
i
système de coordonnés sur fik (Ui ) qu’on notera encore yk−1
, ..., y0i .
L’égalité θik−1 ∗ ∂y∂i
= 0 montre que
k−1
i
i
i
, ..., y0i .
θik−1 yk−1
, yk−2
, ..., y0i = yk−2
j
j
Pour Ui ∩ Uj 6= ∅, soit yk−1
, yk−2
, ..., y0j ∈ fjk (Ui ∩ Uj ) et
j
j
i
i
, γk−2
, ..., γ0i .
, yk−2
, ..., y0j = γk−1
γijk yk−1
On a [4] les égalités,
fik−1 = θik−1 ◦ fik et γijk−1 ◦ θjk−1 = θik−1 ◦ γijk
c’est à dire que le diagrame suivant est commutatif
D’où l’égalité
entraine :
fjk
θjk−1
fk
θik−1
Ui ∩ Uj
IdUi ∩Uj
↓
→ fjk (Ui ∩ Uj )
↓ γijk
Ui ∩ Uj
i
→
fik (Ui ∩ Uj )
=
=
=
=
avec
→
fjk−1 (Ui ∩ Uj )
.
↓ γijk−1
fik−1 (Ui ∩ Uj )
i
i
i
, ..., y0i
θik−1 yk−1
, yk−2
, ..., y0i = yk−2
j
γijk−1 yk−2
, ..., y0j
Ainsi
→
j
j
γijk−1 ◦ θjk−1 yk−1
, yk−2
, ..., y0j
j
j
, yk−2
, ..., y0j
θik−1 ◦ γijk yk−1
i
i
θik−1 γk−1
, γk−2
, ..., γ0i
i
γk−2
, ..., γ0i
j
j
i
i
γijk yk−1
, yk−2
, ..., y0j = γk−1
, γk−2
, ..., γ0i
j
i
i
γk−s−1
, γk−s−2
, ..., γ0i = γijk−s yk−s−1
, ..., y0j
pour s ∈ {1, ..., k − 1} .
13
Il résulte de ce qui précède que

i
i
Jγ k
ij






=






∂γk−1
∂γk−1
j
∂yk−1
j
∂yk−2
i
∂γk−2
j
∂yk−2
0
...
i
∂γk−2
j
∂yk−3
i
∂γk−3
...
...
...
...
...
...
0
0
:
:
:
:
0
:
.
.
.
0
0
0
....
0
j
∂yk−3
∂γ i
k−1
∂y0j
∂γ i
k−2
∂y0j
∂γ i
k−3
∂y0j
:
:
∂γ0i
∂y0j







.






Les γijk sont des isométries pour la métrique quasi-fibrée commune g. Par con
séquent, comme ∂y∂j , ∂y∂j , ..., ∂y∂ j et ∂y∂i , ∂y∂i , ..., ∂y∂ i sont des bases
k−1
k−2
k−1
0
k−2
0
orthonormées pour la métrique g alors Jγ k est une matrice orthogonale. Ce qui
ij
entraine que
Jγ k ◦ Jγt k = Ik
ij
où
Jγt k
est la transposée de
ij
Jγt k
ij
.
ij
En utilisant l’égalité
Jγ k ◦ Jγt k = Ik ,
ij
ij
une récurrence sur k permet de voir que Jγ k = εkijrs
ij
εkijrs = {
±1 si r = s
.
0 si r 6= s
rs
avec
Ainsi, chaque feuilletage riemanien Fk est transversalement diagonal.
4
Extension de feuilletages riemanniens minimals
sur une variété compacte connexe
Le résultat qui suit est une généralisation partielle du théorème 2.6 se trouvant
dans ([4], [5]).
Théorème 4.1 Soit G l’algèbre de Lie structurale d’un feuilletage riemannien
minimal (M, F , gT ) sur une variété compacte M et g une métrique F -quasifibrée
sur M de métrique F −transverse gT .
Alors:
i) Il existe une sous-algèbre de Lie GF de G telle qu’à toute extension F ′ de
F correspond (de façon unique) une sous-algèbre de Lie G ′ telle que GF ⊂ G ′ .
ii) Toute extension F ′ de F est un feuilletage riemannien et g est une
métrique F ′ -quasifibrée.
14
Preuve. i) Soit F ♮ l’adhérence d’une feuille F ♮ du feuilletage relevé F ♮ de F
dans le fibré des repères orthonormés transverses M ♮ de M et F ♮ ♮ la restriction
F
F ♮ à F ♮.
Comme F est à feuille denses alors π : F ♮ → M est une fibration principal.
Considérons une extension F ′ de F et les feuilletages π ∗ F et π ∗ F ′ images
réciproques de F et de F ′ .
On vérifie aisement que F ♮ ♮ ⊂ π ∗ F ⊂ π ∗ F ′ . Il en résulte (cf. théo. 2.6 )
F
qu’il existe deux sous-algèbres de Lie GF et G ′ de G vérifiant GF ⊂ G ′ et
correspondant respectivement à π ∗ F et π ∗ F ′ .
On obtient ainsi la sous-algèbre de Lie G ′ de G correspondant F ′ .
ii) Soit U ♮ un ouvert distingué à la fois pour F ♮ ♮ et π ∗ F ′ de sorte que π U ♮
F
soit un ouvert à la fois distingué pour F et F ′ .
Considérons f ♮ , f ′♮ , f et f ′ les projections
respectives associées respective
ment aux feuilletages simples U ♮ , F ♮ ♮ , U ♮ , π ∗ F ′ , π U ♮ , F et π U ♮ , F ′ .
F Il existe une submersion π
e : f ♮ U ♮ → f π U ♮ rendant le diagramme
π
U♮
→
π U♮
↓ f♮
↓f
πe
♮
♮
f U
→ f π U♮
commutatif.
Soit θ♮ la liaison entre U ♮ , F ♮ ♮ et U ♮ , π ∗ F ′ et θ la liaison entre π U ♮ , F
F
et π U ♮ , F ′ .
On a le diagramme suivant qui est commutatif :
π
U♮
→
π U♮
′
f ′♮
ւ
↓ f♮
↓f
ցf
(∗) .
πe
θ
θ♮
′
♮
♮
♮
♮
♮
♮
♮
→ f π U
→ f π U
←− f U
θ f U
Par constuction de π ∗ F ′ , π envoie une feuille de π ∗ F ′ sur une feuille de F ′ . De
ce fait π envoie les fibres de f ′♮ sur les fibres de f ′ . ♮
♮
♮
♮
Soit donc x ∈ θ f U
, il existe x ∈ f ′ π U ♮ tel que
−1 ♮ −1
π f ′♮
= (f ′ ) (x) .
x
Or d’après le diagramme (∗)
−1 ♮ −1 ♮ −1
−1
et (θ) (x) = f (f ′ ) (x)
x
x = f ♮ f ′♮
θ♮
donc
π
e
θ♮
−1
x♮
−1 ♮ = π
e ◦ f ♮ f ′♮
x
−1
= f ◦ π f ′♮
x♮
−1
= f ◦ (f ′ ) (x)
= (θ)
15
−1
(x)
Il en résulte que π
e projette les fibres de θ♮ sur les
fibres de θ.
Ceci étant, pour montrer que π U ♮ , F ′ est un feuilletage riemannien
on montre dans [4] qu’il suffit de montrer que la liaison θ est une submersion
riemannienne.
Ceci dit, considérons le faisceau transverse central C(M,F ♮ ♮ ) du feuilletage
F
de Lie minimal F ♮ ♮ .
F
On sait que C(M,F ♮ ♮ ) est localement trivial et s’identifie aux germes définies
F
par l’algèbre de Lie structurale ℓ(M, F ♮ ♮ )de F ♮ ♮ .
F
F
Comme C(M,F ♮ ♮ ) est localement trivial de fibre type G et comme G ′ est une
F
sous-algèbre de Lie de G alors on peut considérer le ”sous-faisceau” CG′ (M,F ♮ ♮ )
F
de C(M,F ♮ ♮ ) de fibre type la sous-algèbre de Lie G ′ de G correspondant à π ∗ F ′ .
F
On sait que CG′ (M,F ♮ ♮ ) définit , par ses orbites dans F ♮ , le feuilletage F ′ .
F
Ainsi, sous la supposition que l’ouvert U ♮ distingué à la fois pour F ♮ ♮ et π ∗ F ′ est
F
aussi un ouvert de trivialisation local du faisceau C(M,F ♮ ♮ ), on peut affirmer
F
que les fibres de la liaison θ♮ sont les orbites d’un faisceau de germes de champs
de Killing F ♮ ♮ −transverses.
F
On montre dans [10] que le sous-faisceau CG′ (M,F ♮ ♮ ) de germes de champs
F
de Killing F ♮ ♮ −transverses se projètent par la fibration π : F ♮ → M en un sousF
faisceau CG′ (M,F ) de germes de champs de killing F −transverses. Il résullte
de ce qui précède
et
du diagramme
commutatif (∗) que les fibres de la liaison
θ entre π U ♮ , F et π U ♮ , F ′ sont les orbites d’un faisceau de germes de
champs de Killing F −transverses. Ce qui signifie que le feuilletage Fθ défini
par θ est un feuilletage riemannien. En d’autres termes θ est une submersion
riemannienne.
Il résulte de ce qui précède que F ′ est un feuilletage riemannien.
On vérifie aisement, sous la supposition que l’ouvert U ♮ distingué à la fois
pour F ♮ ♮ et π ∗ F ′ est aussi un ouvert de trivialisation local du faisceau C(M,F ♮ ♮ ),
F
F
que l’ouvert U = π U ♮ à la fois distingué pour F et F ′ est aussi un ouvert de
trivialisation local du sous-faisceau CG′ (M,F ).
Ceci dit, on suppose que l’ouvert U = π U ♮ est un ouvert de trivialisation
local du sous-faisceau CG′ (M,F ).
Soit CGU′ (M,F ) la restriction à U du sous-faisceau CG′ (M,F ), FU et FU′ les
restrictions respectives de F et F ′ à U, X (FU ) et X FU′ les A0 (U ) −modules
des champs de vecteurs tangents respectivement à FU et FU′ , Y et Z deux
champs de vecteurs FU′ -feuilletés sur U normaux à FU′ et X ′ ∈ X FU′ .
F
U
On a CGU′ (M,F ) qui est trivial de fibre type π∗ (G ′ ) et il définit FU′ transversalement à FU . En fait FU′ est défini par les orbites [1] de l’algèbre de Lie π∗ (G ′ )
de champs killings F −transverses locals. Par conséquent
X FU′ = X (FU ) ⊕ A0 (U ) ⊗π ∗ (G ′ ) .
16
Comme
X FU′ = X (FU ) ⊕ A0 (U ) ⊗π ∗ (G ′ ) ,
il existe XF ∈ X (FU ), XG′ ∈ π∗ (G ′ ) et f ∈ A0 (U ) tels que
U
X
F′
U
= XF + f XG ′ .
U
Ainsi
X
F′
U
g (Y, Z) = XF g (Y, Z) + f XG′ g (Y, Z) .
U
′
Comme FU ⊂ FU et les champs de vecteurs Y et Z normaux à FU′ alors Y
et Z sont aussi normaux à FU . Or la métrique g est F -quasifibrée donc
i
i h
h
XF g (Y, Z) = g XF , Y , Z + g Y, XF , Z .
U
U
U
i
h
Les champs de vecteurs Y et Z étant FU′ -feuilletés on a XF , Y ∈ X FU′ et
U
i
h
XF , Z ∈ X FU′ . Ceci entraine, Y et Z étant normaux à FU′ , que
U
XF g (Y, Z) = g
U
h
i
i h
XF , Y , Z + g Y, XF , Z = 0.
U
U
D’autre part XG′ est un champ de Killing transverse local pour F . D’où
XG′ g (Y, Z) = g XG′ , Y , Z + g Y, XG′ , Z .
Pour les mêmes raisons que précédemment on obtient
XG′ g (Y, Z) = g XG′ , Y , Z + g Y, XG′ , Z = 0.
Il résulte de ce qui précède que X
′
F′
U
g (Y, Z) = 0. Et, ceci signifie que la
métrique g est F −quasi-fibrée.
Les résultats de la proposition 3.3 et des théorèmes 3.7 et 4.1 permettent
d’établir aisement ce qui suit:
Corollaire 4.2 Soit F est un feuilletage riemannien minimal sur une variété
compacte connexe.
Alors F admet un drapeau complet d’extension si et seulement si F est
transversalement diagonal.
References
[1] R.Almeida et P.Molino, 1986. “Flot riemanniens sur les 4-variétés compactes” Tôhoku Mathematical Journal, The Second Series, Vol. 38, no. 2,
pp. 313-326.
[2] B.Bossoto and H.Diallo, 2002, “Sur les drapeaux de feuilletages riemanniens ”. JP Journal of Geometry and Topology, 2,3, 281-288.
17
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for foliated manifolds ”. 33 (2), 133-198.
[4] C.Dadi, 2008. “Sur les extensions des feuilletages”. Thèse unique, Université de Cocody, Abidjan.
[5] C.Dadi et H.Diallo, 2007. “Extension d’un feuilletage de Lie minimal
d’une variété compacte”. Afrika Matematika, Série 3, volume 18 pp 34-45.
[6] H.Diallo, 2002. “Caractérisation des C r −fibrés vectoriels, variétés biriemanniennes, drapeaux riemanniens”. Thèse d’Etat, Abidjan
[7] H.Diallo, 2009. “Structure d’un drapeau riemannien complet”. African
Diaspora Journal of Mathématics, Volume 7, Issue 2. pp.135-149
[8] E.Fédida, 1974. “Sur l’existence des Feuilletages de Lie”. CRAS de Paris,
278, 835-837.
[9] C.Godbillon, 1985. “Feuilletage; Etude géométriques I ”. Publ, IRMA,
Strasbourg .
[10] P.Molino, 1988. “Riemannian foliations”. Birkhäuser.
[11] P.Malliavin, 1972. “Géométrie différentielle intrinsèque”. Hermann 293,
rue Lecourbe, 75015 Paris.
[12] T.Masson, 2001. “Géométrie différentielle, groupes et algèbres de Lie,
fibrés et connexions”, laboratoire de Physique Théorique, Université Paris
XI, Bâtiment 210, 91405 Orsay Cedex France.
[13] I.M.Singer and W.Ambrose, 1953. “A theorem on Holonomy”. Transactions Amer. Math Soc., 75:428-443.
[14] R.Nasri et M.Djaa, 2006. “Sur la courbure des variétés riemanniennes produits”, Laboratoire de géométrie.Centre universitaire de Saida,
Algérie. M.S.C.2000:53C50-53C42. Sciences et Technologie A-N◦ 24, Decembre, pp.15-20.
18