Terminale S AE 13_Application des lois de Newton APPLICATION DES LOIS DE NEWTON Objectifs : - Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour étudier un mouvement. - Modéliser/retrouver l’équation horaire paramétrique et l’équation de la trajectoire du mouvement d’un solide lancé avec une vitesse initiale. Document 1 : Enoncé des lois de Newton (1 666) 1ère loi : le principe d’inertie Dans un référentiel galiléen, si le vecteur-vitesse du centre d’inertie G d’un système est un vecteur constant « ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑐𝑠𝑡 », alors les forces qui s’exercent sur le système s’annulent et réciproquement : ⃗⃗⃗⃗𝑮 = ⃗𝟎 <=> ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜟𝒗 𝑭𝒆𝒙𝒕 = ⃗𝟎 2ème loi : Principe fondamental de la dynamique PFD Dans un référentiel galiléen, la variation du vecteur-quantité de mouvement d’un système par rapport au temps est égale à la somme des forces extérieures appliquées à ce système : ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝒆𝒙𝒕 = On peut également l’écrire : ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝒆𝒙𝒕 = ⃗ 𝒅𝒑 𝒅𝒕 = ⃗⃗⃗ ) 𝒅(𝒎.𝒗 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝒗 = 𝒎. 𝒅𝒕 = 𝒎. ⃗⃗⃗⃗ 𝒂𝑮 ⃗ 𝒅𝒑 𝒅𝒕 avec la masse m du système constante. 3ème loi : principe d’action/réaction Lorsque deux corps A et B sont en interaction, A exerce sur B la force ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑨/𝑩 et B exerce sur A la force ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑩/𝑨 telles que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑨/𝑩 = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑩/𝑨 Document 2 : ⃗ Champ de pesanteur Terrestre ⃗𝒈 ⃗⃗ comme l’action gravitationnelle de la Terre En première approximation, on peut définir le poids 𝑷 ⃗ ≈ 𝐅𝐓/𝐌 = −𝐆. 𝐦.𝐌𝐓 𝟐 . 𝐮 sur un objet M de masse m, soit pour une altitude z et une latitude : 𝐏 ⃗𝛌 (𝐑 +𝐳) 𝐓 ⃗ = m. 𝐠 ⃗⃗ est alors tel que : 𝐏 ⃗ Le champ de pesanteur local 𝒈 Avec RT : rayon de la Terre : 6378 km à l’équateur z : altitude de l’objet M de masse m : latitude de l’objet M de masse m. MT : la masse de la Terre: 5,97.1024 kg. G : constante universelle de gravitation:6,67.10-11 kg-1.m3.s-2 ⃗ 𝛌 : 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 𝐮 Document 3 : Matériel à disposition - Logiciel et notice d’utilisation LatisPro® ; - Video « TP1Schuteparabolique.avi » disponible dans les fichiers LatisPro®. M.Meyniel 1/6 Terminale S AE 13_Application des lois de Newton Travail à faire : 1. Questions préliminaires : A l’aide des données du document 2 : ⃗⃗ 𝟎 au niveau du sol. Préciser ses a) Donner l’expression vectorielle du champ de pesanteur 𝒈 caractéristiques : direction, sens et intensité. Ce champ est aussi appelé « accélération de pesanteur ». b) uniforme ? En-dessous de quelle altitude ce champ de gravitation peut-il être considéré comme Information : On considèrera le critère suivant : le champ est considéré comme uniforme si sa norme ne varie pas de plus de 1 %. 2) a) Proposer un protocole expérimental utilisant les logiciels mis à disposition pour obtenir les x équations horaires numériques des coordonnées : - (y) du vecteur-position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OG ; du centre G de vx - (v ) du vecteur-vitesse v ; cette balle. y ax - (a ) du vecteur-accélération a⃗ . y Faire vérifier votre protocole par le professeur. b) Réaliser ce protocole sur la vidéo citée dans le document 3, en utilisant le logiciel LatisPro® ainsi que la notice d’utilisation associée. Sur votre feuille, représenter l’allure des graphiques obtenus ainsi que les expressions des fonctions modélisées. Faire vérifier vos résultats par le professeur. c) A l’aide l’ensemble de vos résultats, déterminer : - les coordonnées du vecteur-vitesse initial ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟎 de la balle ainsi que sa norme ; - l’angle α formé par le vecteur-vitesse initial et l'horizontale ; ⃗⃗ . - la valeur moyenne du champ de pesanteur terrestre 𝒈 Faire vérifier vos résultats par le professeur. d) A partir d’un bilan des forces et de la deuxième loi de Newton appliquée sur le système balle, vérifier les relations modélisées. Faire vérifier vos résultats par le professeur. M.Meyniel 2/6 Terminale S AE 13_Application des lois de Newton CORRECTION D’après l’énoncé : 1) a) Or : ⃗ ≈ 𝐅𝐓/𝐌 = −𝐆. 𝐦.𝐌𝐓 𝟐 . 𝐮 𝐏 ⃗𝛌 (𝐑 𝐓 +𝐳) 𝐦.𝐌𝐓 ⃗ = 𝐦. 𝐠 ⃗ 𝐏 => ⃗ = −𝐆. (𝐑 𝐠 ⃗ = −𝐆. (𝐑 𝐦. 𝐠 𝐌𝐓 𝟐 𝐓 +𝐳) .𝐮 ⃗𝛌 .𝐮 ⃗𝛌 𝐌 ⃗⃗⃗⃗ 𝐠 𝟎 = −𝐆. (𝐑 𝐓)𝟐 . 𝐮 ⃗𝛌 En se plaçant au niveau du sol : « z = 0 ». L’expression devient : Le champ de pesanteur ⃗⃗⃗⃗ 𝐠 𝟎 a donc : 𝟐 𝐓 +𝐳) 𝐓 - pour direction ⃗⃗⃗⃗ 𝐮𝛌 soit vertical au sol (d’après le schéma) ; - un sens opposé à celui de ⃗⃗⃗⃗ 𝐮𝛌 donc vers le centre de la Terre ; 24 5,97.10 -1 - une intensité : 𝐠 𝟎 = 𝐆. (𝐑𝐌𝐓)𝟐 = 6,67.1011 × (6378.10 3 )2 = 9,79 N.kg 𝐓 b) Le champ est considéré comme uniforme si son intensité ne varie pas de plus de 1 %. 99 Il faut donc calculer l’altitude « z » pour laquelle on a : « g(z) = 100 × g0 » 99 g(z) = 100 × g0 g(z) = G. (R MT T +z)2 => 0,99 × g 0 = G. (R MT T +z)2 M => (RT + z)² = G. 0,99 ×T g 0 M => z = √G. 0,99 ×T g - RT => 5,97.10 z = √6,67.10−11 . 0,99 - 6 378.103 = 32.103 m ×9,79 0 24 On peut donc estimer que le champ de pesanteur est uniforme jusqu’à une altitude de 32 km ! 2) Protocole expérimental : Ouvrir la vidéo avec le logiciel LatisPro®. Après avoir choisi l’origine et étalonner l’image, réaliser le pointage de la balle. Basculer sur la fenêtre avec les courbes et placer les points obtenus pour « x » et pour « y » afin de visualiser respectivement les courbes « x = f(t) » et « y = f(t) ». Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations. Pour obtenir l’expression des coordonnées « vx » et pour « vy » du vecteur-vitesse : Cliquer sur Traitements → Calculs spécifiques → Dérivée puis glisser la fonction à dériver : « x = f(t) » pour obtenir « vx = f(t) » et « y = f(t) » pour obtenir « vy = f(t) ». Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations. Refaire le même travail pour obtenir l’expression des coordonnées « ax » et pour « ay » du vecteur-accélération : Cliquer sur Traitements → Calculs spécifiques → Dérivée puis glisser la fonction à dériver : « x = f(t) » pour obtenir « vx = f(t) » et « y = f(t) » pour obtenir « vy = f(t) ». Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations. M.Meyniel 3/6 Terminale S AE 13_Application des lois de Newton Pointage de la balle sur la vidéo : b) * Equation horaire des coordonnées du vecteur-position : On modélise la courbe « x = f(t) » par une fonction linéaire : x = 1,747 × t On modélise la courbe « y = f(t) » par une fonction linéaire : y = - 4,921 × t² + 4,434 × t +17,5.10-3 * Equation horaire des coordonnées du vecteur-vitesse : On modélise la courbe « vx = f(t) » par une fonction linéaire : vx = 1,747 On modélise la courbe « vy = f(t) » par une fonction linéaire : vy = - 9,972 × t + 4,526 M.Meyniel 4/6 Terminale S AE 13_Application des lois de Newton * Equation horaire des coordonnées du vecteur-vitesse : On modélise la courbe « ax = f(t) » par une fonction linéaire : ax ≈ 0 On modélise la courbe « ay = f(t) » par une fonction linéaire : ay = - 10,018 y c) vy0 ⃗⃗⃗⃗ 𝑽𝟎 α x vx0 V02 = vx02 + vy02 * D’après le schéma, on en déduit en utilisant le théorème de Pythagore : 𝑽𝟎 = √𝒗𝒙𝟎 ² + 𝒗𝒚𝟎 ² = √1,747² + 4,526² = 4,851 m.s-1 Rq : Pour les valeurs de « vx0 » et « vy0 », on reprend les équations horaires de « vx » et « vy » en prenant « t = 0 ». * D’après le schéma, on en déduit en utilisant la trigonométrie : tan(α) = vy0 / vx0 = 4,526 / 1,747 = 2,591 Rq : tan(α) = vy0 / vx0 => α = arctan(2,591) = 68,89 ° Attention à avoir la calculatrice en « mode degré ». * Le champ de pesanteur « g » est une accélération. Ici, comme il s’agit d’une chute libre, le champ de pesanteur est égal à l’accélération (Cf question d.) : a=g 𝒈 = 𝒂 = √𝒂𝒙 ² + 𝒂𝒚 ² = √0² + (−10,018)² = 10,018 m.s-2 Rq : Pour les valeurs de « ax » et « ay », on reprend les équations horaires de « ax » et « ay ». M.Meyniel 5/6 Terminale S AE 13_Application des lois de Newton d) Système : y {balle de masse m lancé avec une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟎 faisant un angle α avec l’horizontale} g v0 Référentiel : la table, référentiel terrestre supposé galiléen. α O 𝑥 =0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑮𝟎 { 0 𝑦0 = 0 Les conditions initiales sont alors : Bilan des forces : - le poids du système : et x 𝑣𝑥0 = 𝑣0 . 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟎 { 𝑣𝑦0 = 𝑣0 . 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ⃗ = m.𝒈 ⃗⃗ 𝒑 - on suppose l’action de l’air négligeable : on néglige les forces de frottements et la poussée d’Archimède. Rq : Lorsque seul le poids agit, on parle de chute libre. R.F.D : D’après la 2nde loi de Newton, on a : ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. ⃗⃗⃗⃗ 𝒂𝑮 ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑝 = 𝑚. 𝑔 Rq : 𝑎𝐺 { ⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 =0 = −𝑔 * L’accélération est constante, le mouvement est uniformément accéléré selon z. Cas de la vitesse : 𝑎𝑥 = 𝑎𝐺 { ⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑦 = 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 Avec les conditions initiales : =0 = −𝑔 𝑑𝑥 = 𝐶𝑥 𝑑𝑡 𝑣(𝑡) { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑦 𝑣𝑦 = = −𝑔. 𝑡 + 𝐶𝑧 𝑑𝑡 𝑣 = 𝐶𝑥 = 𝑣0 . cos(𝛼) 𝑣(𝑡=0) = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 { 0𝑥 𝑣0𝑧 = −𝑔 × 0 + 𝐶𝑧 = 𝑣0 . sin(𝛼) 𝒗𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎 . 𝐜𝐨𝐬(𝜶) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗(𝒕) { 𝒗𝒛(𝒕) = −𝒈. 𝒕 + 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧(𝜶) * vx est constante car cette composante de la vitesse est orthogonale à la somme des forces. Cas de la position : 𝑣𝐺 = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑂𝐺 𝑑𝑡 Avec les conditions initiales : => par intégration : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐺(𝑡) { 𝑥(𝑡) = 𝑣0 . cos(𝛼) . 𝑡 + 𝐶𝑥′ 𝑡² 𝑦(𝑡) = −𝑔. + 𝑣0 . sin(𝛼) . 𝑡 + 𝐶𝑧′ 2 𝑥 = 𝐶𝑥′ = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐺(𝑡=0) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐺0 { 0 𝑦0 = 𝐶𝑧′ = 0 D’où les équations horaires du mouvement : Rq : 𝑣𝑥 = => par intégration : D’où les équations horaires du vecteur-vitesse : Rq : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝒂𝑮 = 𝒈 * Ce P.F.D applicable car référentiel terrestre est galiléen puisque le temps de l’expérience est court. Projection : Rq : => 𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎 . 𝐜𝐨𝐬(𝜶) . 𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑮(𝒕) { 𝒚(𝒕) = −½. 𝒈. 𝒕² + 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧(𝜶) . 𝒕 * La position, comme la vitesse et l’accélération sont indépendantes de la masse. CONCLUSION : On retrouve bien M.Meyniel - une accélération nulle selon « x » : ax = 0 ; - une accélération constante et négative selon « y » : ay = - g ≈ -10 ; - une vitesse constante selon « x » : vx = V0.cos(𝛼) = 1,747 (m/s) ; - une vitesse décroissante selon « y » : vy = - g × t + V0.cos(𝛼) = - 9,972 × t + 4,526 ; - une position selon « x » : x = V0.cos(𝛼) × t = 1,747 × t ; - une position selon « y » qui suit une parabole (polynôme du second degré). 6/6