le cours de mecanique des mileux continus de 2eme annee a l

Chapitre I
Description des milieux continus
Ce chapitre est consacré à la description des milieux continus. On
introduira les notions fondamentales de description du mouvement au sens
de Lagrange et d’Euler, de trajectoires et de lignes de courant ainsi que de
dérivée particulaire.
OBJET

SOMMAIRE
1. Préambule..................................................................................................................... 1
2. Définitions et grandeurs caractéristiques d’un milieu continu ............................ 2
2.1 Définition d’un milieu matériel continu.................................................................. 2
2.2 Grandeurs physiques de la description macroscopique ......................................... 3
2.3 Définition de la masse volumique........................................................................... 3
3. Descriptions du mouvement d’un milieu continu ................................................... 4
3.1 Exemple .................................................................................................................. 4
3.2 Description de Lagrange ......................................................................................... 5
3.3 Description d’Euler ................................................................................................ 5
3.4 Comparaison des deux descriptions ....................................................................... 5
3.5 Lignes de courant.................................................................................................... 6
3.6 Trajectoires............................................................................................................. 7
3.7 Comparaison des lignes de courant et des trajectoires............................................ 8
3.8 Mouvement stationnaire......................................................................................... 8
4. Dérivée particulaire................................................................................................... 10
4.1 Définition.............................................................................................................. 10
4.2 Dérivée particulaire d’une fonction scalaire.......................................................... 10
4.3 Dérivée particulaire d’une fonction vectorielle..................................................... 12
4.4 Dérivée particulaire d’une intégrale définie par une densité volumique................ 13
4.5 Dérivée particulaire d’une intégrale définie par une densité massique.................. 19

1
-
1. Préambule
La mécanique des milieux continus est l’étude du comportement des milieux déformables,
i.e. solides ou fluides (liquides ou gaz) soumis à des sollicitations extérieures. À titre
d’exemple, on peut voir sur la figure ci-après que l’étude des déformations que subit un
véhicule (solide déformable) soumis à des sollicitations intenses (chocs) est primordiale
pour la sécurité des passagers et conducteur ! !
(a)
(b)
Fig. 1 – Crash test d’une voiture (a :choc frontal ; b :choc latéral)
(http://www.fia.com/tourisme/crash2/gdftrov.jpg)

2
-
2. Définitions et grandeurs caractéristiques d’un milieu continu
2.1 Définition d’un milieu matériel continu
On suppose que l’espace physique dans lequel nous vivons est mathématiquement
représentable par l’espace Euclidien
Ε .
Soit
Ω un domaine volumique appartenant à Ε et contenant un milieu matériel. Ce milieu est
supposé continu si le nombre de particules qui constituent un volume élémentaire dV est
suffisamment grand à l’échelle macroscopique.
Pour simplifier, schématisons le milieu matériel par une pastèque, les particules par les
pépins de la pastèque et un volume élémentaire par une tranche de la pastèque (fig.2). Nous
nous placerons donc à une échelle (macroscopique) telle que la tranche contienne un nombre
statistiquement significatif de pépins.
Milieu matériel (Ω)
Élement de volume (dV)
Fig. 2 – Schématisation du milieu continu

3
-
Concrètement, un « point » pour l’observateur macroscopique est en fait un volume
élémentaire de l’ordre du dixième de millimètre cube, qui contient un grand nombre de
molécules(1). À cette échelle, on pourra supposer la matière continue et les grandeurs
physiques introduites seront continûment différentiables (continues et à dérivées continues).
2.2 Grandeurs physiques de la description macroscopique
Les principales variables physiques intervenant pour décrire un milieu continu sont :
− La masse volumique ρ,
− Le vecteur vitesse r
v,
− La pression p,
− La température T,
− La concentration C,…
2.3 Définition de la masse volumique
Soit dm la masse de matière contenue dans l’élément de volume dV qui entoure le point M,
on définit alors la masse volumique ρ comme le rapport :
ρ=dm
dV (1)
La masse totale m du milieu occupant un domaine Ω a donc pour expression :
mdV=∫ρ
Ω
(2)
(1) On rappelle qu’une mole d’air (22,4 litres) contient
60210
23
.
molécules