Induction électromagnétique et relativité

Induction électromagnétique et relativité
J. Parizet, 14920 Mathieu
1er mars 2011
La compréhension de l'induction électromagnétique se fait aisément dans le cadre relativiste puisque
celui ci est basé sur la conservation des équations de Maxwell lors du passage d'un observateur galiléen
un autre, en sus de la constance de la vitesse de la lumière dans le vide.
On se propose de considérer le cas élémentaire de l'induction électrique créée par un conducteur coupant
un ux magnétique, après avoir précisé les notations utilisées, ce qui permet de retrouver la force de
Lorentz. L'intervention des espaces propre "du laboratoire" et de celui de la charge éclaire la question,
de même que pour une approche de l'électrodynamique.
Électromagnétisme et relativité
Espace de Minkowski
Pour dénir un champ électromagnétique dans l'espace euclidien orienté de dimension trois, on considère un repère orthonormé direct (Ot ,⃗i, ⃗j, ⃗k) précisant par leurs coordonnées les vecteurs champ électrique
et magnétique, l'origine Ot du repère exprimant que le champ est donné à l'instant t. En ajoutant le paramètre temps aux coordonnées spatiales, il est commode de les considérer comme coordonnées dans un
repère R(Oo , τ,⃗i, ⃗j, ⃗k) de l'espace universel de notre espace euclidien, l'espace-temps : Ot est le point
Oo + tτ , τ vecteur unitaire de genre temps, ⃗i et les autres unitaires de genre espace.
Ainsi, dans l'espace-temps E , ce point Ot est l'observateur O à l'instant t de son temps propre (paramètre
précisant le point sur sa droite d'univers D(O) dirigée par τ , d'espace propre E(Ot ) en Ot l' hyperplan
−
→
ane issu de Ot , de direction E τ et de base Bs (⃗i, ⃗j, ⃗k), dont la somme directe avec Rτ est E .
→
−
Un point M de l'espace-temps Rτ ⊕ E τ (ou événement) est précisé par ses coordonnées dans la base
B(τ, Bs ). Un changement linéaire de variables (les coordonnées de M) laissant invariantes les équations
de Maxwell vériées par un champ électromagnétique donné s'interprète par dualité comme un changement de base dans l'espace-temps (changement linéaire car les équations de Maxwell sont invariantes par
translation).
Voyons à quelles conditions le passage de B à B′ laisse invariantes les équations de Maxwell.
Si B′ se déduit de B par le changement de deux vecteurs de Bs , seule une rotation du repère (orthonormé direct) d'axe dirigé par le troisième vecteur conserve les équations de Maxwell du champ et les
vecteurs champ électrique et champ magnétique sont invariants. Et plus généralement un changement de
base conservant les équations revient à une rotation dans Eτ .
b. Si on passe de R(Oo , τ,⃗
i, ⃗j, ⃗k ) à R′ (O0 , τ ′ ,⃗i′ , ⃗j, ⃗k ) selon
a.
τ ′ = λτ + α⃗i , ⃗i′ = µτ + β⃗i
qui correspond au changement de variables
t = λt′ + µx′ , x = αt′ + βx′ , y = y ′ , z = z ′
et la conservation des équations de Maxwell implique
λ = β , α = c2 µ et λβ − µα = 1
Gardons pour paramètres λ et α, qui vérient λ2 − α2 /c2 = 1. Le champ s'exprime dans R et R′ par les
→ →
−
−
−
→ −
→
vecteurs E , B et E ′ , B ′ de composantes dans Bs et Bs telles que
Notons :
E′x′ = Ex , E′y′ = λEy − αBz , E′z′ = λEz + αBy
α
α
B′x′ = Bx , B′y′ = λBy + 2 Ez , B′z′ = λBz − 2 Ey
c
c
c2 t − x2 = c2 t′2 − x′2
Que ce soit dans le cas précédent (a) ou dans ce dernier la forme quadratique Q(t, x, y, z) de Minkowski
1
est invariante.
Plus généralement soit à coté de R, un repère R′ (O0 , τ ′ ,⃗i′ , ⃗j ′ , ⃗k′ ) tel que le changement de variables
correspondant au changement de repère conserve les équations de Maxwell. il résulte des équations de
Maxwell que les d'alembertiens des champs électrique et magnétique (d'un champ électromagnétique pur)
sont nuls ; en précisant le changement de variable de sorte que les champs transformés aient un d'alembertien nul, on vérie que la forme de Minkowski est transformée en une forme proportionnelle. An que
l'opposée de la restriction de la forme donne la métrique sur Eτ et sur E′τ , on considère uniquement des
changements de variables conservant Q.
c.
Conséquences pour la géométrie de E
Les endomorphismes conservant Q forment le groupe de Lorentz L. Les bases précédentes telle
B(τ,⃗i, ⃗j, ⃗k) vérient, en notant Φ la forme bilinéaire symétrique associée à Q
Q(τ ) = c2 , Q(⃗i) = 0, Φ(τ,⃗i) = 0, Φ(⃗i, ⃗j) = 0 et de même pour ⃗j, ⃗k
.
Selon la valeur qu'ils donnent à Q, on distingue dans E les vecteurs de genre temps (valeurs positives), les
vecteurs isotopes (valeurs nulles) et les vecteurs de genre espace (valeurs négatives). On dit que la base
B est Q-orthonormée, comme le repère dont elle est base.
Eτ est Φ-orthogonal à τ et la restriction de −Q à Eτ est sa métrique. τ est unitaire de genre temps, Et
est de genre espace.
Soient deux vecteurs τ et τ ′ unitaires de genre temps et non colinéaires : il existe deux bases Qorthonormées dont ils sont les premiers vecteurs. Car Eτ coupe le plan [τ, τ ′ ] selon une droite dirigée
par ⃗i unitaire tel que ⃗i = a(τ ′ − γτ ) avec (γ 2 − 1)a2 c2 = 1.
Ainsi τ ′ = γτ + α⃗i où α = 1/a et γ 2 (1 − α2 /c2 ) = 1 ; en particulier |α| < c. Il en résulte :
1. la relation entre les vecteurs de genre temps "τ ∼
= τ ′ si Φ(τ, τ ′ ) > 0" est d'équivalence. Vérions sa
′
′
′′
transitivité : si τ ∼
= τ et τ ∼
= τ , puisqu'il existe deux vecteurs unitaires de Eτ ′ tels que
τ = γτ ′ + α⃗i1 , τ ′′ = γ ′ τ ′ + α′⃗i2 alors Φ(τ, τ ′′ ) = c2 γγ ′ − αα′⃗ii · ⃗i2
et, compte tenu de l'identité de Schwartz et de |αα′ | < c2 , Φ(τ, τ ′′ ) > 0.
Deux vecteurs de genre temps ont même orientation s'ils appartiennent à la même classe d'équivalence ;
orienté le temps c'est choisir l'une de ces deux classes, par exemple celle contenant le vecteur unitaire de
genre temps de la base du repère considéré initialement : les vecteurs de cette lasse sont orientés vers le
futur (comme celui choisi), ceux de l'autre classe orientés vers le passé.
2. E étant orienté "temporellement", considérons deux hyperplans distincts de genre espace : il existe
deux vecteurs unitaires τ et τ ′ de genre temps, unique en les supposant orientés vers le futur, tels que
chaque droite qu'ils dirigent (et orientent) soit Φ-orthogonales à chacun des hyperplans que l'on peut
noter Eτ et Eτ ′ . L'intersection de ces hyperplans est un plan, de genre espace, que l'on munit d'une base
−
→
orthonormé (⃗j, ⃗k). Ainsi qu'on l'a vu plus haut, il existe deux vecteurs unitaires ⃗i et i′ de Eτ et Eτ ′ tels
que
(
)
−
→
τ ′ = γτ + α⃗i, τ = γτ ′ + α′ i′ avec Φ(τ, τ ′ ) = γc2 , γ 2 (1 − (α/c)2 = γ 2 1 − (α′ /c)2 = 1.
−
→
A priori |α| = |α′ || =
̸ 0. En éliminant τ ′ d'entre ces relations : α′ i′ = −α(γ⃗i + α/c2 τ =. an d'être
dans la situation de b. où le champ électromagnétique s'exprime dans chacune des bases, nécessitant des
→
−
bases orthonormées directes de Eτ et Eτ ′ , pour que les orientations des bases (⃗i, ⃗j, ⃗k) et ( i′ , ⃗j, ⃗k) soient
→
−
cohérentes , il faut prendre i′ tel que α′ = −α. On dira alors que Eτ et Eτ ′ ont même orientation, et
globalement l'orientation des sous espaces spatiaux est précisée, l'orientation des droites d'univers l'étant,
par celle du sous espace correspondant au repère initial.
Le sous ensemble de L conservant orientations temporelle et spatiale en est un sous groupe, le groupe
spécial de Lorentz L+ . On vérie qu'un élément de L est élément du groupe spécial de Lorentz si la
matrice (aµλ ), d'ordre quatre, de changement de base a son élément a11 positif (il est supérieur à 1) et si
son déterminant est positif.
Cinématique relativiste
Les droites d'univers sont supposées orientées (vers le futur) et leurs hyperplans euclidiens Φ-orthogonaux
de même orientation.
Interprétons cinématiquement la position relative de deux observateurs O, O′ de droites d'univers respectives D, D′ orientées par τ, τ ′ . Supposons ces droites concourantes en Oo et synchronisons les horloges
en prenant les instants en ce point comme origine des temps propres. Si elles ne sont pas concourantes ni
2
−→
parallèles, on vérie qu'il existe de manière unique deux points A et A′ de l'une et l'autre tels que AA′
soit Φ-orthogonal à τ et τ ′ et on synchronise les horloges en prenant ces points pour origines des temps
propres.
Supposons aussi Eτ et Eτ ′ rapportées à des bases orthonormées dont les deux derniers vecteurs soient
communs (⃗j, ⃗k), les premiers vériant comme plus haut
α
α
τ ′ = γτ + α⃗i , ⃗i ′ = 2 τ + γ⃗i ou encore τ = γτ ′ − α⃗i ′ , ⃗i = − 2 τ + γ⃗i ′
c
c
Mouvements relatifs de O et O′
Supposons O et O′ aux instants t et t′ de leurs temps propres. Á priori
−−−→
Ot O′t′ = t′ τ ′ − tτ = (γt′ − t)τ + αt′⃗i ou (t′ − γt)τ ′ + αt⃗i ′
−−−→
−−−→
• Supposons O′t′ dans l'espace propre de Ot : γt′ = t et Ot O′t′ = αt′⃗i, ou encore Ot O′t′ = (α/γ)t⃗i. En
−−−→
posant v = α/γ , Ot O′t′ = vt⃗i donc v⃗i est la vitesse (constante) de O′ par rapport à O.
−−−→
• De manière analogue, le mouvement de O par rapport à O′ est donné en considérant O′t′ Ot : γt = t′ et
−−−→
alors O′t′ Ot = −vt′⃗i ′ donc − v⃗i i est la vitesse (constante) de O′ par rapport à O.
Notons que ⃗i ̸= ⃗i ′ : les vitesses précédentes ne sont pas opposées. Les observateurs de lignes d'univers
rectilignes sont en mouvement uniformes les uns par rapport aux autres, éventuellement au repos si leurs
droites d'univers sont parallèles et leurs vitesses relatives sont en module inférieurs à c. On dit traditionnellement que ces observateurs sont galiléens. Pour un tel observateur le vecteur τ unitaire orientant sa
droite d'univers est sa quadrivitesse.
Un vecteur isotrope ν s'exprimant dans toute somme directe Rτ ⊕ Eτ , correspondante à O, selon ν =
ω(τ + c⃗u) ( ⃗u de genre espace unitaire), il dirige une droite isotrope d'un photon se propageant dans
l'espace propre de O dans la direction de ⃗u, avec la pulsation ω .
Oγ t′
s
O′t′
s
O t′ s
γ
′ −v⃗i τ′ τ 6
s
O′t′2
v⃗i τ′
τ 6
Ot s
⃗i ′
*
s
O′t/γ
s
O′t′1
⃗i
Oo Mouvements relatifs de O et O'
Oo
Télémétrie laser
Télémétrie laser
−−−→
Avec les notations précédentes supposons que le vecteur Ot O′t′ soit isotrope. Alors
c2 (t − γt′ )2 − v 2 t′2 = 0
équation donnant deux valeurs de t pour t ; t′1 = ct/(γc + v) , t′2 = ct/(γc − v). Interprétons ce résultat
en supposant v positif.
′
Si O′t′1 envoie un faisceau lumineux vers O, celui-ci le rencontre en Ot , se rééchit et rencontre O′t′2 ; l'écart
2vt
2vct
=
.
∆′ = t′2 − t′2 entre ces deux temps propres de O′ est ∆′ = 2 2
2
γ c −v
c
−
−
−
−
→
Or O′t/γ est dans l'espace propre de Ot et Ot O′t/γ = vt⃗i : la distance d dans l'espace propre de Ot de ce
point à O'′t′ /γ est d = c∆′ /2 mesurée à l'aide de la diérences de temps propres de O′ entre l'émission du
faisceau en O′t′1 et sa réception en O′t′2 .
Il est curieux de retrouver le résultat en cinématique galiléenne : la distance OO′ mesurée par émission
de lumière à partir de O′ est d = c∆/2 où ∆ est la durée de l'aller-retour du faisceau.
3
Expression du champ électromagnétique pour un autre observateur
−
→−
→
−
→ −
→
( E , B ) étant le champ électromagnétique pour O de quadrivitesse τ , son expression ( E ′ , B ′ ) pour
′
O de quadrivitesse τ ′ = γ(τ + v⃗i) ,avec les notations précédentes et les résultats de l'étude initiale, est
E′x′ = Ex , E′y′ = γEy − γvBz , E′z′ = γEz + γvBy
v
v
B′x′ = Bx , B′y′ = γBy + γ 2 Ez , B′z′ = γBz − γ 2 Ey
c
c
→
−
→
−
ou vectoriellement en remarquant que les produits vectoriels dans Eτ ⃗v ∧ B et ⃗v ∧ E donnent des vecteurs
de Eτ ′
(
(
−
→) −
→
−
→′
→)
⃗v −
E = Ex⃗i ′ + γ Ey⃗j + Ez⃗k + ⃗v ∧ B , B ′ = Bx⃗i ′ + γ By⃗j + Bz⃗k − 2 ∧ E .
c
On distingue pour ces champs de de vecteurs leurs composantes parallèles à la vitesse de celles qui lui
sont orthogonales. Ainsi
−
→ −
→
→
−
→ −
−
→
−
→
−
→
→
−
E = E ∥ + E ⊥ , B = E ′∥ + E ′⊥ avec E ∥ = Ex⃗i , E ′∥ = Ex⃗i ′ .
Notons que les composantes parallèles à la vitesse ne sont pas égales car ⃗i ′ est diérent de ⃗i. Il en est de
−
→
−
→
même des champs magnétiques : B ′∥ ̸= B ∥ .
On peut exprimer les vecteurs champs dans l'espace propre (de O′ a partir
de ceux dans l'espace propre
v )
′
⃗
⃗
de O dans la somme directe Rτ ⊕ Eτ compte tenu de i = γ i + 2 τ . Il vient
c
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→′
−
→
−
→′
⃗v · E
⃗v · B
E = γ 2 τ + γ E + γ ⃗v ∧ B , B = γ 2 τ + γ B
c
−
→
−
→
−
→c
−
→
−
→ −
→′
−
→
−
→′
⃗v · E
⃗v · B
⃗v ∧ E
E = γ 2 τ + γ E + γ ⃗v ∧ B , B = γ 2 τ + γ B − γ
c
c
c2
−
→−̇
→ −
→2
−
→
On vérie que E B et E − c2 B 2 sont les mêmes dans tout repère galiléens (invariants du champ).
−
→
→
−
→
−
Si le champ E est nul pour O, il existe pour O′ le champ électrique E ′ = γ ⃗v ∧ B . C'est ce qui se présente
dans le cas simple que l'on considère maintenant.
Exemple d'induction électrique
Dans le cours 1 de Georges Bruhat gure l'exemple de "la force électromotrice d'induction élémentaire
crée par un conducteur mobile". Il s'agit, en résumant son propos, du phénomène créé dans un circuit qui
se déplace, en totalité ou en partie, dans un champ magnétique constant ; la variation dΦ du ux d'induction est égale au ux qu'il coupe dans son déplacement et la f.é.m d'induction totale e = −dΦ/dt est la
−→
somme des f.é.m.d'induction élémentaires. Le ux dφ coupé par l'élément AB est positif si le déplacement
s'eectue vers la gauche pour un observateur placé sur l'élément dans le sens positif et regardant dans
la direction du champ magnétique. La f.é.m.d'induction est alors négative, c'est-à-dire dirigée de B vers A.
−
→
H6
B
de
(C )
A
B′
de = −
-
déplacement
de : élément de f.é.m.induite
dφ :
A′
dφ
dt
élément de ux coupé
Dans le cadre relativiste
On suppose que la tige AB, de milieu O′ et de longueur l, ait un mouvement rectiligne uniforme par
rapport au circuit dans une direction qui lui est perpendiculaire ; supposons aussi l'instant initial tel que
O′ soit en Oo situation alors du point O du plan du circuit. O et O′ sont des observateurs galiléens, de
quadrivitesses respectives τ et τ ′ ; soient v⃗i et −v⃗i ′ la vitesse de O′ par rapport à O et celle de O par
rapport à O′ : les vecteurs unitaires ⃗i et ⃗i ′ sont ceux dont il a été question plus haut (dans le plan [τ, τ ′ ]
et l'un dans Eτ , l'autre dans Eτ ′ )].
−→
En posant AB = l⃗j où ⃗j est un vecteur unitaire normal du plan Eτ ∩ Eτ ′ , le vecteur ⃗k = ⃗i ∧ ⃗j complète
(⃗i, ⃗j ) et (⃗i ′ , ⃗j ) en des bases orthonormées directes de Eτ et Eτ ′ .
1. Physique générale Tome 1 Électricité Masson 1947, p 352
4
r
+
′
Ot (t = t/γ)
Ot′
+
→′
−
r E
(Ct )
r
r
′
Bt
′
At′
τ
′
τ6
−
→
6B
(C0 )
r
Ao
r
Bo
3
⃗j
⃗i
vt
r
Oo
Induction électrique relativiste
−
→
Dans l'espace propre de O le champ magnétique B est constant et le champ électrique est nul.
−
→
−
→
→
−
Dans l'espace propre de O′ le champ électrique E ′ n'est pas nul : E ′ = γ⃗v ∧ B . Sous l'eet de la force
→
−
−
→
dûe à E ′ de direction ⃗i ∧ B , chaque électron de la tige se déplace et tous ceux dans ce cas créent le
−
→
courant d'intensité proportionnelle à l · || E ′ ||, orienté de Bt′ vers At′ .
−
→
−
→
Le ux du champ B coupé par la tige, évalué dans l'espace propre de O, durant l'intervalle t est l·||vt⃗i∧ B ||.
−
→′
−
→
C'est aussi( le ux de )B coupé par la tige dans l'espace propre de O′t′ durant le temps t′ car B ′ =
−
→
−
→
γBx⃗i ′ + γ By⃗j + Bz⃗k et l · ||vt′⃗i ′ ∧ B || = l · ||vt′⃗i ∧ γ B || et t = γt′ .
−
→
−
→
La dérivée de ce ux par rapport à t′ est l · ||v⃗i ∧ γ B || = l · || E ′ || que l'on peut rapprocher du résultat
classique.
Électrodynamique relativiste
Considérons dans l'espace temps un point mobile M qui ne soit pas un observateur galiléen, de ligne
d'univers Γ une courbe de classe C 2 .
dM
En notant s l'abscisse curviligne sur Γ,
est la quadrivitesse de M, supposée bien sûr orientée vers le
ds
d2 M
futur, et 2
ds
sa quadriaccélération.
L'abscisse curviligne
est choisie de sorte que la quadrivitesse, comme celle τ d'un observateur galiléen
( dM )
soit unitaire : Q
= c2 . Il s'en suit que la quadriaccélération est Φ-orthogonale à la quadrivitesse,
ds
( dM d2 M )
d ( dM )
puisque Q
= 2Φ
,
= 0.
ds
ds
ds ds2
Le point M est donné par ses coordonnées, temporelle et spatiales, dans un repère R lié à un observateur
galiléen O selon Ms = Ot + ⃗x(t) où Ot = tτ ; le temps propre de O joue le rôle de paramètre. Il vient en
désignant la dérivée par rapport à par un point
dt
dM
= γ(τ + ⃗x˙ ) où γ =
.
ds
ds
˙
⃗v = ⃗x est la vitesse relative de M par rapport à O. Exprimons que la quadrivitesse est orientée vers le
futur comme τ :
( dM )
dt
, τ = γc2 > 0 donc γ =
> 0.
Φ
ds
ds )
(
dt 2
Alors, puisque la quadrivitesse est unitaire : c = γ (c − v )
(v = ||⃗v ||) et, compte tenu de
ds
( dM )
l'orientation de la ligne d'univers de M, Φ
,τ = γ > 0
ds
dt
1
=γ= √
ds
1 − v 2 /c2
permettant d'exprimer l'abscisse curviligne de Γ en terme du temps propre de O.
2
2
5
2
2
dM
= γ(τ + ⃗v ), selon
ds
(
)
2
)
d M
d(
˙ ) ou γ γ̇τ + d (γ⃗v ) .
γ(τ
+
⃗
v
)
=
γ(
γ̇τ
+
γ̇⃗
v
+
γ
⃗
v
=
γ
ds2
dt
dt
La quadriaccélération s'exprime, dans R, à partir de
Équation de la dynamique
Soit F un champ de vecteurs dans l'espace-temps, au moins continu. Ce champ correspond à un champ
de forces pouvant s'appliquer au point M, muni de la masse m, s'il vérie l'équation de la dynamique
transcrite de la loi de Newton
2
F=m
d M
ds2
Dans ce cas la force est dite de Minkowski. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il sut que F soit Φorthogonale à la quadrivitesse de M.
Exprimons cette condition dans le repère R lié à l'observateur O :
si F = f0 τ + f⃗, (f⃗ ∈ Eτ ) , alors c2 f0 − f⃗ · ⃗v = 0
f0 est une intégrale première du système donné par l'équation diérentielle. Par analogie avec la cinématique classique, elle correspond à la densité d'énergie ; le mouvement de M est connu en résolvant la
partie du système faisant intervenir f⃗.
Electrodynamique
Un champ électromagnétique dans l'espace-temps s'exprime dans tout repère, galiléen ou non, par le
vecteur champ électrique et le vecteur champ magnétique appartenant chacun d'eux à l'espace propre du
repère.
→ −
−
→
Une particule chargée est soumise à l'action du champ électrique de son espace propre. Si ( E , B ) sont
les champs dans le repère galiléen précisant le mouvement de la particule, le champ électrique s'exercant
−
→
sur la particule est E ′s = γ
→
[ ⃗v · −
E
−
→
c2
−
→
−
→]
τ + E + ⃗v ∧ B . Et la force s'exerçant sur la particule de charge q et
−
→
d2 M
soit
ds2
−
→
[ ⃗v · E
−
→
−
→]
d2 M
m 2 = qγ
τ + E + ⃗v ∧ B
2
ds
c
La force F=f0 τ + f⃗ (dans[le repère galiléen
R
où
l'on
conduit les calculs) a pour composante dans l'espace
−
→
−
→]
propre du repère f⃗ = qγ E + ⃗v ∧ B : on retrouve la force de Lorentz multipliée par le c÷cient γ dû
de masse m étant q E ′ , l'équation de son mouvement est q E ′ = m
au mouvement de la particule.
−
→ −
→
Considérons le cas particulier d'un champ constant non singulier tel que l'invariant E · B soit nul. On
−
→
−
→
peut, selon le signe de l'autre invariant E 2 − c2 B 2 non nul, considérer R où l'un ou l'autre champ est
nul.
−
→
→
[ ⃗v · −
E
−
→]
Si B est nul, F= qγ 2 τ + E . Simplions encore en se limitant au cas de la position initiale
c
−
→
de M à l'origine et au repos. Les axes de l'espace propre de O étant tels que E = E⃗i, les équations du
mouvement dans R s'écrivent avec ⃗x = x⃗i + y⃗j + z⃗k
1.
−
→
⃗v · E
d
d
d
mγ γ̇ = qγ 2 , mγ (γ ẋ) = qγE , mγ (γ ẏ) = mγ (γ ż) = 0
c
dt
dt
dt
D'après les conditions initiales les trois dernières équations donnent
mγ ẋ = qEt , y = 0 , z = 0 : le mouvement est rectiligne et ⃗x = x⃗i.
De la première des précédentes on déduit (ẋ2 = v2 ) m2 γ 2 v2 = q 2 E 2 t2 . Avec γ 2 (1 − v 2 /c2 ) = 1 et la
conséquence de la première des√quatre équations m(γ( − 1) √
= qx/c2 (au repos
) γ = 1)
γ=
1+
q 2 E2 2
t et x =
c2
mc2
qE
1+
q 2 E2 2
t −1 .
c2
√
qE /
q 2 E2
Et v = ẋ =
t
1 + 2 t2 −−−→ c.
t→∞
m
c
qE 2
Lorsque c est très grand x(t) ≃
t , alors qu'en dynamique classique la résolution de mẍ = qE donne
2m
qE 2
qE 2
pour la même condition initiale x =
t . D'ailleurs lorsque t est très grand x(t) ≃
t (dans les
2m
2m
6
deux cas t/c est très petit).
Le "diagramme horaire" montre la ligne d'univers hyperbolique dans l'espace de Minkowski et celle parabolique dans l'espace-temps classique R × E3 située au dessus de la précédente.
τ 6
O
⃗i
-
Lignes d'univers dans les espaces-temps
2.
Si
−
→
E
est
−
→
nul, F= γ(⃗v ∧ B ) : l'équation de la dynamique s'écrit dans R en séparant partie temporelle
et partie spatiale
mγ γ̇ = 0 , mγ
−
→
d
γ⃗v = qγ⃗v ∧ B .
dt
γ est constant strictement supérieur à un, sauf si M reste au repos. La vitesse est constante.
−
→
Et la partie spatiale de l'équation revient à l'équation de l'électrodynamique classique dans ce cas où E
−
→
nul et B constant : la trajectoire est une hélice circulaire, ou un cercle si la vitesse initiale est orthogonale
−
→
à B , parcourue d'un mouvement uniforme.
·−·−·−·−·
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