II. Étude de la chute de l'enfant dans l'eau
En O, origine du mouvement dans cette partie, on prendra
1. Énoncer la deuxième loi de Newton.
2. Appliquer la deuxième loi de Newton à l'enfant une fois qu'il a quitté le point O.
3. Déterminer l'expression des composantes ax(t) et ay(t) du vecteur accélération dans le
repère Oxy.
4. Déterminer l'expression des composantes vx(t) et vy(t) du vecteur vitesse dans le repère Oxy.
5. Déterminer l'expression des composantes x(t) et y(t) du vecteur position dans le repère Oxy.
6. Montrer que l'expression de la trajectoire de l'enfant notée y(x) a pour expression :
7. En déduire la valeur de l'abscisse xP du point d'impact P de l'enfant dans l'eau.
Corrigé
I. Mouvement de l'enfant entre D et O
1. L'altitude étant ici notée y, l'énergie potentielle de pesanteur est donnée par une relation de
la forme :
où E0 est une constante qui dépend de la référence choisie.
L'origine de l'axe (Oy) est choisi comme point de référence pour l'énergie potentielle de
pesanteur :
L'expression générale est donc
et, au point D,
2. L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de
pesanteur :
L'enfant part de D sans vitesse initiale, sa vitesse est alors nulle et son énergie cinétique
également.
Finalement,
3. Au point O c'est l'énergie potentielle de l'enfant qui est nulle (y = 0) ; sa vitesse vaut alors
.
On a donc
4. Puisque l'énoncé précise qu'on néglige les frottements et les actions de l'air, on applique
donc la conservation de l'énergie mécanique de l'enfant :
On en déduit
5. A.N. :
6. Cette différence traduit la dissipation d'un partie de l'énergie mécanique sous forme de
chaleur, en raison des frottements de l'enfant avec l'air et surtout avec le toboggan.
II. Étude de la chute de l'enfant dans l'eau