Dynamique et lois de conservation

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
Chapitre n° 2 : DYNAMIQUE ET LOIS DE CONSERVATION
La dynamique (classique) étudie les relations qui existent entre les causes qui ont provoqué le
mouvement (les forces) et la nature du mouvement (rectiligne uniforme, rectiligne uniformément
varié, à accélération constante …).
Dans cette leçon, nous allons montrer, d'autre part, que parmi les grandeurs physiques attachées
à un système, certaines prennent une importance particulière car elles se conservent au cours de
l'évolution du système.
I) Les principes de la mécanique :
1) Première loi de Newton : principe d'inertie :
a) Définitions :
Un système est dit isolé lorsqu'aucune force extérieure ne lui est appliquée.
Un système est dit pseudo-isolé lorsque la somme vectorielle des forces extérieures qui
→
→
ΣF = 0
lui sont appliquées est nulle :
Remarque : En toute rigueur, il n'existe pas de système isolé puisque,
en particulière, les forces de gravitation ont une portée
infinie.
Remarque : Un objet parallélépipédique immobile sur un plan incliné
est en équilibre sous l'action de deux forces : sont poids et
la réaction du plan (le contact entre l'objet et le plan a lieu
avec frottements). On peut considérer l'objet comme étant
pseudo-isolé.
Remarque : Un mobile autoporteur en fonctionnement,
immobile sur la table à coussin d'air horizontale
est en équilibre sous l'action de deux forces :
son poids et la réaction de la table (le contact, entre le mobile et la table, a
lieu sans frottement grâce au coussin d'air).
b) Expérience :
On étudie le mouvement d'un mobile autoporteur
sur la table à coussin d'air horizontale.
L'intérêt de la table à coussin d'air est que le mobile
reste pseudo-isolé même s'il est en mouvement (à
condition que la table soit horizontale).
L'expérience montre que les positions successives occupées par le point G
(projection sur le plan de la table du centre d'inertie G0), et enregistrées à
intervalles de temps réguliers, sont alignée est équidistantes :
Le mouvement du centre d'inertie G0 du mobile autoporteur sur la table à air horizontale
(solide pseudo-isolé) est rectiligne et uniforme.
c) Enoncé :
Le centre d'inertie d'un système isolé ou pseudo-isolé est animé d'un mouvement
rectiligne et uniforme ou demeure immobile, dans à un référentiel galiléen :
→
→
→
→te
Σ F = 0 ⇒ vC = c
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d) Référentiel galiléen :
En dynamique on postule l'existence de référentiels particuliers, les référentiels galiléens
(première loi de la mécanique).
Un référentiel est considéré comme galiléen si, le principe d'inertie y est vérifié.
Deux référentiels galiléens sont en mouvement de translation rectiligne et uniforme l'un
par rapport à l'autre.
Quelques référentiels galiléens utilisés en Physique :
- référentiel universel, centré sur la Galaxie et dont les axes visent trois galaxies très
éloignées. C'est le référentiel le plus galiléen. Utilisé parfois en astrophysique.
- référentiel héliocentrique, centré sur le Soleil et dont les axes visent trois étoiles très
éloignées. Il est utilisé pour l'étude du mouvement des planètes des astéroïdes ou des
sondes interplanétaires. On peut déterminer l'écart à la "galiléennité" du référentiel
héliocentrique par rapport au référentiel universel car le Soleil tourne autour du centre de
la Galaxie : vS = 500 km.s−1; RG = 50000 a-l; a = 5,3.10−10 m.s−2.
- référentiel géocentrique, dont l'origine est le centre de la Terre et dont les axes visent
trois étoiles très éloignées. Il est utilisé pour l'étude du mouvement des satellites
terrestre, station orbitale ou navettes spatiales. Il est en translation circulaire par rapport
au référentiel héliocentrique : vtranslation = 30 km.s−1; DS-T = 1,5.1011 m; a = 6,0.10−3 m.s−2.
- référentiel du laboratoire (ou référentiel terrestre) peut être considéré comme galiléen
pour des expériences de faible étendue et de courte durée. Ce référentiel est en rotation
par rapport au référentiel géocentrique : véquateur = 463 m.s−1 ; RT = 6,4.106 m ; écart à la
"galiléennité" : a = 3,3.10−2 m.s−2.
2) Deuxième loi de Newton : loi fondamentale de la dynamique :
a) Expérience :
On considère l'enregistrement du mouvement d'un mobile autoporteur relié à un point fixe
C par l'intermédiaire d'un fil tendu, et lancé sur la table à coussin d'air horizontale (T.P.).
En appliquant la technique graphique étudiée dans la leçon précédente, on construit le
→
→
→
vecteur accélération ai en un point Mi à partir des vecteurs vitesses v i −1 et v i +1 et du
→
→
→
vecteur intermédiaire ∆ v i = v i+1 -- v i−1 on obtient :
→
→
Les vecteurs accélération a3 et a7
sont dirigés vers le point fixe C.
→
On vérifie sur l'enregistrement que δv a même direction
→
et même sens que T tension du fil.
On peut donc dire que durant un bref intervalle de temps δt
→
la tension T du fil (dont la direction radiale est matérialisée
→
par le fil lui-même) modifie de δv le vecteur vitesse du
→
→
palet autoporteur, avec T parallèle à δv
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D'une façon générale, lorsqu'un mobile est soumis à une action de la part du milieu
extérieur sa vitesse varie. Une force appliquée à un solide peut modifier son mouvement
(table à air inclinée, chute libre d'une balle ...).
→
Nous allons ériger en principe cette correspondance et de plus : m. δv /δt étant homogène
à des kg.m.s−1/s = kg.m.s−2 = N nous pouvons énoncer :
b) Enoncé :
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un
solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son C.I..
→
→
→
Σ F = m. dv G = m. aG
dt
Nous admettrons que cette formulation n'est valable que si les vitesses misent en jeu (en
particulier vG) restent petites en mesure devant la vitesse de la lumière c : vG << c
3) Troisième loi de Newton : loi d'interaction :
On considère
deux solides en interaction.
→
Soit F1→2 la force qu'exerce le solide n° 1 sur le
→
solide n° 2 et F 2→1 la force qu'exerce le solide n° 2
sur le solide n° 1 :
→
→
L'expérience montre que F1→2 et F 2→1 ont même
→
→
direction et même support mais des sens opposés et sont telles que  F1→2  =  F 2→1 .
→
Lorsqu'un système (S1) exerce une force F1→2 sur un système (S2), le système (S2) exerce
→
au même instant une force F 2→1 sur le système (S1).
→
→
Ces deux forces ont même droite d'action et F1→2 = − F 2→1
Remarque : La Terre, de masse MT, exerce sur un objet de masse m, une force (le poids de
l'objet) de même intensité que celle qu'exerce l'objet sur la Terre !
Mais d'après la deuxième loi de Newton, comme MT >> m, les effets de cette
force sont très différents sur l'objet (qui tombe vers la Terre) et sur la Terre (qui
reste insensible à la présence de l'objet).
II) Travail et puissance d'une force :
1) Travail élémentaire :
On étudie un objet qui se déplace, un point M de cet objet sur lequel
→
s'exerce une force F qui n'est pas forcément la cause du déplacement.
→
Au cours du mouvement, on considère un tout petit déplacement δl du
→
point d'application M de la force F . Durant ce petit déplacement, on peut
considérer la force comme constante.
→
→
Par définition le travail élémentaire de F au cours du petit déplacement δl est :
→
→
δW = F . δl
→
→
c'est un produit scalaire, F et δl ne sont pas toujours parallèles. On peut faire apparaître
→
→
→
→
→
→
→
→
l'angle entre F et δl :δW =  F . δl .cos( F , δl ) = F.δl.cos( F , δl )
Remarque : Le travail δW est un scalaire (produit scalaire).
→
→
* Si la force est orthogonale au déplacement (cos( F , δl ) = 0) le travail est nul.
→
→
* Si l'angle entre F et δl est inférieur à π/2, δW est positif, le travail est dit moteur.
→
→
* Si l'angle entre F et δl est supérieur à π/2, δW est négatif, le travail est dit résistant.
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2) Travail d'une force lors d'un déplacement fini :
→
Le travail effectué par la force F au cours du déplacement de son point d'application, de A
en B, suivant un trajet C, est par définition égal à la somme des travaux élémentaires le long
du trajet C :
→
→
→
W (F) = Σ δW = Σ F . δl
A →B
A →B
→
A →B
Si la force F varie au cours du déplacement et si le trajet de M est quelconque, cette
somme est en général difficile à calculer. Nous allons considérer quelques cas particuliers.
a) Force localisée et constante :
→
→
→
→
→
→
Si la force F est constante on peut écrire : W (F) = Σ δW = Σ F . δl = F . Σ δl
A →B
A→B
A →B
→
→
A →B
Géométriquement, on vérifie que Σ δl = AB
→
→
A →B
→
→
→
→
→
W (F) = F . AB =  F . AB .cos( F , AB )
D'où
A →B
Le travail d'une force localisée et constante ne dépend pas du trajet du point d'application
de cette force mais uniquement des positions A et B de départ et d'arrivée.
b) Forces localisée constamment orthogonale au déplacement :
→
Si la force F varie au cours du déplacement mais reste constamment orthogonal au
→
→
déplacement, on aura :
δW = F . δl = 0 constamment
→
→
→
W (F) = Σ δW = Σ F . δl = 0
Et
A →B
A→B
A →B
Le travail d'une force localisée et constamment orthogonale au déplacement de son point
d'application d'un point A à un point B est nul.
c) Forces réparties :
→
→
→
→
→
→
Si la force F est la somme de deux forces constantes F1 et F2 , soit F = F1 + F2 on a :
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
A →B
A →B
W (F) = F . AB = ( F1 + F2 ). AB = F1 . AB + F2 . AB = W (F1 ) + W (F2 )
A →B
Remarque : Les actions qui s'exercent sur un mobile à l'échelle macroscopique sont
souvent des actions réparties et dans le cas général, cet ensemble de forces
n'est pas équivalent à une force unique. Dans certains cas l'ensemble de
forces réparties est équivalent à une force unique : poids, poussée
d'Archimède ...
3) Exemple du calcul du travail du poids :
L'action de la pesanteur sur un solide est un ensemble de forces réparties équivalent à une
→
force unique, le poids P appliqué au centre de gravité G du
solide. On a P = m.g
→
Nous verrons que dans un domaine limité de l'espace le poids P
d'un objet peut être considéré comme une force constante.
Soient A et B les positions départ et d'arrivée de G lors du
déplacement du solide. Le travail du poids est donné par :
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
W (P) = P . AB =  P . AB .cos( P , AB ) or, on sait que  AB .cos( P , AB ) = zA − zB
A →B
où zA et zB sont les altitudes des points A et B.
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→
On a donc
W (P) = -- m.g.(zB -- zA)
A →B
→
→
- Si zA > zB (descente) W (P) > 0 le travail du poids est "moteur" : W (P) = m.g.h
A →B
→
A →B
→
- Si zA < zB (montée) W (P) < 0 le travail du poids est "résistant" : W (P) = -- m.g.h
A →B
A →B
4) Puissance d'une Force :
→
On considère une force F agissant sur un objet en mouvement dans un référentiel galiléen.
→
A un instant de date t, pour un petit déplacement δl du point d'application M de la force
→
→
d'une durée δt (très petite), le travail élémentaire de la force est : δW = F . δl .
→
La puissance instantanée de la force F , à la date t, est par définition :
→
→
→
→
δW
P(t) =
= F( t ) . δl = F( t ) . v( t )
δt
δt
IV) L'énergie en mécanique classique :
1) Configurations et états d’un système :
On considère un système (S) dont on étudie l'évolution dans un référentiel (R).
La donnée des positions des différentes parties du système (S) par rapport à (R), constitue
une "photo instantanée" du système, c'est une configuration du système.
La seule donnée d'une configuration ne permet pas de prévoir l'évolution future du système.
Si en plus des positions des différentes parties du système on se donne leurs vitesses, on
définit un état du système. On distinguera donc une configuration et un état du système (S).
2) Définitions :
a) Energie potentielle :
L'énergie potentielle EP est définie pour une configuration du système étudié.
On doit choisir une configuration particulière pour définir l'origine des énergies
potentielles, pour cette configuration, on posera donc EP = 0.
L'énergie potentielle d'un système dans une configuration donnée, est égale au travail que
devrait fournir un opérateur extérieur pour faire passer le système, d'une façon quasistatique, de la configuration choisie pour définir l'origine des énergies potentielles à la
configuration donnée.
Remarque : L'énergie potentielle d'un système est la somme des différentes formes de
l'énergie potentielle qui se calculent indépendamment (gravitation, électrique,
élasticité, atomique, nucléaire …). Dans une étude, seules les formes de
l'énergie potentielle susceptibles de varier doivent être exprimées !
b) Energie Cinétique :
L'énergie cinétique EC est définie dans un référentiel donné.
En 6ème année, nous verrons que l'expression de l'énergie cinétique est une conséquence
de la loi fondamentale de la dynamique et de la définition générale de la puissance, en
mécanique classique. Cette année nous donnons la définition :
→
L'expression de l'énergie cinétique EC d'un objet de masse m, animé d'une vitesse v
dans un référentiel (R) est :
EC = 21 .m.v2
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3) Exemples de calcul de l'énergie potentielle :
a) Energie potentielle de pesanteur :
Nous voulons déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur EPg(M) d'un
objet de masse m dont le centre de gravité G est situé en un point M.
Nous devons choisir "une configuration pour définir l'origine des
énergies potentielles" : prenons, par exemple, (mais ce n'est pas
une obligation) la configuration dans laquelle l'objet a son centre
de gravité G situé en un point M0 d'altitude z = 0, donc EPg(0) = 0.
Soit z l'altitude du point M.
Pour déplacer, de façon quasi-statique, l'objet du point M0
(configuration choisie pour définir l'origine des énergies
potentielles) au point M (configuration étudiée), un opérateur devrait exercer, à chaque
→
→
→
→
→
→
→
→
M0 →M
M0 →M
instant une force Fop telle que : Fop + P = 0 ou Fop = -- P et W (Fop ) = -- W (P)
→
→
op
M0 →M
Nous savons que W (P) = -- m.g (zM -- zM0) donc W (F ) = m.g (zM -- zM0)
M0 →M
L'expression de l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet de masse m, dont le centre
de gravité G coïncide avec un point M, situé à une altitude z par rapport à un plan
horizontal pris comme référence de l'énergie potentielle, est : EPg(M) = m.g.z
Puisque zM = z et que zM0 = 0
b) Energie potentielle d'élasticité d'un ressort :
Nous voulons déterminer l'expression de l'énergie potentielle d'élasticité EPé d'un ressort
de raideur k et de longueur (à vide) l0, lorsque la variation de sa longueur est ∆l = l – l0.
∆l > 0 si le ressort est allongé, et ∆l < 0 si le ressort est comprimé.
Nous devons définir une configuration origine : prenons la configuration dans laquelle le
ressort est au repos (ni allongé, ni comprimé), donc EPé(l0) = 0.
Sur un axe Ox orienté parallèlement à l'axe du ressort, prenons comme origine de l'axe la
position de l'extrémité du ressort à vide, donc EPé(x = 0) = 0.
Désignons par x l'abscisse de l'extrémité du ressort,
donc x = ∆l avec x > 0 si le ressort est allongé et x < 0 si
le ressort est comprimé.
On peut écrire vectoriellement :
→
On sait que la force de rappel T (tension) exercée par
le ressort est proportionnelle à son allongement :
→
→
T = − k.x. i
→
Pour allonger le ressort, un opérateur doit donc exercer une force Fop opposée à la
→
→
tension du ressort :
Fop = + k.x. i
- Lorsque l'opérateur étire le ressort de x à x + δx, la force qu'il exerce voit son point
→
→
→
d'application se déplacer de δl = δx. i . Nous pouvons supposer que le déplacement δl
→
est suffisamment petit pour qu'on puisse considérer la force Fop comme constante.
→
→
→
→
→
Le travail élémentaire fourni par l'opérateur est : δW = Fop . δl = k.x. i .δx. i = k.x.δx.( i )2
→
or ( i )2 = 1 le travail élémentaire est donc : δW = k.x.δx
- Lorsque l'opérateur étire le ressort depuis sa position de repos (x = 0) à x = x0, il fournit
un travail :
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→
W (Fop ) =
x = 0 → x0
Σ
x = 0 → x0
δW =
Σ
x = 0 → x0
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k.x.δx
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Calcul de cette somme par une méthode graphique :
On trace la droite représentant la mesure de la
force exercée par l'opérateur Fop en fonction de
l'allongement x du ressort :
→
→
Fop = k.x. i ⇒ Fop = k.x
Dans ce repère, k.x.δx, est la surface du petit
rectangle ABCD de largeur δx et de hauteur k.x.
Si on confond l'aire de ce rectangle avec celle
du trapèze ABED, on commet une erreur
d'autant plus petite que la largeur AB = δx est
plus petite.
→
Le travail W (Fop ) est l'aire S formée de la
x = 0 → x0
somme de tous les petits rectangles.
Si la largeur δx des rectangles tend vers 0 (leur
nombre tend vers l'infini !), l'aire S tend vers
celle du triangle rectangle OM0M, de base
OM0 = x0 et de hauteur M0M = k.x0.
On a donc :
→
W (Fop ) =
x = 0 → x0
Σ
x = 0 → x0
δW =
Σ
x = 0 → x0
k.x.δx =
1
2
.k.x02
→
x0
C'est la définition géométrique de la notion d'intégrale : W (Fop ) = ∫ k .x.dx =
x = 0 → x0
0
1
2
.k.x02
L'expression de l'énergie potentielle d'élasticité d'un ressort de raideur k, dont la variation
de longueur est x0, lorsqu'on choisit l'allongement nul pour définir l'origine de l'énergie
potentielle, est :
EPé(x0) = 21 .k.x02
V) Loi de conservation de l'énergie :
1) Energie mécanique :
Par définition, l'énergie mécanique d'un système dans un référentiel donné est égale à la
somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles.
EM = EC + EP
2) Système conservatif :
Un système est conservatif lorsqu'il est mécaniquement isolé et n'est soumis qu'à des forces
intérieures conservatives.
Nous admettrons que seules les forces conservatives sont liées à une énergie potentielle.
Exemple : La force de gravitation, le poids, la force électrique sont des forces conservatives.
Remarque : Le frottement constitue un exemple de force non conservative.
L'énergie mécanique d'un système conservatif est constante au cours du temps.
Si l'énergie mécanique d'un système conservatif est constante, nous pouvons écrire que la
variation de cette énergie mécanique entre deux instants de date t1 et de date t2 est nulle :
∆EM = 0 = EM2 -- EM1 = EC2 + EP2 -- (EC1 + EP1) = EC2 -- EC1 + EP2 -- EP1 = ∆EC + ∆EP
Nous en déduisons :
∆EC = -- ∆EP
La variation d'énergie cinétique d'un système conservatif est égale à l'opposé de la variation
de son énergie potentielle.
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3) Système non conservatif :
La variation d'énergie mécanique d'un système non conservatif est égale au travail des
forces intérieures et extérieures non conservatives appliquées au système.
Exemple : Le frottement de l'air sur un véhicule est une force extérieure non conservative.
La force de freinage du véhicule est une force intérieure non conservative.
La variation d'énergie mécanique d'un système non conservatif étant égale au seul travail
des forces non conservatives, nous pouvons écrire qu'entre deux instants de date t1 et de
→
date t2 :
∆EM = ∆EC + ∆EP = ΣW( Fnon conservative )
Nous en déduisons :
→
∆EC = -- ∆EP + ΣW( Fnon conservative )
4) Théorème de l'énergie cinétique :
Il est parfois plus commode de s'intéresser uniquement à la variation d'énergie cinétique d'un
système.
Nous avons vu que le calcul de l'expression d'une énergie potentielle faisait intervenir le
travail "quasi-statique fictif" d'un opérateur.
→
A chaque instant la force Fop exercée par l'opérateur est l'opposée de la force conservative
→
→
→
→
Fconservative dont on calcul l'énergie potentielle puisque : Fop + Fconservative = 0
Entre deux instants de date t1 et de date t2, nous pouvons écrire :
→
→
W( Fop ) = -- W( Fconservative ) = ∆EP
→
On a donc
-- ∆EP = W( Fconservative )
Et, d'après le paragraphe précédent :
→
→
∆EC = W( Fconservative ) + ΣW( Fnon conservative )
D'où le théorème de l'énergie cinétique :
La variation d'énergie cinétique d'un système entre deux instants de dates t1 et t2, dans un
référentiel galiléen, est égale au travail de toutes les forces (conservatives ou non)
appliquées au système entre ces deux instants :
→
EC2 -- EC1 = ∆EC = W [Σ(F)]
t1 → t 2
t1 → t 2
5) Energie interne d'un système de particules :
On considère un système formé de plusieurs particules.
Comme l'énergie cinétique dépend de la vitesse, sa valeur dépend toujours du référentiel
utilisé pour l'étude du système.
On a donc intérêt à calculer l'énergie cinétique d'un système de particules, par rapport à un
référentiel lié au centre d'inertie du système.
L'énergie cinétique du système est alors appelée énergie cinétique interne EC,int.
L'énergie potentielle interne du système EP,int ne dépend que de la distance entre les
particules.
On appelle énergie interne U d'un système de particules, la somme de son énergie cinétique
interne et de son énergie potentielle interne :
U = EC,int + EP,int
Exemple : Dans le cas d'un gaz formé de molécules, U est composé de l'énergie cinétique
de translation et de rotation des molécules et de l'énergie cinétique de vibration
des atomes dans les molécules ainsi que de l'énergie potentielle d'élasticité des
liaisons inter atomiques et éventuellement des liaisons intermoléculaires.
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VI) Quantité de mouvement :
1) Expérience :
Considérons le cas de deux palets autoporteurs liés entre eux d'une façon rigide, de masses
m1 et m2, de centres d'inerties G1 et G2, lancés sur la table à air horizontale.
L'ensemble des deux palets se comportent comme un système pseudo isolé : le centre
d'inertie G du système a donc un mouvement rectiligne et uniforme.
Par définition, à chaque instant, la position du centre d'inertie G est donné par :
→
→
→
m1. GG1 + m2. GG2 = 0
Ou, en considérant un point fixe O, du laboratoire (galiléen) :
→
→
→
→
→
m1. GO + m1. OG1 + m2. GO + m2. OG2 = 0
→
→
→
Soit, à chaque instant :
m1. OG1 + m2. OG2 = (m1 + m2). OG
Au cours du mouvement les points G, G1 et G2 se déplacent, mais la relation reste vraie à
→
→
→
chaque instant. Sur une petite durée δt, les points se déplacent de δ OG1 , δ OG2 et δ OG .
→
→
→
d'où :
m1.δ OG1 + m2. δ OG2 = (m1 + m2). δ OG
Enregistrement du mouvement de G, G1 et G2 sur la table à coussin d'air horizontale:
Par unité de temps, on peut écrire :
→
→
→
m1. δOG1 + m2 δOG2 = (m1 + m2). δOG
δt
δt
δt
D'après la définition du vecteur vitesse :
→
→
→
→
→
→
v 1 = δOG1 , v 2 = δOG2 et v G = δOG
δt
δt
δt
D'après le principe d'inertie :
→
→
→
→
m1. v 1 + m2. v 2 = (m1 + m2). v G = c te
→
On voit donc que, d'après le principe d'inertie, c'est la grandeur (m1 + m2). v G qui se
→
conserve et non la vitesse v G . D'où l'intérêt de définir une nouvelle grandeur :
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2) Définition :
→
Considérons un objet ponctuel de masse m, animé d'une vitesse v , mesurée dans un
référentiel (R).
La quantité de mouvement d'une particule de masse m, animée, à un instant donné, d'une
→
→
→
vitesse v par rapport à un référentiel (R), est : p = m. v
La quantité de mouvement d'un système de particules, définie dans un référentiel (R), est
égale à la somme vectorielle des quantités de mouvement de chacune des particules dans
ce référentiel.
→
→
Exemple : On considère deux particules de masses m1 et m2, animées de vitesses v 1 et v 2
par rapport à un référentiel (R), la quantité de mouvement du système dans (R)
→
→
→
→
→
est :
p = p1 + p 2 = m1. v 1 + m2. v 2
3) Loi de conservation de la quantité de mouvement :
La loi de conservation de la quantité de mouvement est une autre expression du principe
d'inertie.
La quantité de mouvement d'un système isolé, ou pseudo isolé, reste constante au cours du
temps, dans un référentiel galiléen.
4) Energie cinétique et quantité de mouvement :
Il est possible d'exprimer l'énergie cinétique d'une particule en fonction de sa quantité de
mouvement.
→
Pour une particule de masse m, animée d'une vitesse v dans un référentiel (R), l'énergie
→
→
cinétique est EC = 21 .m.v2 et la quantité de mouvement est p = m. v
p2
Soit
EC =
2.m
VII) Introduction des relations de la mécanique relativiste :
1) Energie de masse et relation d'Einstein :
Jusqu'à présent, nous avons considéré des objets macroscopiques ou des particules qui
étaient toujours animées de vitesses petites devant la célérité c de la lumière.
Dans ces conditions, une particule isolée, de masse m, animée d’une vitesse de mesure v
dans un référentiel galiléen (R), ne possède qu’une seule forme d’énergie mécanique
susceptible de varier, son énergie cinétique EC = 21 .m.v2.
En physique atomique ou en physique nucléaire nous verrons que même une particule au
repos dans un référentiel galiléen (R) possède une forme d’énergie susceptible de varier :
son énergie de masse E0 = m.c2.
D’une façon générale, nous admettrons que lorsque l’énergie d’un système varie de ∆E, sa
masse varie proportionnellement de ∆m suivant la formule très connue d'Einstein :
∆E = ∆m.c2
C'est l'aspect énergétique de la mécanique relativiste.
Dans ces conditions, une particule animée d’une vitesse de mesure v non négligeable
devant c, dans un référentiel galiléen (R), possède une énergie totale de la forme :
2
E = m.c
2
1− v2
c
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Christian BOUVIER
Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
Son énergie de masse étant E0 = m.c2, l'expression de l'énergie cinétique de la particule
dans le référentiel galiléen (R), en mécanique relativiste, est : EC = E -- E0
2
1
-- m.c2 = m.c2.(
-- 1)
D'où
EC = m.c
2
2
v
1− 2
1− v2
c
c
4
2
1
On montre en mathématique que
≈ 1 + v 2 + 3.v 4 + …
2
2.c
8.c
1− v2
c
4
2
2
1
Donc :
EC = m.c .(
-- 1) = m.c2.( v 2 + 3.v 4 + …)
2
2.c
8.c
1− v2
c
2
Si la vitesse v est petite devant c (v << c mécanique classique), alors v 2 << 1
c
En négligeant les termes du quatrième degrés et plus, on retrouve l'expression classique :
2
EC ≈ m.c2.( v 2 ) = 21 .m.v2
2.c
--1
4
--1
Exemple : Pour la Terre qui se déplace à la vitesse v = 30 km.s = 3.10 m.s dans son
périple autour du Soleil, on a : v2/c2 = 10--8 << 1
Remarque : Un véhicule animé, d'une vitesse v = 108 km.h--1 = 304 m.s--1, de masse
m = 1000 kg et qui est brusquement arrêté, voit sont énergie cinétique varier de
EC = 21 .m.v2 = 4,5.105 J à zéro. Son énergie mécanique est transformée en
énergie de déformation et en chaleur, mais sa masse a également variée :
∆m = 5.10--12 kg parfaitement négligeable !
Les effets relativistes de l'énergie ne se manifestent que dans les phénomènes nucléaires.
2) Quantité de mouvement en mécanique relativiste :
En mécanique→ relativiste, la quantité de mouvement d'une particule de masse m animée
d'une vitesse v dans un référentiel galiléen (R) est donnée par :
→
→
m
v et une mesure p = m.v
p =
2
2
1− v2
1− v2
c
c
3) Relation entre énergie et quantité de mouvement :
→
2 2
p2 = m .v2
1− v2
c
d'où l'on tire :
v2 =
d'où l'on tire :
1− v2
c
2
v , on obtient :
p 2 .c 2
[1]
m .c 2 + p2
2
En prenant le carré des deux membres de l'égalité E =
2 4
E2 = m .c2
1− v2
c
→
m
En prenant le carré des deux membres de l'égalité p =
m.c 2 , on obtient :
2
1− v2
c
2 2
2 6
v2 = E .c −2m .c [2]
E
On élimine v entre les égalités [1] et [2] :
p 2 .c 2
E2 .c 2 − m2 .c 6
=
m2 .c 2 + p2
E2
D'où
E2 = m2.c4 + p2.c2
Ou
E=
m2 .c 4 + p2 .c 2
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Dynamique et lois de conservation
A RETENIR
I) Les principes de la mécanique :
1) Première loi de Newton : principe d'inertie :
Définitions :
Un système est dit isolé lorsqu'aucune force extérieure ne lui est appliquée.
Un système est dit pseudo-isolé lorsque la somme vectorielle des forces extérieures qui
→
→
ΣF = 0
lui sont appliquées est nulle :
Enoncé :
Le centre d'inertie d'un système isolé ou pseudo-isolé est animé d'un mouvement
rectiligne et uniforme ou demeure immobile, dans à un référentiel galiléen :
→
→
→
→te
Σ F = 0 ⇒ vC = c
Référentiel galiléen :
Un référentiel est considéré comme galiléen si, le principe d'inertie y est vérifié.
Deux référentiels galiléens sont en mouvement de translation rectiligne et uniforme l'un
par rapport à l'autre.
2) Deuxième loi de Newton : loi fondamentale de la dynamique :
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un
solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son C.I..
→
→
→
Σ F = m. dv G = m. aG
dt
Nous admettrons que cette formulation n'est valable que si les vitesses misent en jeu (en
particulier vG) restent petites en mesure devant la vitesse de la lumière c : vG << c
3) Troisième loi de Newton : loi d'interaction :
→
Lorsqu'un système (S1) exerce une force F1→2 sur un système (S2), le système (S2) exerce
→
au même instant une force F 2→1 sur le système (S1).
→
→
Ces deux forces ont même droite d'action et F1→2 = − F 2→1
II) Travail et puissance d'une force :
1) Travail élémentaire :
→
→
Le travail élémentaire de F au cours du petit déplacement δl est :
→
→
δW = F . δl
→
→
c'est un produit scalaire, F et δl ne sont pas toujours parallèles.
→
→
On peut faire apparaître l'angle entre F et δl :
→
→
→
→
→
→
δW =  F . δl .cos( F , δl ) = F.δl.cos( F , δl )
→
→
* Si la force est orthogonale au déplacement (cos( F , δl ) = 0) le travail est nul.
→
→
* Si l'angle entre F et δl est inférieur à π/2, δW est positif, le travail est dit moteur.
→
→
* Si l'angle entre F et δl est supérieur à π/2, δW est négatif, le travail est dit résistant.
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Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
2) Travail d'une force lors d'un déplacement fini :
→
Le travail effectué par la force F au cours du déplacement de son point d'application, de A
en B, suivant un trajet C, est égal à la somme des travaux élémentaires le long du trajet C :
→
→
→
W (F) = Σ δW = Σ F . δl
A →B
A →B
A →B
Le travail d'une force localisée et constante ne dépend pas du trajet du point d'application de
cette force mais uniquement des positions A et B de départ et d'arrivée.
Le travail d'une force localisée et constamment orthogonale au déplacement de son point
d'application d'un point A à un point B est nul.
3) Exemple du calcul du travail du poids :
Soient A et B les positions départ et d'arrivée de G lors du déplacement du solide. Le travail
du poids est donné par :
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
W (P) = P . AB =  P . AB .cos( P , AB ) =  AB .cos( P , AB ) = zA − zB
A →B
où zA et zB sont les altitudes des points A et B.
→
On a donc
W (P) = -- m.g.(zB -- zA)
A →B
→
→
- Si zA > zB (descente) W (P) > 0 le travail du poids est "moteur" : W (P) = m.g.h
A →B
→
A →B
→
- Si zA < zB (montée) W (P) < 0 le travail du poids est "résistant" : W (P) = -- m.g.h
A →B
A →B
4) Puissance d'une Force :
→
La puissance instantanée de la force F , à la date t, est par définition :
→
→
→
→
δW
P(t) =
= F( t ) . δl = F( t ) . v( t )
δt
δt
IV) L'énergie en mécanique classique :
1) Configurations et états d’un système :
La donnée des positions des différentes parties du système (S) par rapport à (R), constitue
une "photo instantanée" du système, c'est une configuration du système.
Si en plus des positions des différentes parties du système on se donne leurs vitesses, on
définit un état du système.
2) Définitions :
a) Energie potentielle :
L'énergie potentielle d'un système dans une configuration donnée, est égale au travail que
devrait fournir un opérateur extérieur pour faire passer le système, d'une façon quasistatique, de la configuration choisie pour définir l'origine des énergies potentielles à la
configuration donnée.
b) Energie Cinétique :
→
L'expression de l'énergie cinétique EC d'un objet de masse m, animé d'une vitesse v
dans un référentiel (R) est :
EC = 21 .m.v2
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Dynamique et lois de conservation
3) Exemples de calcul de l'énergie potentielle :
a) Energie potentielle de pesanteur :
L'expression de l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet de masse m, dont le centre
de gravité G coïncide avec un point M, situé à une altitude z par rapport à un plan
horizontal pris comme référence de l'énergie potentielle, est : EPg(M) = m.g.z
b) Energie potentielle d'élasticité d'un ressort :
L'expression de l'énergie potentielle d'élasticité d'un ressort de raideur k, dont la variation
de longueur est x0, lorsqu'on choisit l'allongement nul pour définir l'origine de l'énergie
potentielle, est :
EPé(x0) = 21 .k.x02
V) Loi de conservation de l'énergie :
1) Energie mécanique :
Par définition, l'énergie mécanique d'un système dans un référentiel donné est égale à la
somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles.
EM = EC + EP
2) Système conservatif :
Un système est conservatif lorsqu'il est mécaniquement isolé et n'est soumis qu'à des forces
intérieures conservatives. Seules les forces conservatives sont liées à une énergie
potentielle.
L'énergie mécanique d'un système conservatif est constante au cours du temps.
La variation d'énergie cinétique d'un système conservatif est égale à l'opposé de la variation
de son énergie potentielle :
∆EC = -- ∆EP
3) Système non conservatif :
La variation d'énergie mécanique d'un système non conservatif est égale au travail des
forces intérieures et extérieures non conservatives appliquées au système.
→
∆EM = ∆EC + ∆EP = ΣW( Fnon conservative )
→
∆EC = -- ∆EP + ΣW( Fnon conservative )
Et
4) Théorème de l'énergie cinétique :
La variation d'énergie cinétique d'un système entre deux instants de dates t1 et t2, dans un
référentiel galiléen, est égale au travail de toutes les forces (conservatives ou non)
→
appliquées au système entre ces deux instants : EC2 -- EC1 = ∆EC = W [Σ(F)]
t1 → t 2
t1 → t 2
5) Energie interne d'un système de particules :
On appelle énergie interne U d'un système de particules, la somme de son énergie cinétique
interne et de son énergie potentielle interne :
U = EC,int + EP,int
VI) Quantité de mouvement :
1) Définition :
La quantité de mouvement d'une particule de masse m, animée, à un instant donné, d'une
→
→
→
vitesse v par rapport à un référentiel (R), est : p = m. v
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Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
3) Loi de conservation de la quantité de mouvement :
La quantité de mouvement d'un système isolé, ou pseudo isolé, reste constante au cours du
temps, dans un référentiel galiléen.
4) Energie cinétique et quantité de mouvement :
→
Pour une particule de masse m, animée d'une vitesse v dans un référentiel (R), l'énergie
p2
cinétique est :
EC =
2.m
VII) Introduction des relations de la mécanique relativiste :
1) Energie de masse et relation d'Einstein :
Lorsque l’énergie d’un système varie de ∆E, sa masse varie proportionnellement de ∆m
suivant la formule très connue de Einstein : ∆E = ∆m.c2
Une particule animée d’une vitesse de mesure v non négligeable devant c, dans un
référentiel galiléen (R), possède une énergie totale de la forme :
2
E = m.c
2
1− v2
c
Si la vitesse v est petite devant c (v << c mécanique classique), on retrouve l'expression
2
classique :
EC ≈ m.c2.( v 2 ) = 21 .m.v2
2.c
2) Quantité de mouvement en mécanique relativiste :
→
La quantité de mouvement d'une particule de masse m animée d'une vitesse v dans un
→
→
m
référentiel galiléen (R) est : p =
v et p = m.v
2
2
1− v2
1− v2
c
c
3) Relation entre énergie et quantité de mouvement :
E=
m2 .c 4 + p2 .c 2
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Dynamique et lois de conservation
POUR S'ENTRAÎNER
I) Force d'un joueur.
Pour éprouver sa force, un joueur dispose d'une
piste sur laquelle il propulse puis abandonne un
palet de masse m. La piste située dans un plan
vertical est formée d'une partie rectiligne et
horizontale, raccordée tangentiellement à un arc
de cercle, raccordé lui-même à une partie rectiligne
inclinée. Le schéma représente la trajectoire suivie
par le centre d'inertie G du palet.
L'épreuve est réussie si G parvient en D, à une
hauteur h au-dessus du plan
horizontal qui contient AB. Les frottements sont négligés.
→
Une force de propulsion F , constante, d'intensité F, est exercée sur le palet tout le long du
trajet AA' de longueur AA' = l. Cette force cesse en A'. On prendra : intensité de la pesanteur
de la pesanteur g = 10 m.s−1.
→
a) v est la vitesse du C.I. G du palet en A'. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et :
i. Exprimer la mesure v de la vitesse de G en A' en fonction de F, l et m.
ii. Exprimer v en fonction de h pour que G atteigne D avec une vitesse nulle.
b) Déduire des questions a) i. et a) ii. la mesure F de la force de propulsion qui permet à G
d'arriver en D avec une vitesse nulle.
On exprimera F en fonction de m, l et h, puis on calculera F pour h = 1,5 m; l = 0,5 m;
m = 5 kg.
II) Fusée.
a) Une fusée ayant, au départ, la masse totale M = 60 t, quitte verticalement la terre. On
néglige la résistance de l'air; on suppose que le champ de pesanteur terrestre garde la
valeur constante gT = 9,8 m.s−2 durant la première minute de vol, la masse de la fusée et la
force de poussée exercée par les moteurs demeurent constantes au cours du mouvement.
i. Quelle doit être la force de poussée des moteurs pour que l'accélération du mouvement
de la fusée ait la valeur 0,7 gT ?
ii. Quelles sont la vitesse et l'altitude, par rapport à la Terre, atteintes par la fusée après
1 min. de fonctionnement ?
iii. Un cosmonaute, logé dans le compartiment habitable de la fusée a, équipement compris,
la masse m = 100 kg. Quelle force, la fusée exerce-t-elle sur lui durant la première minute
du mouvement ?
b) Le champ de pesanteur lunaire garde la valeur constante gL = 1,6 m.s−2. Le repère Lune est
pratiquement galiléen. On se propose de poser un engin sur la Lune. Cet engin de masse
M' = 3 t est à 50 km du sol lunaire et sa vitesse par rapport à la Lune, de valeur
10800 km.h−1, est dirigée vers le sol lunaire, suivant la verticale lunaire; on freine son
mouvement de chute en allumant des rétrofusées.
i. Quelle doit être la force de freinage supposée constante pour que l'engin arrive au sol
lunaire avec une vitesse nulle ?
ii. Calculer la durée de fonctionnement des rétrofusées.
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Christian BOUVIER
Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
III) Marche d'un train.
Une locomotive de masse ML = 8 tonnes, tire un wagon de masse MW = 2000 kg sur une voie
horizontale.
- Le convoi démarre à la date t = 0 et effectue un mouvement rectiligne uniformément accéléré
sur une distance d1 = 80 m.
- Ayant atteint la vitesse de mesure v2 = 20 m.s−1, il parcourt une distance d2 = 800 m avec un
mouvement rectiligne uniforme.
- La locomotive freine alors et le convoi s’arrête après une durée ∆t3 = 5 s de freinage.
a) i. Calculer les valeurs de l’accélération au cours des 3 phases du mouvement.
ii. Calculer la durée totale ∆t du trajet.
iii. Calculer la distance totale d parcourue.
b) L’ensemble du convoi est soumis à une force de frottement de mesure supposée constante
f = 800 N.
i. Calculer la mesure F1 de la force motrice de la locomotive dans la première phase, puis
celle F2 dans la seconde phase.
ii. Calculer la mesure F3 force de freinage se rajoutant à la force de frottement, dans la
troisième phase, sachant qu’il n’y a plus de force motrice.
c) Un ressort de raideur k = 20 N.m−1, au bout duquel est accrochée une masse de m = 200 g,
est attaché au plafond du wagon.
i. Dans quelle phase le ressort est-il vertical ? Calculer son allongement ∆l.
ii. Expliquer ce qu’il se passe dans la première phase. Calculer l’angle θ dont s’incline le
ressort par rapport à la verticale, et son nouvel allongement ∆l'.
d) Le convoi aborde une pente inclinée d’un angle α = 5 ° avec l'horizontale, avec une vitesse
de masure v = 20 m.s−1 qui reste constante durant toute la montée.
La force de frottement de mesure f = 800 N est toujours présente.
i. Faire un schéma clair représentant les forces qui s'exercent sur le convoi ({locomotivewagon}).
ii. Calculer l'intensité F de la force motrice.
iii. A partir du système {locomotive} ou du système {wagon}, calculer la tension du crochet
les reliant. On supposera que la force de frottement est également répartie, d'intensités
fW = 400 N sur le wagon et fL = 400 N sur la locomotive.
iv. Expliquer en vertu de quel principe on peut calculer cette tension à partir d’un système ou
de l’autre.
IV) Etude d'un mobile sur une glissière.
Une glissière est formée de deux parties : AB est un plan
incliné d'un angle α = 30 ° par rapport à l'horizontale, de
longueur AB = l = 1 m. BC est une portion de cercle, de
−−−→ −−−→
centre O, de rayon r = OB = 2 m et θ0 = (OC , OB ) = 60 °.
Dans tout le problème on prendra g = 10 m.s−2 et on
considérera les frottements comme négligeables.
Un solide ponctuel, de masse m = 100 g, quitte A sans
vitesse initiale.
a) Exprimer la mesure vB de la vitesse du solide en B.
b) Le solide aborde la partie circulaire de la glissière avec
→
la vitesse vB . Exprimer, pour un point M du cercle tel
→
→
que (OC, OM) = θ, la mesure vM de la vitesse en
fonction de vB, r, g et θ.
Ecole Européenne de Francfort
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Dynamique et lois de conservation
→
c) Quelle est, au point M, la réaction R de la glissière sur l'objet ?
Exprimer R en fonction de vB, r, g, θ et m.
→
→
d) Montrer que le solide quitte la piste circulaire en un point N et calculer θ1 = (OC, ON) .
Quelle est, à partir de N, la nature du mouvement du solide ?
V) Vélivoliste et vol à voile.
Un planeur et son pilote ont une masse m = 300 kg.
a) Lorsque le centre de gravité du système {planeur-pilote) est situé à l’altitude z1 = 412 m, la
vitesse de translation du planeur, dans le référentiel terrestre, est v1 = 90 km.h−1.
i. Donner l’expression puis calculer, dans le référentiel terrestre, l’énergie cinétique EC1 du
système {planeur-pilote} et l’énergie potentielle de pesanteur EP1 du système {Terreplaneur-pilote} en prenant pour référence le sol.
ii. Donner l’expression et calculer l’énergie mécanique EM du système {Terre-planeur-pilote}.
Dans la suite on considérera le système {Terre-planeur-pilote} comme conservatif.
b) Le pilote désire atteindre une vitesse v2 = 110 km.h−1.
i. De combien doit-il descendre (∆z) au minimum pour atteindre cette vitesse.
ii. Quelle serait son altitude finale z2 ?
iii. L’hypothèse faite au 2) a) est-elle conforme aux lois du vol à voile ? Commenter.
VI) Mouvement de rotation.
Un mobile autoporteur a une masse m = 0,600 kg, déterminée à l'aide d'une balance.
On désire retrouver cette valeur, en appliquant la relation fondamentale de la dynamique.
Le mobile est accroché à l'extrémité A d'un dynamomètre.
Il peut tourner sans frottement sur la table à air horizontale,
autour d'un point O de l'axe de rotation ∆. On lance
l'ensemble dynamomètre et mobile. On observe l'indication
du dynamomètre durant un certain temps. Cette indication
est constante, mais la lecture n'étant pas aisée, on lit
environ 0,35 N.
On réalise simultanément l'enregistrement de la projection du centre d'inertie G du mobile sur la
table, à intervalles de temps réguliers ∆t = 60 ms, à l'aide d'un dispositif à étincelles. On
observe que toutes les traces sont sur un cercle de centre O', de rayon R = 0,150 m, et que 21
traces consécutives (20 intervalles !) déterminent un angle au centre de 135 ° (angle mesuré
avec le rapporteur).
a) Représenter les forces agissant sur le mobile en rotation.
Quelle est la nature de son mouvement ?
b) Calculer la masse m du mobile, en précisant les limites entre lesquelles le résultat de la
mesure peut être compris, sachant que la force lue au dynamomètre est comprise entre
0,34 N et 0,36 N, et que les traces ayant une épaisseur, le rayon est connu à 1 mm près et
la lecture au rapporteur est faite à 1 ° près.
Comparer avec la valeur m donnée par la balance.
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Christian BOUVIER