CONVERSION DE PUISSANCE

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Spé ψ 2002-2003 Devoir n°6
CONVERSION DE PUISSANCE
Dans ce problème nous allons étudier différents dispositifs entrant dans la réalisation
d’un bus électrique à conduite partiellement automatisée.
La réalisation d’un tel système est en bonne voie, même si, les solutions retenues ne
sont pas entièrement celles proposées dans la suite de ce problème.
Les candidats sont vivement encouragés à définir et à utiliser des paramètres non don-
nés explicitement dans l’énoncé mais qui permettent d’alléger et de simplifier les calculs.
Partie I
MACHINE A COURANT CONTINU
Dans cette partie, les moteurs à courant continu sont supposés identiques avec un
même courant circulant dans chaque inducteur, il en résulte que le paramètre de proportion-
nalité entre, par exemple, le couple et le courant dans l’induit i est le même pour tous les mo-
teurs. On notera Φ ce paramètre.
Il convient d’étudier et de modéliser les machines à courant continu qui serviront à
faire avancer le véhicule. Le modèle retenu est celui d’une force contre électromotrice e, sans
pertes, en série avec une résistance R et une inductance L et, pour la partie mécanique, un
moment d’inertie global J (voir la figure 1). On négligera les frottements.
I-1) On suppose qu'une tension U(t) est appliquée aux bornes de l'induit par une source
de tension, On parle alors de commande en tension.
a) Écrire les équations électriques et mécaniques décrivant le comportement du
système.
b) exprimer la fonction de transfert T
p
U p
UΩ
Ω
,
(
)
( )
=.
c) On donne les valeurs numériques: LJ
Φ
= 1,73×10–3 S.I. et R J
L
2
Φ = 15 SI
Préciser les unités de ces constantes. Montrer qu’en tenant compte des valeurs numé-
riques, on peut ne faire intervenir qu’une seule constante de temps électromécanique τ12 =
RJ
Φ
.
On fera cette approximation dans la suite.
figure 1
I
(
t
)
e
U(t)
Ω
R
L
J
MCC

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d) Montrer que les équations décrivant le comportement du système admettent
une solution indépendante du temps (Ω0 ,I0).
e) On observe expérimentalement qu’un régime permanent constant est effecti-
vement atteint avec un courant dans la machine IP .Est-ce compatible avec le modèle précé-
dent ? Proposer une correction si nécessaire. On négligera ce courant dans les calculs ulté-
rieurs. f) On applique un échelon de tension aux bornes du moteur, le rotor étant ini-
tialement au repos, et on observe l'évolution de la vitesse Ω(t). Sachant que l'amplitude de
l'échelon de tension UM est choisie de telle sorte que l'intensité maximale du courant d'induit
est égale à IMAX= 10 A, déterminer littéralement, puis numériquement, le temps au bout du-
quel la vitesse de rotation aura atteint 90% de sa valeur finale. Déterminer l’expression de ΩM
en fonction de UM et Φ.
g) Déterminer l’accélération angulaire initiale
d
dt
t
Ω
( )=0 en fonction de ΩM et
τ1 puis la relation entre IM, UM et R. A quelle instant cette valeur de I(t) est-elle atteinte ?
I-2) Si l'on suppose maintenant que l’intensité I(t) du courant d'induit est imposée par
une source de courant,. on parle alors de commande en courant.
a) Exprimer la fonction de transfert T
p
I p
IΩ
Ω
,
(
)
( )
=.
b) On impose au moteur, à partir des mêmes conditions initiales qu’en I-1-f,
une intensité constante égale à IMAX. Quel sera la durée nécessaire pour atteindre la même
valeur de vitesse de rotation qu’en I-1-f ? Comparer avec la réponse en tension et interpréter.
I-3) On envisage un second type d'essai en présence de frottements fluides dont les ef-
fets sont équivalents à un couple de moment –fΩ appliqué au rotor (Ω étant la vitesse angu-
laire de ce dernier). A l'instant initial, le rotor est animé d'une vitesse Ω0 et on cherche à le
freiner. Pour les applications numériques, on prendra Φ = 0,17 V.rad–1, J = 1,0×10–3 kg.m2,
R = 1,5 Ω, f = 1,0×10–3 N.m.rad–1.s, Ω0 = 88 rad.s-1.
a) On ouvre tout d'abord le circuit d'alimentation du moteur (I = 0). Montrer
que le mouvement du mobile est caractérisé par une constante de temps mécanique τM que
l'on exprimera. Quelle remarque peut-on faire sur le temps d'arrêt ?
b) On met la machine à courant continu en court-circuit (U = 0). Quelle est
l’expression de I(0+). Montrer que le mouvement du rotor est caractérisé par une nouvelle
constante de temps électromécanique τEM. Exprimer τEM en fonction de τ1 (définie en I-1) et
τM (définie ci-dessus). Que peut-on dire de l’évolution de Ω(t) et de I(t) ? Caractériser le
fonctionnement de la machine à courant continu pendant cette phase.
c) On impose une intensité de valeur absolue IMAX dans le moteur dans un sens
tel que la vitesse du rotor décroît, cette valeur étant maintenue jusqu'à l'arrêt. On néglige les
frottements fluides si le terme |fΩ| est en permanence inférieur à
|
|
C
10
où C est le couple élec-
tromagnétique. Dans ces conditions, déterminer l'instant tA, où la vitesse de rotation s'annule.
Indiquer, en précisant les valeurs de u(0) et de u(tA), comment évolue la tension u(t) aux bor-
nes de la machine à courant continu (et de la source de courant).
d) Commenter brièvement l'efficacité de ces trois méthodes de ralentissement.

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Partie II
HACHEUR
On considère une source de tension continue idéale U0 > 0 reliée par un dispositif de
conversion de puissance composée de deux interrupteurs K et K’ à une source de courant
continu I0 > 0 (voir la figure 2).
II-1) L’interrupteur K est fermé pendant la durée αT, puis ouvert pendant (1 – α)T.
a) Déterminer le cycle de fonctionnement de l’interrupteur K’.
b) Calculer la valeur moyenne de la tension U(t) délivré par le dispositif.
c) Calculer la puissance moyenne transmise à la source de courant.
d) Quelle est la nature des interrupteurs K et K’, les plus simples, convenant
pour réaliser ce dispositif ?
II-2) La source de courant est maintenant remplacée par une inductance L en série
avec une résistance R et une source de tension continue E < U0.
a) Calculer en fonction du temps, en régime périodique permanent, le courant
dans l’inductance dans le cas où E = 0V. On utilisera, en déterminant leur expression, les va-
leurs maximum IMAX et minimum IMIN de l’intensité de ce courant.
b) Comment doit-on modifier le convertisseur pour que la puissance puisse être
reçue par la source U0 ?
Partie III
ASSOCIATION MACHINE-HACHEUR
Sur la source de tension et les deux interrupteurs précédents est maintenant branchée
une machine à courant continue comme celle étudier dans la partie I. On supposera ici
l’inductance L nulle et on assimilera la tension délivrée par le dispositif U(t) à sa valeur
moyenne sur une période de fonctionnement T. Comme on étudie des fonctionnement où α
varie au cours du temps, la tension moyenne sera une fonction du temps notée <U>(t).
III-1) Ce moteur servant à mettre en mouvement un véhicule, l’inertie globale J est en
grande partie due à la masse de ce véhicule. Justifier cette affirmation.
III-2) Si, au démarrage du moteur, on laisse l’interrupteur K continuellement fermé,
donner la valeur maximum IMAX du courant circulant dans le moteur en fonction de R et de
U0.
III-3) On souhaite limiter le courant à la valeur
I
MAX
2
.
a) Déterminer <U>(t) et α(t) si, après le démarrage, on maintient I =
I
MAX
2
.
U0
I
0
K
K
’U(t)
figure 2

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b) Montrer que cette phase n’est possible que si t est inférieur à une valeur t0
que l’on déterminera en fonction τ1 (défini dans la partie I). Déterminer Ω(t) pour t > t0 si la
vitesse de rotation est la plus élevée possible. En déduire l’expression de I(t) dans cette phase.
c) Donner l’allure sommaire des courbes Ω(t), I(t) et <U> en précisant le type
d’alimentation.
d) Expliquer qualitativement ce qui aurait été changé si on avait pris en compte
Ÿ l’inductance du moteur ;
Ÿ la variation temporelle de U(t).
Partie IV
PONT DIFFERENTIEL ELECTRIQUE
Nous allons d’abord étudier un mode de traction électrique utilisé dans certains cha-
riots de manutention dont la roue arrière est directrice et les deux roues avant motrices. On
associe, en série, dans le même circuit électrique, deux moteurs à courant continu entraînant
les deux roues avant. Les moteurs sont supposés identiques et les roues directrice et motrices
ont même diamètre D. Leur entraînement par l’arbre du moteur est direct. Le chariot se dé-
place sur un plan horizontal et l’on néglige tout les frottements..
IV-1) Déterminer la vitesse v0 du
chariot en ligne droite en régime permanent
en fonction de Φ, D et la tension
d’alimentation de l’ensemble U0.
IV-2) Le chariot a maintenant une
trajectoire circulaire décrite à vitesse cons-
tante (voir la figure 3), calculer les vitesses
de rotation ΩD (droit) et ΩG (gauche) des
moteurs et les comparer à celle calculée pré-
cédemment.
Partie V
PONT DIFFERENTIEL ELECTRONIQUE
Le bus est réalisé à l’aide de plusieurs remorques articulées et les impératifs de la cir-
culation urbaine exigent que ces remorques suivent une trajectoire inscrite sur une chaussée
réservée assez étroite. Plutôt que de réaliser un véhicule classique avec un essieu moteur, cha-
que roue est entraînée par un moteur électrique, disposant de sa propre alimentation et de sa
propre commande, de manière à forcer une trajectoire bien précise pour les remorques, celle-
ci ressemblant plus à celle empruntée par un train sur ses rails. On donne des courbes repré-
sentant la vitesse de rotation des machines et leur courant d’induit en fonction du temps.
V-1-a) Comment peut-on mesurer la vitesse de rotation des moteurs ?
b) On veut mesurer un courant continu. Peut-on utiliser un transformateur ?
Justifier votre réponse.
c) A partir de la mesure du courant, de la donnée du paramètre α et de la vi-
tesse de rotation, comment déterminer la puissance mécanique fournie par le moteur et la
puissance électrique consommée ? Quels paramètres faut-il connaître ? Comparer ces puis-
sances
CENTRE DE LA TRA-
JECTOIRE CIRCULAIRE
RAYON R+L
RAYON R
G
D
figure 3

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V-2) Pour le démarrage, on alimente les moteurs un petit peu avant de relâcher les
freins, ce qui se fait quand les portes sont complètement fermées, pourquoi ?
V-3) Commenter les vitesses de rotation et intensité des courants en fonction du
temps, obtenus à partir de simulations, pour les courbes N° 1 à 4 donnée en annexe.On
s’attachera à décrire le comportement du bus, le fonctionnement des systèmes moteurs-
hacheurs en faisant des bilans de puissance, sommaires et qualitatifs, pour chaque étape et en
précisant les modes d’alimentation ou de régulation.
Note : les tracés sont effectués en coordonnées réduites (les grandeurs sont divisées
par une de leurs valeurs caractéristiques pour obtenir un résultat sans dimension).On utilisera,
pour répondre à la question, les courbes en annexe sur lesquelles on reportera lisiblement des
légendes . Les courbe N°1, courbe N°2, courbe N°3, courbe N°4 sont à rendre avec la copie
Partie VI
MOTEUR THERMIQUE
Pour de raison de coût et de mobilité, le bus doit être autonome. L’alimentation géné-
rale du bus ne peut être exclusivement d’origine électrique, l’autonomie des batteries est in-
suffisante, et le temps de recharge prohibitif. On adopte un système hybride, un moteur ther-
mique produira l’énergie électrique nécessaire à un fonctionnement normal du bus et des bat-
teries pourront compléter les besoins en fournissant un complément lors des accélérations et
en absorbant l’énergie restituée lors des freinages (le moteur électrique est commandé par un
hacheur réversible). Le moteur thermique fonctionnant en continu son rendement est optimal
et la pollution engendrée est inférieur à un fonctionnement irrégulier, on peut même imaginer
de couper le moteur thermique dans les zones sensibles. De manière à ne pas sur dimension-
ner les batteries, on peut aussi, pour les montées à forte pente, prévoir une alimentation exté-
rieur par caténaires en courant alternatif.
VI-1) Faire un schéma de tous les systèmes de transfert et de conversion de puissance
nécessaires au bon fonctionnement du bus, on précisera le sens et le type de puissance transfé-
rée : puissance thermique PTH , puissance mécanique PMEC , puissance électrique PELEC,
(continue = ou alternative ~).
VI-2) Pour le moteur thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur, peut-on
raisonnablement envisager un rendement de 95% ?