PHYS-F-205 - Electricité et magnétisme Correction séance 6 - Induction magnétique 1 Exercices 22.2) Z ~ = ~ · dS B Z cos 30BdS = cos 30BS = 1, 73mW eb 22.7) e, Le ux au travers de la spire va varier, il y aura donc une force électromotrice induite |e| = | ∆φ| BS − 0 0, 4 × 0, 25 = = = 0, 5V ∆t 0, 2 0, 2 22.12) Le ux est donné par φ(t) = N B(t)S et donc la force électromotrice(f.e.m) par e = −N S dB(t) . Il s'agit donc de calculer e durant les trois périodes [0, 0.3s], [0.3s, 0.4s] et dt [0.4s, 0.5s] : e = −2, 5 × 0, 3 = −2, 5V 0, 3 0 < t < 0, 3s e=0 e = −2, 5 × ( 0, 3s < t < 0, 4s 0 − 0, 3 ) = 7, 5V 0, 5 − 0, 4 1 0, 4s < t < 0, 5s 1 2 EXERCICES 22.17) On applique la formule e = Blv cos θ où B est le champ magnétique, l la longueur de la tige, v la vitesse de chute et θ l'angle que fait le champ magnétique avec la normale au plan formée par le vecteur vitesse et et celui de la tige. L'application numérique donne e = 1, 5 × 10−4 × 1 × 2, 8 × cos 50 = 2, 4 × 10−4 V 22.30) Pour que le déplacement soit à vitesse constante, il faut que la force F exercée soit égale ~ en norme et opposée en direction à la force de Laplace dûe au courant le l F~l = I~l × B et I = ξ/R étant le courant induit. On calcul d'abord |ξ| = dtd BS cos 0 = Bvl. Pour la force de Laplace on a donc Fl = IlB = Bvl lB R = (Bl)2 v R = Fext 22.31) 2v 2 La puissance fournie par l'opérateur est donnée par F~ext · ~v = (Bl) v cos 0 = (Blv) . R R (Bvl)2 Bvl 2 2 Or la puissance dissipée par eet Joule PJoule = RI = R( R ) = R . Les deux expressions sont bien égales. 22.43) On utilise ici explicitement la loi de l'induction à savoir que la circulation du champ ~ i le long d'un contour est égal à moins la dérivée du ux de champ électrique induit E magnétique φM au travers de la surface délimitée par ce contour, I ~ = − dφM . ~ i · dl E dt 1 3 EXERCICES Pour ce faire, on choisit un contour circulaire de rayon r de même axe que le solénoïde(voir gure). Par symétrie, le champ électrique induit ne peut pas dépendre de θ et doit être tangent au cercle. Le ux de champ magnétique est donné par φM = BπR2 = CtπR2 , où R est le rayon du solénoïde et C une constante exprimée en T /s. On obtient ainsi, Z 2π d CtπR2 dt 2πrEi = −CπR2 CR2 ⇒ Ei = − 2r Ei rdθ = − 0 Le signe moins indique que le champ électrique induit tourne dans le sens inverse de celui du courant dans le solénoïde ! 22.46) La vitesse angulaire de la bobine w = 2πf = 2π × 50 = 314, 1 rad/s et la tension fournie par un cadre en rotation dans un champ B perpendiculaire à l'axe de rotation est ξ = N SB sin(wt). ξ On a donc, B = N Sw = 26, 5mT 22.68) ~ = ~v × B ~ = vB car ~v et B ~ toujours ⊥ et v = wr. Champ électromoteur E On a donc ξ = 2lvB = 2lwrB = 0, 3 × 10 × 2π × 0, 6 = 1, 13 V 22.91) En appliquant la loi des mailles on a V = L dI + RI et donc l'équation pour le courant, dt dI V − RI = . dt L 1 4 EXERCICES A l'instant t = 0 le courant est nul ⇒ dI/dt = V /L = 120/(50 × 10−3 ) = 2, 4 × 103 A/s . A l'instant t = L/R, I = 0, 63V /R(I vaut 63% de sa valeur maximale)⇒ dI/dt = (V − 0, 63V )/L = 0, 37V /L = 0, 8 × 103 A/s. 22.44) Lorsque la tige se met en mouvement sous l'eet de la force de pesanteur, le ux de champ magnétique φ au travers du circuit formé par celle-ci, les deux conducteur verticaux et la résitance R va varier dans le temps. Cette variation de ux va entrainer une force électromotrice e = −dφ/dt en accord avec la loi de Faraday, et donc un courant s'établit dans le circuit. Ce courant d'après la loi de Lenz va s'opposer par son action à la cause qui l'a crée. On s'attend alors à ce que la force de Laplace s'exerçant sur la tige soit orientée dans le sens opposé à la force de pesanteur(voir gure). Soit z la coordonnée de la tige. Le ux de champ magnétique sera donc donné par φ = Blz 1 . On sait aussi que le courant s'établissant dans le circuit sera donné par e = RI . On peut alors écrire la loi de faraday, e = RI = − dz dφ = −B l dt dt où dz/dt est bien entendu la vitesse v de la tige. On a alors une expression du courant I = −Blv/R. La force de Laplace s'exerçant sur la tige est donnée par (Bl)2 v ~ F~l = BIl ~1z = − 1z R ~ sortant de la feuille, ceci implique au travers 1. Le signe positif du ux indique que l'on a choisi dS de la loi de Faraday que le courant I positif est pris dans le sens trigonométrique 1 5 EXERCICES L'équation de Newton projetée sur l'axe z s'écrit alors, m dv (Bl)2 v = mg − dt R qui est une équation diérentielle ordinaire du premier ordre. On voit alors qu'à l'instant initial lorsqu'on lache la tige v = 0 qui implique dv/dt = mg , on a donc un accroissement de la vitesse. Tant que mg − (Bl)2 v/R > 0 cette vitesse s'accroît. Celle-ci atteint alors l'équilibre lorsque dv/dt = 0, c'est à dire lorsque v = gmR/(Bl)2 , ou encore lorsque l'on a équilibre entre d'une part la force de pesanteur et la force de Laplace s'exerçant sur la tige dûe au courant induit. 29.7)(Benson) Un l rectiligne parcouru par un courant variable i(t) est placé côte à côte avec un circuit rectangulaire(voir gure) à une distance a de celui-ci. Quel est le ux total de champ magnétique au travers du circuit ? Quel est la force électromotrice induite dans le circuit si di/dt = 9, 60 A/s ? Dans quel sens le courant circule-t-il ? (a = 12, 0 cm, b = 36, 0 cm, L = 24, 0 cm ). Le champ magnétique dû au l rectiligne est donné par B = µ0 i(t)/2πr où r est la distance au l. Le ux au travers du champ magnétique est alors donné par Z bZ φ= a 0 L b µ0 i(t)ln(r) Lµ0 i(t) b µ0 i(t) dzdr = L = ln( ) . 2πr 2π 2π a a On peut alors calculer la force électromotrice induite, |e| = + Lµ0 di(t) b dφ = ln( ) = 0, 9 × 10−7 V dt 2π dt a 1 EXERCICES 6 Le courant induit circule dans le sens trigonométrique de sorte à s'opposer à l'augmentation de ux rentrant dans la feuille.