Calcul précis de la limite de Roche ROCHE Edouard, 1820-1883, astronome français qui étudia les anneaux de saturne. R r A P Masse = M O Masse = m OP = D On considère un satellite hypothétique sphérique, de centre O et de rayon r. Sa masse volumique supposée constante sera notée s . On suppose qu’il possède une orbite circulaire autour de la planète (Saturne), de rayon OP = D. La planète est caractérisée par son centre P et sa masse M. Le satellite est, lui, de centre O, de rayon r, et de masse m. Un point A du satellite est soumis à une force de la part de Saturne, force dépendante de la distance PA. Deux points différents sont donc soumis à deux forces distinctes. Il en résulte une attraction différentielle de Saturne sur le satellite. Si cette attraction différentielle dépasse l’attraction gravitationnelle propre du satellite (responsable de sa cohésion), celui-ci est détruit. Ce phénomène se produit à l’intérieur d’une zone sphérique entourant la planète et dont le rayon est appelé "limite de roche" noté RR par la suite. L’accélération aOS du centre O du satellite dans le référentiel "saturnocentrique" ainsi que l’accélération aMS du point A défini sur la figure ( tel que P, A et O sont alignés) et supposé solidaire du satellite sont données par : aOS GM er D2 (O et A sont soumis à la force de gravitation exercée par la planète) aMS GM D r 2 er On se place maintenant dans le référentiel du satellite (non galiléen), auquel on associe un repère d’origine O. En supposant que le point M possède la masse m0 (négligeable devant la masse m du satellite) et qu’il est soumis à l’attraction de Saturne et à celle du satellite, son accélération a AO est donnée par : f S f e f C f O m0 a AO f S : force gravitationnelle exercée par S définie par: 1/4 fS GMm0 D r 2 er Gmm0 er r2 Gm0M fe er D2 fO f O : force gravitationnelle exercée par O définie par: f e : force d’inertie d’entraînement définie par: f C : force de Coriolis Au moment de la destruction, la vitesse de M dans le référentiel considéré est nulle, donc fc=0. D’où : M m M a AO G 2 er 2 2 r D D r Lorsque M n’est plus solidaire du satellite, et en posant a AO aAO er , on a alors aAO 0 . r>>R donc : 1 D r 2 1 r D 2 1 D 2 1 r 1 2 2 D D et 1 M 1 r r M 2 1 1 2 2 M 2 2 3 D D D D D r m r m M 3 3 2 M D 2 r r2 D3 r2 m La limite de Roche est donc telle que : D3 2 M 3 r m 4 4 3 3 où : M P R et m S r 3 3 et RR 3 2 P S P R 3 R 2r S r 3 3 R R 1, 26 3 3 P R S En réalité il faut pratiquement multiplier cette valeur par 2. Cela est dû au fait que le satellite prend une forme ovoïde à cause de l'effet de marée. La partie la plus proche de la planète est plus éloignée du centre du satellite que sa valeur moyenne R : RR 2, 45 3 P M R 2, 45 3 r S m La limite de Roche a été calculée avec le modèle simplifié précédent. Système Terre - Lune Soleil - Terre Mars - Phobos Mars - Deimos Jupiter - Io Limite de Distance (km) Roche (km) 17 000 300 000 1 300 000 150 000 000 10 000 9 400 ! 10 000 23 400 116 000 422 000 2/4 Shoemaker Levy 3/4 4/4