Calcul précis de la limite de Roche ( )

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Calcul précis de la limite de Roche
ROCHE Edouard, 1820-1883, astronome français qui étudia les anneaux de saturne.
On considère un satellite hypothétique sphérique, de centre O et de rayon r. Sa masse
volumique supposée constante sera notée
s
. On suppose qu’il possède une orbite circulaire
autour de la planète (Saturne), de rayon OP = D. La planète est caractérisée par son centre P
et sa masse M. Le satellite est, lui, de centre O, de rayon r, et de masse m.
Un point A du satellite est soumis à une force de la part de Saturne, force dépendante
de la distance PA. Deux points différents sont donc soumis à deux forces distinctes. Il en
résulte une attraction différentielle de Saturne sur le satellite. Si cette attraction différentielle
dépasse l’attraction gravitationnelle propre du satellite (responsable de sa cohésion), celui-ci
est détruit. Ce phénomène se produit à l’intérieur d’une zone sphérique entourant la planète et
dont le rayon est appelé "limite de roche" noté
R
R
par la suite.
L’accélération
OS
a
du centre O du satellite dans le référentiel "saturnocentrique" ainsi
que l’accélération
MS
a
du point A défini sur la figure ( tel que P, A et O sont alignés) et supposé
solidaire du satellite sont données par :
2
OS r
GM
ae
D
(O et A sont soumis à la force de gravitation exercée par la planète)
2
MS r
GM
ae
Dr
On se place maintenant dans le référentiel du satellite (non galiléen), auquel on associe un
repère d’origine O. En supposant que le point M possède la masse
0
m
(négligeable devant la
masse m du satellite) et qu’il est soumis à l’attraction de Saturne et à celle du satellite, son
accélération
AO
a
est donnée par :
0
S e C O AO
f f f f m a   
S
f
: force gravitationnelle exercée par S définie par:
02
Sr
GMm
fe
Dr
PO
A
OP = D
r
Masse = M Masse = m
R

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O
f
: force gravitationnelle exercée par O définie par:
0
2
Or
Gmm
fe
r
e
f
: force d’inertie d’entraînement définie par:
0
2
er
Gm M
fe
D
C
f
: force de Coriolis
Au moment de la destruction, la vitesse de M dans le référentiel considéré est nulle, donc
fc=0. D’où :
222
AO r
M m M
a G e
rD
Dr
Lorsque M n’est plus solidaire du satellite, et en posant
AO r
AO
a a e
, on a alors
0
AO
a
. r>>R donc :
22
2
2
1 1 1 12
1
r
DD
D r r
DD
et
2
2 2 3
11 1 1 2 2 M r r
MM
D D D D
Dr
33
2 3 2
22
m r m M
M D r
r D r m
La limite de Roche est donc telle que :
33
2M Dr
m
où :
3
4
3
P
MR
et
3
4
3
S
mr
3
33
3
2P
RS
R
Rrr
et
33
21 26,
PP
RSS
R R R
En réalité il faut pratiquement multiplier cette valeur par 2. Cela est dû au fait que le
satellite prend une forme ovoïde à cause de l'effet de marée. La partie la plus proche de la
planète est plus éloignée du centre du satellite que sa valeur moyenne
R
:
3
3
2 45 2 45,,
P
RS
M
R R r
m
La limite de Roche a été calculée avec le modèle simplifié précédent.
Système
Limite de
Roche (km)
Distance (km)
Terre - Lune
17 000
300 000
Soleil - Terre
1 300 000
150 000 000
Mars - Phobos
10 000
9 400 !
Mars - Deimos
10 000
23 400
Jupiter - Io
116 000
422 000

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Shoemaker Levy

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