Chapitre n°6 : « Le parallélogramme »

5ème4
2009-2010
Chapitre n°6 : « Le parallélogramme »
I. L'essentiel
Rappels
Un quadrilatère est une figure fermée constituée de quatre segments appelés côtés.
Vocabulaire
• A , B , C et D sont les sommets.
•
• [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] et [ DA ] sont les côtés.
• Noms possibles : ABCD , BADC , CDAB …
• Côtés opposés : [ AD ] et [ BC ] ; [ AB ] et [ DC ]
• Côtés consécutifs : [ BA ] et [ AD ] ; [ DC ] et
[ CB ] …
• Diagonales : [ AC ] et [ BD ] .
DAB et 
DCB .
• Angles opposés : 
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Construction à la règle et à l'équerre
On a construit deux paires de droites parallèles :
• d 1  // d 2 
• d 1 '  // d 2 ' 
Ces quatre droites forment quatre points : A , B ,
C et D .
ABCD est un parallélogramme.
Construction à la règle et au compas
• On suppose les points A , B et C déjà placés.
On veut construire le point D tel que ABCD
soit un parallélogramme.
• On prend l'écartement entre A et B et on
pointe sur C pour former un premier arc de
cercle.
• On prend l'écartement entre B et C et on
pointe sur A pour former un deuxième arc de cercle.
• On place le point D puis on trace le parallélogramme ABCD .
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Autre exemple
A , B et C sont trois points quelconques. Construis le
point D tel que BACD soit un parallélogramme.
II. Propriétés
1/ Sur les côtés
Propriété
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur.
Figure pour illustrer.
Les côtés opposés sont :
• [ IJ ] et [ LK ]
• [ LI ] et [ KJ ] .
Donc IJ =LK et IL= JK .
2/ Sur les diagonales
Rappels
• A et A' sont symétriques par rapport à un point O si O est le milieu du segment
[ AA' ] .
• On rappelle aussi qu'un centre de symétrie est un point autour duquel la figure peut
effectuer un demi-tour puis revenir à sa place initiale (voir page 156)
Activité
Il semble que les longueurs OB et OC soient égales. De même pour les DO et OA .
Il semble donc que O soit le milieu des diagonales.
Définition
Le centre d'un parallélogramme est à l'intersection des diagonales
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Propriétés
• Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
• Le centre du parallélogramme est aussi le centre de symétrie.
Exemple
• Les parallélogrammes
sont : ABFE ;
ADEC .
• Dans ABFE les
longueurs égales sont :
AB= EF
AE= BF
AH =HF
EH = HB
• Dans ADEC les
longueurs égales sont :
DG =GC
AG= EG
AD=CE
DE =CA
3/ Sur les angles
Propriétés
Dans un parallélogramme, les angles opposés sont de même mesure.
Exemple
Dans le parallélogramme cicontre, on a :

CBA=C
DA
• 


• BCD= BAD
(voir à la fin du chapitre pour l'autre propriété concernant les angles consécutifs)
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III. Constructions de parallélogramme (exemples)
Méthode générale
• On fait une figure à main levée la plus réaliste possible.
• On élabore une stratégie de construction.
• On fait la figure aux instruments.
Exemple 1
DAB=60° . AB=5 cm
Construire un parallélogramme ABCD tel que AD= 4 cm et 
D 4 cm
60°
• Figure à main levée :
C
A
5 cm
B
• Je trace AD= 4 cm ; je fais un angle à 60° ;
je trace AB=5 cm . Pour construire le point
C , j'utilise le compas.
(échelle 1/2)
Exemple 2
Construire le parallélogramme IJKL tel que IJ =3,5 cm ; JK =4,7 cm et IK =2,8 cm
• A main levée
I
3,5 cm
4,7 cm
2,8 cm
L
• Avec les instruments
J
K
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Exemple 3
FOG =35°
Construire un parallélogramme EFGH tel que FH =9 cm et EG=5 cm . 
• A main levée
E
5c
9 cm
F
m
35°
O
H
G
• Aux instruments
(échelle 1/2)
IV. Propriétés réciproques
Propriété caractéristique n°1
Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un
parallélogramme.
Application
C'est la construction au compas vue au début du chapitre
On a construit le parallélogramme ABCD tel que AB=CD et BC = AD
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Propriété caractéristique n°2
Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure alors c'est un parallélogramme.
Propriété caractéristique n°3
Si un quadrilatère a ses
diagonales qui se coupent en
leur milieu alors c'est un
parallélogramme.
Pour jeudi 4/02
• Apprendre par cœur
les propriétés
caractéristiques
• n°58 p 216
Pour vendredi 4/02
Contrôle 1h !!!!!!!!!!!
(dans le paragraphe II 3/ sur les angles)
Propriété
Dans un parallélogramme, les angles consécutifs
sont supplémentaires.
Exemple
CBA
BAD=14535=180 .
On a 
Rappel
• Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme fait 180°.
• Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme fait 90°.