L`induction électromagnétique et la loi de Faraday (Tous les

L’induction électromagnétique et la loi de Faraday
(Tous les cours à partir du cours XIX)
Le phénomène d’induction électromagnétique peut être mis en évidence par les
deux expériences simples suivantes. On utilise un circuit électrique C qui est un simple
fil électrique formant un contour fermé. Il n’y a aucun générateur dans le circuit. Le
circuit s’apparente donc à une simple résistance. On branche un galvanomètre pour
pouvoir mesurer l’intensité I qui circule dans C .
• Expérience A
On place le circuit dans un champ magnétique indépendant du temps. Par exemple,
on utilise un aimant fixe pour créer ce champ. Si on met C en mouvement (ou si on
le déforme), on observe I != 0. Si on maintient le circuit fixe (même très proche de
l’aimant), I = 0. L’effet observé est plus important si les mouvements du circuit sont
violents. Il est aussi plus important si C est un solénoı̈de, et encore plus important si
on insère un noyau de fer dans le solénoı̈de.
• Expérience B
Le circuit est fixe. On approche un aimant. On observe que I != 0 pendant que
l’aimant est en mouvement. Si on maintient l’aimant fixe (même très proche du circuit), I = 0. L’effet observé est plus important si les mouvements de l’aimant sont
violents. Il est aussi plus important si C est un solénoı̈de, et encore plus important si
on insère un noyau de fer dans le solénoı̈de.
Ces phénomèmes d’induction électromagnétique sont absolument fondamentaux.
Ils sont à la base de toute notre économie moderne puisque c’est grâce à eux que l’on
peut produire de l’électricité avec une grande puissance, comme nous le verrons. Nous
allons chercher à expliquer les expériences A et B dans la suite.
1. Compléments sur la loi d’Ohm et ses conséquences
Nous avons vu (section 2 du cours sur la loi d’Ohm et l’effet Joule) que, dans le cas
du régime permanent, l’intensité le long d’une branche de circuit est indépendante du
point de la branche considéré (c’est un cas particulier de la loi des nœuds). Ce résultat
simple permettait de calculer facilement la circulation du courant électrique J! le long
d’une branche de circuit et d’en déduire une formule pour la résistance en particulier.
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Nous voudrions voir comment l’analyse peut se généraliser au cas où le régime n’est
plus permanent (et en particulier l’intensité dans le circuit peut dépendre du temps).
Pour simplifier, on considère que le circuit C est fixe. Soit z la coordonnée le long
de C (z est l’abscisse curviligne), !u le vecteur tangent unitaire le long du contour. Le
courant électrique est J! = J(z, t)!u et la densité de charge électrique ρ(z, t).
1. (*) En utilisant la loi d’Ohm, montrer que le champ électrique est de la forme
! = E(z, t)!u.
E
2. (*) Écrire la loi de conservation de la charge pour une surface fermée englobant
une petite portion de longueur dz du fil électrique et en déduire que
∂ρ ∂J
+
= 0.
∂t
∂z
(74)
3. (*) Écrire le théorème de Gauss pour la même surface fermée que dans la question précédente et en déduire que
∂E
ρ
= ·
∂z
$0
(75)
4. (*) Montrer que
∂ρ
σ
+ ρ = 0.
(76)
∂t $0
En déduire que toute fluctuation produisant ρ != 0 à un instant donné est
presque immédiatement éliminée en un temps caractéristique τ que l’on calculera en fonction de σ et $0 ; calculer numériquement τ pour un conducteur
métallique standard.
En conclusion, on peut toujours considérer que ρ " 0, même dans un régime
dépendant du temps, tant que les fréquences mises en jeu sont petites devant
1/τ (en particulier ce résultat est parfaitement valable pour les fréquences de
50 Hz utilisées dans beaucoup d’applications).
5. (*) Déduire des résultats ci-dessus que J(z, t) ne dépend pas de z, c’est-à-dire
que le courant électrique reste le même le long d’une branche de circuit. Plus
généralement, comment s’écrit la loi des nœuds ?
Les électrons de conduction (ou, plus généralement, les charges mobiles) d’un
! sont soumis à la force de Coulomb
conducteur plongé dans un champ électrique E
! Nous avons vu dans un chapitre précédent que ceci entraı̂nait l’apparition d’un
q E.
! où σ est
courant électrique macroscopique dans le conducteur, de la forme J! = σ E,
la conductivité du conducteur.
69
Les électrons de conduction ne font bien sûr pas de discrimination entre les différentes forces qui peuvent d’exercer sur eux. Si la force prend la forme q E! , où E! est
un certain champ de vecteurs qui ne coı̈ncide pas forcément avec le champ électrique,
alors la loi d’Ohm s’écrira
J! = σ E! .
(77)
Nous avons montré ci-dessus que la densité de charge dans un conducteur reste
! est le champ électrique. Nous admettrons que
très proche de zéro lorsque E! = E
ce résultat, et donc toutes ses conséquences, reste valable dans le cas plus général
considéré ici.
1. (*) Montrer que
!
C
−−→
E! · dM = RI
(78)
si R est la résistance du circuit et I l’intensité qui le parcourt. En déduire
qu’une intensité peut circuler dans le circuit, même en l’absence de générateur,
à condition que le champ E! ne soit pas à circulation conservative. La quantité
!
−−→
e=
E! · dM
(79)
C
s’appelle la force électromotrice induite dans le circuit.
2. (*) Comment est modifiée (78) dans le cas où le circuit contient des générateurs
de tension ? Justifier l’appellation “force électromotrice induite” pour la quantité
définie en (79).
2. Explication de l’expérience A
Nous avons maintenant tout en main pour pouvoir expliquer l’expérience A.
1. (*) Montrer que, dans les conditions de l’expérience A, une charge de conduction
q placée au voisinage d’un point M du circuit est soumise à une force
!
f! = q(w
! + !v ) × B(M
),
(80)
où w
! est la vitesse de la charge par rapport au circuit et !v la vitesse du point
M du circuit. En déduire E! dans ce cas.
2. (*) Montrer que, en moyenne, w
! est parallèle au vecteur tangent au circuit
!
et que donc le terme w
! × B ne peut pas contribuer, en moyenne, à la force
électromotrice induite (79).
70
3. (*) En déduire que la force électromotrice induite s’écrit
!
−→
!m · −
E
dM
e=
(81)
C
! m est
où le champ électromoteur E
! m = !v × B
!.
E
(82)
Attention : la vitesse !v qui intervient dans l’équation précédente est la vitesse
du circuit et non pas celle des électrons !
4. (*) En remarquant que le calcul de l’intégrale (81) pour le champ électromoteur
(82) est essentiellement le même que celui, déjà fait dans un cours précédent,
! m n’est pas, en général, à
du travail de la force de Laplace, en déduire que E
circulation conservative et que la force électromotrice induite est
e=−
dφ
,
dt
(83)
où φ est le flux du champ magnétique à travers le circuit.
5. (*) Expliquer toutes les facettes des phénomènes observés dans l’expérience A.
3. Explication de l’expérience B et la loi de Faraday
Dans le cas de l’expérience B, le circuit étant fixe, la seule force électromotrice
possible est la force de Coulomb...
1. (*) Montrer que le résultat de l’expérience A démontre que le champ électrique
ne peut être à circulation conservative en présence d’un champ magnétique
dépendant du temps.
2. (*) Quelle est la conséquence pour la notion de potentiel et de différence de
potentiel électrique ?
Les conséquences de l’expérience A, et de multiples autres expériences du même
type, peuvent s’interpréter à l’aide de la loi de Faraday. C’est une grande loi de la
Physique, toujours vraie, l’une des quatre équations de Maxwell. Elle s’énonce comme
suit.
La circulation du champ électrique le long d’un contour fermé fixe quelconque est égale
à l’opposé de la variation du flux du champ magnétique à travers le contour.
Il faut noter que dans l’énoncé de la loi de Faraday, le contour considéré est un
contour mathématique quelconque qui n’a rien à voir a priori avec un circuit électrique.
71
Le champ d’application de cette grande loi de la Physique ne se limite d’ailleurs
évidemment pas au cas des circuits électriques ! Cependant, dans la pratique, lorsque
nous étudions des circuits électriques, la loi est souvent appliquée le long d’un contour
coı̈ncidant avec une maille d’un circuit électrique.
Noter également que la loi de Faraday fait intervenir les variations de flux et non
pas le flux lui-même.
Noter enfin que l’énoncé de la loi de Faraday présuppose que l’on sache que le
champ magnétique est à flux conservatif. Dans le cas contraire, la notion de flux du
champ à travers le contour n’aurait aucun sens.
Mathématiquement, la loi s’écrit
!
""
−
−
→
dφ
d
! · dM = −
! · !n dS ,
E
B
=−
dt
dt Σ
C
(84)
où dans la deuxième égalité on a introduit une surface Σ quelconque s’appuyant sur
le contour C et orientée par lui, ∂Σ = C . Comme le contour C est fixe dans l’énoncé
de la loi de Faraday, on peut aussi écrire (84) comme
!
C
−→
! ·−
E
dM = −
""
Σ
!
∂B
· !n dS .
∂t
(85)
Sous cette forme, la loi de Faraday ne dépend pas du fait que C soit fixe ou non ;
l’égalité (85) est automatiquement valable à tout temps t pour un certain contour C
donné au temps t.
(*) Expliquer toutes les facettes des phénomènes observés dans l’expérience B.
!
4. Le cas général d’un circuit en mouvement dans un champ B(t)
variable
1. Montrer que dans le cas général d’un circuit C en mouvement dans un champ
magnétique dépendant du temps, la force électromotrice induite dans le circuit
prend la forme
!
−→
!m · −
e=
E
dM
(86)
C
! m qui est la somme d’une composante
pour un certain champ électromoteur E
d’origine électrique et d’une composante d’origine non-électrique que l’on explicitera.
2. Soit un contour fermé C (t) qui se déplace au cours du temps, !v (M, t) étant la
vitesse d’un point M du contour à l’instant t. Soit !a(M, t) un champ de vecteurs
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à flux conservatif, et soit ϕ(t) le flux de ce champ de vecteurs à travers C (t) à
l’instant t. Montrer que
""
!
#
$ −−→
dϕ
∂!a
=
· !n dS +
!a × !v · dM ,
(87)
dt
Σ(t) ∂t
C (t)
où Σ(t) est n’importe quelle surface s’appuyant sur le contour C (t) et orientée
par lui.
3. Déduire de la question précédente que la force électromotrice induite (86) s’écrit
e=−
dφ
,
dt
(88)
où φ est le flux du champ magnétique à travers le circuit électrique.
Le point remarquable est que la formule (88) tient compte, dans tous les cas
de figure, à la fois des composantes électriques et non-électriques du champ
électromoteur.
5. La loi de Lenz
La loi de Lenz est une loi qualitative qui donne une interprétation au signe − dans
la formule (88) : les courants induits circulent toujours dans un sens tel que par leurs
actions ils s’opposent à la cause qui les crée. Ce principe est très pratique et permet
de décrire qualitativement, sans avoir à faire de calcul, les effets des phénomènes
d’induction (sens des courants induits et du champ magnétique qui en résulte, forces
qui s’exercent entre circuits, etc. . . ).
(*) Illustrer la loi de Lenz sur quelques exemples (par exemple en discutant le
sens des courants induits et les forces qui s’exercent lorsque l’on approche ou que l’on
éloigne un aimant d’un circuit, ou lorsque l’on déforme un circuit en présence d’un
champ magnétique extérieur).
La loi de Lenz régit tous les phénomènes d’induction électromagnétique et nous
en verrons de multiples exemples dans la suite.
!
6. La notion de d.d.p. n’est pas bien définie dans un champ B(t)
variable
La loi de Faraday implique qu’en présence d’un champ magnétique variable le
champ électrique n’est pas à circulation conservative. En particulier, la notion de
potentiel du champ électrique ou de différence de potentiel ne peut plus être définie
sans ambiguı̈té et n’a donc plus aucune signification physique. Pour illustrer ce fait,
73
A
V1
R1
B(t)
R2
V2
B
Fig. 2 – Circuit plongé dans un champ magnétique variable. On branche deux voltmètres, qui mesurent les tensions V1 et V2 aux mêmes bornes A et B. En raison du
phénomène d’induction électromagnétique, V1 != V2 .
!
considérons le montage de la Fig. 2. Un champ magnétique variable B(t)
règne dans
la maille centrale du circuit. Il est créé par un solénoı̈de traversant la maille centrale
perpendiculairement au plan du circuit et parcouru par une intensité variable. En
raison de ce champ variable, in existe une force électromotrice induite e != 0 dans la
maille (on oriente la maille comme indiqué sur la figure).
(*) Les voltmètres mesurent les “d.d.p.” V1 et V2 . Calculer V1 et V2 . Montrer que,
bien que les voltmètres soient branchés aux mêmes bornes, V1 != V2 . Que vaut V1 −V2 ?
7. Quelques applications
Nous discutons ci-dessous quelques applications des phénomènes d’induction électromagnétique. D’autres applications seront discutées dans les chapitres suivants.
1. (*)
(a) Que sont les courants de Foucault ?
(b) Expliquer qualitativement le principe des plaques de cuisson à induction.
(c) Expliquer qualitativement le principe du freinage magnétique. Donner quelques
exemples (par exemple : chute d’un aimant dans un tube en aluminium ;
freinage magnétique des trains ou des camions).
74
ω
B
R
I
Fig. 3 – Une roue conductrice (grisée sur la figure), de rayon ), plongée dans un
! perpendiculaire à son plan, peut tourner autour de
champ magnétique constant B
son axe à la vitesse angulaire ω. On relie un fil électrique au centre de la roue d’une
part et à l’extrémité de celle-ci d’autre part (le contact se faisant par exemple par
l’intermédiaire d’une brosse). La résistance du circuit fermé ainsi constitué est R. Plusieurs applications de ce montage (compteur d’électricité, dynamo, ...) sont discutées
dans le texte principal.
2. (*) On considère le montage de la Fig. 3. Les effets de l’auto-inductance pour
ce montage sont faibles et on les négligera dans la suite.
(a) Dans cette question, on suppose qu’un générateur est présent dans le circuit (même s’il n’est pas représenté sur la figure) et qu’il fait circuler une
! dû à la force de Laplace, qui
intensité I constante. Calculer le couple C,
s’exerce sur la roue. Expliquer le principe de fonctionnement d’un compteur
d’électricité.
(b) Dans cette question, il n’y a plus de générateur branché dans le circuit.
Par contre, un opérateur extérieur fait tourner la roue à la vitesse angulaire
constante ω.
i. Montrer qu’un courant circule et calculer son intensité I.
ii. Quelle est la puissance développée par l’opérateur ? Que devient l’énergie qu’il fournit ?
iii. L’opérateur lache la roue. Que se passe-t-il (on néglige toute force
de frottement) ? On calculera ω(t) de deux manières différentes, l’une
75
en utilisant le résultat de la question 2a, l’autre en faisant un bilan
d’énergie. On notera J le moment d’inertie de la roue par rapport à
son axe. Commenter sur l’efficacité du freinage magnétique.
iv. Expliquer le principe de fonctionnement d’une dynamo de vélo.
3. (*) On considère un cadre rectangulaire en rotation à la vitesse angulaire ω
autour d’un axe (Oz) qui est contenu dans son plan, parallèle à deux de ses
arêtes et passe en son centre. Le cadre est plongé dans un champ magnétique
! = B!ux . Les effets de l’auto-inductance dans ce problème sont faibles
constant B
et on les négligera.
(a) Calculer le courant électrique qui circule dans le cadre.
(b) Expliquer le principe de fonctionnement d’un alternateur et comment il est
utilisé dans une centrale électrique (thermique, hydraulique ou nucléaire).
(c) Expliquer comment on peut produire aisément du courant alternatif multiphasé (par exemple triphasé). Pouvez-vous citer une utilisation intéressante
du courant multiphasé ?
4. (*) Expliquer le principe de fonctionnement d’un transformateur (on pourra
effectuer un calcul explicite dans le cas où le couplage entre le primaire et le
secondaire est parfait). Quel est l’intérêt de cet appareil ?
5. Les gaz, dans un moteur de voiture, sont enflammés par un arc électrique créé
par un dispositif simple appelé une bougie. Il y a une bougie dans chaque cylindre du moteur, et les bougies produisent chacune un éclair à chaque tour de
moteur (ceci fait combien d’éclairs par minute dans la Ferrari 599X qui est un
V12 pouvant tourner jusqu’à 9000 tours par minute ?). Pour produire un éclair,
la d.d.p. aux bornes des pointes des bougies doit être de l’ordre de 100 000 V.
Comment peut-on réaliser cela, sachant que les voitures (même les Ferrari !) ne
sont munies que d’une batterie de 12 V ?
6. Lorsque l’on approche un aimant d’une barre de fer, les domaines de Weiss de la
barre ont tendance à s’aligner avec le champ magnétique de l’aimant. Décrire un
dispositif permettant d’entendre (littéralement !) les domaines de Weiss s’aligner
(effet Barkhausen).
7. (*) Un moteur asynchrone (aussi appelé moteur à induction) est constitué par
un rotor cylindrique d’axe (Oz) dont la section est un polygone régulier à n
côtés (voir Fig. 4). Chacune des faces du rotor est un rectangle de surface S. On
prendra ces rectangles creux, et chaque face sera assimilée à un circuit fermé
rectangulaire de résistance R. Le stator, constitué d’un jeu de bobines alimentées en courant alternatif triphasé de pulsation ω, crée un champ magnétique
76
Fig. 4 – Le rotor en forme de cage d’un moteur asynchrone (dans le cas n = 6). Les
boucles de courant sont indiquées en gras sur la figure.
uniforme tournant dans le plan (Ox, Oy) dans lequel le rotor est plongé. On repère la position angulaire du rotor par l’angle θ (sa vitesse de rotation angulaire
est donc θ̇). On négligera les effets de l’auto-induction.
(a) Calculer le flux du champ magnétique à travers chaque boucle rectangulaire
et en déduire la force électromotrice induite et l’intensité qui circule dans
les boucles.
(b) En déduire le couple de force qui s’exerce sur chaque boucle puis sur le
rotor tout entier.
(c) Quelle est la vitesse angulaire maximale d’un moteur asynchrone ? Comment peut-on varier cette vitesse ?
Les moteurs asynchrones ont remplacé les moteurs à commutateurs (qui
fonctionnent en courant continu) dans de nombreuses applications (ils
équipent par exemple les TGV modernes).
8. Un problème très important et non-résolu de la géophysique moderne est de comprendre l’origine du champ magnétique terrestre. Qualitativement, on pense que
ce champ apparaı̂t spontanément en raison des mouvements de convection du
fer liquide dans le noyau de la Terre. Cependant, résoudre le problème complètement à partir des équations est extrêmement difficile, en particulier en raison
du caractère turbulent des écoulements dans le noyau. Notre but ici est de montrer, sur un modèle extrêmement simple, comment un champ magnétique peut
77
z
ω
O
I
Fig. 5 – La dynamo de Bullard.
apparaı̂tre spontanément sous certaines conditions. Cette dynamo de Bullard
est censée donner au moins une idée qualitative de certains des mécanismes à
l’œuvre dans le noyau.
Le dispositif est représenté sur la Fig. 5. La barre est animée d’un mouvement
de rotation à la vitesse angulaire ω imposée par un opérateur extérieur (ce mouvement modèlise les mouvements du fer liquide dans le noyau terrestre ; dans ce
cas les mouvements sont produits par la convection due aux différences de température). Elle repose sur un anneau conducteur fixe de rayon ) et est attachée
à l’axe de rotation, lui aussi conducteur. Un fil conducteur relie l’anneau fixe à
l’axe de rotation de la barre, selon une géométrie particulière qui, comme on le
verra, produit un effet de contre-réaction positive sur le phénomène d’induction
électromagnétique.
Si un courant I circule, un champ magnétique est créé. On supposera que ce
champ est essentiellement dû aux spires de courant inférieures. Ces spires sont
des cercles centrés sur l’axe de rotation. On note M la mutuelle inductance
entre les spires inférieures et l’anneau conducteur fixe. L est l’auto-inductance
des spires inférieures (qui est à peu près égale à l’auto-inductance du circuit dans
son ensemble). On note aussi R la résistance totale du circuit (qui est considérée
comme constante). On n’applique aucun champ externe dans le problème.
(a) On pourra utiliser des coordonnées cylindriques (ρ, θ, z), l’axe (Oz) correspondant à l’axe de rotation et l’origine O étant le centre de l’anneau
78
fixe.
i. On veut que M > 0. Ceci correspond à une orientation de l’anneau
que l’on précisera (les spires étant orientées comme sur la figure).
! le champ magnétique créé par les spires inférieures. Montrer
ii. Soit B
que
"
!
ρBz (ρ, z = 0) dρ =
0
MI
·
2π
(89)
(b) Montrer que la force électromotrice totale dans le circuit se décompose
en une composante électrique eE et une composante non-électrique eB .
Exprimer eE et eB en fonction de L, M , I et ω.
(c) Écrire l’équation différentielle satisfaite par I. Montrer que si M ω > 2πR
il peut apparaı̂tre spontanément une intensité dans le circuit et donc un
champ magnétique. Qu’est-ce qui limite ce champ magnétique ? (on pourra
calculer le moment de force qui s’exerce sur la barre).
79