L`induction électromagnétique et la loi de Faraday (Tous les

L’induction ´ electromagn´ etique et la loi de Faraday
(Tous les cours ` a partir du cours XIX)
Le ph´enom`ene d’induction ´electromagn´etique peut ˆetre mis en ´evidence par les
deux exp´eriences simples suivantes. On utilise un circuit ´electrique Cqui est un simple
fil ´electrique formant un contour ferm´e. Il n’y a aucun g´en´erateur dans le circuit. Le
circuit s’apparente donc `a une simple r´esistance. On branche un galvanom`etre pour
pouvoir mesurer l’intensit´e Iqui circule dans C.
•Exp´erience A
On place le circuit dans un champ magn´etique ind´ependant du temps. Par exemple,
on utilise un aimant fixe pour cr´eer ce champ. Si on met Cen mouvement (ou si on
le d´eforme), on observe I!= 0. Si on maintient le circuit fixe (mˆeme tr`es proche de
l’aimant), I= 0. L’effet observ´e est plus important si les mouvements du circuit sont
violents. Il est aussi plus important si Cest un sol´eno¨ ıde, et encore plus important si
on ins`ere un noyau de fer dans le sol´eno
¨
ıde.
•Exp´erience B
Le circuit est fixe. On approche un aimant. On observe que I!=0pendant que
l’aimant est en mouvement. Si on maintient l’aimant fixe (mˆeme tr`es proche du cir-
cuit), I= 0. L’effet observ´e est plus important si les mouvements de l’aimant sont
violents. Il est aussi plus important si Cest un sol´eno¨ ıde, et encore plus important si
on ins`ere un noyau de fer dans le sol´eno
¨
ıde.
Ces ph´enom`emes d’induction ´electromagn´etique sont absolument fondamentaux.
Ils sont `a la base de toute notre ´economie moderne puisque c’est grˆace `a eux que l’on
peut produire de l’´electricit´e avec une grande puissance, comme nous le verrons. Nous
allons chercher `a expliquer les exp´eriences A et B dans la suite.
1. Compl´ements sur la loi d’Ohm et ses cons´equences
Nous avons vu (section 2 du cours sur la loi d’Ohm et l’effet Joule) que, dans le cas
du r´egime permanent, l’intensit´e le long d’une branche de circuit est ind´ependante du
point de la branche consid´er´e (c’est un cas particulier de la loi des nœuds). Ce r´esultat
simple permettait de calculer facilement la circulation du courant ´electrique ! Jle long
d’une branche de circuit et d’en d´eduire une formule pour la r´esistance en particulier.
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Nous voudrions voir comment l’analyse peut se g´en´eraliser au cas o`u le r´egime n’est
plus permanent (et en particulier l’intensit´e dans le circuit peut d´ependre du temps).
Pour simplifier, on consid`ere que le circuit Cest fixe. Soit zla coordonn´ee le long
de C(zest l’abscisse curviligne), !ule vecteur tangent unitaire le long du contour. Le
courant ´electrique est ! J=J(z, t)!uet la densit´e de charge ´electrique ρ(z, t).
1. (*) En utilisant la loi d’Ohm, montrer que le champ ´electrique est de la forme
!
E=E(z, t)!u.
2. (*) ´ Ecrire la loi de conservation de la charge pour une surface ferm´ee englobant
une petite portion de longueur dzdu fil ´electrique et en d´eduire que
∂ρ
∂t+∂J ∂z=0.(74)
3. (*) ´ Ecrire le th´eor`eme de Gauss pour la mˆeme surface ferm´ee que dans la ques-
tion pr´ec´edente et en d´eduire que
∂E
∂z=ρ $0
·(75)
4. (*) Montrer que
∂ρ
∂t+σ $0
ρ=0.(76)
En d´eduire que toute fluctuation produisant ρ!= 0 `a un instant donn´e est
presque imm´ediatement ´elimin´ee en un temps caract´eristique τque l’on cal-
culera en fonction de σet $0; calculer num´eriquement τpour un conducteur
m´etallique standard.
En conclusion, on peut toujours consid´erer que ρ"0, mˆeme dans un r´egime
d´ependant du temps, tant que les fr´equences mises en jeu sont petites devant
1/τ(en particulier ce r´esultat est parfaitement valable pour les fr´equences de
50 Hz utilis´ees dans beaucoup d’applications).
5. (*) D´eduire des r´esultats ci-dessus que J(z, t) ne d´epend pas de z, c’est-`a-dire
que le courant ´electrique reste le mˆeme le long d’une branche de circuit. Plus
g´en´eralement, comment s’´ecrit la loi des nœuds ?
Les ´electrons de conduction (ou, plus g´en´eralement, les charges mobiles) d’un
conducteur plong´e dans un champ ´electrique ! Esont soumis `a la force de Coulomb
q! E. Nous avons vu dans un chapitre pr´ec´edent que ceci entraˆınait l’apparition d’un
courant ´electrique macroscopique dans le conducteur, de la forme ! J=σ! E, o`u σest
la conductivit´e du conducteur.
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Les ´electrons de conduction ne font bien sˆur pas de discrimination entre les diff´e-
rentes forces qui peuvent d’exercer sur eux. Si la force prend la forme q! E, o`u ! Eest
un certain champ de vecteurs qui ne co¨ ıncide pas forc´ement avec le champ ´electrique,
alors la loi d’Ohm s’´ecrira
!
J=σ! E.(77)
Nous avons montr´e ci-dessus que la densit´e de charge dans un conducteur reste
tr`es proche de z´ero lorsque ! E=! Eest le champ ´electrique. Nous admettrons que
ce r´esultat, et donc toutes ses cons´equences, reste valable dans le cas plus g´en´eral
consid´er´e ici.
1. (*) Montrer que
!C
!
E·−−→ dM=RI (78)
si Rest la r´esistance du circuit et Il’intensit´e qui le parcourt. En d´eduire
qu’une intensit´e peut circuler dans le circuit, mˆeme en l’absence de g´en´erateur,
`a condition que le champ ! Ene soit pas `a circulation conservative. La quantit´e
e=!C
!
E·−−→ dM(79)
s’appelle la force ´electromotrice induite dans le circuit.
2. (*) Comment est modifi´ee (78) dans le cas o`u le circuit contient des g´en´erateurs
de tension ? Justifier l’appellation “force ´electromotrice induite” pour la quantit´e
d´efinie en (79).
2. Explication de l’exp´erience A
Nous avons maintenant tout en main pour pouvoir expliquer l’exp´erience A.
1. (*) Montrer que, dans les conditions de l’exp´erience A, une charge de conduction
qplac´ee au voisinage d’un point Mdu circuit est soumise `a une force
!
f=q(!w+!v)×! B(M),(80)
o`u !west la vitesse de la charge par rapport au circuit et !vla vitesse du point
Mdu circuit. En d´eduire ! Edans ce cas.
2. (*) Montrer que, en moyenne, !west parall`ele au vecteur tangent au circuit
et que donc le terme !w×! Bne peut pas contribuer, en moyenne, `a la force
´electromotrice induite (79).
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3. (*) En d´eduire que la force ´electromotrice induite s’´ecrit
e=!C
!
Em·−−→ dM(81)
o`u le champ ´electromoteur ! Emest
!
Em=!v×! B. (82)
Attention : la vitesse !vqui intervient dans l’´equation pr´ec´edente est la vitesse
du circuit et non pas celle des ´electrons !
4. (*) En remarquant que le calcul de l’int´egrale (81) pour le champ ´electromoteur
(82) est essentiellement le mˆeme que celui, d´ej`a fait dans un cours pr´ec´edent,
du travail de la force de Laplace, en d´eduire que ! Emn’est pas, en g´en´eral, `a
circulation conservative et que la force ´electromotrice induite est
e=−dφ
dt,(83)
o`u φest le flux du champ magn´etique `a travers le circuit.
5. (*) Expliquer toutes les facettes des ph´enom`enes observ´es dans l’exp´erience A.
3. Explication de l’exp´erience B et la loi de Faraday
Dans le cas de l’exp´erience B, le circuit ´etant fixe, la seule force ´electromotrice
possible est la force de Coulomb...
1. (*) Montrer que le r´esultat de l’exp´erience A d´emontre que le champ ´electrique
ne peut ˆetre `a circulation conservative en pr´esence d’un champ magn´etique
d´ependant du temps.
2. (*) Quelle est la cons´equence pour la notion de potentiel et de diff´erence de
potentiel ´electrique ?
Les cons´equences de l’exp´erience A, et de multiples autres exp´eriences du mˆeme
type, peuvent s’interpr´eter `a l’aide de la loi de Faraday. C’est une grande loi de la
Physique, toujours vraie, l’une des quatre ´equations de Maxwell. Elle s’´enonce comme
suit.
La circulation du champ ´electrique le long d’un contour ferm´e fixe quelconque est ´egale
`a l’oppos´e de la variation du flux du champ magn´etique `a travers le contour.
Il faut noter que dans l’´enonc´e de la loi de Faraday, le contour consid´er´e est un
contour math´ematique quelconque qui n’a rien `a voir a priori avec un circuit ´electrique.
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Le champ d’application de cette grande loi de la Physique ne se limite d’ailleurs
´evidemment pas au cas des circuits ´electriques ! Cependant, dans la pratique, lorsque
nous ´etudions des circuits ´electriques, la loi est souvent appliqu´ee le long d’un contour
co¨ ıncidant avec une maille d’un circuit ´electrique.
Noter ´egalement que la loi de Faraday fait intervenir les variations de flux et non
pas le flux lui-mˆeme.
Noter enfin que l’´enonc´e de la loi de Faraday pr´esuppose que l’on sache que le
champ magn´etique est `a flux conservatif. Dans le cas contraire, la notion de flux du
champ `a travers le contour n’aurait aucun sens.
Math´ematiquement, la loi s’´ecrit
!C
!
E·−−→ dM=−dφ
dt=−d dt""Σ
!
B·!ndS, (84)
o`u dans la deuxi`eme ´egalit´e on a introduit une surface Σquelconque s’appuyant sur
le contour Cet orient´ee par lui, ∂Σ=C. Comme le contour Cest fixe dans l’´enonc´e
de la loi de Faraday, on peut aussi ´ecrire (84) comme
!C
!
E·−−→ dM=−""Σ
∂! B
∂t·!ndS. (85)
Sous cette forme, la loi de Faraday ne d´epend pas du fait que Csoit fixe ou non ;
l’´egalit´e (85) est automatiquement valable `a tout temps tpour un certain contour C
donn´e au temps t.
(*) Expliquer toutes les facettes des ph´enom`enes observ´es dans l’exp´erience B.
4. Le cas g´en´eral d’un circuit en mouvement dans un champ ! B(t)variable
1. Montrer que dans le cas g´en´eral d’un circuit Cen mouvement dans un champ
magn´etique d´ependant du temps, la force ´electromotrice induite dans le circuit
prend la forme
e=!C
!
Em·−−→ dM(86)
pour un certain champ ´electromoteur ! Emqui est la somme d’une composante
d’origine ´electrique et d’une composante d’origine non-´electrique que l’on expli-
citera.
2. Soit un contour ferm´e C(t) qui se d´eplace au cours du temps, !v(M, t) ´etant la
vitesse d’un point Mdu contour `a l’instant t. Soit !a(M, t) un champ de vecteurs
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