"Introduction au calcul des matrices aléatoires" (J. Najim, ENST)

Introduction au calcul des matrices al´eatoires
Jamal Najim
CNRS et ENST
[email protected]
Journ´ee du GDR ISIS,
le 10 janvier 2007.
Pr´esentations bientˆot disponibles en ligne
http://www.tsi.enst.fr/∼najim/gdr/

G´en´eralit´es sur les matrices al´eatoires
Le mod`ele matriciel consid´er´e
Quel mod`ele al´eatoire pour les entr´ees de la matrice Y?
Nos objectifs
La transform´ee de Stieltjes
G´en´eralit´es
Lien avec les matrices al´eatoires
R´esultats asymptotiques
La loi de Marˇcenko-Pastur
Le mod`ele i.i.d. non centr´e
R´esultats non asymptotiques
Le cas du mod`ele `a corr´elation s´eparable non centr´e
Un ´equivalent d´eterministe pour le logdet

G´en´eralit´es sur les matrices al´eatoires
G´en´eralit´es sur les matrices al´eatoires
Le mod`ele matriciel consid´er´e
Quel mod`ele al´eatoire pour les entr´ees de la matrice Y?
Nos objectifs
La transform´ee de Stieltjes
R´esultats asymptotiques
R´esultats non asymptotiques

G´en´eralit´es sur les matrices al´eatoires Le mod`ele matriciel consid´er´e
Introduction
On consid`ere une matrice Yndont les entr´ees (r´eelles ou
complexes) sont des variables al´eatoires dont il faudra pr´eciser la
nature. La matrice Ynest de taille N×no`u:
N
n−−−→
n→∞
c∈(0,∞).
On s’int´eresse `a la matrice de Gram YY T(ou YY ∗si Yest
complexe) et surtout `a son spectre lorsque ntend vers ∞.

G´en´eralit´es sur les matrices al´eatoires Quel mod`ele al´eatoire pour les entr´ees de la matrice Y?
Le mod`ele al´eatoire pour Y
On s’int´eressera au mod`ele suivant:
Y=1
√nD1
2X˜
D1
2+A
o`u:
IXest une matrice al´eatoire de taille N×ndont les entr´ees Xij
sont centr´ees, ind´ependantes et identiquement distribu´ees
(la loi ne d´epend pas de n);
IAest une matrice d´eterministe de taille N×n.Aest appel´ee
matrice de centrage.
IDest une matrice diagonale de taille N×Ndont les ´el´ements
sont positifs. Dest appel´ee matrice de corr´elation `a
gauche;
I˜
Dest une matrice diagonale de taille n×ndont les ´el´ements
sont positifs. ˜ Dest appel´ee matrice de corr´elation `a droite;