LE GROUPE FONDAMENTAL ´ETALE D`UN ESPACE - IMJ-PRG

LE GROUPE FONDAMENTAL ´ ETALE D’UN ESPACE HOMOG ` ENE
D’UN GROUPE ALG ´ EBRIQUE LIN ´ EAIRE
CYRIL DEMARCHE
R´ ESUM ´ E. Soit Xun espace homog` ene d’un groupe alg´ ebrique lin´ eaire connexe Gsur un
corps kalg´ ebriquement clos d’exposant caract´ eristique p. Soit x∈X(k). On d´ esigne par H
le stabilisateur de xdans Get on suppose Hconnexe ou ab´ elien.
Dans ce texte, on calcule explicitement la partie premi` ere ` apdu groupe fondamental
´
etale π´
et
1(X,x)de X, en termes des groupes de caract`
eres de Get H.
On donne une application de cette formule ` a une variante de la conjecture des sections
pour les espaces homog` enes.
ABSTRACT. Let Xbe a homogeneous space of a connected linear algebraic group G
defined over an algebraic closed field kof characteristic exponent p. Let x∈X(k). We
denote by Hthe stabilizer of xin Gand we assumed that His connected or abelian.
In this text, we compute explicitely the prime-to-p-part of the ´ etale fundamental group
π´
et
1(X,x)in terms of the character groups of Gand H.
As an application, we prove a variant of the section conjecture for homogeneous spaces.
0. INTRODUCTION
Soit kun corps alg´ ebriquement clos d’exposant caract´ eristique p≥1. Le groupe
fondamental ´ etale des groupes alg´ ebriques connexes sur ket de leurs espaces homog` enes
a´ et´ e´ etudi´ e r´ ecemment par Brion et Szamuely dans [BrSz]. Ces auteurs ont notamment
d´ ecrit les revˆ etements galoisiens premiers ` apde ces espaces homog` enes et en ont d´ eduit
une majoration du rang de leur groupe fondamental premier ` ap(voir [BrSz], th´ eor` eme
1.2).
Dans ce texte, on s’int´ eresse au cas o` u le groupe ambiant est lin´ eaire, et on pr´ ecise les
r´ esultats sus-mentionn´ es, en d´ emontrant une formule explicite pour le groupe fondamental
d’un espace homog` ene (sous une certaine hypoth` ese de connexit´ e sur les stabilisateurs).
Si Xest un espace homog` ene sur kd’un k-groupe lin´ eaire connexe G` a stabilisateur H
connexe ou ab´ elien, notre formule fait intervenir les groupes de caract` eres de Get H.
0.1. Dans les trois premi` eres parties de ce texte, kest un corps alg´ ebriquement clos
d’exposant caract´ eristique p≥1, et une vari´ et´ e sur kest un k-sch´ ema int` egre, s´ epar´ e et
de type fini. Par convention, tous les revˆ etements ´ etales galoisiens sont suppos´ es connexes.
Soit Xune vari´ et´ e sur k, et soit x∈X(k).
On d´ esigne par π´
et
1(X,x)le groupe fondamental ´
etale de la vari´ et´ e point´ ee (X,x);
voir Szamuely [Sz, Section 5.4]. C’est un groupe topologique profini. On pose b Z(1) =
π´
et
1(Gm,k,1).
On pose ´ egalement
π´
et
1(X,x)(−1):=Homcont(b
Z(1),π´
et
1(X,x)),
2010 Mathematics Subject Classification. Primary: 14F35, 14M17, 20G20.
Key words and phrases. ´ Etale fundamental group, homogeneous space, linear algebraic group.
L’auteur a b´ en´ efici´ e d’une aide de l’Agence Nationale de la Recherche portant la r´ ef´ erence ANR-12-BL01-
0005.
1

2 CYRIL DEMARCHE
l’ensemble point´ e des homomorphismes continus de b Z(1)vers π´
et
1(X,x).
Si on suppose que le groupe π´
et
1(X,x)est ab´
elien, alors π´
et
1(X,x)(−1)est
canoniquement un groupe ab´ elien, qui est non canoniquement isomorphe au groupe
π´
et
1(X,x)(l’isomorphisme d´
epend du choix d’un isomorphisme entre b Z(1)et b Z).
Par fonctorialit´ e, un morphisme de k-vari´ et´ es point´ ees f:(Gm,k,1)→(X,x)d´ efinit un
´
el´ ement
f´
et
∗∈Homcont(b
Z(1),π´
et
1(X,x)) = π´
et
1(X,x)(−1).
De mˆ eme, on note π´
et
1(X,x)(p0)le quotient maximal premier `
apdu groupe fondamental
´
etale de Xet on d´ efinit
π´
et
1(X,x)(p0)(−1) = Homcont(π´
et
1(Gm,k,1)(p0),π´
et
1(X,x)(p0)).
On note enfin Z(p0)le produit direct des anneaux Zpour 6=p.
Notations 0.2. Soit Gun groupe alg´ ebrique lin´ eaire connexe d´ efini sur k. On utilise les
notations suivantes :
Guest le radical unipotent de G;
Gred =G/Gu, qui est un groupe r´ eductif ;
Gss = [Gred,Gred], qui est semi-simple ;
Gsc est le revˆ etement universel de Gss, il est simplement connexe ;
Gtor =Gred/Gss, qui est un tore ;
Gssu =ker[G→Gtor], qui est une extension d’un groupe semi-simple connexe par un
groupe unipotent.
On remarque que Gtor est le plus grand quotient torique de Get que Gssu est connexe et
sans caract` eres.
Si Test un tore sur k, on ´ ecrit T∗pour le groupe des cocaract` eres de T, c’est-` a-dire T∗:=
Homk(Gm,k,T). On a en particulier T∗∼
=Hom(b
T,Z), o` ub Test le groupe des caract` eres de
T.
Si Hun groupe alg´ ebrique lin´ eaire sur k, on ´ ecrit π0(H) = H/H0, o` uH0est la
composante neutre de H.
0.3. Soit Xun espace homog` ene d’un groupe alg´ ebrique lin´ eaire connexe Gd´ efini sur k.
On choisit un k-point x∈X(k)et on pose H=StabG(x). On d´ esigne par Hmult le groupe
quotient maximal de Hde type multiplicatif. On pose Hkercar :=ker[H→Hmult]. Alors
Hkercar est l’intersection des noyaux de tous les caract` eres χ:H→Gm,kde H. On suppose :
(i) Pic(G) = 0,
(ii) Hkercar est connexe.
On remarque que (i) est satisfait si et seulement si Gss est simplement connexe (voir Sansuc
[S], Lemme 6.9 et Remarques 6.11.3) et que (ii) est satisfait si Hest connexe ou si kest de
caract´ eristique 0 et Hest ab´ elien.
On note b G:=Hom(G,Gm,k)et b H:=Hom(H,Gm,k). On ´ ecrit aussi
Ext0
Z(b
G→b H,Z):=Ext0
Z([ b
Gi∗ −−→ b Hi,Z),
o` u[b Gi∗ −−→ b Hiest un complexe en degr´ es 0 et 1, et l’homomorphisme i∗est induit par
l’inclusion i:H→G(voir §2.1 ci-dessous pour la definition de Ext0
Z).
En utilisant des r´ esultats de Brion et Szamuely [BrSz], on d´ emontre dans ce texte le
th´ eor` eme suivant :
Th´ eor` eme 0.4 (Th´ eor` eme 3.1).Soit k un corps alg´ ebriquement clos d’exposant
caract´ eristique p ≥1. Soit G/k un groupe lin´ eaire connexe lisse et X/k un espace
homog` ene de G. Soit x ∈X(k), on pose H :=StabG(x). On suppose que Pic(G) = 0, H
est lisse et Hkercar est connexe. Alors il existe un isomorphisme canonique de groupes
topologiques ab´ eliens :
Ext0
Z(b
G→b H,Z)⊗ZZ(p0)
∼
→π´
et
1(X,x)(p0)(−1).

GROUPE FONDAMENTAL D’UN ESPACE HOMOG ` ENE 3
Le th´ eor` eme 0.4 g´ en´ eralise et pr´ ecise le cas particulier du th´ eor` eme 1.2(b) de [BrSz] o` u
Gest un groupe lin´ eaire, et a ´ et´ e inspir´ e par ce th´ eor` eme de Brion et Szamuely. Remarquons
´
egalement que l’hypoth` ese de lissit´ e sur Hpeut ˆ etre enlev´ ee (voir [BrSz], d´ ebut de la
section 3). Notons enfin que si kest de caract´ eristique nulle (i.e. p=1) et si H=1, alors
ce th´ eor` eme est un r´ esultat classique de Merkurjev (voir [Me, §10.1]) et Borovoi (voir
[B3], proposition 1.13).
Dans la derni` ere partie de ce texte, on applique le th´ eor` eme 0.4 ` a une variante de la
conjecture des sections pour les espaces homog` enes (voir le th´ eor` eme 4.6). Ce r´ esultat
g´ en´ eralise des travaux de Stix (voir [St], chapitre 13).
1. PAIRES AUXILIAIRES
Dans cette partie, on rappelle les constructions de groupes et d’espaces homog` enes
auxiliaires, dont nous avons besoin pour notre d´ emonstration du th´ eor` eme 0.4. L’objectif
est d’associer ` a un espace homog` ene Xd’un k-groupe alg´ ebrique Gv´ erifiant les hypoth` eses
du th´ eor` eme 0.4, des espaces homog` enes Y,Zet Wde certains k-groupes (GY,GZet GW
respectivement), avec des morphismes de paires
(G,X)←(GY,Y)→(GZ,Z)→(GW,W),
qui vont permettre (dans les sections suivantes) de d´ emontrer le th´ eor` eme 0.4
successivement pour W,Z,Yet enfin pour X. On utilise pour cela des constructions de
[B2], [BCTS] et [BoSc].
1.1. Construction de l’espace homog` ene Y . Soit Xun espace homog` ene d’un k-groupe
alg´ ebrique lin´ eaire connexe lisse Gd´ efini sur un corps alg´ ebriquement clos kde
caract´ eristique quelconque. On suppose que Pic(G) = 0.
On choisit un k-point x∈X(k). On note Hle stabilisateur de xdans G. Pour l’´ etude du
groupe fondamental de X, on peut supposer sans perte de g´ en´ eralit´ e que Hest lisse (voir
[BrSz], d´ ebut de la section 3). On ne suppose pas en revanche que Hest connexe.
On dispose d’un homomorphisme canonique Hmult →Gtor, qui n’est g´ en´ eralement pas
injectif.
Choisissons un plongement j:Hmult →Qde Hmult dans un k-tore Q. On consid` ere le
plongement
j∗:H→G×kQ,h7→ (h,j(m(h))),
o` um:H→Hmult est l’´ epimorphisme canonique. On pose
GY=G×kQ,HY=j∗(H)⊂GY,Y=GY/HY,y=1·HY∈Y(k).
La projection π:GY=G×Q→Gsatisfait π(HY) = H, et elle induit une application
π∗:Y→Xtelle que π∗(y) = x. On voit ais´ ement que Yest un torseur sur Xsous le tore Q.
On obtient un morphisme de paires
(GY,Y)→(G,X).
On remarque que l’homomorphisme Hmult
Y→Gtor Yest injectif, donc
HY∩Gssu
Y=Hkercar Y∼
=Hkercar.
1.2. Construction de l’espace homog` ene Z. On pose GZ=Gtor
Y=GY/Gssu Y, o`
uGssu
Y:=
ker[GY→Gtor
Y]. On a un homomorphisme canonique µ:GY→GZ. Alors GZest un k-tore
et on a c GZ=c GY.
L’inclusion i:H→Ginduit un homomorphisme imult :Hmult →Gmult =Gtor. On
obtient un plongement
ι:Hmult →Gtor ×kQ,h7→ (imult(h),j(h)).
On pose
Z=Y/Gssu
Y= (Gtor ×kQ)/ι(Hmult),

4 CYRIL DEMARCHE
alors on a une application µ∗:Y→Z, dont la fibre au-dessus du k-point z:=µ∗(y)∈Z(k)
est isomorphe ` a
Gssu
Y/(HY∩Gssu Y)∼
=Gssu/Hkercar.
La vari´ et´ eZest un espace homog` ene du tore GZde stabilisateur HZ=Hmult
Y⊂Gtor Y=GZ.
On remarque que
c
HZ=[ Hmult
Y=c
HY.
Enfin, on a un morphisme de paires
(GY,Y)→(GZ,Z).
1.3. Construction de l’espace homog` ene W . On pose GW=GZ/HZ,W=Z,w=z, alors
West un espace principal homog` ene du tore GW. On a un morphisme naturel de paires
(GZ,Z)→(GW,W).
2. CAS D’UN STABILISATEUR CONNEXE
Dans cette section, on s’int´ eresse ` a un cas particulier du th´ eor` eme 0.4 (voir le th´ eor` eme
2.4 ci-dessous), qui admet une preuve plus simple que ce dernier, via une suite exacte de
fibration.
On commence par d´ efinir quelques notations.
2.1. Soit K•un complexe born´ e dans une cat´ egorie ab´ elienne A, et soit Bun objet de A.
On d´ efinit
Exti
A(K•,B):=HomDb(A)(K•,B[i]),
o` uDb(A)est la cat´ egorie deriv´ ee des complexes born´ es dans A, et B[i]est le complexe
constitu´ e d’un objet Ben degr´ e−i. Si Aest un objet de A, on a
Exti
A(A[0],B) = HomDb(A)(A[0],B[i]) =: Exti A(A,B),
voir [GM, Def. III.5.3]. Par d´ efinition Ext0
A(A,B) = HomA(A,B).
On consid` ere la cat´ egorie des Z-modules (groupes ab´ eliens), et on ´ ecrit Exti
Zpour Ext
dans cette cat´ egorie. Soit Aun groupe ab´ elien. On ´ ecrit Ators pour le sous-groupe de torsion
de A, et on pose As.t.:=A/Ators, alors As.t.est sans torsion. Il est clair que Ext0
Z(A,Z) =
Hom(A,Z) = Hom(As.t.,Z).
Lemme 2.2 (bien connu).Soit A un groupe ab´ elien de type fini, alors Ext1
Z(A,Z)∼
=
Hom(Ators,Q/Z).
Id´ ee de la preuve. En utilisant la r´ esolution injective de Z
0→Z→Q→Q/Z→0,
on montre que
Ext1
Z(A,Z)∼
=coker[Hom(A,Q)→Hom(A,Q/Z)],
mais
coker[Hom(A,Q)→Hom(A,Q/Z)] = coker[Hom(As.t.,Q)→Hom(A,Q/Z)]
=Hom(A,Q/Z)/Hom(As.t.,Q/Z) = Hom(Ators,Q/Z).
On poursuit cette section par le lemme crucial suivant :
Lemme 2.3. Soient G,G0deux k-groupes alg´ ebriques connexes et f :(G,X,x)→
(G0,X0,x0)un morphisme d’espaces homog` enes ` a stabilisateurs respectifs H :=StabG(x)et
H0:=StabG0(x0), de sorte que le morphisme G →G0soit surjectif. On note G0:=ker(G→
G0)et X0:=f−1(x0). On suppose que H0, H et G0sont connexes. Alors on a une suite
exacte de groupes :
π´
et
1(X0,x)(p0)→π´
et
1(X,x)(p0)f∗
−→ π´
et
1(X0,x0)(p0)→1.

GROUPE FONDAMENTAL D’UN ESPACE HOMOG ` ENE 5
D´ emonstration. On d´ efinit les k-groupes lin´ eaires G1:=G×G0H0et H1:=H×GG1. Alors
on a une suite exacte canonique
1→G0→G1→H0→1,
donc en particulier le groupe G1est connexe. V´ erifions maintenant que X0est naturellement
un espace homog` ene de G1, de stabilisateur H1: en restreignant l’action de G1sur X` a la
sous-vari´ et´ eX0, on obtient un morphisme m:G1×X0→X. V´ erifions que X0est stable par
cette action de G1, c’est-` a-dire que le morphisme mse factorise en un morphisme G1×
X0→X0. L’image de G1par le morphisme G→G0est le sous-groupe H0de G0, et l’image
de X0par le morphisme fest le point x0, dont le stabilisateur dans G0est exactement H0.
Par cons´ equent, on voit que le morphisme compos´ eG1×X0
m
−→ Xf −→ X0est le morphisme
constant ´ egal ` ax0(i.e. il se factorise par x0: Spec(k)→X0), ce qui assure que le morphisme
mse factorise par l’inclusion X0=f−1(x0)→X, et donc md´ efinit bien une action de G1
sur X0. Il est alors clair que cette action est transitive et que le stabilisateur de xpour cette
action est exactement le sous-groupe H1=H×GG1de G1.
Montrons la surjectivit´ e de f∗. En utilisant [SGA1], expos´ e IX, corollaire 5.6, il suffit
de v´ erifier que fest un morphisme universellement submersif ` a fibres g´ eom´ etriquement
connexes, ce qui r´ esulte du fait que fest fid` element plat et quasi-compact (voir [SGA3],
expos´ e VIB, proposition 9.2.(xiii).a) : les deux morphismes G→G0et G0→X0sont
fid` element plats et de pr´ esentation finie), ainsi que du fait que G1est connexe.
Montrons maintenant l’exactitude de la suite en π´
et
1(X)(p0). Pour cela, on utilise le th´
eor` eme
1.2 de [BrSz]. En effet, suivant [Sz], corollaire 5.5.9, il suffit de montrer que pour tout
revˆ etement ´ etale galoisien Y→X, de degr´ e premier ` ap, tel que Y×XX0ait une section
sur X0, il existe un revˆ etement ´ etale fini connexe Y0→X0, de degr´ e premier ` ap, tel qu’une
composante connexe de Y0×X0Xsoit munie d’un X-morphisme surjectif vers Y. Soit donc
un revˆ etement ´ etale galoisien Y→X(de degr´ e premier ` ap) tel que Y0:=Y×XX0admette
une section s0:X0→Y0. Comme Hest connexe, le th´ eor` eme 1.2 de [BrSz] assure qu’il
existe un groupe lin´ eaire connexe e G, une isog´ enie centrale e G→Get un relev´ ee Hde H
dans e Gtel que Y=e G/e H. On a donc un diagramme commutatif exact de la forme :
1//µ//e
G// G// 1
Y=e G/e H//X=G/H,
o` uµest un k-groupe fini de type multiplicatif, central dans e G.
On d´ efinit alors le k-groupe f G1:=e G×GG1.
Consid´ erons le diagramme commutatif suivant :
e
G// G
f
G1//
@@
G1
@@
Y//X
Y0//
>>
X0
>>
,