Mécanique quantique (PHY311), promotion X 2013 Petite Classe 2

M´ecanique quantique (PHY311), promotion X 2013 Petite Classe 2
Mark Goerbig, go[email protected]d.fr
Transform´ee de Fourier, paquets d’onde et relation d’incerti-
tude
1 Transform´ee de Fourier
La transform´ee de Fourier (TF) ϕ(p) = T F[ψ(x)] d’une fonction d’onde (de carr´e) sommable
est d´efinie (ici `a une dimension) par :
T F[ψ(x)] = ϕ(p) = 1
√2π¯hZ+∞
−∞
dx e−ipx/¯hψ(x) (1)
La transform´ee de Fourier inverse est alors donn´ee par :
T FI[ϕ(p)] = ψ(x) = 1
√2π¯hZ+∞
−∞
dp eipx/¯hϕ(p) (2)
1. Comment la TF (1) et sa transformation inverse (2) s’´ecrivent-elles en trois dimensions de
l’espace ?
2. V´erifier rapidement les propri´et´es suivantes de la TF :
– Lin´earit´e : T F[a1ψ1(r) + a2ψ2(r)] = a1ϕ1(p) + a2ϕ2(p)
– Conjugaison : T F[ψ∗(r)] = ϕ∗(−p)
– Dilatation : T F[ψ(axx, ayy, azz)] = 1
|axayaz|ϕ(px/ax, py/ay, pz/ay) pour tout ajr´eel 6= 0
– Translation : T F[ψ(r−r0)] = ϕ(p)e−ip·r0/¯h
3. Montrer les propri´et´es suivantes pour la d´erivation (pout ´eviter des probl`emes de con-
vergence, nous supposons que les fonctions ψ(x) et ϕ(p) fassent partie de l’espace de
Schwartz) :
T F [dnψ(x)/dxn] = ip
¯hn
ϕ(p) et T FI [dnϕ(p)/dpn] = −ix
¯hn
ψ(x) (3)
4. Montrer (pour la TF 3D) :
T F[∇ψ(r)] = i
¯hpϕ(p) et T F[∆ψ(r)] = −1
¯h2|p|2ϕ(p) (4)
5. En utilisant l’expression (2) pour la fonction d’onde ainsi que l’´equation de Schr¨odinger
1D pour une particule libre,
i¯h∂ψ(x, t)
∂t =−¯h2 2m
∂2ψ(x, t)
∂x2,(5)
quelle est “l’´equation de Schr¨odinger” satisfaite par φ(p, t) ? En d´eduire que
φ(p, t) = φ(p, t = 0)e−iE(p)t/¯h.(6)
Quelle est l’expression pour E(p) ? Comment la fonction d’onde ψ(x, t) s’´ecrit-elle en
fonction de φ(p, t = 0) ? ´ Ecrire l’expression (sans calcul) en 3D et expliquer l’expression
“d´ecomposer la fonction d’onde en onde planes”.

6. Montrer l’isom´etrie de la TF (th´eor`eme de Parseval-Plancherel) :
Zd3r ψ∗
1(r)ψ2(r) = Zd3p ϕ∗ 1(p)ϕ2(p) (7)
o`u ϕ1(p) = T F[ψ1(r)] et ϕ2(p) = T F[ψ2(r)].
7. Principe de correspondance :
– Calculer la valeur moyenne (en 1D) pour la vitesse hvi=hpi/m.
– Calculer l’´evolution temporelle de la position moyenne dhxi/dt `a l’aide de l’´equation de
Schr¨odinger pour une particule libre. Est-ce que le r´esultat serait diff´erent si l’on avait
consid´er´e l’´equation de Schr¨odinger pour une particule dans un potentiel V(x) ?
– Interpr´eter physiquement le r´esultat ainsi obtenu.
2 Paquet d’onde gaussien
Nous consid´erons une fonction d’onde ψ(x, t = 0) d’une particule quantique libre 1D qui
donne une densit´e de probabilit´e gaussienne centr´ee autour de x0= 0 (voir PC 1),
|ψ(x, t = 0)|2=g(x) = 1
√2πσ e−x2
2σ2.(8)
1. ´ Ecrire l’expression pour la fonction d’onde. Comment se d´ecompose-t-elle en onde planes
(voir exercice 1.5) ?
2. Comment la fonction d’onde ψ(x, t) s’´ecrit-elle `a un instant t > 0 ? Calculer l’int´egrale.
Montrer que la variance peut s’´ecrire comme ∆x2(t) = σ2+ ∆v2t2. Quelle est la valeur
de ∆vet respecte-t-elle l’in´egalit´e de Heisenberg ? Interpr´eter l’´evolution temporelle de
la variance. (Pour ces arguments, on ne s’int´eressera pas `a la normalisation du paquet
d’onde.)
3. En l’absence d’une mesure de la position de la particule, est-ce que le “d´eterminisme” de
la physique est mise en question ? On mesure la position de la particule `a l’instant t, et on
trouve le r´esultat x1avec une incertitude de δx dans la mesure. Quelle est la probabilit´e
de ce r´esultat ? Donner une expression approch´ee de la fonction d’onde de la particule
apr`es la mesure et comparer `a celle d’une particule mesur´ee `a l’endroit x26=x1. Est-ce que
l’´evolution temporelle est toujours d´eterministe si l’on mesure la position de la particule `a
l’instant t?
3 Relation d’incertitude de Heisenberg (pour la maison)
`
A l’aide des propri´et´es de la TF, nous nous proposons de retrouver la relation d’incertitude
de Heisenberg
∆x∆p≥¯h
2(9)
en 1D, `a l’aide d’une fonction auxiliaire,
I(λ) = Z+∞
−∞
dx 
x ψ(x) + λdψ(x)
dx 
2
,(10)
pour un nombre r´eel λquelconque que nous sp´ecifierons plus tard.
1. Quel est la borne inf´erieure de l’int´egrale I(λ) ?
2. Calculer l’int´egrale en fonction de hx2iet hp2i.
3. Quelle est la dimension physique de λ? En faisant l’hypoth`ese que la fonction d’onde ait
les propri´et´es hxi=hpi= 0, retrouver la relation d’incertitude de Heisenberg (9).

L’in´egalit´e de Heisenberg nous permet de comprendre la stabilit´e de la mati`ere et d’intro-
duire une “longueur caract´eristique” pour un probl`eme quantique, ℓ∼∆x∼¯h/∆p. Nous nous
proposons d’´etudier cette propri´et´e pour une particule 1D li´ee dans un potentiel V(r) = Crn.
1. En supposant que hpi=hri= 0 (r´ef´erentiel de la particule quantique), calculer l’´energie
moyenne de la particule en fonction de la longueur caract´eristique ℓ. Calculer ℓen min-
imisant l’´energie moyenne.
2. Appliquer ces r´esultats aux cas (a) de l’oscillateur harmonique V(r) = mω2r2/2 et (b) de
l’atome d’hydrog`ene V(r) = −e2/4πǫ0r. Quelle est l’ordre de grandeur de hEiet ℓdans le
dernier cas. Interpr´eter physiquement.