Mécanique quantique (PHY311), promotion X 2013 Petite Classe 2

Mécanique quantique (PHY311), promotion X 2013
Petite Classe 2
Mark Goerbig, [email protected]
Transformée de Fourier, paquets d’onde et relation d’incertitude
1
Transformée de Fourier
La transformée de Fourier (TF) ϕ(p) = T F[ψ(x)] d’une fonction d’onde (de carré) sommable
est définie (ici à une dimension) par :
1
T F[ψ(x)] = ϕ(p) = √
2πh̄
Z
+∞
dx e−ipx/h̄ ψ(x)
(1)
−∞
La transformée de Fourier inverse est alors donnée par :
1
T FI[ϕ(p)] = ψ(x) = √
2πh̄
Z
+∞
dp eipx/h̄ ϕ(p)
(2)
−∞
1. Comment la TF (1) et sa transformation inverse (2) s’écrivent-elles en trois dimensions de
l’espace ?
2. Vérifier rapidement les propriétés suivantes de la TF :
– Linéarité : T F[a1 ψ1 (r) + a2 ψ2 (r)] = a1 ϕ1 (p) + a2 ϕ2 (p)
– Conjugaison : T F[ψ ∗ (r)] = ϕ∗ (−p)
– Dilatation : T F[ψ(ax x, ay y, az z)] = |ax a1y az | ϕ(px /ax , py /ay , pz /ay ) pour tout aj réel 6= 0
– Translation : T F [ψ(r − r0 )] = ϕ(p)e−ip·r0 /h̄
3. Montrer les propriétés suivantes pour la dérivation (pout éviter des problèmes de convergence, nous supposons que les fonctions ψ(x) et ϕ(p) fassent partie de l’espace de
Schwartz) :
T F [dn ψ(x)/dxn ] =
ip
h̄
n
ϕ(p)
et
T FI [dn ϕ(p)/dpn ] = −
ix
h̄
n
ψ(x)
(3)
4. Montrer (pour la TF 3D) :
T F [∇ψ(r)] =
i
p ϕ(p)
h̄
et
T F [∆ψ(r)] = −
1
|p|2 ϕ(p)
h̄2
(4)
5. En utilisant l’expression (2) pour la fonction d’onde ainsi que l’équation de Schrödinger
1D pour une particule libre,
h̄2 ∂ 2 ψ(x, t)
∂ψ(x, t)
=−
,
∂t
2m ∂x2
quelle est “l’équation de Schrödinger” satisfaite par φ(p, t) ? En déduire que
ih̄
(5)
φ(p, t) = φ(p, t = 0)e−iE(p)t/h̄ .
(6)
Quelle est l’expression pour E(p) ? Comment la fonction d’onde ψ(x, t) s’écrit-elle en
fonction de φ(p, t = 0) ? Écrire l’expression (sans calcul) en 3D et expliquer l’expression
“décomposer la fonction d’onde en onde planes”.
6. Montrer l’isométrie de la TF (théorème de Parseval-Plancherel) :
Z
d3 r ψ1∗ (r)ψ2 (r) =
Z
d3 p ϕ∗1 (p)ϕ2 (p)
(7)
où ϕ1 (p) = T F[ψ1 (r)] et ϕ2 (p) = T F [ψ2 (r)].
7. Principe de correspondance :
– Calculer la valeur moyenne (en 1D) pour la vitesse hvi = hpi/m.
– Calculer l’évolution temporelle de la position moyenne dhxi/dt à l’aide de l’équation de
Schrödinger pour une particule libre. Est-ce que le résultat serait différent si l’on avait
considéré l’équation de Schrödinger pour une particule dans un potentiel V (x) ?
– Interpréter physiquement le résultat ainsi obtenu.
2
Paquet d’onde gaussien
Nous considérons une fonction d’onde ψ(x, t = 0) d’une particule quantique libre 1D qui
donne une densité de probabilité gaussienne centrée autour de x0 = 0 (voir PC 1),
|ψ(x, t = 0)|2 = g(x) = √
x2
1
e− 2σ2 .
2πσ
(8)
1. Écrire l’expression pour la fonction d’onde. Comment se décompose-t-elle en onde planes
(voir exercice 1.5) ?
2. Comment la fonction d’onde ψ(x, t) s’écrit-elle à un instant t > 0 ? Calculer l’intégrale.
Montrer que la variance peut s’écrire comme ∆x2 (t) = σ 2 + ∆v 2 t2 . Quelle est la valeur
de ∆v et respecte-t-elle l’inégalité de Heisenberg ? Interpréter l’évolution temporelle de
la variance. (Pour ces arguments, on ne s’intéressera pas à la normalisation du paquet
d’onde.)
3. En l’absence d’une mesure de la position de la particule, est-ce que le “déterminisme” de
la physique est mise en question ? On mesure la position de la particule à l’instant t, et on
trouve le résultat x1 avec une incertitude de δx dans la mesure. Quelle est la probabilité
de ce résultat ? Donner une expression approchée de la fonction d’onde de la particule
après la mesure et comparer à celle d’une particule mesurée à l’endroit x2 6= x1 . Est-ce que
l’évolution temporelle est toujours déterministe si l’on mesure la position de la particule à
l’instant t ?
3
Relation d’incertitude de Heisenberg (pour la maison)
À l’aide des propriétés de la TF, nous nous proposons de retrouver la relation d’incertitude
de Heisenberg
∆x∆p ≥
h̄
2
(9)
en 1D, à l’aide d’une fonction auxiliaire,
I(λ) =
Z
+∞
−∞
dψ(x) 2
,
dx x ψ(x) + λ
dx (10)
pour un nombre réel λ quelconque que nous spécifierons plus tard.
1. Quel est la borne inférieure de l’intégrale I(λ) ?
2. Calculer l’intégrale en fonction de hx2 i et hp2 i.
3. Quelle est la dimension physique de λ ? En faisant l’hypothèse que la fonction d’onde ait
les propriétés hxi = hpi = 0, retrouver la relation d’incertitude de Heisenberg (9).
L’inégalité de Heisenberg nous permet de comprendre la stabilité de la matière et d’introduire une “longueur caractéristique” pour un problème quantique, ℓ ∼ ∆x ∼ h̄/∆p. Nous nous
proposons d’étudier cette propriété pour une particule 1D liée dans un potentiel V (r) = Cr n .
1. En supposant que hpi = hri = 0 (référentiel de la particule quantique), calculer l’énergie
moyenne de la particule en fonction de la longueur caractéristique ℓ. Calculer ℓ en minimisant l’énergie moyenne.
2. Appliquer ces résultats aux cas (a) de l’oscillateur harmonique V (r) = mω 2 r 2 /2 et (b) de
l’atome d’hydrogène V (r) = −e2 /4πǫ0 r. Quelle est l’ordre de grandeur de hEi et ℓ dans le
dernier cas. Interpréter physiquement.