Travaux dirigés de mécanique quantique

Licence 3 Semestre 2 Quantique
Travaux dirig´ es de m´ ecanique quantique
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Formalisme math´ ematique
Exercice 1 : Commutateurs et traces
1. Montrer que
[A, BC] = B[A, C] + [A, B]C(1)
2. La trace d’un op´erateur est la somme des ´el´ements diagonaux de sa matrice repr´esentative dans une
base donn´ee
Tr A=X
n
Ann (2)
Montrer que
Tr AB = Tr BA (3)
et en d´eduire que la trace est invariante dans un changement de base A→A′=SAS−1. La trace d’un
op´erateur est (heureusement !) ind´ependante de la base.
3. Montrer que la trace est invariante par permutation circulaire
Tr ABC = Tr BCA = Tr CAB (4)
Exercice 2 : D´eterminant et trace
1. Soit une matrice A(t) d´ependant d’un param`etre tv´erifiant
dA(t)
dt=A(t)B
Montrer que A(t) = A(0) exp(Bt). Quelle est la solution de
dA(t)
dt=BA(t) ?
2. Montrer que
det eAt1×det eAt2= det eA(t1+t2)
et que
det eA= eTr A
ou de fa¸con ´equivalente
det B= eTr ln B(1)
Suggestion : obtenir une ´equation diff´erentielle pour l’op´erateur g(t) = det[exp(At)]. Les r´esultats sont
´evidents si Aest diagonalisable.
Exercice 3 : Commutateurs et valeur propre d´eg´en´er´ee
Soit trois matrices N×N A,Bet Cqui v´erifient
[A, B] = 0 [A, C] = 0 [B, C]6= 0
Montrer qu’au moins une valeur propre de Aest d´eg´en´er´ee.
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Exercice 4 : Matrices normales
Une matrice Cest dite normale si elle commute avec la matrice hermitique conjugu´ee
C†C=CC†
En ´ecrivant
C=1
2(C+C†) + i 1 2i (C−C†) = A+ iB
montrer que Cest diagonalisable.
Exercice 5 : Matrices normales et d´ecomposition spectrale (`a chercher seul !)
On se propose de d´emontrer le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale d’un op´erateur normal Msans
faire appel `a la diagonalisabilit´e des op´erateurs hermitiques. Ainsi, comme il est ais´e de montrer que les
op´erateurs hermitiques et les op´erateurs unitaires sont normaux, le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale
pour ces deux classes d’op´erateurs en d´ecoule.
On veut donc ´etablir le th´eor`eme suivant : Tout op´erateur normal Msur un espace de Hilbert Hest
diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee de H. R´eciproquement, tout op´erateur diagonalisable est
normal.
1. Montrer la r´eciproque.
2. Pour d´emontrer la premi`ere proposition, on proc`ede par induction sur la dimension dde H. Soit λ
une valeur propre de M,Ple projecteur sur le sous-espace propre associ´e `a λet Qle projecteur sur le
compl´ement orthogonal `a ce sous-espace. On ´etablira d’abord que
M=P MP +QM Q . (1)
D´emontrer ensuite que QM Q est normal.
Par induction, QM Q est diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `a Qet
P MP est d´ej`a diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `a P. Il s’ensuit que
M=P MP +QM Q est diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee de l’espace total.
3. Montrer qu’une matrice normale est hermitique si et seulement si elle poss`ede des valeurs propres
r´eelles.
Exercice 6 : Identit´es op´eratorielles
1. Soit l’op´erateur f(t) fonction du param`etre t
f(t) = etABe−tA
o`u les op´erateurs Aet Bsont repr´esent´es par des matrices N×N. Montrer que
df
dt= [A, f(t)] d2f dt2= [A, [A, f(t)]] etc.
En d´eduire
etABe−tA =B+t
1! [A, B] + t2 2! [A, [A, B]] + ... (1)
2. On suppose que Aet Bcommutent tous deux avec leur commutateur [A, B]. ´ Ecrire une ´equation
diff´erentielle pour l’op´erateur
g(t) = eAt eBt
et en d´eduire, par int´egration entre t= 0 et t= 1, la relation
eA+B= eAeBe−1
2[A,B](2)
Attention ! Cette identit´e n’est pas g´en´eralement valable. Elle n’est garantie que si [A, [A, B]] = [B, [A, B]] =
0. Montrer ´egalement avec les mˆemes hypoth`eses
eAeB= eBeAe[A,B](3)
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Postulats de la physique quantique
Exercice 7 : Mesures quantiques et ´evolution temporelle
A. Mesure quantique
On consid`ere une base orthonorm´ee {|1i,|2i,|3i} o`u le hamiltonien Het une grandeur physique Asont
repr´esent´es par les matrices :
H=E0
3 0 0
0 1 0
0 0 −1
et A=a
2 0 0
0 0 1
0 1 0
(1)
o`u E0et asont des constantes positives.
1. a) On proc`ede `a une mesure de l’´energie. Quels r´esultats peut-on obtenir ?
b) Diagonaliser A.
c) On proc`ede `a une mesure de la grandeur A. Quels r´esultats peut-on obtenir ?
2. On pr´epare le syst`eme dans l’´etat : |ψi=1
√3(|1i+|2i+|3i).
a) Quelle est la probabilit´e pour qu’une mesure de l’´energie donne 3E0?
b) Si le r´esultat d’une telle mesure est effectivement 3E0, quel est l’´etat du syst`eme apr`es la mesure ?
c) Quel(s) r´esultat(s) donnerait alors une mesure de A? Avec quelle(s) probabilit´e(s) ?
3. a) Quelle est la probabilit´e pour que l’´energie mesur´ee soit E0si le syst`eme est initialement dans l’´etat
|ψi? Quel est l’´etat du syst`eme apr`es la mesure ?
b) Quels sont alors les r´esultats possibles d’une mesure de A? Quelles sont les probabilit´es associ´ees ?
c) On suppose que la mesure de Adonne −a. Quel est l’´etat du syst`eme apr`es la mesure ?
4. On effectue un grand nombre de mesures de l’´energie sur un grand nombre de syst`emes identiques tous
pr´epar´es dans l’´etat |ψi. Quelle en est la moyenne ?
B. Mesure et ´evolution temporelle
L’´evolution du vecteur d’´etat d’un syst`eme quantique est r´egie par l’´equation de Schr¨odinger :
i~∂
∂t |ψ(t)i=H|ψ(t)i.(2)
o`u le hamiltonien Hne d´epend pas du temps et poss`ede une base d’´etats propres {|φni}, i.e. H|φni=
En|φni, o`u l’on suppose que les ´energies propres Ensont non d´eg´en´er´ees.
1. On d´ecompose le vecteur d’´etat dans cette base : |ψ(t)i=Pncn(t)|φni.
Trouver l’´equation diff´erentielle que doit v´erifier chaque coefficient cn(t) et la r´esoudre.
2. Dans une base orthonorm´ee {|1i,|2i,|3i}, le hamiltonien a pour matrice repr´esentative :
H=~ω
0 0 0
0 0 1
0 1 0
(3)
a) On suppose que le syst`eme est initialement dans l’´etat : |ψ(0)i=|3i.
Calculer l’expression de |ψ(t)idans la base {|φ0i,|φ+i,|φ−i} des ´etats propres de H, puis dans la base
initiale {|1i,|2i,|3i}.
b) Quelle est la probabilit´e P2(t) pour que le syst`eme soit dans l’´etat |2iau temps t?
3. On suppose maintenant que le syst`eme est initialement dans l’´etat : |ψ(0)i=1
√2(|1i − |2i).
a) Calculer |ψ(t)idans la base {|1i,|2i,|3i}.
b) A t=t0on mesure l’´energie et l’on trouve −~ω. Avec quelle probabilit´e ? Que vaut |ψ(t)ipour t > t0?
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Exercice 8 : Dispersion et vecteurs propres
Montrer qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour que |ϕisoit vecteur propre d’un op´erateur hermi-
tique Aest que la dispersion ∆ϕA= 0 o`u (∆ϕA)2=hA2iϕ−(hAiϕ)2=h(A− hAiϕI)2iϕ.
Exercice 9 : M´ethode variationelle
1. Soit |ϕiun vecteur (non normalis´e) de l’espace de Hilbert des ´etats et un hamiltonien H. La valeur
moyenne hHiϕest
hHiϕ=hϕ|H|ϕi
hϕ|ϕi
Montrer que si le minimum de cette valeur moyenne est obtenu pour |ϕi=|ϕmiet le maximum pour
|ϕi=|ϕMi, alors
H|ϕmi=Em|ϕmiet H|ϕMi=EM|ϕMi
o`u Emet EMsont la plus petite et la plus grande valeur propre.
3. Si Hagit dans un espace `a deux dimensions, sa forme la plus g´en´erale est
H=a+c b
b a −c
o`u bpeut toujours ˆetre choisi r´eel. En param´etrant |ϕ(α)isous la forme
|ϕ(α)i=cos α/2
sin α/2
trouver les valeurs de α0en cherchant les extrema de hϕ(α)|H|ϕ(α)i. Retrouver ainsi que les vecteurs
propres de Hsont
|χ+i=cos θ/2
sin θ/2|χ−i=−sin θ/2
cos θ/2
correspondant aux valeurs propres a+√b2+c2et a−√b2+c2respectivement, l’angle θ´etant d´efini par
c=pb2+c2cos θ
b=pb2+c2sin θ .
On notera que tan θ=b/c, et qu’il faut prendre garde `a choisir la bonne d´etermination de θ.
Exercice 10 : Th´eor`eme de Feynman-Hellmann
Soit un op´erateur hermitique A(λ) d´ependant d’un param`etre r´eel λ,a(λ) une valeur propre simple et
|ϕ(λ)ile vecteur propre normalis´e (||ϕ(λ)||2= 1) correspondant
A(λ)|ϕ(λ)i=a(λ)|ϕ(λ)i
Montrer que ∂a
∂λ =hϕ(λ)
∂A
∂λ 
ϕ(λ)i(1)
Exercice 11 : Op´erateur d’´evolution et repr´esentation de Heisenberg
On consid`ere un syst`eme dont l’hamiltonien Hest ind´ependant du temps (syst`eme isol´e). Montrer que
le vecteur d’´etat `a l’instant t, not´e |ψ(t)i, se d´eduit du vecteur d’´etat `a l’instant initial |ψ(t0)ipar la
formule :
|ψ(t)i=U(t−t0)|ψ(t0)i
avec U(τ) = exp[−iHτ/~].
1. Montrer que U(τ) est unitaire.
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2. On note |ψ(0)il’´etat de ce syst`eme `a l’instant t= 0. On s’int´eresse `a la valeur moyenne a(t) des
r´esultats de mesures d’une observable A`a l’instant t.
a. Exprimer a(t) en fonction de |ψ(0)i,Aet de l’op´erateur d’´evolution U(t) introduit plus haut.
b. Montrer que a(t) peut s’interpr´eter comme la valeur moyenne d’un op´erateur A(t) dans l’´etat |ψ(0)i,
et que A(t) est d´etermin´e par :
i~dA(t)
dt = [A(t), H] et A(0) = A. (1)
Cette approche est appel´ee repr´esentation (ou point de vue) de Heisenberg : le vecteur d’´etat est
ind´ependant du temps, et les op´erateurs ob´eissent `a l’´equation de Heisenberg (1).
Exercice 12 : Point de vue de l’interaction
Un point de vue interm´ediaire entre celui de Schr¨odinger et celui de Heisenberg est le point de vue
de l’interaction (ou de Dirac). On l’utilise lorsqu’il est naturel de d´ecomposer l’hamiltonien Hen un
hamiltonien libre H0ind´ependant du temps, que l’on sait diagonaliser, et un hamiltonien d’interaction
W(t).
L’objectif est de se d´ebarrasser de l’´evolution connue de H0. On d´efinit le vecteur d’´etat |˜ ψ(t)idans le
point de vue de l’interaction par
|˜ ψ(t)i= exp[iH0t/~]|ψ(t)i |˜ ψ(t= 0)i=|ψ(t= 0)i
Le point de vue de l’interaction co¨ıncide avec celui de Heisenberg si W= 0.
L’op´erateur d’´evolution U(t) v´erifie
i~dU(t)
dt = [H0+W(t)]U(t)
On d´efinit l’op´erateur d’´evolution ˜ U(t) dans le point de vue de l’interaction par
U(t) = U0(t)˜ U(t) o`u U0(t) = exp[−iH0t/~]
Montrer qu’on obtient l’´equation d’´evolution
i~d˜
U(t)
dt =˜
W(t)˜ U(t) o`u ˜ W(t) = U−1
0(t)W(t)U0(t).(1)
Exercice 13 : Relation d’incertitude temps-´energie
On consid`ere un syst`eme pr´epar´e dans un ´etat |ψidont la dispersion en ´energie vaut ∆E. On consid`ere
d’autre part une observable Ade valeur moyenne haiet de dispersion ∆a.
En utilisant les relations de commutation, montrer l’in´egalit´e suivante :
∆a∆E≥~
2
dhai
dt
.
En d´eduire que si l’´echelle de temps typique d’´evolution d’un syst`eme est d´efinie par τ=|∆a/(dhai/dt)|,
on a l’in´egalit´e : τ∆E≥~/2.
Exercice 14 : ´ Evolution temporelle d’un syst`eme `a deux niveaux
Pour commencer, consid´erons un atome qui poss`ede deux niveaux d’´energie +~ωet −~ω. L’hamiltonien
du syst`eme s’´ecrit
H=~ω0
0−ωdans la base |+i=1
0|−i =0
1
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