II- Structure de l`onde plane dans le vide et dans les milieux

Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Electromagnétisme
II- Structure de l’onde plane dans le vide et dans les milieux
diélectriques non chargés
1. Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique non chargé
Les champs intermédiaires peuvent être remplacés par les vrais champs E
!
et B
!
. Compte tenu des caractéristiques du milieu
0
libre !" et 0jlibre
!! !, on a :
M-Flux : 0Bdiv !
!
M-G :
0Ediv !
!
M-F : t
B
Erot #
#
$!
!
!
M-A : t
E
Brot 0#
#
%&!
!
!
On obtient donc des équations symétriques
2- Equation de propagation
On peut éliminer dans le champ B
!
(M-F) et le champ E
!
dans (M-A). L’équation de propagation s’écrit pour les champs sous la
forme :
'!
#
#
$( 0
t
E
v
1
E2
2
2
!
!
!
) E
!
= 0
'!
#
#
$( 0
t
B
v
1
B2
2
2
!
!
!
) B
!
=0
) étant l’opérateur de D’Alembert
Les deux équations traduisent que le champ électromagnétique dans un milieu diélectrique non chargé représente une onde
électromagnétique dont la vitesse de propagation est
r
c
v%
!. c étant la célérité de la lumière.
3- Solution en ondes planes
Lorsqu’on se place suffisamment loin des sources, on peut chercher comme solutions pour les équations de propagation
des solutions sous la forme d’ondes planes définies par :
*
*
+
,
-
-
.
/00
*
*
+
,
-
-
.
/$! v
r.u
tgE
v
r.u
tfE)t,r(E 0201
!
!
!
!
!
!
!
!
avec u
! le vecteur unitaire dans la direction de propagation.
*
*
+
,
-
-
.
/$v
r.u
t
!
!
représente le terme de propagation et les amplitudes I0
E
!
sont indépendants du temps et des variables d’espace.
Cette solution générale est une superposition des deux ondes planes progressives dans deux directions opposées. Si on se limite
à une onde plane progressive OPP, l’expression de E
!
est : *
*
+
,
-
-
.
/$! v
r.u
tfE)t,r(E 01
!
!
!
!
!
Le champ électrique est constant dans tous le plan perpendiculaire à u
! .
Ce plan est le Plan d’onde. On retrouve le même état de vibration dans d’autres plans tel que v
OH
't
v
r.u
'tt $!$!
!
!
.
E(0,t)
E(r,t')
r
u
O
M
H

Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Electromagnétisme
On retrouve que v est la vitesse de propagation de l’onde.
Cette vitesse est la vitesse de phase définie par :
r
c
v%
!
1.
L’indice de réfraction du milieu peut s’identifier à r
n%! . L’expérience montre que cette relation est assez bien vérifiée pour
des domaines de fréquences hertziennes et dans l’IR. Elle est mise en défaut dans le domaine optique pour la plupart des
milieux denses liquides et solides.
Pour l’eau : n=1.33 et 78
r2%
La raison tient à ce que r
% est fonction de 3et l’indice aussi. Ceci est à la base du phénomène de dispersion. L’indice 1.33
correspond aux fréquences optiques Hz10~ 15 alors que r
% est utilisé en statique .
4- Onde plane progressive monochromatique OPPM
C’est une onde périodique dont l’expression générale est :
4
5
60$3! r.ktcosE)t,r(E 0
!
!!
!
!
63 ,k,
!
représentent respectivement la pulsation, le vecteur d’onde et la phase à l’origine.
78!
9
8
!
8!
8
!3
2u
2
k
N2
T
2
!
!
Les trois grandeurs N,T,3 caractérisent la source du rayonnement uniquement (pulsation, période temporelle, fréquence
temporelle).
7!9 ,vT,k
!
caractérisent la source et le milieu ( vecteur d’onde (pulsation spatiale), période spatiale, fréquence spatiale) .
Structure de l’onde OPPM
a- Transversalité de l’OPPM dans un milieu l.h.i
On introduit la notation complexe : )r.kt(j
0eE)t,r(E
!
!
!
!
!$3
! dont la partie réelle )E(
!
: est le véritable champ.
On notera de même : )r.kt(j
0eB)t,r(B
!
!
!
!
!$3
!
Dans ce cas, il est aisé de noter les opérateurs 3!
#
#j
t et kj
!
!$!; valables en coordonnées cartésiennes uniquement.
Les équations de Maxwell dans le vide ou dans un diélectrique non chargé s’écrivent :
EBkBEk
0B.k0E.k
0
!!!
"
!!
!!!!
3%&$!<3!<
!!
C’est donc une onde transversale électromagnétique TEM valable dans un milieu h.l.i
b- Polarisation de l’OPPM
On sait que E
!
est contenu dans le plan d’onde . L’extrémité de ce vecteur évolue dans le temps selon une certaine courbe qui
définit la nature de la polarisation de l’onde.
Considérons le cas d’une onde qui se propage dans la direction de l’axe Oz : )kzt(j
0eE)t,r(E $3
!!
!
!
Les parties réelles du champ dans les directions Ox et Oy sont de la forme :
)kztcos(E)t,r(E
)kztcos(E)t,r(E
y0y0y
x0x0x
60$3!
60$3!
!
!
Selon le déphasage x0y0 6$6!6 et les valeurs de y0x0 E,E , on peut avoir différents polarisations :
=> Rectiligne si x0y0 6$6!6 =8,0

Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Electromagnétisme
=> Circulaire si x0y0 6$6!6 =2
8
? et y0x0 EE !
On parlera de polarisation circulaire droite (+) si en regardant la lumière venant vers nous, l’extrémité de son champ électrique
tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. Et inversement pour la polarisation circulaire gauche (-).
=> Elliptique (cas général) y0x0 E,E quelconques et x0y0 6$6!6 aussi.
C’est une situation courante et analogue aux courbes de Lissajous obtenus en électronique.
Les composantes du champ électrique sont liées par une équation de type équation d’une ellipse :
6!6$0 2
y0x0
2y0
2
2x0
2
sincos
EE
XY2
E
Y
E
X
X et Y représentent respectivement les champs électriques dans la direction Ox et Oy.
Exemple de polarisation (rectiligne, circulaire)
Polarisation d’une onde électromagnétique
.
kx
Y
Ellip tique Gauc he
.
kx
Y
Ellip tique d roite
rectiligne
Circulaire

Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Electromagnétisme
5- Impédance d’onde pour un diélectrique l.h.i non chargé
Elle est définie par le rapport %
&
!
%&
&!&!! 0
0
00
1
B
E
H
E
Z
Unité : @!!
$
$
A
V
m.A
m.V
1
1
L’impédance du vide est Z0= 377@ et varie comme n
Z
Z0
! pour un diélectrique d’indice de réfraction n.
La notion d’impédance trouve sa justification dans le fait qu’elle exprime le rapport d’une « excitation », ici E
!
, sur une
« réponse », ici H
!
. La portée de cette notion est assez générale, on trouve de façon identique l’impédance acoustique,
mécanique..