II- Structure de l`onde plane dans le vide et dans les milieux

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Electromagnétisme
II- Structure de l’onde plane dans le vide et dans les milieux
diélectriques non chargés
1. Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique non chargé
!
!
Les champs intermédiaires peuvent être remplacés par les vrais champs E et B . Compte tenu des caractéristiques du milieu
!
!
" libre ! 0 et jlibre ! 0 , on a :
!
!
M-G : divE ! 0
M-Flux : divB ! 0
!
!
#E
rot
B
!
%&
M-A :
0
#t
!
!
#B
M-F : rotE ! $
#t
On obtient donc des équations symétriques
2- Equation de propagation
!
!
On peut éliminer dans le champ B (M-F) et le champ E dans (M-A). L’équation de propagation s’écrit pour les champs sous la
forme :
!
! 1 # 2E !
(E $
!0'
v 2 #t 2
!
! 1 # 2B !
(B $
!0'
v 2 #t 2
!
) E =0
!
) B =0
) étant l’opérateur de D’Alembert
Les deux équations traduisent que le champ électromagnétique dans un milieu diélectrique non chargé représente une onde
électromagnétique dont la vitesse de propagation est v !
c
%r
. c étant la célérité de la lumière.
3- Solution en ondes planes
Lorsqu’on se place suffisamment loin des sources, on peut chercher comme solutions pour les équations de propagation
des solutions sous la forme d’ondes planes définies par :
!!
! !
! / u!.r! , !
/ u.r ,
** 0 E02 g-- t 0
*
E( r , t ) ! E01f -- t $
v +
v *+
.
.
!
avec u le vecteur unitaire dans la direction de propagation.
!!
!
/ u.r ,
-- t $
** représente le terme de propagation et les amplitudes E 0I sont indépendants du temps et des variables d’espace.
v +
.
Cette solution générale est une superposition des deux ondes planes progressives dans deux directions opposées. Si on se limite
à une onde plane progressive OPP, l’expression de
!!
!
!
!
E est : E( r!, t) ! E01f /-- t $ u.r ,**
!
Le champ électrique est constant dans tous le plan perpendiculaire à u .
.
v +
Ce plan est le Plan d’onde. On retrouve le même état de vibration dans d’autres plans tel que t ! t'$
M
r
H
u
E(0,t)
O
E(r,t')
!!
u.r
OH
! t '$
.
v
v
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On retrouve que v est la vitesse de propagation de l’onde.
Cette vitesse est la vitesse de phase définie par : v 1 !
c
.
%r
L’indice de réfraction du milieu peut s’identifier à n ! %r . L’expérience montre que cette relation est assez bien vérifiée pour
des domaines de fréquences hertziennes et dans l’IR. Elle est mise en défaut dans le domaine optique pour la plupart des
milieux denses liquides et solides.
Pour l’eau : n=1.33 et %r 2 78
La raison tient à ce que % r est fonction de 3 et l’indice aussi. Ceci est à la base du phénomène de dispersion. L’indice 1.33
correspond aux fréquences optiques ~ 1015 Hz alors que
%r
est utilisé en statique .
4- Onde plane progressive monochromatique OPPM
C’est une onde périodique dont l’expression générale est :
4
! !
!
!!
E( r , t ) ! E0 cos 3t $ k.r 0 6
5
!
3,k, 6 représentent respectivement la pulsation, le vecteur d’onde et la phase à l’origine.
28
! 28N
T
! 28 !
k!
u ! 287
9
3!
Les trois grandeurs 3, T, N caractérisent la source du rayonnement uniquement (pulsation, période temporelle, fréquence
temporelle).
!
k, 9 ! vT, 7 caractérisent la source et le milieu ( vecteur d’onde (pulsation spatiale), période spatiale, fréquence spatiale) .
Structure de l’onde OPPM
a- Transversalité de l’OPPM dans un milieu l.h.i
! !
!
!!
!
On introduit la notation complexe : E( r , t ) ! E 0 e j( 3t $k.r ) dont la partie réelle :(E) est le véritable champ.
! !
!
!!
On notera de même : B( r , t ) ! B0 e j( 3t $k.r )
Dans ce cas, il est aisé de noter les opérateurs
!
!
#
! j3 et ; ! $ jk valables en coordonnées cartésiennes uniquement.
#t
Les équations de Maxwell dans le vide ou dans un diélectrique non chargé s’écrivent :
!!
k.E ! 0
! !
"
k < E ! 3B
!!
k.B ! 0
! !
!
k < B ! $%& 0 3E
C’est donc une onde transversale électromagnétique TEM valable dans un milieu h.l.i
b- Polarisation de l’OPPM
!
On sait que E est contenu dans le plan d’onde . L’extrémité de ce vecteur évolue dans le temps selon une certaine courbe qui
définit la nature de la polarisation de l’onde.
! !
!
Considérons le cas d’une onde qui se propage dans la direction de l’axe Oz : E( r , t ) ! E 0 e j( 3t $ kz )
Les parties réelles du champ dans les directions Ox et Oy sont de la forme :
!
E x ( r , t ) ! E0 x cos( 3t $ kz 0 60 x )
!
E y ( r , t ) ! E0 y cos( 3t $ kz 0 60 y )
Selon le déphasage 6 ! 60 y $ 60 x et les valeurs de E 0 x ,E 0 y , on peut avoir différents polarisations :
=> Rectiligne si
6 ! 60 y $ 60 x = 0, 8
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=> Circulaire si
6 ! 60 y $ 60 x = ?
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8
et E 0 x ! E 0 y
2
On parlera de polarisation circulaire droite (+) si en regardant la lumière venant vers nous, l’extrémité de son champ électrique
tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. Et inversement pour la polarisation circulaire gauche (-).
=>
Elliptique (cas général) E 0 x ,E 0 y quelconques et 6 ! 60 y $ 60 x aussi.
C’est une situation courante et analogue aux courbes de Lissajous obtenus en électronique.
Les composantes du champ électrique sont liées par une équation de type équation d’une ellipse :
X2
E 02 x
0
Y2
E02 y
$
2 XY
cos 6 ! sin2 6
E0 xE0 y
X et Y représentent respectivement les champs électriques dans la direction Ox et Oy.
Y
Y
k
.
x
Elliptique Gauche
k
.
x
Elliptique droite
Exemple de polarisation (rectiligne, circulaire)
Polarisation d’une onde électromagnétique
rectiligne
Circulaire
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5- Impédance d’onde pour un diélectrique l.h.i non chargé
Elle est définie par le rapport Z !
Unité :
V.m $1
A.m
$1
!
E
E
1
! &0 ! &0
!
H
B
%& 0
&0
%
V
!@
A
L’impédance du vide est Z0= 377@ et varie comme Z !
Z0
pour un diélectrique d’indice de réfraction n.
n
!
La notion d’impédance trouve sa justification dans le fait qu’elle exprime le rapport d’une « excitation », ici E , sur une
!
« réponse », ici H . La portée de cette notion est assez générale, on trouve de façon identique l’impédance acoustique,
mécanique..