Introduction à la physique des plasmas cours 5: théorie cinétique

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Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Introduction à la physique des
plasmas
cours 5: théorie cinétique
Landau
e−
Landau i
S. Mazevet
Laboratoire de Structure Electronique
Département de Physiqu e Théorique et Appliquée
Commissariat à l’Energie Atomique
Bruyères-Le-Châtel, France
Orsay, Octobre 2009
Orsay, Octobre 2009
p-1/45
Table of contents
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Introduction
f(v)
1
Introduction
2
Fonctions de distribution
3
Equations de la théorie cinétique
Théorie
Equations
fluide
Equation fondamentale
Interprétation
Collisions
Landau
e−
4
Dérivation des équations fluides
Premier moment
Deuxième moment
Landau i
5
Oscillations plasma et amortissement de Landau
Dérivation
Amortissement Landau: interprétation physique
6
Amortissement Landau ionique
Fonction de dispersion plasma
Relation de dispersion
Ondes plasma
Onde acoustique ionique
Orsay, Octobre 2009
p-2/45
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Introduction
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
La théorie fluide que nous avons utilisée jusqu’à présent est la
description la plus simple d’un plasma
Elle permet de décrire la majorité des phénomènes observés
L’approximation fluide repose sur l’hypothése suivant laquelle les
particules présentes dans le plasma sont à l’équilibre
Les vitesses moyennes sont alors représentées par une distribution
de Maxwell-Boltzman
On peut donc parler de température T définie à partir de cette
distribution
Les élements du fluide possédent une vitesse moyenne u
Dans la théorie fluide, les quantités dépendent de quatre variables,
x, y, x, t
Il faut que les conditions dans le plasma permettent un nombre
suffisant de collisions pour que la distribution de Maxwell-Boltzman
soit représentative: équilibre thermodynamique local
Orsay, Octobre 2009
p-3/45
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Introduction II
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Lorsque les conditions de densité et de température dans le plasma
sont telles qu’il n’y a pas assez de collisions, on ne peut plus
utiliser une distribution de Maxwell-Boltzman
Ceci se produit lorsque la température est élevée ou la densité trés
faible
Il faut alors considérer directement la fonction de distribution des
vitesses f (v)
La description fluide ne distingue pas deux distributions
non-Maxwellienne dont les intégrales sont égales
La théorie cinétique consiste à appliquer directement les concepts
de la physique statistique sur l’ensemble des particules representées
par une fonction de distribution
La théorie cinétique est plus élaborée que la théorie fluide
On doit retrouver cette dernière dans la limite où la distribution
des vitesses peut être représentée par une distribution de
Maxwell-Boltzmann
Orsay, Octobre 2009
p-4/45
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Fonctions de distribution
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
La densité est une fonction de quatre variables n(r, t)
Lorsque l’on considère la distribution des vitesses, nous avons 7
variables indépendentes: f = f (r, v, t)
f = f (r, v, t) représente le nombre de particules par m3 à la
position r au temps t avec des composantes de la vitesse
comprisent entre vx et vx + dvx , vy et vy + dvy , vz et vz + dvz
f (x, y, z, vx , vy , vz , t)dvx dvy dvz
Landau i
(1)
L’intégrale de la fonction de distribution peut s’écrire de plusieurs
facons
Z ∞
Z ∞
Z ∞
n(r, t) =
dvx
dvy
dvz f (r, v, t)
(2)
−∞
−∞
−∞
Z ∞
=
f (r, v,t)d3 v
(3)
−∞
Z ∞
=
f (r, v,t)dv
(4)
−∞
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p-5/45
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Fonctions de distribution II
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
où dv n’est pas un vecteur mais un élément de volume dans
l’espace des vitesses
Si f est normalisée de facons à définir
Z ∞
fˆ(r, v,t)dv = 1
(5)
−∞
fˆ est une probabilité et
f (r, v,t) = n(r, t)fˆ(r, v,t)
(6)
fˆ(r, v,t) est toujours une fonction à sept variables car la forme
ainsi que la densité peuvent changer dans l’espace et le temps
fˆ(r, v,t) s’exprime en (m/s)−3
f (r, v,t) s’exprime en s3 /m6
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Maxwell-Boltzmann
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Une fonction de distribution importante est la distribution de
Maxwell-Boltzmann
3/2
m
2
exp(−v 2 /vth
)
fˆm =
2πkB T
(7)
avec v = (vx2 + vy2 + vz2 )1/2 et vth = (2kB T /m)1/2
En utilisant
Z
∞
exp(−x2 )dx =
√
π
(8)
−∞
on peut vérifier que
Z
∞
fˆm dv = 1
(9)
−∞
La distribution est normalisée
Orsay, Octobre 2009
p-7/45
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Maxwell-Boltzmann: moyennes
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Deux moyennes importantes, souvent calculées pour la distribution
de M.B., la vitesse moyenne et l’ecart quadratique moyen
permettant d’obtenir l’énergie cinétique (voir cours 1)
La deuxième quantité (v¯2 )1/2 , l’écart quadratique moyen des
vitesses s’obtient pour une dimension
1/2
Z ∞
v2
m
v 2 exp − 2 dv
(10)
(v¯2 ) =
2πkB T
vth
−∞
1/2
Z ∞
m
3 2
=
vth
y exp(−y 2 )dy
(11)
2πk
T
B
−∞
1/2
Z ∞
m
3
=
vth
y 2 exp(−y 2 )dy
(12)
2πkB T
−∞
En intégrant par partie
Z ∞
y 2 exp(−y 2 )dy =
−∞
Z ∞
1
1
[− yexp(−y 2 )]∞
−
− exp(−y 2 )dy
−∞
2
2
−∞
1√
=
π
(13)
2
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Maxwell-Boltzmann: moyennes II
Introduction
f(v)
Théorie
L’écart quadratique moyen est alors
Equations
fluide
(v¯2 )
Landau
e−
Landau i
(v¯2 )1/2
m
2πkB T
r
kB T
=
m
=
1/2
3
vth
1√
π
2
(14)
(15)
Ce résultat se généralise à trois dimensions en notant que la
fonction de distribution des vitesses est symmétrique suivant
vx , vy , vz .
r
3kB T
1/2
¯
2
(v )
=
(16)
m
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Maxwell-Boltzmann: moyennes III
Introduction
f(v)
Théorie
La vitesse moyenne v̄ est définie comme
Z ∞
v̄ =
v fˆ(v)d3 v
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
(17)
−∞
Comme fˆm est symmétrique suivant vx , vy , vz l’intégrale s’obtient
en passant en coordonnées sphériques
Z ∞
3/2
2
v̄ = (m/2πkB T )
vexp(−v 2 /vth
)4πv 2 dv
(18)
0
Z ∞
2 −3/2
4
= (πvth
)
4πvth
[exp(−y 2 )]y 3 dy
(19)
0
avec
R∞
0
[exp(−y 2 )]y 3 dy = 12 , la vitesse moyenne est
r
√
2kB T
v̄ = 2vth / π = 2
πm
Orsay, Octobre 2009
(20)
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Maxwell-Boltzmann: moyennes IV
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
La norme de la vitesse moyenne dans une direction a une moyenne
différente que la composante dans une direction v¯x = 0
Z
|v¯x | =
|vx |fˆm (v)d3 v
(21)
Z ∞
Z ∞
−vy2
−v 2
m
= (
)3/2
dvy exp( 2 )
dvz exp( 2 z )
2πkB T
vth
vth
−∞
−∞
Z ∞
2
−v
×
2vx exp( 2 x )dvx
(22)
vth
0
√
Les deux premières intégrales sont chacunes égales à πvth .
2
La dernière intégrale est égale à vth
La norme de la vitesse moyenne dans une direction est donc
|v¯x | =
=
2 −3/2
4
(πvth
)
πvth
1/2
2kB T
−1/2
(π)
vth =
πm
Orsay, Octobre 2009
(23)
(24)
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Maxwell-Boltzmann: moyennes V
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
En résumé, une fonction de type Maxwell-Boltzmann (Gaussienne)
posséde les propriétés suivantes
1/2
3kB T
(v¯2 )1/2 =
(25)
m
1/2
2kB T
¯
|v| = 2
(26)
πm
1/2
2kB T
|v¯x | =
(27)
πm
v¯x = 0
(28)
Pour une distribution symmétrique suivant les différentes
composantes de v, on introduit souvent la fonction g(v) qui est
fonction de la norme de v
Z ∞
Z ∞
g(v)dv =
f (v)d3 v
(29)
0
−∞
Orsay, Octobre 2009
p-12/45
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Maxwell-Boltzmann: moyennes VI
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Il est impossible de représenter la fonction f (r, v) à un temps
donné t sauf si l’on réduit le nombre de dimensions
Landau
e−
A une dimension, l’intersection de la surface avec les plans
x = cste représente les fonctions de distribution des vitesses f (vx )
Landau i
Les intersections avec les plans vx = cste représente le profile de
densité des particules possédant une vitesse vx
Si toutes les courbes f (vx ) ont la même forme, la variation du
maximum représente la variation de densité
La projection des courbes f = cste dans le plan x − vx donne la
topographie de la fonction de distribution
Orsay, Octobre 2009
p-13/45
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Equation fondamentale
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
L’équation fondamentale devant être satisfaite par la fonction de
distribution est l’équation de Boltzmann
F ∂f
∂f
∂f
+ v.∇f + .
=
(30)
∂t
m ∂v
∂t c
F est la force agissant sur les particules
(∂f /∂t)c est la variation temporelle de f due aux collisions
∇ représente le gradient dans l’espace (x, y, z)
∂/∂v représente le gradient dans l’espace des vitesses
∂
∂
∂
∂
= x̂
+ ŷ
+ ẑ
∂v
∂vx
∂vy
∂vz
Orsay, Octobre 2009
(31)
p-14/45
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Equation Boltzman: interprétation
Introduction
f(v)
Théorie
Pour interpréter l’équation de Boltzmann, on pose la dépendence
explicite de la fonction de distribution sur les sept variables de
temps, d’espace et de vitesse
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂f ∂vx ∂f ∂vy ∂f ∂vz
df
=
+
+
+
+
+
+
dt
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂vx ∂t ∂vy ∂t ∂vz ∂t
(32)
Le premier terme représente la dépendence temporelle explicite de
f
Les trois termes suivants représentent v.∇f
En utilisant la troisième loi de Newton
m
dv
=F
dt
(33)
on remarque que les trois termes suivants sont simplement
(F/m).(∂f /∂v)
Orsay, Octobre 2009
p-15/45
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Equation Boltzman: interprétation II
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
La dérivée totale df /dt peut être interprétée comme la vitesse de
changement de la fonction de distribution dans un repére se
déplacant avec les particules (voir cours 3)
La différence avec la théorie fluide se situe sur le fait que l’on doit
maintenant considérer des déplacement dans l’espace à 6
dimensions (r, v)
L’équation de Boltzmann montre que df /dt est nulle en l’absence
de collisions
Comme les forces s’exercant sur les particules ne dépendent que de
r et v, la densité de particules dans un élément de l’espace des
phases est conservée (elles sont soumises aux mêmes forces)
Lorsqu’il y a des collisions, les particules diffusent et la densité
dans l’espace des phases change au cours du temps
Orsay, Octobre 2009
p-16/45
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Equation de Vlasov
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Lorsque les collisions sont négligeables et que les forces sont E.M.,
l’équation de Boltzmann prend la forme suivante
∂f
q
∂f
+ v.∇f + (E + v × B).
=0
∂t
m
∂v
(34)
C’est ce que l’on appelle l’équation de Vlasov.
A cause de sa simplicité c’est l’équation la plus utilisée dans la
théorie cinétique
Lorsque les collisions sont importantes il faut ajouter à l’équation
de Vlasov la contribution de (∂f /∂t)coll représentant le
changement local de la fonction de distribution
Orsay, Octobre 2009
p-17/45
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Equation de Vlasov: effet des collisions
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Lorsqu’il y a des collisions avec des atomes neutres on peut écrire
∂f
fn − f
=
(35)
∂t c
τ
avec fn la fonction de distribution des atomes neutres et τ la
fréquence de collisions
Lorsque l’on considère des collisions Coulombiennes, une forme
approximative du terme collisionnel est donnée par
∂f
∂
d < ∆v >
1 ∂2
d < ∆v∆v >
=− .
f +
f
∂t c
∂v
dt
2 ∂v∂v
dt
(36)
Equation (36) est l’équation de Fokker-Planck
∂<∆v>
représente le changement moyen de la vitesse moyenne
∂v
d’une particule du plasma due aux collisions Coulombiennes
d<δvδv>
est le coefficient de diffusion des vitesses
dt
Orsay, Octobre 2009
p-18/45
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Equation de Vlasov: effet des collisionsII
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
En considérant les collisions Coulombiennes entre les électrons et
les ions, on peut exprimer l’équation de Fokker-Planck en fonction
du logarithme Coulombien (considérant seulement les collisions à
angles faibles)
ni Z 2 e4 lnΛ
d < ∆v
=−
v
(37)
dt
4π20 m2 v 3
ni Z 2 e4 lnΛ 2
< ∆v∆v >
(Iv − v.v)
=−
dt
4π20 m2 v 3
avec I le tenseur unité
L’équation de Fokker-Planck devient alors
2
∂fe
ni Z 2 e4 lnΛ ∂
Iv − vv ∂fe
=
.
.
∂t c
4π20 m2 ∂v
v3
∂v
(38)
(39)
Cette forme ne prend en compte que les collisions entre electrons
et ions
Une forme plus générale, prenant en compte les collisions e − e et
e − i peut être dérivée
Orsay, Octobre 2009
p-19/45
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Equations fluides: premier moment
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Les équations fluides dérivées dans le cours 3 sont des moments de
l’équation de Boltzman
∂f
F ∂f
∂f
+ v.∇f + .
=
(40)
∂t
m ∂v
∂t c
R
En intégrant dv et en considérant la force de Lorentz, l’équation
de Boltzmann devient
Z
Z
Z Z
∂f
q
∂f
∂f
dv + v.∇f dv +
(E + v × B). dv =
dv
∂t
m
∂v
∂t c
(41)
Le premier terme devient
Z
Z
∂f
∂
∂n
dv =
f dv =
∂t
∂t
∂t
Orsay, Octobre 2009
(42)
p-20/45
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Equations fluides: premier moment
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Comme v est une variable indépendante, elle n’est pas affectée par
l’opérateur ∇
Z
Z
v.∇f dv = ∇. vf dv = ∇.(nv̄) ≡ ∇.(nu)
(43)
où nous définissons la vitesse moyenne u comme la vitesse du fluide
Le troisième et quatrième termes sont nuls
Pour le troisième terme
Z
Z
Z
∂
∂f
.(f E)dv =
f E.dS = 0
E. dv =
∂v
∂v
S∞
(44)
L’intégrale est nulle si f → 0 plus vite que v −2 lorsque v → ∞
Il est nécessaire que la fonction de distribution f soit de carré
intégrable pour que l’énergie soit finie donc ce terme est nul
Orsay, Octobre 2009
p-21/45
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Equations fluides: premier moment
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Pour le terme dépendant du champ magnétique on a
Z
Z
Z
∂
∂
∂f
.(f v × B)dv− f
×(v × B)dv = 0
(v × B). dv =
∂v
∂v
∂v
(45)
Landau
e−
La première intégrale peut être convertie en une intégrale de
surface donc l’intégrale est nulle
Landau i
Le deuxième terme disparait car (v × B) est perpendiculaire à
∂/∂v
En l’absence de collision permettant la recombinaison où
l’ionisation le nombre de particules reste constant
Le premier moment de l’équation de Boltzmann permet donc de
retrouver l’équation de continuité
∂n
+ ∇.(nu) = 0
∂t
Orsay, Octobre 2009
(46)
p-22/45
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Equations fluides: deuxième moment
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Le deuxième moment de l’équation de Boltzmann
∂f
F ∂f
∂f
+ v.∇f + .
=
∂t
m ∂v
∂t c
(47)
R
s’obtient en multipliant par mv et en intégrant suivant dv
Z
Z
Z
∂f
∂f
m v dv + m v(v.∇)f dv + q v(E + v × B). dv
∂t
∂v
Z ∂f
dv
(48)
= m v
∂t c
Le terme du membre de droite représente le changement de
moment du aux collisions: Pij
Pour les collisions électron-ion, ce terme s’exprime en fonction de
la fréquence de collision νei
Pei = mn(vi − ve )νei
(49)
Effet des collisions introduit dans l’équation fluide (cours 3)
Orsay, Octobre 2009
p-23/45
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Equations fluides : deuxième moment II
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Le premier terme s’écrit
Z
Z
∂f
∂
∂
m v dv = m
vf dv = m (nu)
∂t
∂t
∂t
(50)
avec u la vitesse moyenne du fluide
La troisième intégrale devient
Z
Z
∂f
∂
v(E + v × B). dv =
.[f v(E + v × B).dv]
(51)
∂v
∂v
Z
Z
∂
∂
− f v .(E + v × B)dv − f (E + v × B). v.dv
∂v
∂v
Les deux premiers termes s’annullent pour les mêmes raisons que
précédemment
En remarquant que ∂v/∂v est le tenseur identité
Z
Z
∂f
q v(E + v × B). dv = −q (E + v × B)f dv = −qn(E + u × B)
∂v
(52)
Orsay, Octobre 2009
p-24/45
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Equations fluides : deuxième moment III
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Pour évaluer le terme restant, il faut considérer que v est une
variable indépendante
Z
Z
v(v.∇)dv =
∇.(f vv)dv
(53)
Z
= ∇. f vvdv
(54)
=
∇.nvv
(55)
En séparant v en une partie moyenne u et une partie thermique w
v = u + w, on obtient
∇.nvv = ∇.(nuu) + ∇.(nww) + 2∇.(n(uw̄)
(56)
Le deuxième terme correspond au tenseur de stress P
le premier terme donne
∇.(nuu) = u∇.(nu) + n(u.∇)u
Orsay, Octobre 2009
(57)
p-25/45
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Equations fluides : deuxième moment III
Introduction
f(v)
Théorie
L’équation de Boltzmann peut donc s’écrire
Equations
fluide
m
Landau
e−
Landau i
∂
(nu)+mu∇.(nu)+mn(u.∇)u+∇.P−qn(E + u × B) = Pij
∂t
(58)
En utilisant l’équation de continuité pour les deux premier termes
on obtient l’équation fluide
∂u
mn
+ (u.∇)u = qn(E + u × b) − ∇.P + Pij
(59)
∂t
L’équation fluide décrit le mouvement du flux de moment
Le mouvement du flux d’énergie s’obtient en prenant le moment
suivant de l’équation de Boltzmann en multipliant par 21 mvv et en
intégrant sur v
Orsay, Octobre 2009
p-26/45
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
L’équation de Vlasov peut être utilisée pour déterminer l’éffet de la
distribution des vitesses sur les ondes plasmas décrite dans le cours
4
Landau
e−
On considère un plasma uniforme avec une distribution f0 (v) et
sans champs extérieurs E0 = 0 et B0 = 0
On suppose une perturbation de la fonction de distribution
Landau i
f (r, v, t) = f0 (v) + f1 (r, v, t)
(60)
Comme v est une variable indépendante on ne peut plus linéariser
et l’équation de Vlasov s’écrit
e
∂f0
∂f1
+ v.∇f1 − E1 .
=0
∂t
m
∂v
Orsay, Octobre 2009
(61)
p-27/45
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau II
Introduction
f(v)
Théorie
On considère les ions fixes et les ondes comme planes suivant x
f1 ≡ ei(kx−ωt)
Equations
fluide
(62)
L’équation de Vlasov donne alors
Landau
e−
−iωf1 + ikvx f1
=
f1
=
Landau i
e
∂f0
Ex
m ∂vx
ieEx ∂f0 /∂vx
m ω − kvx
(63)
(64)
L’équation de Poisson donne
0 ∇.E1
= ik0 Ex = −en1
Z Z Z
= −e
f1 d 3 v
Orsay, Octobre 2009
(65)
(66)
p-28/45
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau III
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
En utilisant l’expression de f1 on obtient
Z Z Z
e2
∂f0 /∂vx 3
1=−
d v
km0
ω − kvx
(67)
Le facteur n0 peut être retiré de l’intégrale si l’on remplace f0 par
une fonction normalisée fˆ0
Z
Z ∞
Z ∞ ˆ
ω2 ∞
∂ f0 (vx , vy , vz )/∂vx
1=−
dvz
dvz
dvx (68)
k −∞
ω − kvx
−∞
−∞
Si f0 est une fonction du type Mazwell-Boltzmann, il ne reste
qu’une fonction à une dimension fˆ0 (vx ) et la relation de dispersion
est alors
Z
ω 2 ∞ ∂ fˆ0 (vx )/∂vx
1= 2
dvx
(69)
k −∞ vx − (ω/kv)
A cause de la singularité, l’intégrale doit être traitée comme une
intégrale de contour dans le plan complex de la variable v
Orsay, Octobre 2009
p-29/45
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau IV
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Landau a été le premier à traiter cette intégrale
Il a trouvé que la singularité entraine un effet important sur les
relations de dispersion qui n’étaient pas traité par la théorie fluide
Une relation de dispersion approximative peut être obtenue en
considérant une vitesse de phase élevée et un amortissement faible
La relation de dispersion est alors

Z ∞
ˆ0 /∂v
ˆ0 ωp2
∂
f
∂
f
1 = 2 P
dv + iπ
k
∂v ∞ v − (ω/k)

(70)

v=w/k
où nous avons posé v ≡ vx
P est la valeur principale de Cauchy. Elle correspond à une
intégration suivant l’axe réel x en excluant la région autour du
pole.
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau V
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
L’intégrale s’évalue en utilisant une intégration par partie
"
#∞
Z ∞ ˆ
Z ∞
∂ f0
dv
fˆ0
−fˆ0 dv
=
−
(71)
2
v − vφ
−∞ ∂v v − (ω/k)
−∞ (v − vφ )
−∞
Z ∞
fˆ0 dv
=
(72)
2
−∞ (v − vφ )
Nous avons donc une moyenne de (v − vφ )−2 sur la fonction de
distribution
La partie réelle de la dispersion de relation est donc
ωp2
(v − vφ )−2
(73)
k2
Comme nous avons obtenu la relation de dispersion en posant
vφ >> v, on peut effectuer un développement limité
!
−2
2
3
4v
v
3v
2v
(v−vφ )−2 = vφ−2 1 −
= vφ−2 1 +
+ 2 + 3 + ...
vφ
vφ
vφ
vφ
1=
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau VI
Introduction
f(v)
Théorie
Les termes impaires disparaissent lorsque l’on prend la moyenne sur
fˆ0
Nous obtenons donc
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
(v − vφ
)−2
≡
vφ−2
3v 2
1+ 2
vφ
!
(74)
En prenant une distribution de Maxwell-Boltzmann pour fˆ0 et
v ≡ vx on a à une dimension
1
1
mv 2 = kB Te
2 x
2
La relation de dispersion devient alors
ωp2 k 2
k 2 kB Te
1 =
1
+
3
k2 ω2
ω2 m
ωp2 3kB Te 2
ω 2 = ωp2 + 2
k
ω
m
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(75)
(76)
(77)
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau VII
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Lorsque la correction est petite on peut remplacer ω 2 par ωp2 et
nous retrouvons
3kB Te 2
ω 2 = ωp2 +
k
(78)
m
C’est la relation de dispersion obtenue dans l’approximation fluide
avec γ = 3
Pour évaluer l’effet de la partie imaginaire dans la relation de
dispersion on néglige dans un premier temps la correction
thermique sur la partie réelle
En utilisant un développement limité, la relation de dispersion
devient alors
1
ωp2
ωp2
ωp2 ∂ fˆ0
+
iπ
|
ω2 
k 2 ∂v v=vφ
"
#
ωp2 ∂ fˆ0
2
= ω
1 − iπ 2
k
∂v
=
(79)


(80)
v=vφ
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau VIII
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
En considérant la partie imaginaire comme étant petite, on peut
écrire


#
"
2
ˆ0
ω
∂
f
p

(81)
ω 2 = ωp2 1 + iπ 2
k
∂v
v=vφ
Si fˆ0 est une distribution de Maxwell-Boltzmann à une dimension
on a
2
−2v
−v
∂ fˆ0
2 −1/2
= (πvth )
exp
(82)
2
2
∂v
vth
vth
2
−v
2v
(83)
= − √ 3 exp
2
vth
πvth
En prenant vφ = ωp /k dans le coefficient mais en gardant la
correction thermique dans l’exposant on obtient
π ωp3 2ωp 1
−ω 2
√ 3 exp
Im(ω) = −
(84)
2
2 k 2 k π vth
k 2 vth
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau IX
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
!
3
−ωp2
−3
ωp
exp
exp
(85)
Im(ω) = − πωp
2
kvth
k 2 vth
2
3
√
ω
ωp
−1
Im
= −0.22 π
exp
(86)
ωp
kvth
2k 2 λ2D
√
Il y a donc un amortissement des ondes plasma qui n’est pas dû
aux collisions, c’est l’amortissement de Landau
Cet effet est connecté à f1 qui représente la distortion de la
fonction de distribution par l’onde plasma
Cet effet a été démontré de manière mathématique avant d’avoir
été observé en laboratoire (1950)
Cet effet s’observe aussi pour la formation des galaxies où les
étoiles sont considérées comme des atomes interagissant par le
biais de la force gravitationnelle plutot que E.M.
Les instabilités du gaz d’étoiles permet la formation de bras en
forme de spirales. L’effet Landau limite ce processus
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Amortissement Landau: interprétation physique
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Pour interpréter l’amortissement de Landau, on remarque tout
d’abord que la partie imaginaire Im(ω) est reliée au pole v ≡ vφ
L’effet est donc relié aux particules dont la vitesse est proche de la
vitesse de phase (particules resonnantes)
Ces particules se déplacent avec l’onde et ne voit pas le champ
électrique variant rapidement
Elles peuvent donc échanger de l’énergie de manière trés efficace
avec cette onde
Analogie: un surfeur et une vague, autant d’énergie gagnée que
perdue
Dans un plasma il y a des électrons plus rapides et des électrons
moins rapides que la vitesse de l’onde
Pour une distribution Maxwellienne il y a plus d’électrons lents que
d’électrons rapides, donc l’onde perd de l’énergie
Lorsque les particules se déplacent à v ≡ vφ , f (v) se trouve
applatie
C’est la distortion f1 (v) que nous venons de calculer
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Fonction de dispersion plasma
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Les électrons ne sont pas les seuls particules à pouvoir être
résonnantes
Si la vitesse de phase de l’onde vφ est suffisement petite pour être
proche de la vitesse thermique, un amortissement de Landau à
également lieu pour les ions
Les ondes acoustiques ioniques sont fortement modifiées par
l’amortissement Landau
Pour obtenir l’amortissement Landau ionique on repart de
l’équation de Vlasov et on considère cette fois les ions et les
électrons
∂f
q
∂f
+ v.∇f + (E + v × B).
=0
(87)
∂t
m
∂v
En l’absence de champs magnétique, en considérant un plasma
uniforme avec une distribution f0 (v) et une perturbation du
premier ordre f1 (r, v,t) on a
fj (r, v, t) = f0j (v) + f1j (r, v,t)
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(88)
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Fonction de dispersion plasma II
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
L’équation de Vlasov pour chaque espèce j (électron, ions) est
∂f1j
qj
∂f0j
+ vj .∇f1j −
E1 .
=0
∂t
mj
∂vj
(89)
Comme pour les électrons, il n’y a pas de linéarisation en v
On considère comme précédement une perturbation de forme
sinusoidale suivant x, f1j ≡ ei(kx−ωt)
Ceci entraine
qj
∂f0j
−iωf1j + ikωvxj f1j =
Ex
(90)
mj
∂vxj
iqj Ex ∂f0j /∂vxj
f1j =
(91)
mj ω − kvxj
où nous avons introduit j pour représenter l’espèce j de charge qj
et masse mj .
La perturbation en densité de l’espèce j est donnée par
Z ∞
Z
iqj E ∞ ∂f0j /∂vxj
dvxj (92)
n1j =
f1j (vxj )dvxj = −
mj −∞ ω − kvxj
−∞
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Fonction de dispersion plasma III
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
En prenant pour fonction de distribution à l’équilibre une
distribution de Maxwell à une dimension
1/2
2
noj
2kB Tj
−vj2 /vthj
f0j =
e
v
=
thj
mj
vthj π 1/2
(93)
En introduisant vxj ≡ vj et la variable s = vj /vthj on peut écrire
Landau i
n1j =
iqj En0j 1
√
2
kmj vthj
π
avec
ζj =
Z
∞
−∞
2
(d/ds)e−s
ds
s − ζj
ω
kvthj
ceci nous permet de définir la fonction de dispersion plasma
Z ∞ −s2
1
e
Z(ζ) = √
ds
π −∞ s − ζ
Orsay, Octobre 2009
(94)
(95)
(96)
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Relation de dispersion
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Comme nous l’avons vu précédement, Z(ζ) est une intégrale de
contour
Elle peut être évaluée à partir de tables ou routines numériques
Pour exprimer n1j en fonction de Z(ζ) et obtenir la relation de
dispersion, il faut prendre la dérivée par rapport à ζ
Z ∞
2
e−s
1
0
Z (ζ) = √
ds
(97)
π −∞ (s − ζ)2
Une intégration par partie done
"
#∞
Z ∞
2
2
(d/ds)(e−s )
1 −e−s
1
0
Z (ζ) = √
+√
ds
s−ζ
π s−ζ
π −∞
(98)
−∞
Le premier terme est nul et on peut donc écrire
n1j =
iqj En0j 0
2 Z (ζj )
kmj vthj
Orsay, Octobre 2009
(99)
p-40/45
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Relation de dispersion II
Introduction
f(v)
Théorie
En considérant maintenant l’équation de Poisson
X
0 ∇.E = ik0 E =
qj nj
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
(100)
j
On obtient l’équation de dispersion
k2 =
X Ω2pj
ωp2 0
0
Z
(ζ
)
+
e
2
2 Z (ζj )
vthe
v
thj
j
(101)
Où nous avons introduit la fréquence plasma ionique (cours 4)
Ωpj ≡
n0j Zj2 e2
0 M j
!1/2
(102)
On retrouve la relation de dispersion établie pour les électrons et
un terme ionique supplémentaire
Orsay, Octobre 2009
p-41/45
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Relation de dispersion: ondes plasma
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
En considérant des ions infiniment lourds Mj → ∞ c’est à dire
Ωpj = 0, on a
ωp2
k 2 = 2 Z 0 (ζe )
(103)
vthe
On retrouve l’expression pour les ondes plasmas électroniques
Nous avions précédement obtenu pour les électrons, eq.(69),
ω2
1= 2
k
Z
∞
−∞
∂ fˆ0 (vx )/∂vx
dvx
vx − (ω/kv)
(104)
Ces deux expresions sont équivalentes lorsque f0e est une
distribution de Maxwell-Boltzmann
La relation de dispersion contient l’effet Landau pour les électrons
Orsay, Octobre 2009
p-42/45
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Relation de dispersion: onde ionique et amortissement
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Landau
e−
Landau i
Pour obtenir les ondes ioniques, on repart de la relation de
dispersion
X Ω2pj
ωp2
0
k 2 = 2 Z 0 (ζe ) +
2 Z (ζj )
vthe
v
thj
j
(105)
On considère que la vitesse de phase ionique ω/k est trés inférieure
à la vitesse thermique électronique vthe
Donc ζe = ω/kvthe est trés petit et l’on peut poser Z(ζe ) = −2 en
négligeant l’amortissement de Landau pour les électrons
Ceci reste justifié car la dérivée de f0e est faible prés du maximum
des ondes ioniques
La relation de dispersion devient alors
λ2D
X Ω2pj
j
2
vth
Z 0 (ζj ) = 1 + k 2 λ2D
(106)
Orsay, Octobre 2009
p-43/45
2
avec λ2D = vthe
/(2ωp )
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Relation de dispersion: onde ionique et amortissement II
Introduction
f(v)
Théorie
Le terme k 2 λ2D représente la déviation de la quasineutralité.
L’équation de dispersion pour les ions est donc
Equations
fluide
λ2D
Landau
e−
Landau i
X Ω2pj
j
2
vth
Z 0 (ζj ) = 1
(107)
Lorsque l’on ne considère qu’une seule espéce ionique on a alors
λ2D
Ω2p
0 kB Te n0i Z 2 e2 M
1 ZTe
=
=
2
2
vthi
n0e e
0 M 2kTi
2 Ti
(108)
Dans la limite où k 2 λ2D << 1 la relation de dispersion devient alors
ω
2Ti
Z0
=
(109)
kvthi
ZTe
Orsay, Octobre 2009
p-44/45
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Relation de dispersion: onde ionique et amortissement III
Introduction
f(v)
Théorie
Equations
fluide
Résoudre cette équation est non-trivial. Un résultat analytique
peut être obtenu dans la limite ζ >> 1 correspondant à un rapport
des températures élevé.
Dans ce cas on obtient pour la partie réelle
Landau
e−
ω2
ZkB Te + 3kB Ti
=
2
k
m
Landau i
(110)
Dans la région où 1 < θ < 10 avec θ = ZTe /Ti , et ζ >> 1
l’amortissement ionique est donné par la relation
−
Im(ω)
= 1.1θ7/4 exp(−θ2 )
Re(ω)
(111)
Un résultat exacte est obtenu en résolvant directement la relation
de dispersion en utilisant la fonction Z 0 (ζj )
Orsay, Octobre 2009
p-45/45