+ an 1 - Laboratoire de Physique des Plasmas

Effets résonnants en physique
cinétique
Effet Landau
Gérard Belmont
LPP
Ondes dans les plasmas sans collision
Dans les plasmas sans collision, certaines ondes (Langmuir, Alfvén,
son, etc…) se propagent presque comme si le milieu était
collisionnel, à une différence près :
Elles sont (plus ou moins) amorties
bien que la viscosité soit nulle ainsi que tous les effets dissipatifs
"normaux" (i.e. dus aux collisions)
==> deux questions importantes :


Pourquoi ces ondes se propagent elles ?
Pourquoi sont elles amorties ?
On dit que l'amortissement est dû aux effets "résonnants"
Mais qu'est ce ??
Effets résonnants = effets essentiellement cinétiques
Si, dans la fonction de distribution globale, certaines particules ne
réagissent pas comme l’ensemble des autres ==> problème a priori
pas réductible à l’évolution de seulement quelques moments de f(v)
==> effets essentiellement cinétiques
C’est le cas de tous les phénomènes "résonnants" où l’effet des
champs variables à une certaine fréquence est beaucoup plus fort sur
les particules d'une vitesse v = vr

Résonances avec des ondes planes :



résonances Landau w - k//v// = 0 (champ E//),
résonances cyclotron : w - k//v// = nwc (champ E^),
Résonances avec des géométries plus complexes :

résonances de rebond, etc…
Effet Landau = prototype des effets résonnants
C'est l'effet résonnant le plus "simple":
Il existe même sans champ magnétique. On le trouve pour des ondes
a priori faciles à calculer (Langmuir, son), au moins en fluide.
Le calcul cinétique complet date des débuts de la physique des
plasmas (Landau, 1946)
Mais le calcul, même dans ce cas "simple", est mathématiquement
assez délicat (Fourier-Laplace, intégration dans le plan complexe,
…) et peu favorable à la compréhension intuitive de ce qui se passe
==> Dans les livres et les sites de vulgarisation (ou de niveau
élémentaire), il est généralement remplacé par des explications
heuristiques, qui induisent effectivement des idées plus intuitives,
mais hélas généralement erronées
Je vais essayer d'en donner une idée compréhensible, mais pas trop fausse…
L’onde sonore
Un exemple élémentaire instructif : l'onde sonore
(moins traditionnel que l'onde de Langmuir mais plus adapté à la comparaison avec
l'intuition fluide ordinaire)
Essayons de comprendre



Pourquoi elle se propage avec/ sans collision
Pourquoi elle est amortie
Comment f(v) se déforme pour assurer propagation et
amortissement des perturbations de densité/ vitesse/ pression
Calcul de l’onde sonore fluide
Equations du mouvement des ions et des électrons linéarisées :
Ions : -mit2(n1) +giTi2(n1) = -noq 2 (F1)
Électrons : geTe2(n1) = noq 2 (F1)
Hypothèses : Equations de fermeture polytropes (p = ng) pour
les deux espèces + Quasi-neutralité (ni ~ ne)
Elimination du potentiel F1 :
==>
mit2(n1) = (giTi + geTe) 2(n1)
Calcul de l’onde sonore fluide (2)
+ Fourierisation ==> Modes "propres"
(n1 et toutes les autres variables sont en ei(kx-wt))
w2/k2 = cs2 = (giTi + geTe) / mi
==> deux modes propres (un dans chaque sens)
Solution générale à partir d’une condition initiale quelconque =
superposition linéaire des deux. Les coefficients de chaque mode
dépendent de deux paramètres, par exemple deux conditions initiales.
Possibilité de remplacer Fourier par Laplace pour introduire directement
les conditions initiales
NB. A partir d'une seule condition initiale imposée (par exemple sur n1 avec condition
quelconque sur u1), fort peu de chances d'obtenir une seule onde
Même calcul en cinétique
Au lieu de tirer n1 de l'équation de moment des ions, moyennant une
équation polytrope, il faut calculer f1 en repartant directement de
Vlasov
t(f1) + v x(f1) = q/mi  x(F1) f o'(v)
Et en déduire n1 par intégration sur les vitesses
Si on veut appliquer la même méthode que précédemment (Fourier), il
faut supposer qu'il existe des solutions pour lesquelles la distribution
perturbée f1(v) varie en ei(kx-wt) pour
toutes les valeurs de v (pas seulement les moments n1, v1, p1). Alors :
(v - w/k ) f1 = q/mi F1 f o'(v)
Même calcul en cinétique (2)
(v - w/k ) f1 = q/mi F1 f o'(v)
Comment déduire la perturbation de densité n1 à partir de cette
équation_? : On est a priori tenté d'en déduire :
mi n1 = qF1  fo'(v)/(v - w/k) dv
Mais, pour une onde purement propagative (w réel), l'intégrale est
divergente en v = w/k ( rôle de la vitesse divergente)
Valeur principale ? Signification physique ?
Onde amortie ? Pourquoi ? Si oui, suffit il de garder la même intégrale
avec w complexe ?
Même calcul en cinétique (3)
Détermination plus propre de la perturbation f1 :
Si la dépendance spatiale k est imposée, dépendance en temps = equa.dif.
linéaire du 1er ordre
v f1 -i  t(f1)/k = q/mi F1 f o'(v)
(v - w/k) f1 = q/mi F1 f o'(v)
Les solutions s'écrivent, au sens des distributions :
f1 = q/mi F1 f o'(v)/ (v - w/k) + an1d(v - w/k)
Solution générale = solution particulière (forcée par le champ
électrique) + solution générale sans second membre (balistique). On voit
que le voisinage de v = w/k demande un traitement soigné. Ces particules résonnantes
ne sont pas forcées par le champ à osciller à w, même si F1 et n1 ont cette fréquence:
elles peuvent simplement rester à vitesse constante
C'est le comportement balistique (qu'on voit en simulation) qu'il ne faut pas oublier
Même calcul en cinétique (4)
En intégrant, le système précédent s'écrit :
Ions : n1 = q/miF1 Zp'(vf) + an1
Électrons : geTe n1 = noq F1

Avec Zp'(vf) = VP fo'(v)/(v - vf) dv
En éliminant le potentiel électrique :
n1 = geTe/mi n1/no Zp'(vf) + an1
Si fo Maxwellienne et vf réel, Zp est la partie réelle d'une fonction
célèbre et tabulée (la fonction de Fried et Conte)
Une infinité de modes propres réels,
chacun très improbable
n1 = geTe/mi n1/no Zp'(vf) + an1
Ceci n'est une équation de dispersion que si on fixe a ==> sinon, une
infinité de solutions dépendant de a (pourcentage de particules
résonnantes)
Résultat en accord avec le nombre infini de degrés de liberté
Choix arbitraire a = 0 (seulement la partie principale, cf. Vlasov) : aucune particule de
f1 n'a la vitesse résonnante v = vf ==> résultat proche du fluide. A peu près valable
seulement quand vf >> Vth
Mais chacun de ces modes a une perturbation f1 très singulière autour de
v = vf. Aucune condition initiale raisonnable ne peut exciter
un seul de ces modes
Les conditions initiales raisonnables excitent
toujours un continuum de modes
Chaque valeur de a correspond à une perturbation f1 particulière, mais
toujours singulière
==> Les perturbations régulières sont nécessairement une superposition
linéaire d'une infinité de ces modes
Résultat remarquable :
Avec un k fixé, pour toutes les conditions initiales "raisonnables",
si on impose une onde se propageant dans un seul sens (au voisinage de
la solution fluide), on obtient une évolution qui, après une période
transitoire, retombe toujours le même comportement asymptotique qui
est une décroissance en e - gt (dû au mélange de phases)
Ce comportement universel est appelé "amortissement Landau"
Calcul(s) de l'effet Landau
• Méthode classique (Landau)
Calcul complet et explicite à partir de la condition initiale sur f1 et de la
transformation de Laplace, déformations de contour dans le pan
complexe pour la transformée inverse, etc…
• Plus proche de l'expérience
Calculer directement sur la superposition des modes réels, imposer une
varaiation en e-iwt avec w complexe pour les grandeurs macroscopiques et
chercher quelles sont les distributions "raisonnables" qui le permettent.
On voit mieux ainsi le rôle des particules résonnantes et des autres
df = qFo/(v – vs1) *
[ fo'(v) [exp(-ikvs1t) - exp(-ikvt) /2] - (1/2ip) (Zp'(v) - 2Ti/Te) exp(-ikvt) ]
Remarques diverses
Amortissement g proportionnel à fo'
Instabilités aussi (f'o > 0)
Autres résonances : cyclotron, miroir, rebonds, etc…
Même problématique
FIN
(Pour aujourd'hui)