L n

Le gaz d’électrons sous champ magnétique
 2 g
1 
( p + eA) + µ B Bσ z
H
=
2m
2
L.D. Landau (1908-1968)
En =(n + 1 / 2) ωc
eB
ωc =
m
Niveaux de Landau
dégénérescence des niveaux
eB
nB =
h
i=3
B fixé
n décroît
n fixé
B augmente
i=2
Oscillations quantiques sous champ magnétique
Quantification de Landau
 oscillations de quantités thermodynamiques (aimantation)
effet de Haas-van Alphen
 oscillations de résistance
effet Shubnikov-de Haas
Aimantation
Résistance
1/B
Oscillations périodiques en 1/B
9
B0
Bn =
n
B0= 58 kG
8
7
6
eB0
nel =
 1011 e/cm 2
h
Comparaison
gaz 2D-metal
Exercice: retrouver les relations entre ces quantités qui
ne sont pas indépendantes (combien de quantités indépendantes?)
5
Shubnikov-de Haas :
Bn =
B0
n
conducteur organique quasi-2D β-(BEDT-TTF)2I3
B0 = 3700 T
eB0
nel =
 3.1015 e/cm 2
h
Pourquoi des battements ?
kz
B=
B0 ± B1
±
B1 = 37 T
ky
Surface de Fermi
kx
 
dr 2π (n + γ )
∫ k=
Quantification de Bohr-Sommerfeld, WKB
L= (n + 1)λ
b
kL= (n + γ ) π
∫ k ( x) dx = (n + γ )π
a
π
4
2
π
π
π
2
2
π
π
4
4
atome de Bohr
oscillateur harmonique
γ=1/2
puits infini
γ=1
γ=3/4
∫ p( x) dx = (n + γ )h
=
p( x)
2m[ E − V ( x)]
Quantification de Bohr-Sommerfeld, WKB
Ã(0) = 0
Ã(L) = 0
à 0 (L) = 0
à 0 (0) = 0
kL = (n + °)¼
à 0 (0) = 0
Ã(L) = 0
à 0 (L) = 0
Ã(0) = 0
n=4
n=3
n=3
n=3
n=3
n=2
n=2
n=2
n=1
n=1
n=0
n=0
sin kL = 0
kL = (n + 1)¼
n
n+°
n=2
cos kL = §1
kL = n¼
nombre de nœuds
nombre de 1/2 longueurs d’onde
n=1
n=0
cos kL = 0
1
kL = (n + )¼
2
n=1
n=0
sin kL = §1
1
kL = (n + )¼
2
 
dr 2π (n + γ )
∫ k=
Quantification de Bohr-Sommerfeld, WKB
L= (n + 1)λ
b
kL= (n + γ ) π
∫ k ( x) dx = (n + γ )π
a
π
4
2
π
π
π
2
2
π
π
4
4
atome de Bohr
oscillateur harmonique
γ=1/2
puits infini
γ=1
γ=3/4
∫ p( x) dx = (n + γ )h
=
p( x)
2m[ E − V ( x)]
Retour aux hétérojonctions :
niveaux d’énergie dans un potentiel triangulaire V(x)=e E x
E est le champ électrique
Utiliser l’approximation WKB pour calculer les niveaux d’énergie
3 
 3π
=
ε n  (n + ) 
4 
 2
2/3
1/ 3
 e E 


2
m


2 2
2
D. M.
Au voisinage des bords, les orbites cyclotrons sont ouvertes
A( R=
, xc ) 2π ( n + γ )
2
B
B
« skipping orbits »
 2B =

eB
, xc ) 2π ( n + γ )
A ( R=
2
B
γ = 3/ 4
Spectre approché
γ = 1/ 2
A
A
Spectre exact
A
x
« Demi » oscillateur
1

E=
n
 p +  ωc
2

ε ,ψ ( x)
avec =
p 2n + 1
3

=
En 2  n +  ωc
4

Niveaux de Landau dans un ruban de largeur finie