Chap.4 – Diffraction des ondes lumineuses

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Chap.4 – Diffraction des ondes lumineuses
1. Observations expérimentales
2. Principe de Huygens-Fresnel
2.1. Enoncé
2.2. Transparence d’un objet diffractant
2.3. Expression de l’onde sur l’écran
3. Diffraction à l’infini (Fraunhofer)
3.1. Conditions de Fraunhofer
3.2. Exemple de montage expérimental
3.3. Formule de la diffraction de Fraunhofer
4. Figures de diffraction pour différentes pupilles
4.1. Fente rectangulaire
4.2. Etude de la fonction 
4.3. Fente fine
4.4. Diffraction par deux fentes d’Young
4.5. Pupille circulaire
5. Formation des images : limitation due à la diffraction
5.1. Diffraction par le collecteur de lumière
5.2. Critère de Rayleigh
1. Observations expérimentales
Un laser éclaire une fente fine, et l’on observe la lumière sur un écran placé derrière la fente. Lorsque l’on
diminue l’épaisseur de la fente horizontalement, on observe un étalement de la lumière sur l’écran selon la
direction horizontale : c’est une manifestation du phénomène de diffraction.
Il y a diffraction lorsque la lumière ne se propage pas selon les lois de l’optique géométrique.
On avait supposé l’existence de ce phénomène lors de l’étude des interférences par les fentes d’Young : les RL
semblaient « rebondir » sur les fentes, au lieu de les traverser rectilignement comme prévu par l’optique
géométrique.
Tout objet limitant la section transversale d’un faisceau lumineux provoque la diffraction de la lumière.
Soit  la taille caractéristique de l’objet diffractant :
le phénomène de diffraction est d’autant moins négligeable que le rapport  est grand.
La diffraction existe toujours, mais peut souvent être négligée : c’est l’approximation de l’optique géométrique.

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2. Principe de Huygens-Fresnel
2.1. Enoncé
Soit  une surface diffractante atteinte par une onde monochromatique.
i) Chaque élément d de  autour d’un point P de cette surface se comporte comme une source ponctuelle
secondaire émettant une ondelette sphérique dont l’amplitude est proportionnelle à d et à l’amplitude de
l’onde incidente en P.
ii) Les sources secondaires sont cohérentes entre elles : les vibrations qu’elles émettent interfèrent. L’amplitude
en un point M d’observation est la somme des amplitudes complexes émises par toutes les sources secondaires.
Compréhension qualitative du principe sur un dessin :
Soit une onde plane arrivant sous incidence normale sur le plan du diaphragme.
 En traçant les ondes sphériques réémises par les points  du diaphragme, expliquer qualitativement qu’avec
un diaphragme infiniment large il n’y a pas de diffraction : l’onde émergente du diaphragme est plane.
 En effectuant le même tracé, mais avec un diaphragme de taille finie, expliquer qualitativement pourquoi le
faisceau émergent est divergent.
Il n’existe pas de « vraies » sources secondaires au niveau de la pupille diffractante.
Ce principe revient à décomposer un front d’onde en une somme d’ondes sphériques.
Expression mathématique de l’onde émise par la surface  autour de 
 Donner l’expression en complexe de l’onde primaire  émise par la source  monochromatique
 Donner l’expression de l’onde primaire  reçue au niveau du point , en fonction de 
 Grâce au principe de HF, donner l’expression de l’onde secondaire  réémise par le point 
2.2. Transparence d’un objet diffractant
Certaines pupilles diffractantes peuvent être constituées par un milieu d’indice ou d’épaisseur non homogène. On
les caractérise par un facteur de transparence  qui dépend a priori de la position du point  de la pupille.
Exemples :
- un simple trou dans un écran :    si  au niveau du trou,    sinon
- un diaphragme en partie absorbant (ou réfléchissant) :    si  au niveau du trou,    sinon
- un  complexe : son argument représente un déphasage de l’onde en 
 Comment faudrait-il modifier l’expression de l’onde secondaire  en incluant le facteur de
transparence ?
Par la suite, on se place dans l’air, avec un diaphragme de transparence égale à 0 ou 1.
P
M
S

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2.3. Expression de l’onde sur l’écran
 Donner l’expression de l’amplitude de l’onde en un point  de l’écran , sachant qu’une onde
sphérique s’écrit comme une onde plane, mais avec une amplitude en «  », où  est la distance entre le
point d’émission et le point d’arrivée.
3. Diffraction à l’infini (Fraunhofer)
3.1. Conditions de Fraunhofer
Conditions de la diffraction de Fraunhofer
On est dans les conditions de Fraunhofer lorsque la source  et l’écran d’observation sont situés à l’infini
(par rapport à la pupille diffractante).
L’onde incidente sur la pupille est donc plane. La partie de l’onde qui atteindra un point donné  à l’infini est
aussi plane.
3.2. Exemple de montage expérimental
 Donner le montage expérimental permettant de « placer la source à l’infini » et d’observer la figure de
diffraction à l’infini.
 Dans ce montage, la position de la pupille a-t-elle une importance ?
Soit  et   les vecteurs directeurs associés respectivement aux RL incidents sur le diaphragme , et aux RL
repartant vers un point  de l’écran. Ces rayons sont supposés très peu inclinés par rapport à l’axe optique.
 Exprimer les coordonnées  et  de ces deux vecteurs en fonction des coordonnées de
 et . On pourra pour cela assimiler  à  et  à  ( et  centres des
lentilles)
3.3. Formule de la diffraction de Fraunhofer
 En se plaçant dans le plan contenant le centre  de la pupille et les vecteurs  et  , on considère la différence
de marche entre les RL passant par P (quelconque) et ceux passant par O : . Exprimer cette
différence de marche en fonction de 
 En déduire la formule de diffraction de Fraunhofer ci-dessous.
Formule de diffraction de Fraunhofer
Remarques importantes :
 A RETENIR PAR COEUR
 Le terme d’amplitude  regroupe plusieurs termes précédents et n’a pas à être connu
 Il faut pouvoir exprimer les vecteurs d’onde en fonction de la longueur d’onde et de  et 

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4. Figures de diffraction pour différentes pupilles
4.1. Fente rectangulaire
On considère le montage précédent, à deux lentilles, avec la source  sur l’axe optique.
Le diaphragme est une fente rectangulaire de largeur a et de hauteur b, décrite par la transparence :
t(x, y) = 1 si - a/2  x  a/2 et -b/2  y  b/2 ;
t(x, y) = 0 ailleurs.
 Montrer que l’éclairement peut s’écrire :
E M E c acb ( ) .sin ( ).sin ( )02 2
E0 est l’éclairement maximum, obtenu pour  =  = 0 ;
le maximum de lumière est obtenu dans la direction
de l’image géométrique de la source.
x
y
z
x
S
M
P
O
f’
f’
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
-4
-2
0
2
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4.2. Etude de la fonction 
On considère la fonction f(x) = sinc²(x).
a) Quelle est sa limite en x = 0 ?
b) Quel est le domaine de définition de cette fonction ?
c) Tracer à l’aide d’une calculatrice l’allure de cette fonction.
d) Pour quelles valeurs de x s’annule-t-elle ?
e) Montrer que l’équation donnant les extrema est, pour x  2k avec k Z : tan(x) = x.
f) Cette équation n’admet pas de solution analytique : tracer à la calculatrice les courbes y = x et y = tan(x)
et donner les valeurs approximatives de x rendant f(x) maximale.
g) Calculer la valeur approximative des deux premiers « maximas secondaires ».
-3 -2 -1 1 2 3
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
f(x) présente un maximum absolu pour x = 0 ;
f(x) présente des maximas secondaires, pour x  ( n +1/2 )  avec n entier, n  0, -1.
f(x) s’annule pour x = n, n entier non nul.
 Quelle est la largeur angulaire de la tâche centrale de diffraction : selon l’axe des , selon l’axe des  ?
 Quelle est la largeur de la tâche sur l’écran ? (focale de  pour la lentille de projection)
 Comment évoluent les dimensions de la tâche centrale lorsque l’on diminue ou augmente les dimensions de la
fente ?
4.3. Fente fine
On fait tendre  la dimension verticale vers l’infini. Que devient la figure de diffraction ?
Il est possible de refaire tout le calcul en supposant dès le début que la fente est très étendue selon la verticale. Il
suffit de remplacer    par , ce qui revient à intégrer selon la direction verticale.
 Refaire le calcul avec ce nouveau point de départ.
4.4. Diffraction par deux fentes d’Young
Nous avons dans le cours sur les fentes d’Young implicitement supposé que les fentes étaient suffisamment fines
pour que la figure de diffraction donnée par une fente (l’autre étant occultée) soit quasiment uniforme sur l’écran
(tâche centrale très grande devant la taille de l’écran).
Supposons que les deux fentes fines, espacées d’une distance a, ont une largeur e.
On montre qu’alors, en incidence normale :
E(M) =
2
max
E2
E(M) .sin 1cos
2ea
c
- 1 5 - 1 0 -5 510 15
- 2 0
- 1 0
10
20