Introduction `a l`électromagnétisme

Introduction ` a l’´ electromagn´ etisme
Cours de Physique G´ en´ erale, partie II
Exercices de cours
«L’autorit´e de ceux qui enseignent nuit souvent `a ceux qui veulent apprendre. »
(Cic´eron)
«On veut savoir plus qu’on ne voit : c’est l`a la difficult´e. Encore si, ce qu’on voit,
on le voyait bien, ce serait toujours autant de connu ; mais on le voit tout autrement
qu’il est. »(Fontenelle)
Prof. Frank Ferrari
Mis `a jour le 8 avril 2011
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Informations g´ en´ erales
Vous trouverez dans ces pages une s´erie d’exercices de cours, c’est-`a-dire des exer-
cices dont la solution a en g´en´eral ´et´e donn´ee, de fa¸con d´etaill´ee, pendant les cours
magistraux, ou des exercices qui sont des applications directes du cours. D’une cer-
taine mani`ere, pour concevoir ces exercices, je n’ai fait que mettre sous forme de
questions une partie de la mati`ere vue en cours.
Ces exercices peuvent donc vous aider `a apprendre votre cours. L’id´eal est proba-
blement de commencer par une premi`ere lecture approfondie de vos notes manuscrites,
puis de faire les exercices correspondant et enfin de relire une deuxi`eme fois vos notes
pour vous corriger ou trouver les r´eponses qui vous manquent. Vous devriez toujours
essayer, dans la mesure du possible, de faire ce travail avant le cours suivant. Ceci
vous permettra de beaucoup mieux suivre le cours magistral et donc de sortir des
cours en ayant d´ej`a compris une grande partie de la mati`ere. C’est beaucoup plus
agr´eable pour vous et c’est aussi un gain de temps tr`es appr´eciable, pensez-y ! Ceci
vous permettra aussi de surmonter l’une des difficult´es principales de ce cours de Phy-
sique, qui est que pour comprendre le cours nil faut avoir bien assimil´e tous les cours
pr´ec´edents, de 1 `a n−1.
Les exercices sont accompagn´es d’un bref plan des notions essentielles vues en cours
ainsi que de quelques explications. Ces explications sont succinctes et incompl`etes et
ne peuvent en aucun cas remplacer vos notes manuscrites prises en cours. Je donne en
g´en´eral plus d’explications sur les sujets que j’ai dˆu, par manque de temps, pr´esenter
(trop ?) rapidement en cours. Ceci s’applique en particulier `a la partie “compl´ements
de math´ematiques,”dont certains aspects seront aussi vus dans le cadre de votre cours
de math´ematiques.
Vous trouverez forc´ement des coquilles dans le texte : merci de me les signaler ou
de les signaler aux assistants.
Les questions marqu´ees d’un (*) sont `a faire en priorit´e pendant les s´eances d’exer-
cices (pour la section de Chimie). Ces questions ne sont pas forc´ement les plus “im-
portantes,” mais celles pour lesquelles l’aide d’un assistant peut ˆetre la plus utile, ou
celles qui vous permettront de r´epondre facilement aux autres questions.
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Compl´ ements math´ ematiques
(Cours I, II et III)
Une grande partie des trois premiers cours est consacr´ee `a la pr´esentation de
quelques compl´ements de math´ematiques, essentiellement :
•un rappel tr`es succinct sur la notion de d´eriv´ee et d’int´egrale ;
•la description des syst`emes de coordonn´ees cart´esiennes, polaires et sph´eriques
(incluant la notion de d´eplacement ´el´ementaire −−→ dM, d’´el´ements de surface et de vo-
lume) ;
•la notion de champs scalaires et vectoriels ;
•la notion de circulation d’un champ de vecteurs le long d’un contour, incluant
une discussion du gradient et des champs `a circulation conservative (ou, ce qui est
´equivalent, des champs d´erivant d’un potentiel) ;
•la notion de lignes de champ et pour le cas des champs d´erivant d’un potentiel,
la notion de surfaces ´equipotentielles.
0. D´eriv´ee et int´egrale
1. Rappeler la d´efinition de la d´eriv´ee d’une fonction fd’une variable r´eelle. Expli-
quer comment la d´eriv´ee f0(x) permet d’approximer la fonction fau voisinage
du point x. Donner une interpr´etation graphique de ce r´esultat.
2. Donner une approximation similaire pour une fonction fde nvariables r´eelles au
voisinage du point (x1, . . . , xn). Donner une interpr´etation graphique du r´esultat
dans le cas de deux variables.
3. Rappeler la d´efinition de l’int´egrale d’une fonction d’une variable r´eelle et ex-
pliquer pourquoi cette int´egrale calcule l’aire de la surface sous la courbe repr´e-
sentative de f. Si on d´efinit
F(x) = Zx
a
f(t) dt , (1)
montrer que F0(x) = f(x).
1. Syst`emes de coordonn´ees
Pour se rep´erer dans l’espace, qui a trois dimensions, il faut se donner trois nombres
r´eels, les coordonn´ees. Un syst`eme de coordonn´ees tr`es naturel est celui des coordon-
n´ees (x, y, z) dites cart´esiennes. Ces coordonn´ees sont d´efinies en se donnant une
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origine Odans l’espace et une base orthonorm´ee (~ux, ~uy, ~uz), qui sera toujours directe
pour nous (c’est-`a-dire que ~ux×~uy=~uz). Les coordonn´ees cart´esiennes d’un point M
quelconque de l’espace sont alors les trois nombres r´eels x,yet zd´efinis de mani`ere
unique par la relation −−→ OM =x~ux+y~uy+z~uz.
L’utilisation des coordonn´ees cart´esiennes n’est pas toujours tr`es pratique. En r´ea-
lit´e, selon les sym´etries du probl`eme `a traiter, il est parfois utile d’utiliser d’autres
syst`emes de coordonn´ees. Il y a trois grands types de sym´etries auxquelles nous au-
rons affaire dans ce cours : la sym´etrie de translation (pour laquelle les coordonn´ees
cart´esiennes sont en g´en´eral bien adapt´ees), la sym´etrie de rotation par rapport `a un
axe (on utilise alors pr´ef´erentiellement les coordonn´ees cylindriques) et la sym´etrie
de rotation autour d’un point (pour laquelle l’utilisation des coordonn´ees dites sph´e-
riques simplifie en g´en´eral le probl`eme). Utiliser un syst`eme de coordonn´ees adapt´e
aux sym´etries du probl`eme `a traiter peut simplifier consid´erablement les calculs, c’est
l`a tout leur int´erˆet.
De mani`ere compl`etement g´en´erale, un syst`eme de coordonn´ees (u, v, w) permet
de rep´erer sans ambigu¨ ıt´e tous les points de l’espace : `a un point particulier Mde
l’espace correspond de mani`ere unique un triplet de nombres r´eels (u, v, w). Un vecteur
d´eplacement ´el´ementaire −−→ dMest un petit vecteur qui relie deux points Met M0tr`es
proches l’un de l’autre. Comme ces deux points sont tr`es proches, leurs coordonn´ees
(u, v, w) et (u0, v0, w0) sont aussi tr`es proches, et on note u0=u+ du,v0=v+ dv,
w0=w+ dw(la notation du, dvet dwsugg`ere que l’on prend en fait la limite
o`u la s´eparation entre les points tend vers z´ero ; `a notre niveau, on ne perd rien en
interpr´etant du, dvet dwcomme de toutes petites quantit´es, que l’on prend aussi
petites que n´ecessaire). On a donc
−−→
dM=−−−−−−−−−−−−−−−−−→ M(u, v, w)M0(u0, v0, w0) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ M(u, v, w)M0(u+ du, v + dv, w + dw).(2)
On peut toujours d´ecomposer
−−→
dM=f(u, v, w)du ~uu+g(u, v, w)dv ~uv+h(u, v, w)dw ~uw,(3)
o`u f,get hsont trois fonctions positives et o`u les (~uu, ~uv, ~uw) forment, en tout point
de l’espace, une base de vecteurs norm´es appel´ees base naturellement associ´ee au
syst`eme de coordonn´ees (u, v, w). Attention : cette base n’est pas forc´ement ortho-
gonale ni directe dans le cas le plus g´en´eral, mais elle le sera pour les syst`emes de
coordonn´ees que l’on consid´erera. Il est important de comprendre que les vecteurs
~uu,~uvet ~uwd´ependent en g´en´eral du point de l’espace consid´er´e, c’est-`a-dire qu’ils
peuvent d´ependre non-trivialement des coordonn´ees u,vet w. L’´el´ement de longueur
´el´ementaire est donn´e par la norme |−−→ dM|du vecteur d´eplacement ´el´ementaire −−→ dM.
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La formule (3) sugg`ere une mani`ere simple de calculer les fonctions f,get hainsi
que les vecteurs ~uu,~uvet ~uw. Par exemple, pour calculer fet ~uu, il suffit de consid´erer
le cas o`u seule la coordonn´ee uvarie (c’est-`a-dire le cas o`u dv= dw= 0). Le vecteur
~uuest simplement le vecteur unitaire donnant la direction dans laquelle le point Mse
d´eplace lorsque l’on accroˆıt la coordonn´ee ud’une toute petite quantit´e du, les autres
coordonn´ees vet w´etant fixes. La fonction fest simplement telle que fdudonne la
distance parcourue par le point Mlors de ce d´eplacement (en d’autres termes, fdu
donne la norme du vecteur −−→ dMpour du > 0 quelconque mais dv= dw= 0). Les
mˆemes commentaires s’appliquent ´evidemment au vecteur ~uvet `a la fonction g, ou
au vecteur ~uwet `a la fonction h, `a condition de faire varier la coordonn´ee v(ou w),
les deux autres coordonn´ees ´etant maintenues fixes.
Une courbe (ou un contour, ou un chemin) dans l’espace est donn´ee sous forme
param´etrique par trois fonctions d’une variable u=a(λ), v=b(λ) et w=c(λ), o`u
λest un param`etre quelconque le long de la courbe (si cette courbe correspond `a la
trajectoire d’une particule, λpeut ˆetre le temps par exemple, mais ceci n’est bien sˆur
pas n´ecessaire ; les courbes que nous consid´ererons ne sont pas en g´en´eral des trajec-
toires de particules). Il est alors souvent utile de consid´erer le vecteur d´eplacement
´el´ementaire le long de la courbe, c’est-`a-dire le vecteur −−→ dMreliant deux points tr`es
proches sur la courbe.
1. Exprimer −−→ dMle long de la courbe (u=a(λ), v =b(λ), w =c(λ)) en utilisant sa
d´efinition et (3) (la r´eponse fait intervenir les d´eriv´ees des fonctions a,bet c).
2. Comment appelle-t-on en g´en´eral un vecteur tel que −−→ dM/dλ? Comment s’ap-
pelle ce vecteur dans le cas particulier o`u la courbe correspond `a la trajectoire
d’une particule et o`u λest le temps ?
3. On suppose que, pour le syst`eme de coordonn´ees utilis´e, la base (~uu, ~uv, ~uw) est
orthonorm´ee directe. Quelle est la longueur de la portion de courbe correspon-
dant `a l’intervalle de param`etre λ∈[λ1, λ2] ?
Une surface dans l’espace est donn´ee sous forme param´etrique par trois fonctions
de deux variables u=a(λ, σ), v=b(λ, σ) et w=c(λ, σ), o`u λet σsont deux
param`etres quelconques permettant de param´etriser la surface.
1. Montrer que le vecteur d´eplacement −−→ dMpermettant de relier deux points tr`es
proches sur la surface se d´ecompose comme
−−→
dM= dλ−−→
∂M
∂λ + dσ−−→
∂M
∂σ (4)
sur les deux vecteurs −−→ ∂M/∂λ et −−→ ∂M/∂σ que l’on d´efiniera soigneusement en
utilisant (3) et les fonctions a,bet c.
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