Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires ?
Utilisons
On sait que (hypothèses)
Réciproque de Pythagore
C
AB 2 = BC 2 + CA2
1,5
orthocentre
C
A′
′
b
B
au plus grand côté.
b
b
b
C
A
H est le point d’intersection de deux
Si une droite passe par un sommet du triangle et l’orthocentre
les droites (CH) et (AB) sont per-
hauteurs du triangle ABC.
alors elle est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
pendiculaires
C est un point du cercle de diamètre
Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre
Le triangle ABC est rectangle en C
[AB]
de ce cercle
H est donc l’orthocentre
b
H
B
′
Cercle circonscrit
C
b
C
b
I
A
Le triangle ABC est rectangle en C.
2,5
A
B
Si dans un triangle le carré de la longueur de plus grand côté est
alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé
b
b
donc. . .(conclusion)
égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés
b
2
or . . .(propriété, définition)
alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est opposé au
B
diamètre du cercle.
b
b
[CI] est une médiane du triangle
Si dans un triangle la médiane issue d’un sommet mesure la moitié
ABC
du côté opposé
AB
et CI = AI = IB =
2
Alors ce triangle est rectangle.
Médiatrice
CA = CB
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment
(CI) est la médiatrice de [AB]
C
IA = IB
alors il est sur la médiatrice d’un segment
donc (CI) est perpendiculaire à
Médiane
C
b
B
b
Le triangle ABC est rectangle en C
b
A
I
b
b
(AB)
b
b
A
I
b
B
1
Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires ?
La droite D est tangente au cercle C
Si une droite est tangente en A à un cercle de centre O
au point C.
alors elle est perpendiculaire à la droite (AO)
Les droites (d1 ) et (d2 ) sont pa-
Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendicu-
Les droites (d) et (d1 ) sont perpen-
(d1 )//(d2 )
rallèles.
laire à l’une
diculaires.
(d2 )⊥(d)
La droite (d) est perpendiculaire à
alors elle est perpendiculaire à l’autre.
tangente à un cercle
D
C
b
b
A
(D) et (AC) sont perpendiculaires
B
b
(d)
(d1 )
C
(d2 )
(d2 )
bissectrice d’un angle
D C
b
A
Si un point est sur la bissectrice d’un angle alors il est équidistant
OH=OK
\
l’angle BAC
des côtés de cet angle
(OH) et (HM) sont perpendiculaires
(OK) et (HM) sont perpendiculaires
K1
b
b
M est un point sur la bissectrice de
M
b
B
2
Comment démontrer que deux droites sont parallèles ?
Utilisons
On sait que (hypothèses)
(d1 )//(d)
(d2 )//(d)
(d)
(d1 )
(d2 )
(d)
(d1 )⊥(d2 )
or . . .(propriété, définition)
(d1 ) parallèle à (d)
si deux droites sont parallèles à une même troisième,
et (d2 ) est parallèle à (d)
alors elles sont parallèles
(d1 ) perpendiculaire à (d)
si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième,
et (d2 ) est perpendiculaire à (d)
alors elles sont parallèles entre elles
Si ABC et AM N sont deux tri-
D’après la réciproque du théorème de Thales.
donc. . .(conclusion)
(d1 ) et (d2 ) sont parallèles entre elles
(d1 ) et (d2 ) sont parallèles
(d2 )⊥(d)
(d1 )
(d2 )
réciproque de Thales
angles avec :
C
1, 5
N
b
➔ A est un sommet commun
b
b
0.8
b
b
A
4
3
M
2, 5
B
➔ M ∈ [AB], N ∈ [AC]
AC
AB
=
➔
AM
AN
On peut aussi remplacer la dernière
AB
BC
condition par
=
AM
MN
3
Alors on a (M N )//(BC)
1

➔ A est un sommet commun 



➔ M ∈ [AB], N ∈ [AC]
Alors on a (M N )//(BC)


AB
AC


➔
=
AM
AN
AB
BC
On peut aussi remplacer la dernière condition par
=
AM
MN
Le théorème de Pythagore
Théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hy-
A
poténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle
b
droit.
b
Si ABC est rectangle en A alors BC 2 = BA2 + AC 2 .
C
3
b
B
suivantes :
b
1,5
2
tangle.
b
Si BC 2 est égal à BA2 + AB 2 alors ABC est rectangle en A.
Utilisation : Démontrer qu’un triangle est rectangle.
2
AC
Côté opposé de α
Exemple : sin \
ABC =
➔ sin(α) =
Hypothénuse
BC
Côté adjacent de α
AB
➔ cos(α) =
Exemple : cos \
ABC =
Hypothénuse
BC
Côté opposé de α
\ = AC
Exemple : tan ABC
➔ tan(α) =
Côté adjacent de α
AB
A
somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rec-
b
C
2,5
B
Le théorème de Thalès
C
Théorème : Si deux triangles ont un sommet commun et des
côtés appartenant à la même droite ou parallèles, alors les me-
N
(M N )//(BC)
b
b
b
sures des côtés des deux triangles sont proportionnels.
b
b
C
Réciproque : Si deux triangles ont un sommet commun, deux
côtés respectivement appartenant à la même droite et de longueur proportionnelles , alors les deux autres côtés sont pa-
1, 5
N
b
b
b
0.8
b
b
rallèles.
B
M
A
Si ABC et AM N sont deux triangles avec :


➔ A est un sommet commun 


AB
AC
BC
Alors on a
=
=
➔ M ∈ [AB], N ∈ [AC]

AM
AN
M
N



➔ (M N )//(BC)
A
b
Dans un triangle rectangle, on a les relations trigonométriques
Utilisation : Calculer la longueur d’un côté connaissant les deux autres.
Réciproque : Si le carré du plus grand côté est égal à la
A
La trigonométrie
4
3
B
M
2, 5
Si ABC et AM N sont deux triangles avec :
4
b
b
B
C
4
4.1
Les hauteurs
Médiatrices
C
Définition:
C
/
La médiatrice d’un segment passe par le milieu de
b
H
b
opposé.
H
b
b
b
b
B
A
b
//
//
b
b
par un sommet et qui est perpendiculaire à son côté
/
ce segment et est perpendiculaire à ce segment.
b
La hauteur d’un triangle est une droite qui passe
b
///
Définition:
///
B
A
Propriété:
Propriété:
➔ Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
➔ Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
➔ L’intersection des hauteurs est l’orthocentre.
➔ L’intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit.
➔ Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets.
4.4
4.2
Les bissectrices
Les médianes
C
Définition:
par un sommet du triangle et le milieu de son côté
opposé.
b
/
b
A
b
I
Ω
b
l’angle en deux angles de même mesure.
b
G
b
b
/
//
//
J
La bissectrice d’un angle est la droite qui coupe
K
//
La médiane d’un triangle est une droite qui passe
b
///
C
Définition:
///
.
4.3
Les droites remarquables dans un triangle
b
b
b
A
B
L
Propriété:
Propriété:
➔ Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.
Propriétés dans le triangle :
➔ L’intersection des bissectrices est le centre du cercle inscrit.
➔ Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
➔ L’intersection des médianes est le centre de gravité du triangle.
5
b
B