énoncé

Spé ψ 2013-2014
Devoir n°3
ÉLECTROMAGNÉTISME
Partie I
CONDUCTIVITE DU CUIVRE
I-1) Le métal est modélisé par un gaz d’électrons non relativistes, de charge (– e) et de
masse me, se déplaçant librement dans un cristal d’ions métalliques positifs supposés fixes dans le
référentiel R supposé galiléen. Le modèle microscopique stipule que :
• les électrons libres, dits « de conduction » – car responsables de la conduction électrique
– sont au nombre de NV par unité de volume et subissent des chocs de manière aléatoire ;
• juste après un choc, l’électron libre possède une vitesse u 0 , d’orientation et de norme
aléatoires ;
• entre deux collisions, le mouvement de l’électron est supposé rectiligne et la durée
moyenne entre deux collisions est notée t = τ .
Ces chocs ne sont dus que très rarement aux rencontres avec des électrons ou avec les ions
du réseau cristallin mais surtout à la présence d’atomes étrangers ou à des défauts d’empilement
géométrique (appelés dislocations).
En l’absence de champ électrique, le mouvement des électrons libres du conducteur
est totalement aléatoire dans le référentiel R lié au réseau. Sous l’action d’un champ électrostati
que uniforme E 0 , il se produit une « dérive » à l’origine du courant électrique.
a) Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à un électron libre entre deux
chocs successifs dans le référentiel galiléen R (l’action de la pesanteur sera négligée).
En déduire l’expression de sa vitesse u ( t ) .
b) Évaluer la valeur moyenne u 0 juste après un choc. Montrer que la vitesse
moyenne u = v , à un instant quelconque, peut s’écrire sous la forme v = µ E . Exprimer la mobilité µ en fonction de e, me et τ, puis préciser son unité.
c) Exprimer le vecteur densité volumique de courant J apparaissant en régime sta
tionnaire au sein du conducteur, en fonction de v , NV et e. Préciser l’orientation de J . Écrire la loi
d’Ohm locale ; en déduire la conductivité σ du matériau conducteur en fonction de me, NV, e et τ.
d) Calculer τ sachant que dans un métal, la conductivité est de l’ordre de 107 S⋅m–1 et
que le nombre d’électrons par unité de volume est de l’ordre de 1022 cm–3.
Données numériques : charge de l’électron : e = 1,6×10–19 C ; masse de l’électron :
me = 9,1×10–31 kg.
I-2) Le milieu conducteur est constitué par un fil métallique de forme cylindrique, de section
constante s, de longueur ℓ et de conductivité σ . Une différence de potentiel constante VA – VB est
appliquée entre ses extrémités A et B ; le conducteur est parcouru par un courant continu
d’intensité I.
a) Que vaut, en régime stationnaire, la puissance instantanée reçue par un électron.
En déduire la puissance moyenne dissipée par unité de volume du conducteur.
b) Montrer que la loi d’Ohm locale conduit à la loi d’Ohm intégrale ; en déduire la
résistance R de ce fil.
c) Retrouver l’expression de R après avoir exprimé la puissance totale dissipée par
effet Joule dans le fil.
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d) Si le conducteur métallique est soumis à un champ électrique alternatif, la loi
d’Ohm peut se trouver en défaut ; déterminer à partir de quelle fréquence cela se produit.
I-3) Application au cuivre
a) Le cuivre possédant un électron libre par atome, calculer, à l’aide des données cidessous, le nombre NV d’électrons libres par m3 de conducteur.
b) Évaluer la norme v de la vitesse moyenne des électrons dans le cas d’un fil de cuivre parcouru par une densité volumique de courant J de l’ordre de 103 A⋅cm–2. Comparer le résultat
obtenu avec la vitesse d’agitation thermique v* des électrons (de l’ordre de 106 m⋅s–1). Les électrons
de conduction sont-ils relativistes ?
c) Des mesures de mobilité permettent de déterminer, pour le cuivre, une valeur de τ
de 2,4.10–14 s ; calculer la conductivité σ ainsi que la résistivité ρ = 1/σ. (préciser les unités)
Données numériques : masse molaire atomique : MCU = 63,5 g⋅mol–1 ; masse volumique :
ρCu = 8960 kg⋅m–3 ; constante d’Avogadro : NA = 6,02×1023 mol–1.
d) Citer des métaux possédant une conductivité électrique du même ordre de grandeur, voire supérieure à celle du cuivre. Dans quelles conditions certains matériaux sont-ils qualifiés
de « supraconducteurs » ? Quelle est leur propriété essentielle ?
Partie II
DETERMINATION EXPERIMENTALE DE LA RESISTIVITE ELECTRIQUE DU CUIVRE
La détermination de la conductivité (ou de la résistivité) est réaliV
sable en mesurant la résistance électrique R d’un échantillon massif de
cuivre (lingot obtenu après moulage en fonderie) parcouru par un cou- I
rant continu (ou alternatif).
II-1) Expliquer pourquoi ce type de mesure, schématisé sur la figure 1 ci-contre, est difficile à réaliser pour des conducteurs de forte section (les arrivées de courant des dispositifs d’électrolyse, par exemple) et
figure 1
pourquoi les mesures sont entachées d’erreurs.
II-2) La méthode des pointes
I
V
permet d’améliorer la qualité de la
mesure et surtout de déterminer di4
rectement la résistivité ρ sans mesuI
3
rer la résistance. Elle utilise des
2
D
contacts ponctuels réalisés par des
1
C
e3
pointes métalliques en carbure de
B
e
2
tungstène alignées (ou disposées en
A
e1
carré) à la surface de l’échantillon,
suffisamment loin des arêtes pour
figure 2
éviter les effets de bord.
Deux pointes servent pour
l’entrée et la sortie du courant I alors
que les deux autres servent de prise de différence de potentiel V (figure 2). Le courant injecté en A
diffuse radialement dans le volume de l’éprouvette (demi-espace supposé infini) ; de même le courant diffuse radialement vers D, considéré comme un puits de courant. Les pointes sont espacées
des distances respectives e1, e2 et e3.
a) Définir et représenter schématiquement les lignes de champ et les surfaces équipotentielles autour du point A (ou du point D), au sein du matériau.
b) Exprimer le module J de la densité volumique de courant en tout point M distant
de r du point A, en fonction de I et r.
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I
c) Déterminer la tension VBC(1) existant entre les points B et C, liée à l’injection du
courant I au point A ; l’écrire en fonction de ρ, I, e1 et e2.
Par un raisonnement similaire, exprimer la tension VBC(4) liée à la sortie de courant au point
D en fonction de ρ, I, e2 et e3.
En déduire, la tension VBC qui existe entre les pointes 2 et 3, résultant de la superposition des
différences de potentiel VBC(1) et VBC(4).
d) Exprimer la résistivité ρ en fonction de VBC, I, e1, e2 et e3.
Sachant que les écartements entre pointes sont par construction sensiblement égaux à e,
montrer que la relation précédente peut s’écrire : ρ = β (VBC / I ) ; identifier β.
II-3-a) Imaginer et représenter le dispositif électrique de mesure en précisant les divers appareils envisagés (choisis dans le parc d’appareils disponibles en salle de travaux pratiques).
Les valeurs relevées lors des mesures sont rassemblées dans le tableau ci-dessous :
1000 × VBC (en µV)
0,83
1,43
2,59
9,08
15,71
21,52
32,69
I (en mA)
0,48
0,81
1,51
5,20
9,10
12,40
18,90
b) Calculer la résistivité ρ du lingot de cuivre, sachant que e = 1,6 mm.
c) En tenant compte des imprécisions de mesure sur l’intensité I (δI = 10 µA), sur la
tension V (δ[1000⋅VBC] = 10 nV) et sur la distance entre pointes (δe = 10 µm), évaluer l’erreur réalisée sur la mesure de la résistivité ρ.
Partie III
DEFAUT DE BLINDAGE ELECTROMAGNETIQUE
Il est nécessaire de protéger le dispositif de mesure de l’influence des ondes électromagnétiques régnant dans l’atmosphère ambiant. On peut envisager de le placer dans un boîtier de blindage.
Mais en pratique, l’appareil dépend presque toujours de l’extérieur pour fonctionner et communiquer. On peut dire, par exemple, que le câble d’alimentation ou l’antenne sont autant de défauts à la
cuirasse.
Cette partie porte sur un mécanisme possible de transfert d’énergie électromagnétique à travers les ouvertures mêmes petites du blindage.
On considère la situation simple suivante
ouverture
(figure 3). Deux résistances R1 et R2 sont reliées par
cylindrique
deux fils. R1 est placée dans un boîtier métallique
fermé tandis que R2 est à l’extérieur. Un des fils de
fil de liaison
liaison de rayon d1 traverse le boîtier métallique à
isolé
du boîtier
travers une ouverture cylindrique de rayon d2
boîtier de
(d2 > d1) pratiquée dans la paroi métallique dont
blindage
l’épaisseur est notée h. Les autres bornes des
fermé
R1
R2
conducteurs ohmiques sont reliées directement au
boîtier.
figure 3
On note u r , u θ , u z la base en coordonnées
(
)
fil de liaison
cylindriques où l’axe Oz est l’axe du fil de liaison
relié
au boîtier
étudié.
III-1) Champ magnétique créé par le fil parcouru par i (on supposera h >> d1).
a) Donner l’expression de la densité volumique de courant J supposée uniforme
lorsque le fil de rayon d1 est parcouru par un courant d’intensité i.
b) Indiquer les caractéristiques géométriques du champ magnétique créé par ce courant.
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c) Calculer la norme du champ magnétique en un point situé à la distance r de l’axe
de révolution du fil. On distinguera les deux cas : 0 < r < d1 et d1 < r < d2. Dans toute la suite, on
néglige, notamment pour alléger les calculs, la part de l'énergie magnétique emmagasinée dans le fil
( région r < d1) et celle localisée dans le blindage (région d2 < r ) .
d) Exprimer l’énergie magnétique WM du passage cylindrique à travers le blindage en
fonction de i, µ0, d1, d2, et h.
1
e) On rappelle que l’on peut écrire WM = Li 2 . Exprimer l’inductance propre L du
2
passage cylindrique de longueur h en fonction de i, µ0, d1, d2, et h.
III-2) On cherche à estimer le champ électrique régnant dans l’espace entre le fil et le blindage. Le boîtier de blindage est porté au potentiel constant V0 = 0, tandis que le fil de rayon d1 est au potentiel
V1 lui aussi constant. On considérera les conducteurs
comme parfaits.
On suppose ici que le fil et la boîte de
blindage portent les charges électrostatiques respectives
Q et –Q sur la longueur h où ils sont en regard. Elles sont
uniformément réparties en surface sur cette longueur.
a) Indiquer les caractéristiques géométri
ques du champ électrostatique E 0 ( M ) dans l’espace
séparant le fil de la boîte de blindage.
b) Exprimer E0 ( r ) en fonction de h, r, ε0
et Q, pour d1 < r < d2.
c) Exprimer la différence de potentielle U
entre le fil et le boîtier en fonction de h, d1, d2, ε0 et Q.
figure 4
d) On définit la capacité C du passage cylindrique à travers le boîtier par C = Q / U . Exprimer C en fonction de h, d1, d2 et ε0 .
III-3) Une impulsion électromagnétique extérieure entraîne une force électromotrice induite
du type e ( t ) telle que e = 0 pour t < 0 et pour t > T et e = eMAX si 0 < t < T. (Aucune connaissance
sur le phénomène d’induction n’est nécessaire autre que celles de Sup sur l’auto-induction, caractérisée par le coefficient L.)
Le schéma de la figure 5 traduit un modèle électrocinétique de la situation considérée.
a) En calculant la valeur numérique, en précisant l’unité, du rapport L/C pour
d2 = 2d1, justifier que l’effet d’auto-induction est négligé dans ce schéma.
b) Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux
bornes du condensateur uC ( t ) .
e (t )
c) En déduire uC ( t ) pour 0 < t < T.
d) Montrer que l’intensité du courant circulant dans la résis
 t 
tance R1 durant l’impulsion se met sous la forme i ( t ) = I M  1 − exp  −   .
 τ 

R2
C
figure 5
III-4) Cette modélisation électrocinétique montre que l’onde électromagnétique générée par
l’explosion nucléaire peut pénétrer dans l’enceinte à protéger en dépit de la présence du blindage.
Ceci est lié au fait que la cavité n’est pas totalement fermée. Afin de comprendre ce processus, il
faut déterminer le champ magnétique et le champ électrique au niveau du passage du fil à travers le
boîtier.
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R1
a) Indiquer les caractéristiques du champ électrique noté E COND existant dans le fil de
cuivre de rayon d1 = 0,5 mm parcouru par un courant d’intensité i = 10 mA sachant que la conductivité du cuivre vaut σCu = 5,88×107 Ω–1⋅m–1.
b) Comparer ce champ électrique à E 0 ( r ) pour d1 < r < d2 avec d2 = 1 mm et
V1 = 10 V.
Ce calcul montre que la distribution de charges électriques est en pratique indépendante de
l’intensité du courant parcourant le fil.
III-5) On se place dans l’espace inter-armatures, donc pour d1 < r < d2. Lors de la charge du

 t 
condensateur, un courant d’intensité variable i ( t ) = I M  1 − exp  −   passe dans le fil.
 τ 

a) Montrer qu’en régime variable le champ électrique E ( M , t ) diffère du champ
électrostatique E 0 et présente une composante supplémentaire axiale E 1 ( M , t ) = E1 ( r , t ) e z .
b) Rappeler les relations de passage pour le champ électrique. Quelles conséquences
peut–on en tirer pour le champ électrique E 1 ( M , t ) de part et d’autre de la surface du fil cylindrique parcourue par le courant ainsi que de part et d’autre de la surface du boîtier dont le matériau est
considéré comme un conducteur parfait?
c) En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday, expliciter le champ E 1 ( M , t ) .
(On rappelle l’expression dans la base cylindrique

→ 1 ∂AZ ∂(rAθ ) ∂Ar ∂AZ 1 ∂(rAθ ) ∂Ar rot A =
−
ur +
−
uθ +
−
uZ
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
où A est un vecteur quelconque.)
III-6) Transfert d’énergie électromagnétique
a) Rappeler l’expression du vecteur de Poynting π . Quelle est la signification physique de ce vecteur ?
b) Montrer que le flux de π à travers une section droite du fil (donc pour 0 < r < d1)
perpendiculaire à l’axe du fil est nul.
c) En utilisant les questions précédentes, calculer le flux de π à travers une section
droite de l’espace inter armatures (donc pour d1 < r < d2).
d) En déduire l’énergie électromagnétique entrée dans le boîtier de blindage pendant
la durée T de l’impulsion électromagnétique.
FG
H
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IJ FG
K H
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IJ
K
FG
H
IJ
K
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