énoncé

Spé ψ
ψψ
ψ 2013-2014 page 1/5 Devoir n°3
Spé ψ
ψψ
ψ 2013-2014 Devoir n°3
ÉLECTROMAGNÉTISME
Partie I
CONDUCTIVITE DU CUIVRE
I-1) Le métal est modélisé par un gaz d’électrons non relativistes, de charge (– e) et de
masse m
e
, se déplaçant librement dans un cristal d’ions métalliques positifs supposés fixes dans le
référentiel R supposé galiléen. Le modèle microscopique stipule que :
• les électrons libres, dits « de conduction » – car responsables de la conduction électrique
– sont au nombre de N
V
par unité de volume et subissent des chocs de manière aléatoire ;
• juste après un choc, l’électron libre possède une vitesse
0
u
, d’orientation et de norme
aléatoires ;
• entre deux collisions, le mouvement de l’électron est supposé rectiligne et la durée
moyenne entre deux collisions est notée t
= τ
.
Ces chocs ne sont dus que très rarement aux rencontres avec des électrons ou avec les ions
du réseau cristallin mais surtout à la présence d’atomes étrangers ou à des défauts d’empilement
géométrique (appelés dislocations).
En l’absence de champ électrique, le mouvement des électrons libres du conducteur
est totalement aléatoire dans le référentiel R lié au réseau. Sous l’action d’un champ électrostati-
que uniforme
0
E
, il se produit une « dérive » à l’origine du courant électrique.
a) Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à un électron libre entre deux
chocs successifs dans le référentiel galiléen R (l’action de la pesanteur sera négligée).
En déduire l’expression de sa vitesse
(
)
u t
.
b) Évaluer la valeur moyenne
0
u
juste après un choc. Montrer que la vitesse
moyenne
u v
=
, à un instant quelconque, peut s’écrire sous la forme
v E
= µ
. Exprimer la mobi-
lité
µ
en fonction de e, m
e
et τ , puis préciser son unité.
c) Exprimer le vecteur densité volumique de courant
J
apparaissant en régime sta-
tionnaire au sein du conducteur, en fonction de
v
, N
V
et e. Préciser l’orientation de
J
. Écrire la loi
d’Ohm locale ; en déduire la conductivité σ du matériau conducteur en fonction de m
e
, N
V
, e et τ .
d) Calculer τ sachant que dans un métal, la conductivité est de l’ordre de 10
7
S ⋅ m
–1
et
que le nombre d’électrons par unité de volume est de l’ordre de 10
22
cm
–3
.
Données numériques : charge de l’électron : e = 1,6 × 10
–19
C ; masse de l’électron :
m
e
= 9,1 × 10
–31
kg.
I-2) Le milieu conducteur est constitué par un fil métallique de forme cylindrique, de section
constante s, de longueur
ℓ
et de conductivité σ . Une différence de potentiel constante V
A
– V
B
est
appliquée entre ses extrémités A et B ; le conducteur est parcouru par un courant continu
d’intensité I.
a) Que vaut, en régime stationnaire, la puissance instantanée reçue par un électron.
En déduire la puissance moyenne dissipée par unité de volume du conducteur.
b) Montrer que la loi d’Ohm locale conduit à la loi d’Ohm intégrale ; en déduire la
résistance R de ce fil.
c) Retrouver l’expression de R après avoir exprimé la puissance totale dissipée par
effet Joule dans le fil.

Spé ψ
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d) Si le conducteur métallique est soumis à un champ électrique alternatif, la loi
d’Ohm peut se trouver en défaut ; déterminer à partir de quelle fréquence cela se produit.
I-3) Application au cuivre
a) Le cuivre possédant un électron libre par atome, calculer, à l’aide des données ci-
dessous, le nombre N
V
d’électrons libres par m
3
de conducteur.
b) Évaluer la norme v de la vitesse moyenne des électrons dans le cas d’un fil de cui-
vre parcouru par une densité volumique de courant J de l’ordre de 10
3
A ⋅ cm
–2
. Comparer le résultat
obtenu avec la vitesse d’agitation thermique v* des électrons (de l’ordre de 10
6
m ⋅ s
–1
). Les électrons
de conduction sont-ils relativistes ?
c) Des mesures de mobilité permettent de déterminer, pour le cuivre, une valeur de τ
de 2,4.10
–14
s ; calculer la conductivité σ ainsi que la résistivité ρ = 1/ σ . (préciser les unités)
Données numériques : masse molaire atomique : M
CU
= 63,5 g ⋅ mol
–1
; masse volumique :
ρCu = 8960 kg ⋅ m
–3
; constante d’Avogadro : N
A
= 6,02 × 10
23
mol
–1
.
d) Citer des métaux possédant une conductivité électrique du même ordre de gran-
deur, voire supérieure à celle du cuivre. Dans quelles conditions certains matériaux sont-ils qualifiés
de « supraconducteurs » ? Quelle est leur propriété essentielle ?
Partie II
D ETERMINATION EXPERIMENTALE DE LA RESISTIVITE ELECTRIQUE DU CUIVRE
La détermination de la conductivité (ou de la résistivité) est réali-
sable en mesurant la résistance électrique R d’un échantillon massif de
cuivre (lingot obtenu après moulage en fonderie) parcouru par un cou-
rant continu (ou alternatif).
II-1) Expliquer pourquoi ce type de mesure, schématisé sur la fi-
gure 1 ci-contre, est difficile à réaliser pour des conducteurs de forte sec-
tion (les arrivées de courant des dispositifs d’électrolyse, par exemple) et
pourquoi les mesures sont entachées d’erreurs.
II-2) La méthode des pointes
permet d’améliorer la qualité de la
mesure et surtout de déterminer di-
rectement la résistivité ρ sans mesu-
rer la résistance. Elle utilise des
contacts ponctuels réalisés par des
pointes métalliques en carbure de
tungstène alignées (ou disposées en
carré) à la surface de l’échantillon,
suffisamment loin des arêtes pour
éviter les effets de bord.
Deux pointes servent pour
l’entrée et la sortie du courant I alors
que les deux autres servent de prise de différence de potentiel V (figure 2). Le courant injecté en A
diffuse radialement dans le volume de l’éprouvette (demi-espace supposé infini) ; de même le cou-
rant diffuse radialement vers D, considéré comme un puits de courant. Les pointes sont espacées
des distances respectives e
1
, e
2
et e
3
.
a) Définir et représenter schématiquement les lignes de champ et les surfaces équi-
potentielles autour du point A (ou du point D), au sein du matériau.
b) Exprimer le module J de la densité volumique de courant en tout point M distant
de r du point A, en fonction de I et r.
I
4
3
2
1
D
A
C
B
I
V
e
1
e
2
e
3
figure 2
figure 1
I
V
I

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ψψ
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c) Déterminer la tension V
BC(1)
existant entre les points B et C, liée à l’injection du
courant I au point A ; l’écrire en fonction de ρ , I, e
1
et e
2
.
Par un raisonnement similaire, exprimer la tension V
BC(4)
liée à la sortie de courant au point
D en fonction de ρ , I, e
2
et e
3
.
En déduire, la tension V
BC
qui existe entre les pointes 2 et 3, résultant de la superposition des
différences de potentiel V
BC(1)
et V
BC(4)
.
d) Exprimer la résistivité ρ en fonction de V
BC
, I, e
1
, e
2
et e
3
.
Sachant que les écartements entre pointes sont par construction sensiblement égaux à e,
montrer que la relation précédente peut s’écrire :
(
)
BC
/
V I
ρ = β ; identifier β .
II-3-a) Imaginer et représenter le dispositif électrique de mesure en précisant les divers appa-
reils envisagés (choisis dans le parc d’appareils disponibles en salle de travaux pratiques).
Les valeurs relevées lors des mesures sont rassemblées dans le tableau ci-dessous :
1000 × V
BC
(en µ V) 0,83 1,43 2,59 9,08 15,71 21,52 32,69
I (en mA) 0,48 0,81 1,51 5,20 9,10 12,40 18,90
b) Calculer la résistivité ρ du lingot de cuivre, sachant que e = 1,6 mm.
c) En tenant compte des imprécisions de mesure sur l’intensité I ( δ I = 10 µ A), sur la
tension V ( δ [1000 ⋅ V
BC
] = 10 nV) et sur la distance entre pointes ( δ e = 10 µ m), évaluer l’erreur ré-
alisée sur la mesure de la résistivité ρ .
Partie III
D EFAUT DE BLINDAGE ELECTROMAGNETIQUE
Il est nécessaire de protéger le dispositif de mesure de l’influence des ondes électromagnéti-
ques régnant dans l’atmosphère ambiant. On peut envisager de le placer dans un boîtier de blindage.
Mais en pratique, l’appareil dépend presque toujours de l’extérieur pour fonctionner et communi-
quer. On peut dire, par exemple, que le câble d’alimentation ou l’antenne sont autant de défauts à la
cuirasse.
Cette partie porte sur un mécanisme possible de transfert d’énergie électromagnétique à tra-
vers les ouvertures mêmes petites du blindage.
On considère la situation simple suivante
(figure 3). Deux résistances R
1
et R
2
sont reliées par
deux fils. R
1
est placée dans un boîtier métallique
fermé tandis que R
2
est à l’extérieur. Un des fils de
liaison de rayon d
1
traverse le boîtier métallique à
travers une ouverture cylindrique de rayon d
2
(d
2
> d
1
) pratiquée dans la paroi métallique dont
l’épaisseur est notée h. Les autres bornes des
conducteurs ohmiques sont reliées directement au
boîtier.
On note
(
)
, ,
r z
u u u
θ
la base en coordonnées
cylindriques où l’axe Oz est l’axe du fil de liaison
étudié.
III-1) Champ magnétique créé par le fil parcouru par i (on supposera h >> d
1
).
a) Donner l’expression de la densité volumique de courant
J
supposée uniforme
lorsque le fil de rayon d
1
est parcouru par un courant d’intensité i.
b) Indiquer les caractéristiques géométriques du champ magnétique créé par ce cou-
rant.
R
2
R
1
ouverture
cylindrique
boîtier de
blindage
fermé
fil de liaison
isolé du boîtier
fil de liaison
relié au boîtier
figure 3

Spé ψ
ψψ
ψ 2013-2014 page 4/5 Devoir n°3
c) Calculer la norme du champ magnétique en un point situé à la distance r de l’axe
de révolution du fil. On distinguera les deux cas : 0 < r < d
1
et d
1
< r < d
2
. Dans toute la suite, on
néglige, notamment pour alléger les calculs, la part de l'énergie magnétique emmagasinée dans le fil
( région r < d
1
) et celle localisée dans le blindage (région d
2
< r ) .
d) Exprimer l’énergie magnétique W
M
du passage cylindrique à travers le blindage en
fonction de i, µ0 , d
1
, d
2
, et h.
e) On rappelle que l’on peut écrire
2
M
1
2
W Li
=. Exprimer l’inductance propre L du
passage cylindrique de longueur h en fonction de i, µ
0
, d
1
, d
2
, et h.
III-2) On cherche à estimer le champ électrique régnant dans l’espace entre le fil et le blin-
dage. Le boîtier de blindage est porté au potentiel cons-
tant V
0
= 0, tandis que le fil de rayon d
1
est au potentiel
V
1
lui aussi constant. On considérera les conducteurs
comme parfaits.
On suppose ici que le fil et la boîte de
blindage portent les charges électrostatiques respectives
Q et –Q sur la longueur h où ils sont en regard. Elles sont
uniformément réparties en surface sur cette longueur.
a) Indiquer les caractéristiques géométri-
ques du champ électrostatique
(
)
0
E M
dans l’espace
séparant le fil de la boîte de blindage.
b) Exprimer
(
)
0
E r
en fonction de h, r, ε
0
et Q, pour d
1
< r < d
2
.
c) Exprimer la différence de potentielle U
entre le fil et le boîtier en fonction de h, d
1
, d
2
, ε
0
et Q.
d) On définit la capacité C du passage cy-
lindrique à travers le boîtier par
/
C Q U
=
. Exprimer C en fonction de h, d
1
, d
2
et ε
0
.
III-3) Une impulsion électromagnétique extérieure entraîne une force électromotrice induite
du type
(
)
e t
telle que e = 0 pour t < 0 et pour t > T et e = e
MAX
si 0 < t < T. (Aucune connaissance
sur le phénomène d’induction n’est nécessaire autre que celles de Sup sur l’auto-induction, caracté-
risée par le coefficient L.)
Le schéma de la figure 5 traduit un modèle électrocinétique de la situation considérée.
a) En calculant la valeur numérique, en précisant l’unité, du rapport L/C pour
d
2
= 2d
1
, justifier que l’effet d’auto-induction est négligé dans ce schéma.
b) Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux
bornes du condensateur
(
)
C
u t
.
c) En déduire
(
)
C
u t
pour 0 < t < T.
d) Montrer que l’intensité du courant circulant dans la résis-
tance R
1
durant l’impulsion se met sous la forme
( )
M
1 exp
t
i t I = − −
τ
.
III-4) Cette modélisation électrocinétique montre que l’onde électromagnétique générée par
l’explosion nucléaire peut pénétrer dans l’enceinte à protéger en dépit de la présence du blindage.
Ceci est lié au fait que la cavité n’est pas totalement fermée. Afin de comprendre ce processus, il
faut déterminer le champ magnétique et le champ électrique au niveau du passage du fil à travers le
boîtier.
R
2
R
1
C
(
)
e t
figure 5
figure 4

Spé ψ
ψψ
ψ 2013-2014 page 5/5 Devoir n°3
a) Indiquer les caractéristiques du champ électrique noté
COND
E existant dans le fil de
cuivre de rayon d
1
= 0,5 mm parcouru par un courant d’intensité i = 10 mA sachant que la conduc-
tivité du cuivre vaut σ
Cu
= 5,88×10
7
Ω
–1
⋅m
–1
.
b) Comparer ce champ électrique à
(
)
0
E r
pour d
1
< r < d
2
avec d
2
= 1 mm et
V
1
= 10 V.
Ce calcul montre que la distribution de charges électriques est en pratique indépendante de
l’intensité du courant parcourant le fil.
III-5) On se place dans l’espace inter-armatures, donc pour d
1
< r < d
2
. Lors de la charge du
condensateur, un courant d’intensité variable
( )
M
1 exp
t
i t I = − −
τ
passe dans le fil.
a) Montrer qu’en régime variable le champ électrique
(
)
,
E M t
diffère du champ
électrostatique
0
E
et présente une composante supplémentaire axiale
(
)
(
)
11
, ,
z
E M t E r t e
= .
b) Rappeler les relations de passage pour le champ électrique. Quelles conséquences
peut–on en tirer pour le champ électrique
(
)
1
,
E M t
de part et d’autre de la surface du fil cylindri-
que parcourue par le courant ainsi que de part et d’autre de la surface du boîtier dont le matériau est
considéré comme un conducteur parfait?
c) En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday, expliciter le champ
(
)
1
,
E M t
.
(On rappelle l’expression dans la base cylindrique
rot
Z Z r Z
 →
= −
F
H
G
I
K
J
+ −
F
H
G
I
K
J
+ −
F
H
G
I
K
J
Ar
A rA
zuA z
A
rur
rA
r
Au
r
r
1 1
∂
∂θ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂θ
θ
θ
θ
( ) ( )
où
A
est un vecteur quelconque.)
III-6) Transfert d’énergie électromagnétique
a) Rappeler l’expression du vecteur de Poynting
π
. Quelle est la signification physi-
que de ce vecteur ?
b) Montrer que le flux de
π
à travers une section droite du fil (donc pour 0 < r < d
1
)
perpendiculaire à l’axe du fil est nul.
c) En utilisant les questions précédentes, calculer le flux de
π
à travers une section
droite de l’espace inter armatures (donc pour d
1
< r < d
2
).
d) En déduire l’énergie électromagnétique entrée dans le boîtier de blindage pendant
la durée T de l’impulsion électromagnétique.