Ondes électromagnétiques - MP*1

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MP*1- 2016/2017
Ondes électromagnétiques
1) Ordre de grandeur à partir d’un laser de travaux pratiques :
Les lasers utilisés couramment en TP ont une puissance moyenne    pour une
longueur d’onde . Le faisceau est quasi cylindrique, de rayon   . La
constante de Planck vaut   .
1) D’où vient le sigle L.A.S.E.R. ?
2) Quelle est la couleur de celui-ci ?
3) En supposant que l’onde associée est une OPPH, donner l’amplitude des champs
électriques et magnétiques associés.
4) Quel est le nombre de photons émis par seconde ?
5) Quel est le nombre de photons contenus par unité de volume dans le faisceau laser ?
2) Conditions d’interférences :
Deux ondes planes progressives monochromatiques polarisées rectilignement se
propagent dans le vide, dans la même direction de vecteur unitaire  . En un point M, leurs
champs électriques respectifs s’écrivent : 
 et 
1) Calculer les valeurs moyennes temporelles  
 et   associées à chaque
onde.
2) Calculer la valeur moyenne    du vecteur de Poynting de l’onde résultante. A
quelles conditions a-t-on 
3) Propagation des ondes dans la ionosphère :
On s’intéresse à la propagation d’ondes électromagnétiques dans l’ionosphère. On
considère que celle-ci forme un plasma dans lequel les ions sont fixes et les électrons mobiles.
On néglige le poids des particules et on suppose qu’elles se déplacent à des vitesses non
relativistes.
1) Deux élèves proposent une relation entre  et  : 
 et  . De plus
on donne l’ordre de grandeur de . A l’aide de considérations simples, dire lequel
des deux a raison.
2) On note  la densité volumique en électrons. Etablir l’expression de . On la
mettra  .
3) On propose le modèle d’ionosphère suivant : il y a du vide jusqu’à l’altitude ,
puis entre , puis entre  et ,  varie de façon affine  . Après , N
décroit. On effectue l’expérience suivante : on envoie un paquet d’onde de fréquence
moyenne f variable à la verticale et on mesure  le temps au bout duquel on détecte une onde
réfléchie . On obtient les valeurs expérimentales :
fréquence
réponse
Pas de réponse
Montrer qu’une mesure de  et de  permet de déterminer  et de .

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4) Applications numériques : par exemple un avion vole àd’altitude. Peut-il
recevoir un signal radio ?
4) Réflexion-transmission d’une onde à la surface d’un plasma :
Un plasma dont la pulsation propre est  occupe le demi-espace   . Une OPPH
polarisée rectilignement se propage dans le vide (demi-espace   ) et atteint sous
incidence normale le plasma. Le champ électrique de cette onde est noté: 
. L’onde incidente donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise. On se
place dans le cas où  
1) On note  l’amplitude complexe du champ électrique réfléchi et  celle du
champ électrique de l’onde transmise. Ecrire en notation complexe les champs électriques
et magnétiques des ondes incidentes, réfléchie et transmise. On pourra introduire l’indice
optique  du plasma défini par la relation  
.
2) Déterminer  et  On indique que les composantes tangentielles du champ
électrique et du champ magnétique sont continues à l’interface vide-plasma.
3) On définit les facteurs de réflexion  et de transmission  en énergie par:
 et   
Exprimer  et  en fonction de  et . Commenter.
5) Réflexion d'une onde plane sur un plan métallique :
Une onde plane monochromatique se réfléchit sur un métal parfaitement conducteur
avec un champ électrique tangent à la surface du métal et un vecteur d'onde qui fait un angle
 avec la normale à la surface.
1) Déterminer le champ magnétique incident et les champs électrique et magnétique de
l'onde réfléchie.
2) Calculer la densité de surface de courant. Calculer la force par unité de surface
s'exerçant sur le métal.
3) Retrouver ces résultats en raisonnant sur les photons.
6) Réflexion sur un miroir mobile :
Une surface parfaitement conductrice, plane et perpendiculaire à  se déplace à la
vitesse uniforme  
; elle coïncide ainsi à l’instant  avec le plan d’équation   .
Une onde électromagnétique, dont le champ électrique s’écrit:
se réfléchit sur cette surface. On suppose la vitesse 
suffisamment petite devant la vitesse de la lumière pour que l’on puisse négliger les effets
relativistes et utiliser les transformations galiléennes entre le référentiel du laboratoire  et le
référentiel lié au miroir .
1) Déterminer l’amplitude et la pulsation de l’onde incidente dans le référentiel  puis
entre l’amplitude et la pulsation de l’onde réfléchie dans  en fonction de celle de l’onde
réfléchie dans .
2) Exprimer la variation de fréquence à la réflexion lorsque   .
7) Onde dans une cavité :
On considère une cavité rectangulaire délimitée par :
                 .
Le conducteur est parfait. On admet l’existence d’un champ électrique de la forme :

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1) Déterminer les relations entre  ,    et  Ecrire les conditions aux
limites sur  , en déduire  et , puis en introduisant n, p et q, trois entiers, déterminer
 et . Quelle est la fréquence propre du champ  ? Quelle est la plus petite
fréquence possible ?
2) Déterminer les moyennes temporelles des énergies électrique, magnétique et totale.
Quelle est la proposition de l’énergie électrique par rapport à l’énergie totale ?
8) Etude d’un guide d’onde :
On considère deux plans conducteurs parfaits placés en    et en   avec
 . On s’intéresse à la propagation d’une onde électromagnétique dans le vide entre
les deux plans conducteurs dont le champ électrique est : 
.
1) Quelle est l’équation différentielle vérifiée par le champ électrique ? En déduire
l’équation de dispersion.
2) La fréquence étant de  montrer que la propagation est possible.
3) Donner l’expression du champ magnétique associée à l’onde.
4) Donner l’expression du vecteur de Poynting ainsi que sa valeur moyenne.
5) Quelle est la puissance moyenne transmise à travers une section de guide d’onde
avec   et    ?
9) Double antenne :
Une antenne rectiligne de longueur  et de centre , dirigée selon l’axe , émet à
grande distance un champ électromagnétique de longueur d’onde  , de fréquence
 et d’expression en coordonnées sphériques
On donne 
1) Déterminer .
2) Déterminer K pour une puissance moyenne émise de .
3) Dans quelle région de l’espace reçoit-on le signal d’amplitude maximale ?
4) Lorsque    , un téléphone portable ne reçoit plus le signal émis.
Déterminer la distance maximale à laquelle l’onde peut être perçue.
5) On place maintenant une deuxième antenne, identique parallèlement à la première à
la distance  . Que peut-on y gagner ? Par exemple on étudiera l’onde résultante dans le
plan   
Indications :
1) Ordre de grandeur à partir d’un laser de travaux pratiques :
3) Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting en fonction de l’amplitude du champ
électrique, d’une part, en fonction de la puissance du laser d’autre part ; 4) Le nombre de
photons émis par seconde est égal au rapport de la puissance sur l’énergie d’un photon ; 5) Le

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nombre de photons par unité de volume est égal au rapport de la densité d’énergie
électromagnétique sur l’énergie d’un photon.
2) Conditions d’interférences :
Pour une OPP on a 
3) Propagation des ondes dans la ionosphère :
1) En absence de plasma on doit retrouver la loi de dispersion dans le vide ; 2) question de
cours ; 3) L’absence de réponse correspond à un signal qui traverse complètement la
ionosphère ; pour les fréquences inférieures à , on a une réflexion de l’onde en   
et pour    on a une réflexion de l’onde pour   . Les temps permettent de
calculer  et  et la relation du 2) permet de calculer  et .
4) Réflexion-transmission d’une onde à la surface d’un plasma :
1) Ecrire les vecteurs d’onde, puis les champs magnétiques en utilisant la relation
Ek
B
; 2) Utiliser les continuités des composantes tangentielles des champs électrique et
magnétique dans le plan  ;4) retrouver la conservation de l’énergie.
5) Réflexion d'une onde plane sur un plan métallique :
1) Il faut d’abord connaître la direction du vecteur d’onde réfléchi ; en utilisant les continuités
de la composante tangentielle de  et de la composante normale de  , retrouver les lois de
Descartes de la réflexion, puis en déduire les expressions des champs électrique et magnétique
de l’onde réfléchi ; 2) Utiliser la discontinuité de la composante tangentielle du champ
magnétique ; 2) et 3) Reprendre les démonstrations du cours mais en l’adaptant à une onde
faisant un angle  avec la normale.
6) Réflexion sur un miroir mobile :
Il faut utiliser la transformation galiléenne du champ électrique : 
.. Dans
le référentiel où le miroir est au repos la pulsation de l’onde incidente est égale à la pulsation
de l’onde réfléchie.
7) Onde dans une cavité :
1) Appliquer les relations de Maxwell et la relation de propagation dans le vide ; la
composante tangentielle du champ doit être nulle sur toutes les parois de la cavité ce qui
donne les valeurs des  et les valeurs des  en fonction de  et  ; on obtient la fréquence
propre du champ  en écrivant l’équation de dispersion ; 2) Pour calculer  utiliser
l’équation de Maxwell-Faraday ; pour simplifier l’expression de l’énergie magnétique, il faut
utiliser l’équation de dispersion et  .
8) Etude d’un guide d’onde :
L'onde se propage dans le vide ; 2) Pour que l’onde se propage il faut que  soit un réel
donc que  soit positif ; 3) L’onde n’est pas plane ; pour calculer le champ magnétique il
faut revenir à l’équation de Maxwell-Faraday ; 4) reprendre la définition du vecteur de
Poynting ; on pourra s’interroger sur l’existence d’une composante suivant  du vecteur de
Poynting .
9) Double antenne :
5) Le déphasage entre les ondes émises par les deux antennes dans la direction  du plan
  est   
. Selon la valeur de , les ondes émises par les deux antennes sont
en phase ou en opposition de phase (ou tous les cas intermédiaires sans intérêt).

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Solutions :
1) Ordre de grandeur à partir d’un laser de travaux pratiques :
1) Light Amplification of Stimulated Emission of Radiation ; 2)  correspond à
une lumière rouge; 3) 
;   ; 4)   
 ; 5)   
2) Conditions d’interférences :
1)   ; 2)  
Les conditions d’interférences sont : 
  ;   ;   
3) Propagation des ondes dans la ionosphère :
1) La bonne expression est 
 ; 2)   
 ; 3)   
 ;
4) Réflexion-transmission d’une onde à la surface d’un plasma :
zoi ukxticEB 
exp/
zor ukxticrEB 
exp/
zot ukxnticEntB 
exp/
2)
1
2
n t
;
1
1
nn r
; 3) comme  > p,  est réel on aura
yor ukxtE
n
n
E cos
1
1
et
yot unkxtE
n
E cos
1
2
; 3)
2
1
1
nn R
;
2
1
2
n T
  .
4) Réflexion d'une onde plane sur un plan métallique :
1)
yxr uukk 
sincos 
;
zor uykxktjEE 
sincosexp 
;
rr
rEk
B
; 2)
z
o
o
suyktj
c
E
j sinexp
cos2 
;
x
o
yudS
B
fd 
2
)0(
2
;
3)
22 cos2cos2 ioo
EP
5).Réflexion sur un miroir mobile :
avec 
puis 
 avec   
Hz
c
v
ff 463
2
6) Onde dans une cavité :
1)   ; 
 ;   ;   ;   ;  ;
équation de dispersion : 
 ; la plus petite fréquence possible est :
 ; 2) 
 ;