Les postulats fondamentaux de la dynamique newtonienne

LES POSTULATS FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE
NEWTONIENNE
Quels facteurs interviennent lors de la mise en mouvement d’un corps ?
Pour faire bouger un objet il faut exercer une action sur lui. La grandeur physique caractérisant
cette action est appelée force. Expérimentalement on constate qu’elle peut être représentée par
un vecteur.
Il est plus facile de pousser une poussette que de pousser une voiture. Cette résistance à la
mise en mouvement se traduit par une grandeur physique : la masse. Plus la masse d’un corps
est grande, plus à force égale il est difficile de le mettre en mouvement. La masse mesure ainsi
l’inertie d’un corps.
Ces notions méritent d’être précisées. Leurs définitions sont contenues dans les postulats de
la dynamique.
I.
Principe d’inertie
1.
Définitions
– particule libre : la trajectoire d’une particule dépend a priori des interactions qui s’exercent
entre elle et la matière extérieure.
Une particule libre est une particule qui n’est soumise à aucune interaction (i.e une particule
seule sans présence d’autre matière). C’est la limite idéalisée d’une particule suffisamment
éloignée de toute matière pour que les interactions exercées soient négligeables.
La particule libre est donc un concept, une limite jamais atteinte de la réalité.
– référentiel galiléen (ou inertiel) : un référentiel galiléen est un référentiel d’espace-temps
dans lequel les particules libres ont des mouvements rectilignes uniformes.
2.
Énoncé du principe d’inertie (ou première loi de Newton)
Il existe des référentiels galiléens i.e. des référentiels dans lesquels une particule libre a un
mouvement rectiligne uniforme.
3.
Propriétés des référentiels galiléens
Si R0 est un référentiel galiléen alors tout référentiel en translation rectiligne uniforme
par rapport à R0 est également galiléen.
En effet, l’accélération d’un point est la même lorsqu’on passe d’un référentiel R0 , à un référentiel R1 en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R0 (voir justification
en annexe).
1
II.
1.
a)
Principe fondamental de la dynamique (ou deuxième
loi de Newton, ou loi de la quantité de mouvement)
Quantité de mouvement
Quantité de mouvement d’un point matériel
Soit p~ la quantité de mouvement d’un point matériel M de masse m (masse inerte), par
rapport à un référentiel R. Par définition
p~ = m~v
avec ~v vitesse du point M par rapport au référentiel R.
b)
Quantité de mouvement d’un système de points
Soit un système de deux points M1 et M2 de masses respectives m1 et m2 et vitesses respectives
~v1 et ~v2 par rapport à un référentiel R.
La quantité de mouvement p~ du système par rapport à R est la somme des quantités de
mouvement de chacun des deux points :
p~ = p~1 + p~2 = m1~v1 + m2~v2
Cette quantité de mouvement peut s’écrire sous la forme
p~ = m~v (G)
où m = m1 + m2 représente la masse totale du système et où G représente le centre de masse
du système, situé sur le segment [M1 M2 ].
En effet géométriquement G est défini par la relation suivante, O étant un point quelconque :
−−−→
−−−→
−→
(m1 + m2 )OG = m1 OM1 + m2 OM2
En dérivant cette relation par rapport au temps dans R on retrouve bien m1~v1 + m2~v2 =
(m1 + m2 )~v (G) = m~v (G)
−→ −−−→ −−−→
Remarques : – Dans le cas particulier où m1 = m2 , OG = OM1 +2 OM2 , G est le milieu de [M1 M2 ].
−−−→
−−−−→
2
– Si on prend O = M1 on trouve M1 G = m1m+m
M1 M2 . Si m2 m1 G ' M1 .
2
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
2
– Si on prend O = G on trouve m1 GM1 + m2 GM2 = ~0, soit GM1 = − m
GM2 .
m1
Lorsque les deux masses sont différentes, G est plus proche de la masse la plus
grande.
L’expression p~ = m~v (G) est généralisable à tout système (système de !
plus de deux points,
N
N
X
−→ X −−→
solide). Pour un système de N points Mi de masse mi , on aura
mi OG =
mi OMi .
i=1
2
i=1
2.
Énoncé
On considère un système de masse m. Ce système peut être constitué d’un point matériel,
d’un ensemble de points, d’un solide...
Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement du système est égale à la somme des forces extérieures s’exerçant sur le système.
L’équation dynamique du système s’exprime sous la forme :
−
X
d→
p
=
f~i
dt
i
P~ →
−
fi = f représente la résultante des forces extérieures qui s’exercent sur le système.
i
Une force est un vecteur qui traduit l’interaction entre le système et l’extérieur. Les forces sont
additives. On suppose la force invariante par changement de référentiel galiléen. La norme de
la force a pour unité SI le Newton. (1N=1 kg.m.s−2 ).
3.
Cas d’un système de masse constante
Dans le cas d’un système de masse constante on peut sortir m de la dérivée :
−
−
dm~v
d→
v
d→
p
=
=m
= m~a
dt
dt
dt
où ~a représente l’accélération du point matériel considéré (ou du centre de masse G dans le cas
d’un système non ponctuel) par rapport au référentiel galiléen considéré. On retrouve alors
X
f~i = m~a
i
On remarque qu’à résultante des forces égale, l’accélération d’un système sera d’autant plus
faible que sa masse est élevée. La masse m est appelé masse inerte du système et caractérise son
comportement dynamique. La masse est un scalaire positif. Elle est invariante par changement
de référentiel. L’unité SI de masse est le kilogramme.
4.
Cas particulier d’un système à l’équilibre
Lorsqu’un
système est à l’équilibre dans un référentiel donné, sa quantité de mouvement p~ = ~0
→
d−
p
donc dt = ~0. Si l’équilibre se produit dans un référentiel galiléen alors le principe fondamental
de la dynamique s’écrit
X
f~i = ~0
i
3
5.
Système pseudo-isolé
Un systèmePest pseudo-isolé lorsque la résultante des forces qui s’exercent sur ce système
est nulle :
f~i = ~0 (exemple : palet glissant sur une patinoire). On déduit du principe
i
fondamental de la dynamique :
−
d→
p
= ~0
dt
La quantité de mouvement d’un système pseudo isolé se conserve. Dans un référentiel galiléen,
il possède donc un mouvement rectiligne uniforme. Il se comporte ainsi comme un système
isolé.
6.
Quelques remarques complémentaires
Le principe fondamental de la dynamique permet de déterminer la trajectoire d’un point (ou
du centre de masse d’un système) connaissant les forces qui s’exercent sur ce système. Les
équations différentielles à résoudre étant du second degré, il est nécessaire de connaître la
position et la vitesse initiale du point (ou du centre de masse du système) considéré.
Inversement, l’analyse du mouvement d’un système peut permettre de déterminer la résultante
des forces s’exerçant sur ce système.
III.
Principe des actions réciproques
Les forces d’interactions réciproques qui s’exercent entre deux points matériels M1 M2 sont
opposées et ont pour support la droite joignant ces deux points.
→
−
→
−
f 1→2 = − f 2→1
−
−−−−→ →
→
−
M1 M2 ∧ f 1→2 = 0
Remarque :
→
−
→
−
On peut montrer que la relation f 1→2 = − f 2→1 est une conséquence de la loi de la quantité
de mouvement.
La deuxième relation précise que les forces d’interaction doivent être colinéaires à la droite
M1 M2 ce qui permet une invariance par rotation du système autour de M1 M2 .
4
IV.
1.
Recherche de référentiel galiléen
Caractéristique
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel la relation fondamentale de la dynamique
est vérifiée.
Celui-ci sera considéré comme un repère galiléen si expérimentalement, la loi fondamentale
de la dynamique y est vérifiée, à la précision des mesures près.
Le temps étant absolu, on définit une seule chronologie pour tous les référentiels galiléens. Actuellement la référence est l’horloge atomique. Elle utilise des atomes de césium qui émettent
un rayonnement électromagnétique de période T . La seconde est alors définie comme étant
s = 9 192 631 770T
La chronologie étant établie, la définition d’un référentiel galiléen sera liée au choix du repère
d’espace.
2.
Les référentiels usuels
• le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du soleil et des axes pointant
vers des étoiles lointaines. Il peut être considéré comme galiléen lors de l’étude du
mouvement des planètes autour du Soleil.
• le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes parallèles à ceux du référentiel héliocentrique. Dans ce référentiel, la Terre possède un
mouvement de rotation uniforme autour de l’axe des pôles, de période 1 jour sidéral
(soit 23h 56min 4s). Le référentiel géocentrique est donc en translation circulaire par
rapport au référentiel héliocentrique. Il peut être considéré comme galiléen lorsqu’on
peut négliger le mouvement orbital de la Terre autour du soleil (et donc étudier des
phénomène de durée courte devant 1 an). Ce référentiel est bien adapté à l’étude du
mouvement des satellites autour de la Terre.
Le comportement non galiléen du référentiel géocentrique se traduit par l’apparition
d’un terme de marée (voir cours de deuxième année PC).
• le référentiel terrestre ou référentiel du laboratoire a pour origine un point fixe
de la Terre et possède des axes fixes par rapport à la Terre. Ce référentiel est en rotation
par rapport au référentiel géocentrique, avec une période correspondant à 1 jour sidéral.
Il peut cependant être considéré comme un bon référentiel galiléen si l’expérience se
déroule à une échelle faible devant le rayon de la Terre et sur une durée courte par
rapport à un jour.
Une des manifestations les plus visibles du caractère non galiléen du référentiel terrestre
est l’apparition d’une force dite "force de Coriolis" qui dévie tout objet en mouvement
par rapport à la Terre, vers la droite dans l’hémisphère nord et vers la gauche dans
l’hémisphère sud. Cette force influe sur l’enroulement des dépressions atmosphériques
et des courants marins. Une expérience historique a mis en évidence la force de Coriolis
de manière spectaculaire : l’expérience du pendule de Foucault (1851).
5
Annexe : Mouvement de translation d’un référentiel par
rapport à un autre
On a affirmé dans le cours que tous les référentiels galiléens étaient en mouvement de translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. On se propose de le vérifier ici.
Soit R0 (O, ~ux0 , ~uy0 , ~uz0 ) un référentiel. Soit
R1 (O1 , ~ux1 , ~uy1 , ~uz1 ) un référentiel en translation par rapport à R0 . Les vecteurs de la base
(~ux1 , ~uy1 , ~uz1 ) conservent donc des directions fixes
par rapport à R0 .
Soit M un point mobile dans R0 et R1 . On peut
définir les deux vitesses
−−−→ !
−−→ !
dO1 M
dOM
et ~v (M )/R1 =
~v (M )/R0 =
dt
dt
R0
.
R1
Si M a pour composantes respectives (x0 , y0 , z0 ) dans R0 et (x1 , y1 , z1 ) dans R1 alors
~v (M )/R0 = x˙0~ux0 + y˙0~uy0 + z˙0~uz0 et ~v (M )/R1 = x˙1~ux1 + y˙1~uy1 + z˙1~uz1 .
−−→ −−→ −−−→
D’après la relation de Chasles OM = OO1 + O1 M . D’où
−−→ !
−−→ !
dOO1
d
dOM
=
+
(x1~ux1 + y1~uy1 + z1~uz1 )
~v (M )/R0 =
dt
dt
dt
R0
R0
R0
d~ux1
d~uy1
d~uz1
+y1
+z1
~v (M )/R0 = ~v (O1 )/R0 + x˙1~ux1 + y˙1~uy1 + z˙1~uz1 +x1
{z
}
|
dt R0
dt R0
dt /R0
| {z }
| {z }
{z
}
|
~v (M )/R1
~0
~0
~0
=
=
=
d~ux1
d~uy1
d~uz1
=
=
= ~0 car les vecteurs de base de R1 conservent une
dt R0
dt R0
dt R0
direction fixe dans R0 .
~v (M )/R0 = ~v (O1 )/R0 + ~v (M )/R1
en dérivant une seconde fois dans R0 on aura
~a(M )/R0 = ~a(O1 )R0 + x¨1~ux1 + y¨1~uy1 + z¨1~uz1
~a(M )/R0 = ~a(O1 )/R0 + ~a(M )/R1
Considérons le cas particulier où R1 a un mouvement de translation rectiligne uniforme par
rapport à R0 . Dans ce cas O1 est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à R0 d’où
~a(O1 )R0 = ~0. On en déduit
~a(M )/R0 = ~a(M )/R1
L’accélération d’un point est la même dans deux référentiels en mouvement de
translation rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre.
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Supposons R0 galiléen. Une particule libre M y possède donc un mouvement rectiligne uniforme. On a donc ~a(M )/R0 = ~0. Soit R1 un référentiel en translation rectiligne uniforme par
rapport à R0 . On aura ~a(M )/R1 = ~a(M )/R0 = ~0. Cette particule possède donc également un
mouvement rectiligne uniforme dans R1 : R1 est donc un référentiel galiléen.
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