Chapitre 10 Les systèmes de particules

Chapitre 10
Les systèmes de particules
10.0 Introduction.
Dans l’expérience sur les collisions vous avez constaté que le
centre de masse CM du système se déplace en ligne droite à
vitesse constante.
Pourquoi ?
Parce que la somme des forces extérieures sur le centre de
masse du système, donc sur les deux disques, était nulle.
Pourquoi parler du centre de masse?
Définition : Le centre de masse CM ( centre de gravité) d’un système
se comporte alors comme si toute la masse était concentrée à cet
endroit, donc comme particule.
Autrement dit, un objet restera en équilibre si le point d’appui est visà-vis son centre de masse.
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Chapitre 10
Les systèmes de particules
10.0 Introduction.
Définition : Le centre de masse CM ( centre de
gravité) d’un système se comporte alors comme si
toute la masse était concentrée à cet endroit., donc
comme une particule
Autrement dit, un objet restera en équilibre si le point d’appui est viaà-vis son centre de masse.
Dans le prochain cours, nous aurons besoin du concept de
centre de masse pour analyser les mouvements de rotation
des objets.
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Chapitre 10
Les systèmes de particules
10.1 Le centre de masse CM
Soit deux masses de 1,0 kg reliées par une tige de 1,0 m
m2
m1
x
x1
x2
x cm
Où est situé le centre de masse CM ou le centre de gravité?
xCM
m1 x1 + m2 x2
=
m1 + m2
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10.1 Le centre de masse CM
Théoriquement, pour un
ensemble de particules le
vecteur position est donné par

rCM =

∑ mi ri
M
rCM
r1
On doit d’abord faire la
somme des composantes.
Pour un objet homogène, le
centre de masse et le centre
de gravité sont confondus
CM
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10.1 Le centre de masse CM
Roulement
vt
Pour une sphère qui
roule
vCM
Fg
v=0
Tous les points de la sphère ne se déplacent pas à la même
vitesse. De plus, le poids d’une sphère homogène passe par le
centre de masse. Le centre de masse fait le mouvement le plus
simple. Nous y reviendrons.
10.2 Le centre de masse d’un corps solide
Expérimentalement
Théoriquement
Utilisation du calcul intégral
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10.2 Le centre de masse d’un corps solide
Expérimentalement
CM
CM
Théoriquement
Utilisation du calcul intégral
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10.3 Le mouvement du centre de masse CM
Un objet en mouvement qui effectue un mouvement de translation sera
considéré comme une particule. Par conséquent, nous utiliserons les
mêmes équations pour analyser le mouvement de son centre de masse.
D’où l’importance de savoir où est le CM.
Que va-t-il arriver, si la force extérieure résultante sur un système de
particules est nulle?
Nous aurons:



Si Fext = 0, alors a CM = 0 et v CM = constante
où

vCM =

∑ mi vi
et
M
Pour les deux disques

vCM

aCM =

m
a
∑ ii
M
=0


m1v1 + m2 v2
=
m1 + m2
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10.3 Le mouvement du centre de masse CM
Nous aurons:



Si Fext = 0, alors a CM = 0 et v CM = constante
où

vCM =

∑ mi vi
et
M
Pour les deux disques

vCM

aCM =

∑ mi ai
M
=0


m1v1 + m2 v2
=
m1 + m2
Autrement dit, si le système est au repos en partant, la
position du centre de masse du système ne bougera pas sous
l’action de force interne

rCM


m1r1 + m2 r2
=
m1 + m2
Voir les
exemples du
manuel
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10.3 Le mouvement du centre de masse CM
Nous aurons également :



Ptotale = PCM = MvCM
La quantité de mouvement totale d’un système de particules ou
d’un objet étendu est équivalente à la quantité de mouvement
du CM.
Que va-t-il arriver, si la force extérieure résultante sur
un système de particules n’est pas nulle?



Si Fext ≠ 0, alors a CM ≠ 0 et v CM ≠ constante



dPtotale dPCM

=
= MaCM
Fext =
dt
dt
Le centre de masse accélère comme si toute la masse était
concentrée à un seul endroit. D’où l’importance de savoir où est
le CM.
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10.3 Le mouvement du centre de masse CM
CM
10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
En complétant le laboratoire, vous avez probablement constater que
l’énergie cinétique des deux disques dans le repère du laboratoire pouvait
s’écrire de la façon suivante:
K totale = K CM + K rel
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
En complétant le laboratoire, vous avez probablement constater que
l’énergie cinétique des deux disques dans le repère du laboratoire
pouvait s’écrire de la façon suivante:
K totale = K CM + K rel
Où Ktotale = l’énergie cinétique des particules dans le repère du
laboratoire
KCM = l’énergie cinétique du CM dans le repère du laboratoire
Krel = l’énergie cinétique des particules par rapport au centre de
masse
Comme nous l’avons vu, l’énergie disponible pour produire un effet
durant la collision est donnée par :
ED = K rel = K totale − K CM
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Au chapitre suivant, nous utiliserons cette expression pour calculer
l’énergie cinétique du sphère qui roule. Nous additionnerons son
énergie cinétique de rotation par rapport au centre de masse et
l’énergie de translation du centre de masse
K totale = K CM + K rel
Dans cette situation, Krel relative au centre de masse représente K ROT
l’énergie cinétique de rotation
Dans une collision, Krel c’est l énergie disponible pour produire un effet
de déformation ou autre et plus ou moins dévastateur.
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
Considérons une collision parfaitement inélastique sur une
surface glacée entre une automobile de 900 kg se déplaçant
à 52,6 km/h avec une voiture identique arrêtée à une
lumière rouge
2
1
u1 = 14,6 m/s
u2 = 0
Quelle sera l’énergie disponible pour la déformation des
véhicules? On sait par ailleurs que les dommages seront plus
importants lors d’une collision face à face. Mais sait-on dans
quelle proportion les dommages vont augmenter?
a) Commençons par calculez la vitesse commune des deux
automobiles après la collision et l’énergie perdue en chaleur
et en déformation .
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
1
2
u1 = 14,6 m/s
u2 = 0
a) Calculez la vitesse commune des deux automobiles après
la collision et l’énergie perdue en chaleur et en déformation .
Je connais m1 = m2 = 900 kg
u1 = 14,6 m/s u2 = 0 m/s
Problème : Je cherche V la vitesse commune
Solution : J’utilise le principe de conservation
de la quantité de mouvement
m1u1 = (m1 + m2 )V
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
1
avant
u1 = 14,6 m/s
2
V
u2 = 0
Je connais m1 = m2 = 900 kg
u1 = 14,6 m/s u2 = 0 m/s
Solution : J’utilise le principe de conservation de la quantité de
mouvement
m1u1 = (m1 + m2 )V
Donc
m1u1
u1
V =
=
= 7,3
(m1 + m2 ) 2
m/s ou 25 km/h
Résultat probable: La vitesse commune après la collision sera de 25
km/h
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
2
1
u1 = 14,6 m/s
V
u2 = 0
Je connais m1 = m2 = 900 kg
u1 = 14,6 m/s u2 = 0 m/s
Problème : Je cherche l’énergie cinétique perdue en chaleur et en
déformation.
Solution: J’utilise les formules de l’énergie cinétique avant et après
K avant
K avant =
1
= m1u12
2
K après
1
= (m1 + m2 )V 2
2
1
(900) × (14,6) 2 = 9,59 × 10 4 J
2
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
2
1
V
u1 = 14,6 m/s
Solution: J’utilise les formules de l’énergie cinétique avant et après
K avant =
1
m1u12
2
K après =
1
(m1 + m2 )V 2
2
K avant
1
= (900) × (14,6) 2 = 9,59 × 10 4 J
2
K après
1
= (1800) × (7,3) 2 = 4,80 × 10 4 J
2
Résultat probable: 50 % de l’énergie cinétique est transformée en
énergie de déformation et en chaleur
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
2
1
V
u1 = 14,6 m/s
K avant
K après
1
= m1u12
2
K après
1
= (m1 + m2 )V 2
2
1
= (1800) × (7,3) 2 = 4,80 × 10 4 J
2
Résultat probable: 50 % de l’énergie cinétique est transformée en
énergie de déformation et en chaleur
La fraction de l’énergie est
donnée par
Conclusion
K après
K avanr
=
m1
m1 + m2
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
2
1
u1 = 14,6 m/s
b) Déterminez l’énergie disponible pour produire la déformation
Problème : Je cherche ED
Solution :J’utilise
K totale
1
= m1u12
2
E D = K totale − K CM
K CM
1
2
= (m1 + m2 )vCM
2
vCM =
m1u1
m1 + m2
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
2
1
u1 = 14,6 m/s
E D = K totale − K CM
b) Déterminez l’énergie disponible pour produire la déformation
K totale
1
= m1u12
2
K CM
1
= (m1 + m2 )vCM 2
2
vCM
m1u1
=
m1 + m2
En soustrayant les deux, on
obtient
m2
E D = K totale (
)
m1 + m2)
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
2
1
u1 = 14,6 m/s
K totale = K1 =
E D = K totale − K CM
1
m1u12
2
En soustrayant les deux, on
obtient
Si m1 = m2
vCM
m1u1
=
m1 + m2
K CM =
1
2
(m1 + m2 )vCM
2
m2
)
E D = K1 (
m1 + m2)
K1
ED =
2
Toute l’énergie disponible est perdue dans la déformation et en
chaleur
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
2
1
u1 = 14,6 m/s
vCM
m1u1
=
m1 + m2
u1 = 14,6 m/s
Considérons maintenant une collision frontale entre les deux
mêmes véhicules. Déterminez l’énergie disponible pour les
dommage dans ce type de collision
Problème : Je cherche ED
Solution : J’utilise
K totale = m1u12
Résultat probable
= 2K
K CM = 0
E D = 2 K1 = 19,2 × 10 4 J
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
Exemple : Énergie disponible ED
vCM
2
1
u1 = 14,6 m/s
m1u1
=
m1 + m2
u1 = 14,6 m/s
Considérons maintenant une collision frontale entre les deux
mêmes véhicules. Déterminez l’énergie disponible pour les
dommage dans ce type de collision
E D = K totale − K CM
Problème : Je cherche ED
E D = 2 K1 = 19,2 × 10 4 J
Conclusion : Dans ce type de collision, l’énergie disponible est 4
fois celle d’un collision avec un véhicule arrêté.
E D = 2K1
frontale
K1
ED =
2
arrêté
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10.4 L’énergie cinétique d’un système de particules
vo
À lire pour Information perte en
chaleur pour un système de
particules
Vf = 0
fc
∆x
Wnc = − f c ∆x
Wnc = ∆K
???
Wnc = ∆K CM + ∆K rel
Wnc = ∆K CM + Eint
Sans perte pour
une particule donc
arrêt plus loin
Système de particules
Eint = chaleur
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Chapitre 10
Résumé :
Sous forme de schéma
Concept de centre de masse
Mouvement du centre de masse

rCM =

m
r
∑ i i
M

vCM =

m
v
∑ ii
M



dP
Fext = CM = MaCM
dt
L’énergie cinétique totale, celle associée au centre de masse et
l’énergie cinétique relative.
K totale = K CM + K rel
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