Argumentation démonstration

Cours
3b-1 Argumentation
démonstration
Sommaire
1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Le raisonnement 2
1.2 L’argumentation 2
1.3 La démonstration 2
1.4 Comparaison argumentation/démonstration 2
2 Niveaux de pensée en géométrie dans le cursus scolaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Différents raisonnements mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1 Quelques précisions « logiques » 5
3.2 Raisonnement direct, déductif 5
3.3 Raisonnement par l’absurde 6
3.4 Raisonnement par disjonction des cas 6
3.5 Raisonnement par contre-exemple 6
4 Les erreurs dans la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dans l’histoire des mathématiques, le rôle joué par la géométrie a évolué.
À l’origine, elle s’est construite comme une technologie de l’espace pour
résoudre des problèmes spécifiques comme les problèmes d’astronomie ou
d’arpentage. Des preuves visuelles ou des constructions matérielles suf-
fisaient alors à convaincre les géomètres de l’évidence de leurs résultats.
Les Éléments d’Euclide (300 av. J.C.) marquent une inflexion décisive
qui va amener les géomètres grecs à refuser la simple vérification visuelle
et l’évidence intuitive. Par la suite, les géomètres grecs envisagent les ob-
jets géométriques en soi et non plus leurs traces matérielles visibles.
La géométrie se reconstitue alors en un corps de savoirs, basé sur des
axiomes et organisé par le raisonnement hypothético-déductif a
a. Catherine Houdement et Alain Kuzniak, Paradigmes géométriques et
enseignement de la géométrie.
Papyrus trouvé à Oxyrhynque :
proposition 5 du Livre II des Éléments

CM3b-1 Argumentation et démonstration M1-MEEF-PE
1Un peu de vocabulaire
Dans son livre Sémiosis et pensée humaine, Duval (1995) propose les caractérisations
suivante :
1.1 Le raisonnement
D’une façon générale, tout discours ayant pour but de prouver la vérité d’un énoncé
ou de faire admettre par un interlocuteur le « bien-fondé » de son affirmation, ou de
son rejet, est reconnu comme « raisonnement ».
Autrement dit, les deux caractéristiques suivantes sont nécessaires pour qu’un dis-
cours puisse être reconnu comme un raisonnement :
— être orienté vers un énoncé-cible, c’est-à-dire vers la proposition à justifier ;
— être centré sur la valeur, logique ou épistémique (degré de crédibilité aux yeux
du sujet : évidente, absurde, vraisemblable, nécessaire, possible, neutre. . .) de
cette proposition et non pas sur son contenu.
1.2 L’argumentation
L’argumentation a pour but de modifier la valeur épistémique qu’attache à l’énoncé-
cible celui à qui l’on s’adresse : « faire accepter comme plausible ce qu’il estime
impossible, faire reconnaître comme peu plausible ce qu’il croit évident, ou comme
absurde ce qu’il considère comme vraisemblable ou même comme certain [...] ».
1.3 La démonstration
Une démonstration consiste en un enchaînement de pas de déduction ou inférences,
chacune de structure ternaire, et où les propositions combinées prennent l’un parmi
trois statuts opératoires possibles :
— propositions d’entrée (hypothèse) ou prémisses ;
— règle d’inférence (axiome, définition ou théorème) ou énoncé-tiers ;
— proposition inférée ou conclusion.
1.4 Comparaison argumentation/démonstration
En résumé, l’argumentation a pour objet de changer l’opinion de celui auquel elle
s’adresse alors que dans la démonstration, il s’agit de s’assurer qu’un résultat est
bien la conséquence de théorèmes déjà connus.
Dans le tableau page suivante, tentons de faire le point sur ce qui distingue l’argu-
mentation de la démonstration (Duval, 1995).
N@thalie DAVAL 2/8 ESPE de la Réunion

CM3b-1 Argumentation et démonstration M1-MEEF-PE
Argumentation. Démonstration.
De nature dialogique. De nature logique.
Aucunes autres contraintes d’organisation
que celles propres à un discours.
Organisation stricte autour de l’unité struc-
turale qu’est l’inférence.
Se développe à partir des relations de contenu
entre les propositions, en interaction avec les
valeurs épistémiques que leur donne l’interlo-
cuteur émetteur.
Chaque proposition y a l’un des trois sta-
tuts opératoires : hypothèse, règle d’infé-
rence, conclusion.
Structure non hiérarchisée, qui repose sur
le cumul d’arguments dans le respect de la
continuité thématique.
Structure en arbre (ou encore modulaire),
où les inférences s’enchaînent, sans nécessaire
continuité thématique.
Cherche à modifier la valeur épistémique qu’a
l’énoncé-cible pour l’un des deux interlocu-
teurs.
Cherche à modifier la valeur épistémique
théorique de l’énoncé-cible.
La conclusion et sa valeur de vérité n’en
découlent pas nécessairement, puisqu’elles y
sont défendues par la pertinence du contenu
des propositions avancées ; l’argumentation
convainc, mais ne prouve pas.
Chaque proposition inférée est uniquement
et nécessairement déterminée par l’inférence,
dont la validité peut être théoriquement
contrôlée.
2Niveaux de pensée en géométrie dans le cursus scolaire
Comme toujours à l’école primaire, les représentations mentales des objets mathé-
matiques sont peu à peu construites à partir de la manipulation d’objets physiques.
L’enseignement de la géométrie, de la maternelle à la fin du Collège passe par plu-
sieurs étapes liées au développement des élèves :
Pré-géométrie
perception globale
Perception
analyse plus fine
Construction
instruments
Propriétés
démonstration
cycle 1 cycle 2 cycle 3 collège
Au Collège, la géométrie va devenir une partie volumineuse du programme de ma-
thématiques. La géométrie du Collège est une géométrie des propriétés, où les élèves
vont apprendre peu à peu à démontrer.
N@thalie DAVAL 3/8 ESPE de la Réunion

CM3b-1 Argumentation et démonstration M1-MEEF-PE
Un carré n’est plus un carré parce que je le vois, ni même parce que je l’ai construit
comme tel, mais parce que je peux citer les propriétés de cette figure qui me per-
mettent, avec les théorèmes et définitions du cours, de prouver que cette figure est
un carré.
cycle1 : je le vois ! cycle 2 : j’examine le
réseau pointé
cycle 3 : je le vérifie
aux instruments
collège : je le déduis des
propriétés du quadrila-
tère
Cette nouvelle étape nécessite une riche imagerie mentale, pour « voir » les figures
dans sa tête, anticiper le résultat d’une transformation, du changement de valeur
d’un paramètre. Les élèves qui ont pratiqué de vraies activités de géométrie au cycle
3 sont évidemment avantagés. 1
Quel que soit le niveau des élèves, on peut lister des étapes possibles d’une démarche
d’investigation pour un problème de géométrie (valable pour n’importe quel domaine
mathématique, d’ailleurs !) :
•Réflexion sur le problème posé.
1. appropriation du problème, vocabulaire, contexte ;
2. confrontation avec les savoirs disponibles ;
3. recherche éventuelle d’informations sur le thème.
•Élaboration d’une conjecture.
1. recherche, avec mise en place éventuelle d’une première expérimentation,
2. émission de la conjecture,
3. confirmation, avec mise en place éventuelle d’une seconde expérimentation.
•Mise en place d’une preuve argumentée.
3Différents raisonnements mathématiques
Un premier raisonnement inductif est utilisé lorsqu’il s’agit de faire émerger une
conjecture après avoir traité des exemples. L’utilisation des logiciels de géométrie
dynamique est sous tendue par cette approche. Il restera ensuite, à démontrer la
véracité de cette conjecture.
Au collège, on utilise principalement un raisonnement déductif, par l’absurde, par
disjonction des cas et par contre-exemple.
1. Source : Luc Tiennot, Savoirs didactiques et analyse des programmes de mathématiques.
N@thalie DAVAL 4/8 ESPE de la Réunion

CM3b-1 Argumentation et démonstration M1-MEEF-PE
3.1 Quelques précisions « logiques »
non : la négation.
En mathématiques, on se situe dans le cadre d’une logique à deux valeurs : une pro-
position P est soit vraie, soit fausse. On note « non P » la négation de la proposition
P, c’est-à-dire la proposition qui est vraie quand P est fausse et fausse quand P est
vraie.
et : la conjonction.
Lorsqu’on a deux propositions P ; Q, on peut former la proposition (P et Q).
Celle-ci est vraie lorsque les deux propositions sont vraies en même temps.
ou : la disjonction logique.
Lorsqu’on a deux propositions P ; Q, on peut former la proposition (P ou Q).
Celle-ci est vraie lorsque l’une au moins des deux propositions est vraie.
Attention : dans le langage courant, le « ou » est exclusif alors que le « ou » mathé-
matique est par défaut non exclusif.
Par exemple, si l’on demande à une femme qui vient d’accoucher « Est-ce une fille
ou un garçon ? », la réponse de la mère sera soit « C’est une fille » soit « C’est un
garçon » alors que la réponse de la mathématicienne sera « oui ! ».
⇒: l’implication.
On peut considérer que les phrases suivantes ont le même sens :
•P⇒Q ;
•P implique Q ;
•Si P alors Q ;
•Si la proposition P est vraie, alors la proposition Q est vraie.
3.2 Raisonnement direct, déductif
Soit deux assertions P et Q. On veut montrer que l’assertion (P ⇒Q) est
vraie. Il suffit donc de se placer dans le cas où P est vraie et montrer qu’alors
Q est vraie également.
Raisonnement 1.
Il s’agit du raisonnement classique où l’on utilise les propriétés, théorèmes connus
(règles d’inférence). Il met en jeu des compétences spécifiques comme la reconnais-
sance et le tri de données, le lien entre ces données, les connaissances et la déduction
à établir.
Exemple 2
ABC est un triangle quelconque et I est le milieu de [BC].
Tracer la droite parallèle à (AC) passant par I, elle coupe la droite (AB) en D.
Tracer la droite parallèle à (BC) passant par D, elle coupe la droite (AC) en E.
Démontrer que E est le milieu du segment [AC].
Il suffit d’appliquer deux fois le théorème de la droite des milieux.
B C
A
I
DE
N@thalie DAVAL 5/8 ESPE de la Réunion