Emettre des ondes électromagnétiques

9. Émettre des ondes électromagnétiques
Le dipôle oscillant est la source d’ondes électromagnétiques la plus simple. Son étude
détaillée nous permettra d’aborder les caractéristiques essentielles des antennes.
Lors d’une première lecture de ce cours, il sera possible de se limiter à la première
section consacrée au dipole oscillant. La seconde section reprend les différents concepts
introduits pour les replacer dans un cadre plus général.
9.1. Le dipôle oscillant
9.1.1. rappels sur le dipôle électrostatique
Le moment dipôlaire électrique ~p d’un système de charges électriques dont la charge
totale est nulle est :
– pour une distribution discrète :
Q=Xqi= 0 (9.1)
~p =Xqi~ri(9.2)
– pour une distribution continue
Q=y
V
ρ(~r1)d3~r1= 0 (9.3)
~p =y
V
ρ(~r1)~r1d3~r1(9.4)
On peut modéliser tout dipôle par deux charges : une charge négative -qplacée à
l’origine et un charge qpositive au point ~a avec ~p =q~a .
Le potentiel électrostatique créé par un dipôle ~p placé à l’origine est :
V(~r) = 1
4πε0
~p ·~ur
r2.(9.5)
Le champ électrique créé par un dipôle électrostatique est :
~
E(~r) = 3~ur(~p ·~ur)−~p
4πε0r3(9.6)
=2pcos θ
4πε0r3~ur+psin θ 4πε0r3~ur(9.7)
.
87

88 9. Émettre des ondes électromagnétiques
9.1.2. Champ créé par un dipôle oscillant
le dipôle oscillant
Considérons un dipôle dont l’amplitude évolue de manière sinusoïdale :
~p =~p0cos ωt (9.8)
~p =~p0e−iωt (9.9)
Le mouvement de charge associé à cette évolution temporelle est à l’origine de courants
électriques qui vérifient l’équation suivante :
y
V
~
j~r0d3~r0=X
V
qi~vi=d~p
dt (9.10)
le champ rayonné par la méthode des potentiels retardés
Il n’est pas possible de déterminer le champ électromagnétique rayonné par un dipôle
oscillant en adaptant la méthode utilisée dans le cas d’un dipôle électrostatique. Pour
diverses raisons (simplicité des calculs et problèmes techniques de choix de jauge) le
chemin utilisé pour calculer le champ rayonné par un dipôle oscillant est le suivant :
1. Déterminer le potentiel vecteur retardé ~ A
2. Déduire le champ magnétique ~ Bde l’expression du potentiel vecteur ~ A
3. Calculer le champ électrique ~ Eà partir du champ magnétique ~ Ben utilisant l’équa-
tion de Maxwell-Faraday.
Ainsi, alors que le potentiel Vjouait un rôle central pour le champ du dipôle statique,
il est ici inutile. Il sera donc vain d’essayer de déterminer le champ créé par un dipôle
oscillant à partir de ce que l’on sait d’un dipôle statique.
le potentiel vecteur retardé L’expression générale du potentiel vecteur retardé ~ A(~r, t)
au point ~r est :
~
A(~r, t) = µ0
4πy
V
~
j~r1, t −|~r1−~r|
c
|~r1−~r|d3~r1(9.11)
Pour une distribution de charge localisée autour de l’origine et dont la taille est assezQuestion : expliciter ce
que "assez petit" signifie
sur les grandeurs phy-
siques de ce problème.
petite, cette expression devient :
~
A(~r, t) = µ0
4πr y
V
~
j~r1, t −r
cd3~r1(9.12)
Le potentiel vecteur ~ Aest donc directement proportionnel à la dérivée temporelle du
moment dipôlaire ~p pris à l’instant retardé t−r/c :
~
A(~r, t) = µ0
4π
1
r
d~p t−r
c
dt ,(9.13)
~
A(~r, t) = −iω µ0
4πp0
e−iω(t−r
c)
r=−iω µ0 4πp0
ei(kr−ωt)
r.(9.14)
J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

9.1. Le dipôle oscillant 89
Le champ magnétique Commençons par faire le calcul exact de manière brutale :
~
B(~r, t) = −iµ0ω
4πe−iωt−→
rot eikr
r(9.15)
=−iµ0ω
4πe−iωt −−→
gradeikr
r×~p0(9.16)
=−iµ0ω
4πe−iωt eikr−−→
grad1
r+1 r−−→
gradeikr×~p0(9.17)
=−iµ0ω
4πe−iωt −eikr ~ur r2+1 rikeikr~ur×~p0(9.18)
=µ0ωk
4π
ei(kr−ωt)
r1−1 ikr ~ur×~p0(9.19)
A grande distance (c’est à dire rλ), le terme dominant décroît comme 1
r
~
B=µ0ck2
4π
ei(kr−ωt)
r~ur×~p0.(9.20)
Nous pouvons dès à présent remarquer les points suivants :
– Ce terme dominant provient de la dérivée de la phase du potentiel vecteur.
– Le champ magnétique à grande distance est perpendiculaire à la droite joignant le
dipôle et le point d’observation (de vecteur directeur ~ur.
– Lorsque l’on se déplace sur cette droite ( rcroissant, angles sphériques (θ, φ)constants)
l’amplitude du champ évolue comme une onde sphérique : décroissance en 1
ret fac-
teur de phase (kr −ωt)correspondant à une propagation à la célérité cvers les r
croissants.
Le champ électrique Il se déduit de l’expression du champ magnétique gràce à l’équa-
tion de Maxwell-Faraday :
Pour s’entrainer à
manipuler les opéra-
teurs vectoriels les
plus courageux pourront
essayer de faire le calcul.
~
E(~r, t) = −1
−iω −→
rot (B(~r, t)) (9.21)
=ei(kr−ωt)
4πε0k2(~ur×~p0)×~ur r+ [3~ur(~ur·~p0)−~p0]1 r3−ik r2.(9.22)
A grande distance, le terme dominant décroit comme pour le champ magnétique en 1
r
il provient de la dérivée spatiale du terme de phase de ~ B.
~
E=k2
4πε0
ei(kr−ωt)
r(~ur×~p0)×~ur.(9.23)
A courte distance (c’est à dire rλ) terme dominant est celui d’un dipôle électro-
statique
~
E=[3~ur(~ur·~p0)−~p0]
4πε0
ei(kr−ωt).(9.24)
Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

90 9. Émettre des ondes électromagnétiques
En résumé : Pour un dipôle aligné selon l’axe Oz les composantes non nulles du champ
électrique et du champ magnétique sont :
Bϕ=µ0
4π−iω r2−ω2 rc sin θei(kr−ωt),(9.25)
Er=1
4πε02 r3−2iω r2ccos θei(kr−ωt),(9.26)
Eθ=1
4πε01 r3−iω r2c−ω2 rc2sin θei(kr−ωt).(9.27)
A courte distance, c’est à dire à des distances courtes devant la longueur d’onde de la
lumière , (rλ) le terme dominant est en r−3.cela correspond au champ électrique
créé par un dipôle electrostatique :
Er=−1
4πε0
2 cos θ
r3p(t),(9.28)
Eθ=1
4πε0
sin θ
r3p(t).(9.29)
A grande distance, c’est à dire pour rλ, le terme dominant est en r−1,pour le champ
électrique selon ~uθet pour le champ magnétique selon ~uϕ:
Bϕ=−µ0c
4π
k2
rp0sin θei(kr−ωt),(9.30)
Eθ=−1
4πε0
k2
rp0sin θei(kr−ωt).(9.31)
Interprétation physique du champ à grande distance
Tous les facteurs intervenant dans l’expression du champ électrique rayonné par un
dipôle oscillant ont une interprétation physique qu’il est essentiel d’avoir compris. Consi-
dérons le cas d’un dipôle d’ampliude p0aligné selon l’axe Oz.
Er= 0,Br= 0 A grande distance, l’onde a la structure d’une onde plane progressive qui
se propage selon ~ur. Le champ électrique tout comme le champ magnétique sont
orthogonaux à la direction de propagation, donc à ~ur.
Eϕ= 0 ,Bθ= 0 :Le problème est symétrique par rapport à tout plan contenant la
droite Oz. Par conséquent, en un point de l’espace, le champ électrique est contenu
dans le plan contenant Oz et ce point et donc sa composante Eϕselon le vecteur ~uϕ
perpendiculaire à ce plan est nulle. Pour les mêmes raisons, le champ magnétique
qui est un vecteur axial est perpendiculaire au plan considéré et donc le champ
magnétique est aligné selon ~uϕ
Décroissance de l’amplitude : |E| ∝ r−1:Lorsque le dipôle est seul dans l’espace, l’éner-
gie qu’il rayonne est conservée, par conséquent le flux du vecteur de Poynting à
travers toute sphère qui contient l’origine est le même. Comme la surface de cette
J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

9.1. Le dipôle oscillant 91
sphère est 4πr2,le vecteur de Poynting est proportionnel à r−2. Ce vecteur est
proportionnel au carré du champ électrique, celui ci décroit donc en r−1lorsque
l’on s’éloigne de l’origine.
Amplitude proportionelle à celle du dipôle E ∝ p0exp(−iωt):Les équations de Max-
well sont linéaires, par conséquent, le champ rayonné est proportionnel à l’ampli-
tude du dipôle.
Phase égale à (kr −ωt)Le champ se propage à partir de l’origine à la vitesse de la lu-
mière, le champ rayonné est donc proportionnel à exp [−iω (t−r/c)] = exp [i(kr −ωt)]
Dépendance angulaire E ∝ sin θNotons f(θ)la dépendance angulaire de l’amplitude
rayonnée en prenant pour référence l’amplitude émise dans la direction équatoriale :
fπ
2. Pour les raisons de symétries évoquées plus haut, le champ électrique est
nul lorsque l’on se place sur l’axe Oz donc f(0) = 0.Si l’on se place en un point
donné, on peut décomposer le dipôle (qui est un vecteur) comme somme de deux
dipôles
p0~uz=p0cos θ~ur−p0sin θ~uθ
le premier p0cos θ~urest parallèle au rayon vecteur, il ne rayonne donc pas, tan-
disque le second p0sin θest perpendiculaire à la direction d’observation et rayonne
donc dans cette direction avec une ampllitude relative fπ
2.
Facteur k2
4πε0nous sommes arrivés à l’expression suivante :
~
E ∼ p0sin θe−iω(t−r
c)
r~uθ(9.32)
La dimension de cette expression est celle d’une charge électrique. Pour avoir la
bonne dimension il faut multiplier par un terme proportionnel au produit de 1
4πε0
et du carré de l’inverse d’une longueur. Comme nous avons déjà déterminé la dé-
pendance en rpar les considérations d’énergie et de propagation il faut trouver une
autre longueur dans ce probleme. La seule qui soit disponible est la longueur d’onde
et donc, la quantité proportionelle à l’inverse d’un longueur que nous pouvons uti-
liser est le nombre d’onde k, le facteur qui manque est donc k2
4πε0multiplié par un
éventuel facteur numérique. La comparaison avec l’expression exacte montre que
le facteur numérique est seulement -1
Ainsi nous venons de retrouver l’expression du champ électrique rayonné :
~
E=−1
4πε0
k2
rp0sin θei(kr−ωt)~uθ
Par consequent, s’il peut sembler difficile d’apprendre la formule du champ électrique
rayonné par un dipôle, les arguments que nous venons de développer rendent impossible
de ne pas s’en souvenir.
Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty