Chapitre 5 Opérateurs compacts

Chapitre 5
Op´erateurs compacts
5.1 Applications lin´eaires compactes
D´efinition 5.1.1 Soient Eet Fdeux espaces de Banach ; une application lin´eaire
continue T∈ L(E, F )est dite compacte si l’image T(BE)par l’application Tde
la boule unit´e ferm´ee BEde l’espace Eest relativement compacte (en norme)
dans F. On note K(E, F )l’ensemble des applications lin´eaires compactes de E
dans F. On pose K(E) = K(E, E).
La proposition suivante donne des propri´et´es fondamentales de stabilit´e des op´erateurs
compacts.
Proposition 5.1.1 Soient Eet Fdeux espaces de Banach ; l’ensemble K(E, F )
est un sous-espace vectoriel ferm´e de L(E, F ). Soient E, F et Gdes espaces de
Banach, S∈ L(E, F )et T∈ L(F, G); si Sou Test compacte alors T S est
compacte. En particulier, K(E)est un id´eal bilat`ere de L(E).
Preuve : Il est clair que si T∈ K(E, F ) et λ∈K, alors λT ∈ K(E, F ).
Soient maintenant T1et T2deux applications lin´eaires compactes de Edans F,
et consid´erons les ensembles A1=T1(BE), A2=T2(BE) et A= (T1+T2)(BE) ;
il est clair que A est contenu dans A1+A2, donc il est relativement com-
pact d’apr`es une proposition des pr´erequis sur le compacts. Ceci montre que
K(E, F ) est un sous-espace vectoriel de L(E, F ). Supposons que T∈ L(E, F )
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34 CHAPITRE 5. OP ´ ERATEURS COMPACTS
soit adh´erent `a K(E, F ). Pour tout ε > 0 donn´e, on peut trouver Scompacte
telle que kT−Sk< ε ; il en r´esulte que tout point de T(BE) est approch´e
`a εpr`es par un point du compact K=S(BE), donc Test compact. Mon-
trons pour finir les propri´et´es de composition. Supposons S∈ L(E, F ) com-
pacte ; si K⊂Fest compact et contient l’image S(BE), alors T(K) est com-
pact et contient l’image T S(BE), donc T S est compacte. Pour l’autre cas, re-
marquons que l’image S(BE) est contenue dans la boule de Fde centre 0 et
de rayon r=kSk; si K⊂Gest compact et contient l’image par Tde la
boule unit´e de F, alors rK est compact et contient l’image par ST de BE.
Remarque 5.1.1 Il est clair que tout op´erateur Tde rang fini est compact : en
effet, l’ensemble T(BE)est alors un ensemble born´e d’un espace vectoriel de di-
mension finie. D’apr`es le r´esultat pr´ec´edent, toute limite Ten norme d’op´erateur
d’une suite (Tn)nd’op´erateurs de rang fini est compacte. C’est une m´ethode assez
efficace pour v´erifier que certains op´erateurs sont compacts.
Proposition 5.1.2 Soient Eet Fdeux espaces de Banach et T∈ L(E, F );
notons BEla boule unit´e ferm´ee de E.
Supposons Tcompact ; alors pour toute suite (xn)nde points de Econvergeant
faiblement vers 0la suite (T(xn))nconverge en norme vers 0.
Preuve : Supposons Tcompact, et soit Kun compact de Fcontenant T(BE) ;
l’identit´e, de Kmuni de la topologie de la norme, dans Kmuni de la topologie
faible est continue ; comme Kest compact, c’est un hom´eomorphisme. Comme
Test continu de BEmuni de la topologie faible dans Kmuni de la topologie
faible, il en r´esulte que Test continu de BEfaible dans Fmuni de la norme.
Si (xn)nest une suite qui converge faiblement vers 0 dans E, via le th´eor`eme de
Banach–Steinhauss, elle est born´ee dans E, donc (T(xn))ntend vers 0 en norme
par ce qui pr´ec`ede.

5.1. APPLICATIONS LIN ´ EAIRES COMPACTES 35
Th´eor`eme 5.1.1 Soit Eun espace de Banach. Pour T∈ L(H), les assertions
suivantes sont ´equivalentes
1. T∈ K(E);
2. T∗∈ K(E∗).
Preuve : Tout d’abord, rappelons que T∗est d´efini grˆace `a la relation suivante :
hT∗x∗, xi=hx∗, T xi,
pour tout x∗∈E∗et x∈E. Ainsi
kT∗x∗k= sup
kxk≤1
|hT∗x∗, xi| = sup
kxk≤1
||hx∗, T xi|,
avec |hx∗, T xi| ≤ kx∗kkT xk ≤ kx∗kkTkkxk. Ainsi, nous avons
kT∗x∗k ≤ kTkkx∗ket donc kT∗k ≤ kTk,
ce qui prouve en particulier la continuit´e de T∗comme application lin´eaire de E∗
dans E∗.
Supposons `a pr´esent T∈ K(E) et montrons que T∗∈ K(E∗). Soit (fn)n≥1une
suite de la boule unit´e ferm´e de E∗. Nous voulons montrer que l’on peut extraire
une sous-suite convergente.
Dans le cas o`u l’espace de d´epart est hilbertien, on peut donner des ca-
ract´erisations plus pr´ecises de la compacit´e.
Th´eor`eme 5.1.2 Soit Hun espace de Hilbert et T∈ L(H); notons BHla boule
unit´e ferm´ee de H. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1. l’op´erateur Test adh´erent (en norme d’op´erateur) `a l’espace des applica-
tions lin´eaires continues de rang fini ;

36 CHAPITRE 5. OP ´ ERATEURS COMPACTS
2. l’op´erateur Test compact de Hdans H;
3. l’ensemble T(BH)est compact (en norme) dans H;
4. pour toute suite (xn)de points de Hconvergeant faiblement vers 0, la suite
(T(xn))nconverge en norme vers 0;
5. pour tout syst`eme orthonormal (en)n≥0dans Hon limn→∞ kT(en)k= 0.
Preuve : 1.⇒2.: c’est une cons´equence imm´ediate du fait que K(H) est
ferm´e pour la norme op´erateur.
2.⇒3.: comme Hest un espace r´eflexif, la boule unit´e ferm´ee de Hest
faiblement compact. Comme Test compact, pour toute suite (xn)nde BH, il
existe une sous-suite (T(xnk))kconvergente vers y∈ H. Nous allons montrer que
y∈T(BH). Comme (xnk)kest dans BHqui est faiblement compact, il existe une
sous-suite (xnkl)klconvergeant faiblement vers x∈BH. Alors pour tout z∈ H,
on a
hxnkl, T ∗(z)i → hx, T ∗(z)i=hT(x), zi,
et
hxnkl, T ∗(z)i=hT(xnkl), zi → hy, zi.
On a donc T(x) = y, prouvant que T(BH) est compact (en norme) dans H.
3.⇒4.: soit (xn)nune suite de Hconvergeant faiblement vers 0. Alors (xn)nest
born´ee. En effet, posons Tn:H → H,Tn(x) = hx, xni. Alors Tnest une applica-
tion lin´eaire continue de norme kxnktel que pour tout x∈ H, limn→∞ |Tn(x)|=
0. D’apr`es le th´eor`eme de Banach–Steinhaus, supnkTnk= supnkxnk<∞.
Quitte `a diviser par une constante, on peut supposer que la suite (xn)nest dans
BH. Ainsi il existe une sous-suite (T(xnk)kconvergente en norme vers disons
z. Mais comme (xn)nconverge faiblement vers 0, on a aussi hxnk, T ∗(z)i → 0
et hxnk, T ∗(z)i=hT(xnk), zi → kzk2. Ainsi (T(xnk)k→0. Ceci prouve que la
seule valeur d’adh´erence (pour la norme) de la suite (T(xn))nest 0, et donc
kT(xn)k → 0 d`es que (xn)ntend faiblement vers 0.

5.2. TH ´ EORIE SPECTRALE DES OP ´ ERATEURS COMPACTS 37
4.⇒5.: toute suite orthonormale (en)nest une suite convergeant faiblement
vers 0. En effet, pour tout y∈ H,Pn|hy, eni|2≤ kyk2et donc en particulier
|hy, eni| → 0 pour tout y∈ H.
5.⇒1.: supposons que 1.ne soit pas v´erifi´e. Il existe alors ε > 0 tel que pour
toute application lin´eaire continue de rang fini Ron ait kT−Rk> ε. Construisons
alors par r´ecurrence sur nun syst`eme orthonormal (en)n≥0tel que kT(en)k> ε
pour tout n≥0 : comme kTk> ε , il existe e0∈Etel que ke0k= 1 et
kT(e0)k> ε ; supposons ekconstruit pour k < n et soit Ple projecteur orthogo-
nal sur le sous-espace de Eengendr´e par {ek:k < n}; alors T P est de rang fini
donc kT−T P k> ε ; il existe donc yn∈Etel que
kT(IdE−P)(yn)k> εkynk ≥ εk(IdE−P)(yn)k.
On pose alors zn= (IdE−P)(yn), puis en=kznk−1zn. On a alors kT(en)k=
kznk−1kT(zn)k> ε, prouvant que 5.n ’est pas v´erifi´e.
5.2 Th´eorie spectrale des op´erateurs compacts
Cette th´eorie est pour l’essentiel la cr´eation du math´ematicien hongrois F.
Riesz, aux alentours de 1910. Le th´eor`eme de Riesz est l’un des points-cl´es de
cette th´eorie.
Lemme 5.2.1 Soit Eun espace de Banach ; pour tout sous-espace vectoriel L
de dimension finie de E, il existe un projecteur continu Pde Esur L, c’est `a
dire qu’il existe un sous-espace ferm´e Ftel que E=L⊕F.
Preuve : Soit (e1,··· , en) une base de Let soit (e∗
1,··· , e∗ n) la base duale pour
le dual L∗; par le th´eor`eme de Hahn-Banach, on peut prolonger chaque forme
lin´eaire e∗
jen une forme lin´eaire continue x∗
j∈E∗. Il suffit alors de poser
∀x∈E, P (x) =
n
X
j=1
x∗
j(x)ej,