corrigé

Lycée Naval, Spé 2.
On en déduit alors le champ électrique :
~ = − 1 dV ~uθ ⇒
E
r dθ
Devoir non surveillé n◦ 05 (correction)
γU
Et finalement le vecteur courant à l’aide de la loi d’Ohm locale : ~j =
~uθ
αr
II - Étude d’un conducteur ohmique torique
1. ε0 se nomme « permittivité du vide ». Cette constante s’exprime usuellement en
2.
3.
4.
5.
~ = U ~uθ
E
αr
6. L’intensité est associée au flux du vecteur courant à travers la section droite du
tore, le vecteur surface étant orienté selon ~uθ :
ZZ
Z b Z c
γU
γU c b
~=
~j.dS
I=
drdz ⇒
I=
ln
αr
α
a
r=a z=0
La résistance est le rapport de la tension par le courant :
α
R=
b
γc ln
a
F.m−1 dans le système international d’unités.
On part de l’équation locale de conservation de la charge et on injecte la loi d’Ohm
locale :
∂ρ
~ + ∂ρ = 0
div~j +
= 0 ⇒ γdivE
∂t
∂t
Il reste alors à utiliser l’équation de Maxwell-Gauss pour obtenir :
∂ρ ρ
ε0
ρ
∂ρ
=0 ⇒
+ = 0 avec τ =
γ +
ε0
∂t
∂t
τ
γ
Si un déséquilibre de charges apparaît, il est atténué en une durée caractéristique
τ . Pour un régime variable de période T τ , on peut considérer que le système se
met immédiatement à l’équilibre et la charge en volume est donc toujours nulle.
1 × 10−9
Application numérique : τ =
⇒
τ = 8, 9 × 10−20 s
36π × 108
!
~
∂
E
−→ ~
. Pour un régime
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit : rotB = µ0 ~j + ε0
∂t
sinusoïdal de période T au sein d’un matériau ohmique, les deux termes valent en
ordre de grandeur :
∂E
~ E
j ∼ γE et ε0
∼ ε0
∂t T
C’est à dire pour le rapport des deux termes :
j
γE
T
∼
∼
εE/T
ε0 E/T
τ
Pour T τ , le courant de déplacement est négligeable vis à vis du courant
de charges.
En régime permanent, le potentiel scalaire vérifie l’équation de Poisson :
ρ
∆V +
=0
ε0
Le milieu ohmique n’ayant pas de charges en volume, le potentiel vérifie dans ce
milieu l’équation de Laplace :
∆V = 0
d2 V
La dernière expression prend la forme simplifiée :
= 0. Le potentiel est une
dθ2
fonction affine de la position angulaire, compte-tenu des conditions aux limites on
obtient :
θ
V =U 1−
α
7. Un conducteur filiforme a une résistance R =
L
Sγ
Pour a et b voisins, on peut poser b = a + ε avec ε a, l’expression de la résistance
orthoradiale prend la forme simplifiée :
α
α
aα
'
⇒
R=
R=
ε
γc ln (1 + ε/a)
γc(b
− a)
γc
a
Pour la portion considérée c(b − a) représente la section droite et aα la longueur.
On retrouve bien à la limite la formule du conducteur filiforme.
III - Étude d’une pince ampèremétrique
1. L’ARQS consiste à négliger les effets de propagation, cela revient à négliger le
courant de déplacement vis à vis du courant de charges dans l’équation de MaxwellAmpère.
Le théorème d’Ampère prend alors la forme simplifiée :
I
~ ~l = µ0 Ienl
B.d
C
avec Ienl les courants enlacés par le contour comptés positivement s’ils sont orientés
conformément au contour.
2. D’après le théorème de superposition, le champ magnétique est la somme de deux
champs : le champ créé par le tore et le champ créé par le fil infini. D’après le cours,
en appliquant le théorème d’Ampère on montre que (la démonstration doit être
refaite) :
~ = µ0 [i(t) + N i1 (t)] ~uθ
B
2πr
3. La norme du champ magnétique étant indépendante de θ, le flux à travers les N
spires est égal à N fois le flux à travers une spire :
1
µ0 N c
Φ(t) =
ln
2π
b
µ0 N 2 c
b
× i(t) +
ln
× i1 (t)
a
2π
a
~ = H(r, z, t)~uθ
H
On applique alors le théorème d’Ampère au contour Γ de longueur l = 2πrm représenté sur la figure suivante (avec Np ip Ns is ) :
H
~ ~l = H × l = Ienl. = Np ip + Ns is ' Np ip
H.d
Γ
Np ip
On en déduit : H(t) =
; au bornes de la résistance R1 , u1 = R1 ip , on obtient
l
finalement :
Np u1 (t)
H(t) =
2πrm R1
Au secondaire la tension us est égale à l’opposé de la force électromotrice :
dΦs
dB
us = e = −
= −Ns πa2
dt
dt
Le montage à ALI est un intégrateur ; en effet, en appliquant la loi des nœuds, à
l’entrée inverseuse, pour les grandeurs complexes :
us − v −
= jCω v − − u2
R2
L’ALI idéal fonctionnant en régime linéaire, v − = v + = 0 ; on repasse alors en
régime temporel pour obtenir :
du2
us = −R2 C
dt
L’identification des deux expressions de us conduit à :
du2
dB
R2 Cu2 (t)
−R2 C
= −Ns πa2
⇒
B(t) =
dt
dt
Ns πa2
La constante d’intégration est nulle car en fonctionnement alternatif les grandeurs
sont nulles en moyenne dans le temps.
Le flux est la somme du flux propre et du flux extérieur :
Φ = M i(t) + Li1 (t)
Par identification, on en déduit :
b
µ0 N 2 c
ln
et
L=
2π
a
µ0 N c
ln
M=
2π
b
L
=
a
N
4. Une spire a une longueur 2(b − a) + 2c, et donc pour les N spires : 2N (b + c − a),
ce qui donne pour la résistance :
Rp = 2N (b + c − a)λ
5. Le bobinage étant fermé sur lui-même, il est équivalent au circuit suivant :
i1
e
e = Rp i1
Rp
avec e = −
di1
di
dΦ
= −L
−M
dt
dt
dt
C’est à dire en régime forcé :
−jωLi1 − jωM i = Rp i1
⇔
H=
i1
−jωM
=
i
Rp + jLω
6. Les grandeurs efficaces doivent être proportionnelles et le rapport indépendant de
la fréquence, il faut donc se placer à une pulsation telle que Lω Rp , on a alors :
jωM
M
I1
M
1
I1
'
=
⇒
=
=
I0
jLω
L
I0
L
N
Avec N 1, le courant dans la bobine torique est très inférieur au courant traversant le fil.
4. La tension u2 est proportionnelle au champ magnétique et la tension u1 est proportionnelle à l’excitation magnétique. Le tracé de u2 en fonction de u1 revient bien à
tracer B en fonction de H.
5. Tracé du cycle d’hystérésis : Cf. cours.
6. Avec les conventions d’orientation de l’énoncé :
ip
IV - Étude d’un transformateur torique
up
1. Un matériau ferromagnétique désigne un matériau magnétique qui peut posséder
une aimantation macroscopique en l’absence d’excitation magnétique.
~ = 0, on augmente l’excitation magnétique au
2. Partant d’un matériau désaimanté M
sein du système et on observe l’évolution du champ magnétique dans le matériau.
Les domaines s’alignent avec la champ jusqu’à ce qu’ils soient tous alignés, on
atteint alors le champ à saturation (Cf. cours pour le tracé).
ep es
us
is
Les bobinages reçoivent une puissance instantanée p(t) = up ip −us is = −epip −es is .
dΦp
dΦs
dB
dB 2
dB
p(t) = ip
+ is
= (Np ip + Ns is )πa2
=H
πa l = H
V
dt
dt
dt
dt
dt
avec V le volume du matériau. On intègre alors sur une période pour obtenir la
puissance moyenne :
Z
I
V T dB
V
P =
H
dt =
HdB
T 0
dt
T cycle
L’énergie reçue et dissipée par hystérésis est bien proportionnelle à l’aire du cycle.
3. Tout plan méridien est plan de symétrie des courants, le vecteur excitation magnétique magnétique est dirigé selon ~uθ . De part l’invariance par rotation autour de
l’axe du tore, la composante de l’excitation magnétique est indépendant de l’angle
θ:
2