corrigé

Lycée Naval, Spé 2.
Devoir non surveillé n◦05 (correction)
II - Étude d’un conducteur ohmique torique
1. ε0se nomme « permittivité du vide ». Cette constante s’exprime usuellement en
F.m−1dans le système international d’unités.
2. On part de l’équation locale de conservation de la charge et on injecte la loi d’Ohm
locale :
div~ j+∂ρ
∂t = 0 ⇒γdiv ~
E+∂ρ
∂t = 0
Il reste alors à utiliser l’équation de Maxwell-Gauss pour obtenir :
γρ
ε0
+∂ρ
∂t = 0 ⇒∂ρ ∂t +ρ τ= 0 avec τ=ε0 γ
Si un déséquilibre de charges apparaît, il est atténué en une durée caractéristique
τ. Pour un régime variable de période Tτ, on peut considérer que le système se
met immédiatement à l’équilibre et la charge en volume est donc toujours nulle.
Application numérique : τ=1×10−9
36π×108⇒τ= 8,9×10−20 s
3. L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit : −→ rot ~ B=µ0 ~ j+ε0
∂~ E
∂t !. Pour un régime
sinusoïdal de période Tau sein d’un matériau ohmique, les deux termes valent en
ordre de grandeur :
j∼γE et  ε0
∂~ E
∂t 
∼ε0
E
T
C’est à dire pour le rapport des deux termes :
j
εE/T ∼γE ε0E/T ∼T τ
Pour Tτ,le courant de déplacement est négligeable vis à vis du courant
de charges.
4. En régime permanent, le potentiel scalaire vérifie l’équation de Poisson :
∆V+ρ
ε0
= 0
Le milieu ohmique n’ayant pas de charges en volume, le potentiel vérifie dans ce
milieu l’équation de Laplace :
∆V= 0
5. La dernière expression prend la forme simplifiée : d2V
dθ2= 0. Le potentiel est une
fonction affine de la position angulaire, compte-tenu des conditions aux limites on
obtient :
V=U1−θ
α
On en déduit alors le champ électrique :
~
E=−1
r
dV
dθ ~uθ⇒~
E=U
αr ~uθ
Et finalement le vecteur courant à l’aide de la loi d’Ohm locale : ~ j=γU
αr ~uθ
6. L’intensité est associée au flux du vecteur courant à travers la section droite du
tore, le vecteur surface étant orienté selon ~uθ:
I=ZZ ~ j.d~ S=Zb
r=aZc z=0
γU
αr drdz ⇒I=γUc αln b a
La résistance est le rapport de la tension par le courant :
R=α
γc ln b
a
7. Un conducteur filiforme a une résistance R=L
Sγ
Pour aet bvoisins, on peut poser b=a+εavec εa, l’expression de la résistance
orthoradiale prend la forme simplifiée :
R=α
γc ln (1 + ε/a)'α
γc ε
a
⇒R=aα
γc(b−a)
Pour la portion considérée c(b−a)représente la section droite et aα la longueur.
On retrouve bien à la limite la formule du conducteur filiforme.
III - Étude d’une pince ampèremétrique
1. L’ARQS consiste à négliger les effets de propagation, cela revient à négliger le
courant de déplacement vis à vis du courant de charges dans l’équation de Maxwell-
Ampère.
Le théorème d’Ampère prend alors la forme simplifiée :
IC
~
B.d~ l=µ0Ienl
avec Ienl les courants enlacés par le contour comptés positivement s’ils sont orientés
conformément au contour.
2. D’après le théorème de superposition, le champ magnétique est la somme de deux
champs : le champ créé par le tore et le champ créé par le fil infini. D’après le cours,
en appliquant le théorème d’Ampère on montre que (la démonstration doit être
refaite) :
~
B=µ0
2πr [i(t) + Ni1(t)] ~uθ
3. La norme du champ magnétique étant indépendante de θ, le flux à travers les N
spires est égal à Nfois le flux à travers une spire :
1

Φ(t) = µ0Nc
2πln b a×i(t) + µ0N2c 2πln b a×i1(t)
Le flux est la somme du flux propre et du flux extérieur :
Φ = Mi(t) + Li1(t)
Par identification, on en déduit :
L=µ0N2c
2πln b aet M=µ0Nc 2πln b a=L N
4. Une spire a une longueur 2(b−a)+2c, et donc pour les Nspires : 2N(b+c−a),
ce qui donne pour la résistance :
Rp= 2N(b+c−a)λ
5. Le bobinage étant fermé sur lui-même, il est équivalent au circuit suivant :
i1Rpe
e=Rpi1avec e=−dΦ
dt =−Ldi1 dt −Mdi dt
C’est à dire en régime forcé :
−jωLi1−jωM i =Rpi1⇔H=i1
i=−jωM Rp+jLω
6. Les grandeurs efficaces doivent être proportionnelles et le rapport indépendant de
la fréquence, il faut donc se placer à une pulsation telle que Lω Rp, on a alors :
I1
I0
'jωM
jLω =M L⇒I1 I0
=M
L=1 N
Avec N1, le courant dans la bobine torique est très inférieur au courant traver-
sant le fil.
IV - Étude d’un transformateur torique
1. Un matériau ferromagnétique désigne un matériau magnétique qui peut posséder
une aimantation macroscopique en l’absence d’excitation magnétique.
2. Partant d’un matériau désaimanté ~ M= 0, on augmente l’excitation magnétique au
sein du système et on observe l’évolution du champ magnétique dans le matériau.
Les domaines s’alignent avec la champ jusqu’à ce qu’ils soient tous alignés, on
atteint alors le champ à saturation (Cf. cours pour le tracé).
3. Tout plan méridien est plan de symétrie des courants, le vecteur excitation magné-
tique magnétique est dirigé selon ~uθ. De part l’invariance par rotation autour de
l’axe du tore, la composante de l’excitation magnétique est indépendant de l’angle
θ:
~
H=H(r, z, t)~uθ
On applique alors le théorème d’Ampère au contour Γde longueur l= 2πrmrepré-
senté sur la figure suivante (avec NpipNsis) :
HΓ~
H.d~ l=H×l=Ienl. =Npip+Nsis'Npip
On en déduit : H(t) = Npip
l; au bornes de la résistance R1,u1=R1ip, on obtient
finalement :
H(t) = Npu1(t)
2πrmR1
Au secondaire la tension usest égale à l’opposé de la force électromotrice :
us=e=−dΦs
dt =−Nsπa2dB dt
Le montage à ALI est un intégrateur ; en effet, en appliquant la loi des nœuds, à
l’entrée inverseuse, pour les grandeurs complexes :
us−v−
R2
=jCω v−−u2
L’ALI idéal fonctionnant en régime linéaire, v−=v+= 0 ; on repasse alors en
régime temporel pour obtenir :
us=−R2Cdu2
dt
L’identification des deux expressions de usconduit à :
−R2Cdu2
dt =−Nsπa2dB dt ⇒B(t) = R2Cu2(t) Nsπa2
La constante d’intégration est nulle car en fonctionnement alternatif les grandeurs
sont nulles en moyenne dans le temps.
4. La tension u2est proportionnelle au champ magnétique et la tension u1est propor-
tionnelle à l’excitation magnétique. Le tracé de u2en fonction de u1revient bien à
tracer Ben fonction de H.
5. Tracé du cycle d’hystérésis : Cf. cours.
6. Avec les conventions d’orientation de l’énoncé :
ip
ep up
is
esus
Les bobinages reçoivent une puissance instantanée p(t) = upip−usis=−epip−esis.
p(t) = ip
dΦp
dt +is
dΦs
dt = (Npip+Nsis)πa2dB dt =HdB dt πa2l=HdB dt V
avec Vle volume du matériau. On intègre alors sur une période pour obtenir la
puissance moyenne :
P=V
TZT
0
HdB
dt dt =V TIcycle
HdB
L’énergie reçue et dissipée par hystérésis est bien proportionnelle à l’aire du cycle.
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