Centre de Bernstein enrichi pour les groupes classiques

CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
par
arXiv:1511.02521v1 [math.RT] 8 Nov 2015
Ahmed MOUSSAOUI
Résumé. — Dans cet article, on s’intéresse aux liens entre l’induction parabolique et la correspondance de Langlands locale.
Nous énonçons une conjecture concernant les paramètres de Langlands (enrichis) des représentations supercuspidales pour les
groupes réductifs p -adiques déployés. Nous vérifions la validité de cette conjecture grâce aux résultats connus pour le groupe
linéaire et les groupes classiques. À la suite de cela, en définissant la notion de support cuspidal d’un paramètre de Langlands
enrichi, nous obtenons une décomposition à la Bernstein des paramètres de Langlands enrichis pour les groupes classiques.
Nous vérifions que ces constructions se correspondent par la correspondance de Langlands et en conséquence, nous obtenons
la compatibilité de la correspondance de Langlands avec l’induction parabolique.
Abstract. — In this article, we consider the links between parabolic induction and the local Langlands correspondence. We
enunciate a conjecture about the (enhanced) Langlands parameters of supercuspidal representation of split reductives p -adics
groups. We are able to verify this in those known cases of the local Langlands correspondence for linear groups and classical
groups. Furthermore, in the case of classical groups, we can construct the "cuspidal support" of an enhanced Langlands parameter and get a decomposition of the set of enhanced Langlands parameters à la Bernstein. We check that these constructions
match under the Langlands correspondence and as consequence, we obtain the compatibility of the Langlands correspondence
with parabolic induction.
Table des matières
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Correspondance de Springer généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Orbites unipotentes et paires cuspidales pour les groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Correspondance de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Centre de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Centre de Bernstein stable, d’après T. Haines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Centre de Bernstein stable enrichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Paramètres de Langlands enrichis des représentations supercuspidales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Les groupes de Weil-Deligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Support cuspidal d’un paramètre de Langlands enrichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Support cuspidal des paramètres de Langlands enrichis dans le cas des groupes classiques .
4. Paramétrage de Langlands du dual admissible des groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Relation entre le centre de Bernstein et le centre de Bernstein stable enrichi . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Représentations et algèbres de Hecke affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Réduction à une algèbre de Hecke graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Classification en terme de module simples d’une algèbre de Hecke graduée étendue . . . . . .
4.5. Paramétrage du dual admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Classification mathématique par sujets (2000). — 22E50,20C08,20G10.
Mots clefs. — Correspondance de Langlands, centre de Bernstein stable, correspondance de Springer généralisée.
Ce travail est issu de ma thèse dirigée par Anne-Marie Aubert. Je la remercie chaleureusement pour son aide, sa patience, sa gentillesse, ses
nombreuses relectures et corrections.
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AHMED MOUSSAOUI
Appendice A. Correspondance de Springer généralisée pour le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . .
A.1. Correspondance de Springer généralisée pour le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Un sous-groupe d’indice deux d’un produit de groupes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1. Introduction
Soit F un corps p -adique, G le groupe des F -points rationnels d’un groupe algébrique réductif connexe défini et
déployé sur F . L’un des principaux résultats de la théorie du centre de Bernstein est la décomposition de la catégorie
des représentations lisses de G en sous-catégories pleines Rep(G )s , où s = [M , σ] est la classe d’équivalence pour une
certaine relation d’équivalence (dite inertielle) de (M , σ), avec M un sous-groupe de Levi de G et σ une représentation irréductible supercuspidale de M . On note Irr(G )s l’ensemble des (classes de) représentations irréductibles de G
admettant s pour support inertiel. À toute paire inertielle s est associée un tore Ts , un groupe fini Ws , une action de
Ws sur Ts et on dispose de la notion de support cuspidal Sc : Irr(G )s −→ Ts /Ws .
La correspondance de Langlands fournit conjecturalement une description des représentations irréductibles de
G . Notons Gb le dual de Langlands de G , WF′ = WF × SL2 (C) et W D F = C ⋊ WF les groupes de Weil-Deligne. À tout
paramètre de Langlands φ : WF′ −→ Gb (ou (λ, N ) avec λ : WF −→ Gb et N ∈ Lie(Gb ) vérifiant certaines propriétés),
est associé un « paquet » de représentations de G noté habituellement Πφ (G ). Ce paquet de représentations est
paramétré par les représentations irréductibles d’un groupe fini SGφ , qui est un quotient de A Gb (φ) = ZGb (φ)/ZGb (φ)◦ , le
groupe des composantes du centralisateur de l’image φ(W ′ ) dans Gb . La donnée d’un couple formé d’un paramètre
F
de Langlands et d’une représentation irréductible du S-groupe sera appelé paramètre de Langlands enrichi.
Dans cet article, nous nous intéressons aux liens entre ces deux paramétrages. Plus précisément, nous sommes
amené à définir en terme « galoisien » les analogues des objets mis en jeu dans la théorie du centre de Bernstein et
à étudier les liens entre induction parabolique et correspondance de Langlands. Nous utiliserons intensivement les
résultats de Lusztig sur la correspondance de Springer généralisée.
En général, dans un L-paquet il y a des représentations de support cuspidal différents, en particulier il y a parfois des représentations supercuspidales et des représentations non-supercuspidales dans un même L-paquet. Une
première étape est donc d’identifier quels sont les paramètres de Langlands enrichis des représentations supercuspidales. On définit une notion de paramètre de Langlands cuspidal et on énonce ainsi une conjecture sur le paramétrage des représentations supercuspidales des groupes réductifs déployés :
Définition. — Soit ϕ un paramètre de Langlands de G . On a une surjection A Gb (ϕ) ։ SGϕ . Si ǫ ∈ Irr(SGϕ ), on note ǫe la
représentation de A Gb (ϕ) obtenue en tirant en arrière ǫ. On dit que ϕ est un paramètre cuspidal de G si ϕ est discret et
qu’il existe une représentation irréductible ǫ de SGϕ telle que toutes les représentations irréductibles de A ZGb (ϕ WF )◦ (ϕ SL2 )
apparaissant dans la restriction ǫe AZ b (ϕ W )◦ (ϕ SL2 ) , sont cuspidales au sens de Lusztig. On note Irr(SGϕ )cusp l’ensemble des
G
F
représentations irréductible ǫ vérifiant la condition précédente (il peut être donc être vide).
Conjecture. — Soit ϕ un paramètre de Langlands de G . Le L-paquet Πϕ (G ) contient des représentations supercuspidales de G , si et seulement si, ϕ est un paramètre de Langlands cuspidal. De plus, si ϕ est un paramètre de Langlands
cuspidal, les représentations supercuspidales sont paramétrées par Irr(SGϕ )cusp .
Nous prouvons la validité de cette conjecture à l’aide des résultats connus pour la correspondance de Langlands
pour GLn et pour les groupes classiques d’après les travaux d’Arthur et Mœglin dans la proposition 3.7. De plus,
cette conjecture est aussi compatible avec une propriété attendue de la correspondance de Langlands, à savoir
qu’un paramètre de Langlands discret λ : WF −→ Gb , définit un L-paquet qui n’est constitué que de représentations
supercuspidales (voir la proposition 3.9).
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Ayant identifié les paramètres des représentations supercuspidales, la seconde étape consiste à déterminer les
paramètres qui devraient correspondre aux sous-quotients irréductibles d’une induite parabolique d’une représentation supercuspidale. Ici, nous sommes guidés par la conjecture de compatibilité entre l’induction parabolique et la
correspondance de Langlands.
Revenons à la décomposition de Bernstein précédemment évoquée. Fixons une paire inertielle s de G et rappelons
qu’à une telle paire inertielle est associée un tore Ts , un groupe fini Ws et une action de Ws sur Ts .
Au début des années 90, Vogan a introduit un analogue pour les paramètres de Langlands du centre de Bernstein,
qu’il a qualifié de centre de Bernstein « stable » et qui a été revisité récemment par Haines dans [Hai14]. Pour résumer très grossièrement, dans [Hai14, §5], Haines définit une décomposition à la Bernstein pour les paramètres
de Langlands. Mais ceci n’est pas suffisant si nous souhaitons étudier plus précisément les liens entre l’induction
parabolique et la correspondance de Langlands. En effet, il est nécessaire de considérer en plus du paramètre de
Langlands, la représentation irréductible du « S-groupe ». En suivant le même esprit, nous sommes amené à consib, ϕ, ǫ) constitués d’un sous-groupe de Levi L
b de Gb , d’un paramètre de Langlands cuspidal ϕ de
dérer les triplets (L
L et d’une représentations irréductibles ǫ ∈ Irr(SϕL )cusp . On introduit alors deux relations d’équivalences sur ces triplets : la conjugaison et la conjugaison à un caractère non-ramifié près. On notera respectivement Ωst
(G ) et Bst
(G ) les
e
e
st
b
classes d’équivalence. À toute classe d’équivalence inertielle ¯j = [ L, ϕ, ǫ] ∈ Be (G ), on associe un tore complexe T¯j et
un groupe fini W¯j qui agit sur T¯j . En supposant la correspondance de Langlands pour les représentations supercus-
pidales des Levi de G , une classe d’équivalence inertielle s devrait correspondre à une classe d’équivalence inertielle
¯j. Et même, plus précisément,
Conjecture. — La correspondance de Langlands induit des isomorphismes :
Ts
−→
T¯j
t
7−→
tb
,
Ws
−→
W¯j
w
7−→
b
w
,
tels que pour tout t ∈ Ts , w ∈ Ws :
Õ
b · tb.
w
·t =w
Cette conjecture sera vérifiée pour les groupes classiques dans le théorème 4.1. Elle énonce essentiellement que
le centre de Bernstein et le centre de Bernstein stable enrichi sont isomorphes.
On notera Φe (G ) l’ensemble des paramètres de Langlands enrichis de G , c’est-à-dire l’ensemble des couples (φ, η)
formés d’un paramètre de Langlands φ de G et d’une représentation irréductible η de SGφ .
À la suite de cela, nous construction le « support cuspidal partiel » d’un paramètre de Langlands enrichi d’un
groupe déployé G . Plus précisément, on associe à tout paramètre de Langlands enrichi de G , la classe d’un triplet
b de Gb , d’un paramètre de Langlands cuspidal de L et d’une représentation irréformé d’un sous-groupe de Levi L
L
ductible d’un sous-groupe de Sϕ . Ceci fait intervenir la correspondance de Springer généralisée (pour des groupes
non-connexes) et des constructions de Lusztig.
Pour les groupes classiques GLn , SON , Sp2n , nous définissons entièrement le support cuspidal de tout paramètre de
Langlands complet. On obtient ainsi le théorème suivant (voir le théorème 3.15 :
Théorème. — Les constructions suivantes permettent de définir une application de support cuspidal surjective
S`c : Φe (G )
−→
(φ, η)
7−→
Ωst
(G ) .
e
b
(L, ϕ, ǫ)
De plus, les fibres de cette application sont paramétrées par les représentations irréductibles de NZGb (ϕ WF χc )(A Lb )/Z Lb (ϕ WF χc ),
où c parcourt l’ensemble (fini) des cocaractères correcteurs de ϕ dans Gb .
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On peut ainsi partitionner en bloc l’ensemble des classes de paramètres de Langlands enrichis, indexé par Bst
e (G ) :
G
Φe (G ) =
Φe (G )¯j .
¯j∈Bste (G )
Cette partition permet d’énoncer la conjecture suivante :
Conjecture. — Soit G un groupe réductif p -adique déployé. On suppose la correspondance de Langlands pour les
représentations supercuspidales de Levi de G ainsi que la conjecture sur le paramétrage des supercuspidales. Soit s ∈
B(G ) et ¯j ∈ Bste (G ) correspondante. On a alors une bijection :
Irr(G )s ≃ Φe (G )¯j ,
telle que les applications de support cuspidal font commuter le diagramme :
Irr(G )s o
/ Φe (G )¯j
Sc
Ts /Ws o
S`c
/ T¯j /W¯j
Cette conjecture sera prouvée pour les groupes classiques au théorème 4.6. Par ailleurs, Vogan et Haines ont
énoncés une conjecture de compatibilité de la correspondance de Langlands avec l’induction parabolique (voir
2.15). Cette conjecture sera prouvée pour les groupes classiques dans le théorème 4.7.
Décrivons l’organisation de l’article.
Dans la section 2 sert de préliminaire. Nous rappelons les définitions et donnons des exemples de la correspondance de Springer généralisée. Après avoir énoncé la conjecture locale de Langlands, nous rappelons le théorème de
Mœglin concernant le paramétrage des représentations supercuspidales des groupes classiques. Dans la suite, nous
décrivons brièvement la théorie du centre de Bernstein et celle du centre de Bernstein stable par Haines.
Dans la section 3 nous énonçons notre conjecture sur le paramétrage des représentations supercuspidales puis
nous vérifions que cela est compatible avec les cas connus et certaines propriétés attendues. La suite est consacrée à
la définition du support cuspidal d’un paramètre de Langlands enrichi de façon « intrinsèque ».
Dans la section 4 nous faisons les liens entre nos constructions précédentes du coté des paramètres de Langlands
et ce qui devrait correspondre en terme de représentations. En particulier, nous montrons que les blocs de de paramètres de Langlands enrichis que nous avons définis sont en bijections avec les blocs de Bernstein. En conséquence,
nous obtenons la compatibilité de la correspondance de Langlands avec l’induction parabolique.
Dans l’appendice nous étendons la correspondance de Springer généralisée au groupe orthogonal (ou à un certain
sous-groupe d’un produit de groupes orthogonaux).
2. Préliminaires
2.1. Correspondance de Springer généralisée. — Soit H un groupe algébrique linéaire complexe réductif et x ∈ H
un élément de H . On note Z H (x ) = {g ∈ H | g x g −1 = x } le centralisateur de x dans H et A H (x ) = Z H (x )/Z H (x )◦ le
groupe des composantes du centralisateur de x de H . Supposons désormais que H est connexe. On a une bijection
naturelle entre les représentations irréductibles de A H (x ) et les systèmes locaux H -équivariants irréductibles sur CxH ,
où CxH = {g x g −1 , g ∈ H } désigne la H -classe de conjugaison de x (voir [JN04, 12.10]). Dans la suite, on s’intéressera
aux orbites unipotentes de H (ou aux orbites nilpotentes de l’algèbre de Lie de H ), c’est à dire aux H -classes de
+
le cône unipotent « complet », c’est à dire l’ensemble des H conjugaison d’éléments unipotents de H . On note NH
classes de conjugaison des couples formés d’un élément unipotent u de H et d’une représentation irréductible du
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groupe des composantes du centralisateur dans H de u .
NH+ = {(u , η) | u ∈ H unipotent, η ∈ Irr(A H (u ))}/H −conj
H
≃ {(CH
u , F ) | u ∈ H unipotent, F système local irréductible H -équivariant sur Cu }.
Définition 2.1 ([Lus84, 6.2]). — Soit u ∈ H un élément unipotent. Un système local L irréductible H -équivariant
est dit cuspidal, si et seulement si, pour tout sous-groupe parabolique propre P de H , de radical unipotent U
sur CH
u
et pour tout élément unipotent g ∈ P, la cohomologie à support compact de g U ∩ CH
u à coefficient dans la restriction
de L est nulle.
Décrivons une définition équivalente, en terme de représentation de A H (u ). Soit P un sous-groupe parabolique
de H de décomposition de Levi P = LU et soit u ∈ H , v ∈ L des éléments unipotents. Notons
¦
©
Yu ,v = g Z L (v )◦U | g ∈ H , g −1 u g ∈ vU ,
et
1
(dimZ H (u ) − dimZ L (v )) .
2
D’après Springer et Lusztig [Lus84, §1], dim Yu ,v ¶ d u ,v et le groupe Z H (u ) agit par translation à gauche sur Yu ,v .
Notons S u ,v la représentation de A H (u ) par permutation sur les composantes irréductibles de dimension d u ,v de
Yu ,v .
d u ,v =
Définition 2.2. — Soit u ∈ H unipotent et τ ∈ Irr(A H (u )). On dit que τ est cuspidale, si et seulement si, pour tout
sous-groupe parabolique propre P = LU de H , pour tout élément unipotent v ∈ L,
HomA H (u ) (τ,S u ,v ) = 0.
Si L est un système local irréductible H -équivariant sur CH
cuspidal, alors la représentation irréductible du groupe
u
fini A H (u ) est cuspidale dans le sens précédent et réciproquement. On appelera paire cuspidale, tout couple (u , τ)
(ou (CH
u , L)) formé d’un élément unipotent et d’une représentation irréductible cuspidale de A H (u ) (ou d’un système
local cuspidal).
Notons SH l’ensemble des classes (de conjugaison par H ) de triplets t = [L, CvL , L] formés de
– un sous-groupe de Levi L de H ;
– une L-orbite CvL , d’un élément unipotent v ∈ L ;
– un système local L irréductible cuspidal L-équivariant sur CvL .
+
+
−→ SH cette
un unique triplet t ∈ SH . Notons ΨH : NH
Dans [Lus84], Lusztig associe à chaque couple (u , F) ∈ NH
+
application. Elle induit alors une partition de NH :
G
NH+ =
Mt ,
t∈SH
+
tels que ΨH (u , F) = t. Pour tout t = [L, C, L] ∈ SH , soit S = Z L◦ · C et E le
où Mt désigne l’ensemble des (u , F) ∈ NH
système local L-équivariant sur S obtenue en tirant en arrière L via la projection Z L◦ · C −→ C. Notons
¦
©
Wt = n ∈ N H (L) | nSn −1 = S, Ad(n −1 )∗ E ≃ E /L.
D’après [Lus84, 9.2],
Wt ≃ N H (L)/L,
et c’est un groupe de Coxeter fini.
‚
Œ
1 1
Remarque 2.3. — Soit v ∈ C et γ : SL2 (C) −→ L un morphisme algébrique tel que γ
= v . Notons T = Z L◦ et
0 1
Z = Z H (γ)◦ . D’après [Lus88, 2.6], T est un tore maximal de Z et on a l’isomorphisme suivant :
Wt ≃ N H (L)/L ≃ NZ (T )/T.
6
AHMED MOUSSAOUI
Rappelons qu’il y a un ordre partiel sur l’ensemble des orbites unipotentes de H : si O et O′ sont deux orbites
unipotentes de H ,
O ¶ O′ ⇔ O ⊂ O′ ,
où O′ désigne l’adhérence de O′ . Par ailleurs, d’après [Lus84, 6.5] et [Lus95b, 6.5], pour tout (O, F) ∈ Mt , on a :
H · C ¶ O ¶ IndH
(C),
L
où IndH
(C) est l’orbite induite de Lusztig-Spalteinstein. Notons Cmin
= H · C et Cmax
= IndH
(C). Chacune de ces orbites
t
L
t
L
supporte un système local irréductible particulier défini en [Lus84, 9.2,9.5] qu’on note Lmin
pour Cmin
et Lmax
pour
t
t
t
Cmax
.
On
peut
énoncer
la
correspondance
de
Springer
généralisée.
t
Théorème 2.4 (Lusztig,[Lus84, 6.5]). — Avec les notations précédentes, pour tout t ∈ SH , on a unique une bijection
Σt : Mt −→ Irr(Wt ), telle que :
min
Σt (Cmin
t , Lt ) = triv
et Σt (Cmax
, Lmax
t
t ) = sgn.
Ainsi,
NH+ ≃
G
Irr(Wt ).
t∈SH
min
Remarque 2.5. — Dans [Lus84], la correspondance de Springer généralisée est telle que Σt (Cmin
t , Lt ) = sgn et
max
max
Σt (Ct , Lt ) = triv (voir [Lus84, 9.2,9.5]). La normalisation que l’on a choisie est donc la tensorisation par le caractère signature de la correspondance de Springer définie par Lusztig.
2.2. Orbites unipotentes et paires cuspidales pour les groupes classiques. — On se propose de rappeler brièvement la classification des orbites unipotentes et de leurs centralisateurs dans certains groupes classiques (voir
[CM93, §5.1 & §6.1] et [JN04, §3.8]).
On rappelle qu’une partition p d’un entier n ¾ 1 est une suite décroissante d’entiers p 1 ¾ . . . ¾ p k ¾ 1 telle que
n = p 1 + . . . + p k . A priori, les p i ne sont pas distincts deux à deux. Soit q 1 > . . . > q s les entiers deux à deux distincts
tels que {p i , 1 ¶ i ¶ k } = {q j , 1 ¶ j ¶ s } et rq le nombre de fois que q apparait dans p. Nous utiliserons la notation
rq
rq
p = (q 1 1 , . . . ,q s s ), si bien que, n = p 1 + . . . + p k = rq1 q 1 + . . . + rqs q s . Les q j (ou p i ) s’appellent les parts de la partition p
et rq j la multiplicité de la part q j .
Pour toute partition p, nous noterons Op l’orbite unipotente associé à la partition p par la décomposition de Jordan. Dans un cas, il correspondra à une même partition p deux orbites unipotentes distinctes que l’on notera OpI et
OpI I .
– pour GLn (C) les orbites unipotentes sont en bijection avec les partitions de n via la décomposition de Jordan ;
– pour Sp2n (C), les orbites unipotentes sont en bijection avec les partitions de 2n pour lesquelles les parts impaires
admettent une multiplicité paire ;
– pour SOn (C), les partitions de n pour lesquelles les parts paires admettent une multiplicité paire et toutes les
parts ne sont pas paires correspondent à une orbite unipotente. Les partitions de n qui n’admettent que des
parts paires, de multiplicités paires correspondent à deux orbites unipotentes distinctes. Ce dernier cas ne se
produit que si n est pair.
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Pour résumer :
H
partition
orbite
GLn (C)
centralisateur
Z GLn (C) (u )red ≃
p ↔ Op
Y
GLrq (C)
q∈p
Sp2n (C)
∀q ∈ p,q impair ⇒ rq pair
Z Sp2n (C) (u )red ≃
p ↔ Op
Y
q∈p
q impair
q∈p
q pair
SOn (C)
∀q ∈ p,q pair ⇒ rq pair

∀q ∈ p, q et rq pair
p↔


 OpI


Y
Z On (C) (u )red ≃
p ↔ Op
Y
Orq (C) ×
Orq (C) ×
q∈p
q impair
Y
q∈p
q pair
+
Sprq (C)
Sprq (C)

 Y
Y


Sprq (C)
Orq (C) ×
Z SOn (C) (u )red ≃ 

 q∈p
q∈p
OpI I
q impair
q pair
TABLE 1. Orbites unipotentes des groupes classiques
Où l’on a noté Z H (u )red le quotient de Z H (u ) par son radical unipotent et :
+ 


Y

 Y
Y




Orq (C) Orq (C) = (x q ) ∈
det(x q ) = 1 .



q∈p

 q∈p
q∈p
q impair
q impair
q impair
Les paires cuspidales sont assez rares. Elles apparaissent comme les blocs fondamentaux dans la correspondance
de Springer généralisée. Dans [Lus84], Lusztig classifie complètement les paires cuspidales pour les groupes presque
simples et simplement connexes. Plus précisément, dans [Lus84, §10, 12.4 & 13.4] et [Lus14], il classifie les paires
cuspidales pour les groupes classiques. Nous résumons les résultats dans le tableau ci-dessous.
H
condition
orbite unipotente
A H (u )
paire cuspidale (C, τ)
GLn (C)
n =1
O(1)
{1}
(O(1) , 1)
Sp2n (C)
2n = d (d + 1)
O(2d ,2d −2,...,4,2)
(Z/2Z)d
(O(2d ,2d −2,...,4,2) , τ2n )
SOn (C)
n =d2
O(2d −1,2d −3,...,3,1)
(Z/2Z)d −1
(O(2d −1,2d −3,...,3,1) , ǫn )
TABLE 2. Paires cuspidales pour les groupes classiques
Précisons les notations employées. Dans les cas des groupes symplectiques et orthogonaux, les orbites unipotentes
qui interviennent dans les paires cuspidales sont paramétrées par des partitions dont les parts sont de multiplicité 1.
Par suite, le groupe des composantes est un produit de Z/2Z indexé par les parts paires (resp. impaires) pour le cas
symplectique (resp. orthogonal).
Dans le cas symplectique, soit u ∈ O(2d ,2d −2,...,4,2) et pour tout a ∈ {2, . . . , 2d }, notons z a ∈ A Sp2n (C) (u ) tels que :
A Sp2n (C) (u ) =
d
Y
⟨z 2i ⟩ ≃ (Z/2Z)d .
i =1
La représentation cuspidale τ2n de A Sp2n (C) (u ) vérifie pour tout i ∈ J1, d K :
τ2n (z 2i ) = (−1)i .
AHMED MOUSSAOUI
8
Dans le cas orthogonal, soit u ∈ O(2d −1,2d −1,...,3,1) et pour tout a ∈ {1, . . . , 2d − 1}, notons z a ∈ A On (C) (u ) tels que :
A On (C) (u ) =
d
Y
⟨z 2i −1 ⟩ ≃ (Z/2Z)d ,
A SOn (C) (u ) =
d −1
Y
i =1
⟨z 2i −1 z 2i +1 ⟩ ≃ (Z/2Z)d −1 .
i =1
La représentation cuspidale ǫn de A SOn (C) (u ) vérifie pour tout i ∈ J1, d − 1K :
ǫn (z 2i −1 z 2i +1 ) = −1.
Les représentations irréductibles ǫn′ et ǫn′′ de A On (C) (u ) telles que leurs restrictions à A SOn (C) (u ) est ǫn vérifient, pour
tout i ∈ J1, d K :
ǫn′ (z 2i −1 ) = (−1)i ,
ǫn′′ (z 2i −1 ) = (−1)i +1 .
2.3. Correspondance de Langlands. — Soient F un corps p -adique, v F : F ։ Z ∪ {∞} sa valuation et q le cardinal
de son corps résiduel. Soit G (les F -points d’un) groupe réductif connexe sur F quasi-déployé. On notera X ∗ (G ) (resp.
X ∗ (G )) le groupe des caractères (cocaractères) rationnels de G . La catégorie des représentations (complexes) lisses de
G sera noté Rep(G ) et l’ensemble des classes des représentations irréductibles de G , Irr(G ). Si M est un sous-groupe de
G et ρ une représentation de M , pour tout g ∈ G , on notera g M = g M g −1 = {g m g −1, m ∈ M } et ρ g la représentation
de g M définie pour tout h ∈ g M , par ρ g (h) = ρ(g −1 h g ).
On note WF le groupe de Weil de F , WF′ = WF × SL2 (C) le groupe de Weil-Deligne et W D F = WF ⋉ C le groupe de Weil
« originel ». Le dual de Langlands de G sera noté Gb et son L-groupe L G .
La correspondance de Langlands locale prévoit un paramétrage des représentations irréductibles admissibles de G
par certaines représentations du groupe de Weil-Deligne ou plus précisément, par des paramètres de Langlands. Un
paramètre de Langlands est un morphisme continu φ : WF′ −→ L G tel que
– la restriction φ SL2 (C) : SL2 (C) −→ Gb est un morphisme algébrique ;
– l’ensemble φ(WF ) est constitué d’éléments semi-simples ;
– le diagramme suivant est commutatif WF′
φ
❇❇
❇❇
❇
prW ′ ❇❇❇
F
/ L G où pr ′ et prL , sont les projections naturelles sur
WF
G
⑤
⑤
⑤
⑤
⑤⑤prL G
⑤
~⑤
WF
WF ;
Notons Φ(G ) l’ensemble des classes de paramètres de Langlands de G , à Gb -conjugaison près. La correspondance de
Langlands locale prédit alors une surjection à fibres finies
recG : Irr(G ) −→ Φ(G ).
Soit φ ∈ Φ(G ) un paramètre de Langlands de G . Notons Πφ (G ) le L-paquet défini par φ, c’est-à-dire l’ensemble des représentations irréductibles admissibles de G ayant pour image φ par recG . Conjecturalement, Πφ (G ) serait paramétré
grosso modo par les représentations irréductibles du groupe des composantes du centralisateur dans Gb de l’image de
φ. Plus rigoureusement, considérons ZGb (φ) le centralisateur dans Gb de l’image de φ. Notons
– ΓF = Gal(F /F ) le groupe de Galois absolu de F ;
– A Gb (φ) = π0 (ZGb (φ)) ≃ ZGb (φ)/ZGb (φ)◦ , le groupe
des composantes de ZGb (φ) ;
–
–
–
–
–
SGφ = π0 (ZGb (φ)/ZGΓbF ) ≃ ZGb (φ)/ ZGΓbF · ZGb (φ)◦ , le groupe des composantes de ZGb (φ)/ZGb ;
Irr(G )cusp l’ensemble des (classes de) représentations irréductibles cuspidales de G ;
Irr(G )2 l’ensemble des (classes de) représentations irréductibles essentiellement de carré intégrable de G ;
Irr(G )temp l’ensemble des (classes de) représentations irréductibles tempérées G ;
Φ(G )2 l’ensemble des (classes de) paramètres discrets de G , c’est-à-dire les paramètres de Langlands dont l’image
n’est contenue dans aucun sous-groupe Levi propre de L G ;
– Φ(G )bdd l’ensemble des (classes de) paramètres de Langlands tels que l’image de WF est bornée ;
b : WF −→ ZGb le paramètre associé à un caractère χ de G .
– χ
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
9
Dans ce qui suit, on supposera G déployé et on considèrera un paramètre de Langlands comme un morphisme
continu du groupe de Weil-Deligne à valeurs dans Gb et vérifiant les deux premières conditions. De plus, nous noterons Φe (G ) l’ensemble des paramètres de Langlands complets de G :
n
o
Φe (G ) = (φ, η) | φ ∈ Φ(G ), η ∈ Irr(SGφ ) .
Conjecture 2.6 (Correspondance de Langlands locale). — Avec les notations précédentes (on suppose donc G déployé), il existe une surjection à fibres finies
recG : Irr(G ) −→ Φ(G ),
vérifiant les propriétés suivantes :
b;
– pour tout caractère χ de G et pour tout π ∈ Irr(G ), recG (π ⊗ χ) = recG (π)χ
– pour tout φ ∈ Φ(G ), les conditions suivantes sont équivalentes
(i) un élément de Πφ (G ) est une représentation essentiellement de carré intégrable modulo le centre ;
(ii) tous les éléments de Πφ (G ) sont des représentations essentiellement de carré intégrable modulo le centre ;
(iii) φ ∈ Φ(G )2 .
– pour tout φ ∈ Φ(G ), les conditions suivantes sont équivalentes
(i) un élément de Πφ (G ) est une représentation tempérée ;
(ii) tous les éléments de Πφ (G ) sont des représentations tempérées ;
(iii) φ ∈ Φ(G )bdd .
– pour tout φ ∈ Φ(G ), il y a une bijection Πφ (G ) ≃ Irr(SGφ ). Ainsi, la correspondance de Langlands se prolonge en une
bijection
recGe : Irr(G ) −→ Φe (G ).
Ainsi, conjecturalement, un paramètre de Langlands de G discret définit un L-paquet constitué uniquement de
représentations essentiellement de carré intégrable et réciproquement, une représentation essentiellement de carré
intégrable est associée à un paramètre discret. On a le même phénomène concernant les représentations tempérées.
En revanche, il est remarquable qu’on puisse avoir dans un L-paquet des représentations supercuspidales et des
représentations non supercuspidales. La condition sur un paramètre de Langlands φ caractérisant la présence de
supercuspidales dans le L-paquet Πφ (G ) a nécessairement un lien avec une condition sur Irr(SGφ ). On reviendra sur
ce point plus tard.
À présent, on se propose de rappeler succinctement la notion de bloc de Jordan, introduite par Mœglin, pour les
représentations et les paramètres de Langlands des groupes classiques. Ceci nous permettra d’énoncer le théorème
de Mœglin sur le paramétrage de Langlands des représentations irréductibles supercuspidales des groupes classiques
d’après la construction d’Arthur.
On note G un des groupes déployés Sp2n (F ) ou SOn (F ). Les sous-groupes de Levi des groupes que l’on considère sont
de la forme GLd 1 (F ) × . . . × GLd r (F ) × G ′ , avec G ′ un groupe de même type que G mais de rang semi-simple inférieur.
Par conséquent, si πi est une représentation de GLd i (F ) et τ une représentation de G ′ , comme il est d’usage de noter,
nous noterons π1 × . . . × πr ⋊ τ pour l’induite parabolique normalisée de π1 ⊠ . . . ⊠ πr ⊠ τ, relativement à un sousgroupe parabolique standard (pour le sous-groupe de Borel des matrices triangulaires supérieurs et du tore maximal
diagonal).
Enfin, si π est une représentation irréductible supercuspidale unitaire d’un groupe linéaire GLd (F ) et a ¾ 1 un entier,
la représentation induite
π| |
a −1
2
× π| |
a −3
2
× . . . × π| |
1−a
2
admet une unique sous-représentation irréductible, c’est une représentation de la série discrète de GLa d (F ) et on la
note St(π, a ).
AHMED MOUSSAOUI
10
Soit τ une représentation irréductible de la série discrète de G . On appelle bloc de Jordan de τ et on note Jord(τ) l’ensemble des couples (π, a ) formés d’une représentation supercuspidale irréductible unitaire π d’un groupe GLd π (F ) et
d’un entier a ¾ 1 tel qu’il existe un entier a ′ ¾ 1 et

′
 a ≡ a mod 2
St(π, a ) ⋊ τ
irréductible

′
St(π, a ) ⋊ τ
réductible
De plus, Arthur a associé à τ un caractère d’un certain groupe fini que l’on note ǫτ (voir [Mœg11, 2.5]).
Notons StdG : L G ,→ GLN (C) la « représentation standard » de L G , c’est-à-dire :
G
StdG
SO2n+1
Sp2n (F )
SO2n (F )
Sp2n (C) ,→ GL2n (C)
SO2n+1 (C) ,→ GL2n+1 (C)
SO2n (C) ,→ GL2n (C)
Soit ϕ ∈ Φ(G )2 un paramètre discret de G . Considérons la décomposition en composante isotypique de StdG ◦ ϕ :
MM
StdG ◦ ϕ =
π ⊠ Sa ,
π∈I a ∈J π
où S a est la représentation irréductible de dimension a de SL2 (C), I est l’ensemble des (classes de) représentations
irréductibles de WF apparaissant dans la décomposition de StdG ◦ ϕ et pour π ∈ I , J π l’ensemble des entiers a ¾ 1 tels
que π ⊠ S a soit une sous-représentation irréductible de ϕ. La discrétion du paramètre ϕ implique qu’il n’y a pas de
multiplicité. On appelle bloc de Jordan de ϕ l’ensemble Jord(ϕ) = {(π, a ), π ∈ I , a ∈ J π }. On dira que Jord(ϕ) est sans
trou si pour tout (π, a ) ∈ Jord(ϕ) avec a ¾ 3 alors (π, a − 2) ∈ Jord(ϕ).
Pour (π, a ) ∈ Jord(ϕ) est associé un élément z π,a ∈ A Gb (ϕ) qui agit par −1 sur l’espace associé à π ⊠S a et par 1 ailleurs.
Le groupe A Gb (ϕ) est engendré par
¨
z π,a
pour (π, a ) ∈ Jord(ϕ) et a pair
z π,a z π,a ′ pour (π, a ), (π, a ′ ) ∈ Jord(ϕ) sans hypothèse de parité sur a et a ′
Pour (π, a ), (π, a ′ ) ∈ Jord(ϕ), avec a ′ < a , on dit qu’ils sont consécutifs si pour tout b ∈ Ja ′ + 1, a − 1K, (π,b ) 6∈ Jord(ϕ).
Enfin, on note a π,min le plus petit entier a ¾ 1 tel que (π, a ) ∈ Jord(ϕ). Un caractère ǫ de A Gb (ϕ) sera dit alterné si
pour tout (π, a ), (π, a ′ ) ∈ Jord(ϕ) consécutifs, ǫ(z π,a z π,a ′ ) = −1 et si pour tout (π, a π,min ) ∈ Jord(ϕ) avec a π,min pair,
ǫ(z π,a π,min ) = −1.
À présent, nous pouvons énoncer le paramétrage des représentations supercuspidales de G .
Théorème 2.7 (Mœglin, [Mœg11, 2.51]). — La classification de Langlands des séries discrètes de G telle qu’établie par
Arthur, induit une bijection entre l’ensemble des classes des représentations irréductibles supercuspidales de G et l’ensemble des couples (ϕ, ǫ) tel que Jord(ϕ) est sans trou et ǫ est alternée ; la bijection τ 7→ (ϕ, ǫ) est définie par le fait que
Jord(ϕ) = Jord(τ) et ǫ = ǫτ .
Ajoutons pour conclure un théorème dont on se servira par la suite qui permet de calculer les points de réductibilités
d’une induite de supercuspidale.
Théorème 2.8 (Mœglin). — En reprenant les notations précédentes, si σ est une représentation supercuspidale irréductible unitaire de GLd (F ) alors le réel x ∈ R+ tel que σ| · |x ⋊ τ est réductible, vaut

a σi +1
si σ ∈ Jord(τ), avec a σ = max{a ∈ N, (σ, a ) ∈ Jord(τ)}
2

1
x=
si σ 6∈ Jord(τ) et (σ et Gb ) sont de même type
 2
0
si σ 6∈ Jord(τ) et (σ et Gb ) sont de type différent
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
11
2.4. Centre de Bernstein. — Soit P = M N un sous-groupe parabolique de G , de facteur de Levi M . Le foncteur
d’induction normalisé i GP : Rep(M ) −→ Rep(G ) et le foncteur de Jacquet r PG : Rep(G ) −→ Rep(M ) sont deux foncteurs
sont essentiels en théorie des représentations. En effet, l’induction permet de construire des représentations de G à
partir des représentations d’un sous-groupe de ce dernier. Dès lors, l’étude des représentations de G se décompose
en l’étude des représentations qu’on obtient par le procédé d’induction et l’étude des représentations qui ne sont
pas obtenues ainsi. C’est l’objet de la théorie du centre de Bernstein. On obtient une décomposition de Rep(G )
en produit de sous-catégories pleines indécomposables dont le centre (de chacune de ces sous-catégories) est
isomorphe à l’algèbre des fonctions régulières du quotient d’un tore par l’action d’un groupe fini.
Notons HG : G −→ X ∗ (G ) l’application défini par la formule
∀g ∈ G , χ ∈ X ∗ (G ), ⟨χ, HG ⟩ = v F (χ(g )).
Notons G 1 = {g ∈ G | ∀χ ∈ X ∗ (G ), v F (χ(g )) = 0} le noyau de cette application et Λ(G ) ⊂ X ∗ (G ) son image. Soit
X(G ) = Hom(G /G 1 , C× ), le groupe des caractères non-ramifiés de G et aG∗ ,C = X ∗ (G ) ⊗Z C. On a une surjection
(1)
aG∗ ,C
χ ⊗s
։
7−→
X(G )
g 7→ |χ(g )|s
,
de noyau de la forme 2πi /(logq )R, avec R un certain réseau. Ceci définit une structure de tore algébrique complexe
sur X(G ). De plus, pour tout ν ∈ aG∗ ,C , on notera χν le caractère non-ramifié de G associé par la surjection précédente.
Considérons l’ensemble des données cuspidales de G , c’est-à-dire l’ensemble des couples (M , ρ), où M est un sousgroupe de Levi de G et ρ une représentation irréductible supercuspidale de M et définissons les relations d’équivalences suivantes. Soit (L, σ) et (M , ρ) deux données cuspidales de G . On dit qu’elles sont :
(i) équivalentes, s’il existe g ∈ G tel que : g M = L et σ ≃ ρ g ;
(ii) inertiellement équivalentes, s’il existe g ∈ G et χ ∈ X(L) tels que : g M = L et σ ≃ ρ g ⊗ χ.
On appelle paire (ou support) cuspidale (resp. paire (ou support) inertielle) une classe d’équivalence pour la relation
(i) (resp. (ii)) et on notera Ω(G ) (resp. B(G )) l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation (i) (resp. (ii)). De
plus, on notera (M , ρ) la paire cuspidale (resp. [M , ρ] la paire inertielle) définie à partir de M et ρ.
Pour toute représentation irréductible π de G , on définit son support cuspidal comme étant la classe d’une donnée
cuspidale (M , ρ) ∈ Ω(G ) telle que ρ soit un facteur de composition de r PG (π), où P est un sous-groupe parabolique de
facteur de Levi M (voir [Ren10, p. VI.7.1]). Ceci définit des applications de support cuspidal et support inertiel :
Sc : Irr(G ) −→ Ω(G ),
Si : Irr(G ) −→ Ω(G ) ։ B(G ).
Soit s = [M , ρ] ∈ B(G ) une paire inertielle. On définit les objets suivants :
– Ts = {ρ ⊗ χ, χ ∈ X(M )} ≃ X(M )/X(M )(ρ), avec X(M )(ρ) = {χ ∈ X(M ), ρ ≃ ρ ⊗ χ} ;
– Ws = NG (s)/M = {g ∈ G , g M = M , ∃χ ∈ X(M ), ρ g ≃ ρ ⊗ χ}/M .
Le groupe fini Ws agit sur Ts et le quotient Ts /Ws s’identifie aux supports cuspidaux dans s, c’est à dire à la fibre audessus de s par la projection naturelle Ω(G ) ։ B(G ). Ainsi, Ω(G ) est muni d’une structure de variété algébrique dont
les composantes connexes, indexées par s ∈ B(G ), sont des quotients de tores algébriques complexes par l’action de
groupes fini (voir [Ren10, Théorème VI.7.1]). Ceci s’écrit
G
Ω(G ) =
Ts /Ws .
s∈B(G )
L’application Si induit une partition de Irr(G ) suivant le support inertiel
G
Irr(G ) =
Irr(G )s ,
s∈B(G )
AHMED MOUSSAOUI
12
où Irr(G )s = Si−1 (s). Plus concrètement, Irr(G )s est l’ensemble des sous-quotients irréductibles des induites i GP (ρ ⊗χ),
pour χ parcourant X(M ), c’est-à-dire
G
JH(i GP (ρ ⊗ χ)),
Irr(G )s =
ρ⊗χ∈Ts /Ws
où
JH(i GP (ρ ⊗ χ))
désigne l’ensemble des sous-quotients irréductibles de i GP (ρ ⊗ χ).
A présent, pour tout s ∈ B(G ), notons Rep(G )s la sous-catégorie pleine de Rep(G ) des représentations dont tous les
sous-quotients irréductibles sont dans Irr(G )s , Z(G ) (resp. Z(G )s ) le centre de la catégorie Rep(G ) (resp. Rep(G )s ).
Théorème 2.9 (Bernstein,[Ber84, 2.10, 2.13], [Ren10, Théorème VI.7.2, VI.10.3]). — Toute représentation π de G est
scindée selon Ω(G ). La catégorie Rep(G ) se décompose en produit de catégories
Y
Rep(G ) =
Rep(G )s .
s∈B(G )
De plus,
Z(G )s ≃ C[Ts /Ws ].
Ainsi,
Z(G ) ≃ C[Ω(G )]
2.5. Centre de Bernstein stable, d’après T. Haines. — On dispose de deux paramétrages des représentations irréductibles d’un groupe p -adique G . L’un par la théorie du centre de Bernstein, l’autre par la correspondance (conjecturale en général) de Langlands. A priori, il n’y a pas de bonne compatibilité entre ces paramétrages. Pour comprendre
comment est relié le support cuspidal d’une représentation avec son paramètre de Langlands, Vogan introduit un
analogue « galoisien » du centre de Bernstein. Le but de cette partie est de rappeler la construction de cet analogue
« galoisien » du centre de Bernstein par Haines, puis de le relier au centre de Bernstein via la correspondance de
Langlands. On s’intéressera à décrire l’analogue du tore et du groupe fini. Pour cela, on doit définir les analogues «
galoisiens » d’une représentation supercuspidale, du tore des caractères non ramifiés d’un Levi, du groupe fini qui
agit sur le tore et enfin du support cuspidal. On suit l’article de Haines [Hai14] dont on a modifié quelques notations
et définitions.
Définition 2.10 ([Hai14, 5.1]). — On appelle cocaractère infinitésimal de G , la Gb -classe de conjugaison d’un morphisme admissible de G de la forme
λ : WF −→ L G ,
et on le notera (λ)Gb .
Soit φ : WF′ −→ L G un morphisme admissible de G . Pour w ∈ WF , on note d w = diag(|w |1/2 , |w |−1/2 ) ∈ SL2 (C), avec | · |
la valeur absolue définie pour tout w ∈ WF par |w | = q −νF (w ) et νF : WF −→ Z la valuation qui envoie tout Frobenius
géométrique sur 1.
À tout morphisme admissible φ de G est associé un cocaractère infinitésimal de la manière suivante.
Définition 2.11. — On appelle
– partie semi-simple de φ, le morphisme λφ : WF −→ L G défini pour tout w ∈ WF par λφ (w ) = φ(w, d w ) ;
– cocaractère infinitésimal de φ, la Gb -classe de conjugaison de λφ et on la note (λφ )Gb .
Remarque 2.12. — Telle qu’elle est définie ici, la partie semi-simple d’un paramètre de Langlands correspond à la
restriction au groupe de Weil du paramètre de Langlands pour le groupe de Weil-Deligne « originel ». Nous reviendrons sur ce point dans la section 3.2
Soit M un sous-groupe de Levi de G et posons
Λ = X ∗ (Z M
c )I F
⟨Fr⟩
= X∗
€
Š IF
ZM
.
c
⟨Fr⟩
Dans [Kot97], Kottwitz a défini un morphisme surjectif
κM : M ։ Λ,
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
13
tel que M 1 (voir section 2.4) est le noyau du morphisme
M ։ Λ/Λtors .
Par suite, on obtient une bijection
€
Š ◦
IF
.
ZM
c
⟨Fr⟩
Š ◦
€
Š
€
IF
IF ◦
. On a alors L X(M ) = Z M
. Tout élément de L X(M ) est identifié à un
Posons L X(M ) = H 1 ⟨Fr⟩, Z M
c
c
⟨Fr⟩
Š◦
€
IF
morphisme WF −→ L M , trivial sur I F , à valeurs dans Z M
⋊ WF . On obtient ainsi une bijection X(M ) ≃ L X(M ),
c
compatible avec la correspondance de Langlands pour les caractères d’après [Kal12, 4.5.2].
X(M ) ≃
Définition 2.13 ([Hai14, 5.3.3]). — On appelle données cuspidales de L G l’ensemble des couples (L M , λ) formés
d’un sous-groupe de Levi L M de L G et d’un paramètre de Langlands λ : WF −→ L M discret de M . On dit alors que
(i) les données cuspidales (L M 1 , λ1 ) et (L M 2 , λ2 ) sont associées s’il existe g ∈ Gb tel que g L M 1 = L M 2 et λ2 = g λ1 ;
(ii) les données cuspidales (L M 1 , λ1 ) et (L M 2 , λ2 ) sont inertiellement équivalentes s’il existe g ∈ Gb et χ ∈ L X(M 2 )
tels que g L M 1 = L M 2 et λ2 = g λ1 χ.
Une classe d’équivalence pour la relation (i) (resp. (ii)) est appelée support cuspidal (resp. support inertiel). On note
Ωst (G ) (resp. Bst (G )) l’ensemble des classes de données L-données cuspidales (resp. de classes inertielles).
Pour tout paramètre de Langlands φ ∈ Φ(G ), notons L M λφ un sous-groupe de Levi de L G qui contient l’image de λφ
minimalement. L’application
st
S`c : Φ(G )
φ
st
−→
7−→
,
Ωst (G )
(L M λφ , λφ )
st
est bien définie et on notera S˚iffl la composée de S`c avec la projection Ωst (G ) ։ Bst (G ).
Comme pour Ω(G ), l’ensemble Ωst (G ) est muni d’une structure de variété algébrique dont les composantes connexes
sont indexées par Bst (G ) et sont des quotients de tores complexes par l’action de groupes finis.
Soit ˚iffl = [L M , λ]Gb une paire inertielle de L G . Le tore associé à cette paire inertielle est
¦
©
L
T˚iffl = (λχ)M
c , χ ∈ X(M ) .
Ce dernier a une structure de tore complexe via la bijection T˚iffl ≃ L X(M )/L X(M )(λ), où L X(M )(λ) est l’ensemble fini
des cocaractères non ramifiés χ ∈ L X(M ) tels que (λ)M
c = (λχ)M
c . Le groupe fini associé à cette paire inertielle est le
c dans Gb stabilisant ˚iffl, c’est-à-dire
sous-groupe du groupe de Weyl de M
©
¦
c.
W˚iffl = w ∈ NGb (L M ) | ∃χ ∈ L X(M ), (w λ)M
c = (λχ)M
c /M
L’ensemble des caractères infinitésimaux dans ˚iffl s’identifie au quotient T˚iffl /W˚iffl , et on a :
G
T˚iffl /W˚iffl .
Ωst (G ) =
˚iffl∈Bst (G )
On a de même une décomposition de l’ensemble des paramètres de Langlands :
G
Φ(G )˚iffl ,
Φ(G ) =
˚iffl∈Bst (G )
où Φ(G )˚iffl désigne l’ensemble des classes de morphismes admissibles dont le cocaractère infinitésimal est dans ˚iffl.
Définition 2.14 ([Hai14, p.15]). — On appelle centre de Bernstein stable de G et on note Zst (G ) l’anneau des fonctions régulières sur Ωst (G ) :
Zst (G ) = C[Ωst (G )].
14
AHMED MOUSSAOUI
La terminologie « stable » trouve son origine dans la volonté de faire agir un sous-anneau du centre de Bernstein sur
les distributions stables de G (voir [Vog93, §7], [Hai14, p. 5.5.4] et [SS13, §6]).
Rappelons qu’à tout paramètre de Langlands φ : WF′ −→ L G , nous avons défini sa partie semi-simple λφ pour tout
w ∈ WF , par λφ = φ(w, d w ).
Conjecture 2.15 (de compatibilité de la correspondance de Langlands avec l’induction parabolique, Vogan [Vog93,
7.18], Haines [Hai14, 5.2.2] )
Soit M un sous-groupe de Levi de G , σ une représentation irréductible supercuspidale de M et π un sous-quotient
irréductible de i GP (σ), avec P un sous-groupe parabolique de G de Levi M . La correspondance de Langlands pour M
(resp. pour G ) associe à σ (resp. π) un paramètre φσ : WF′ −→ L M (resp. φπ : WF′ −→ L G ). À Gb -conjugaison près, on a
un plongement naturel L M ,→ L G et on peut pousser en avant φσ : WF′ −→ L M ,→ L G . La correspondance de Langlands
devrait être compatible avec l’égalité des cocaractères infinitésimaux suivante :
(λφπ )Gb = (λφσ )Gb .
c, λ]Gb une paire inertielle. On appelle paquet infinitésimal la
Définition 2.16 ([Hai14, 5.1 & 5.3.3]). — Soit ˚iffl = [M
réunion des L-paquets de paramètres admettant λ pour cocaractère infinitésimal et on note
G
Π+
Πφ (G ).
λ (G ) =
φ∈Φ(G )λ
On appelle paquet inertiel de ˚iffl la réunion des paquets suivant
G
Π+
˚iffl (G ) =
Π+
λχ (G ).
(λχ)Gb ∈T˚iffl /W˚iffl
3. Centre de Bernstein stable enrichi
En reprenant les notations de la conjecture 2.15, la conjecture de compatibilité de la correspondance de Langlands
avec l’induction parabolique implique que le cocaractère infinitésimal de φπ ne dépend que du support cuspidal de
π. Bien que σ soit supercuspidale, la restriction à SL2 (C) de φσ n’est pas nécessairement triviale. Cette situation n’arrive pas pour GLn (F ) et SLn (F ) mais dans GSp4 (F ), Sp4 (F ) et SO5 (F ) il y a de telles représentations supercuspidales.
Donnons un exemple d’une telle situation.
Exemple 3.1. — Considérons le groupe G = SO5 (F ) et le paramètre ϕ ∈ Φ(G ) donné par StdG ◦ ϕ = µ1 ⊠ S 2 ⊕ µ2 ⊠
S 2 de SO5 (F ), où µ1 et µ2 sont deux caractères quadratiques distincts de WF et S 2 la représentation irréductible de
dimension 2 de SL2 (C). Il définit un L-paquet constitué d’une représentation de carré intégrable modulo le centre qui
est un sous-quotient irréductible de l’induite ν 1/2 µ1 × µ2 ν 1/2 ⋊ 1 et d’une représentation supercuspidale de SO5 (F ).
Reprenons les notations de la section précédentes et soit (L M , λ) ∈ Ωst (G ). Notons L(L G ) l’ensemble des (classes de Gb conjugasion de) sous-groupes de Levi de L G . Pour tout sous-groupe de Levi L de G et pour tout ϕ ∈ Φ(L)λ (c’est-à-dire
un paramètre de Langlands de L admettant λ pour cocaractère infinitésimal), notons Πϕ (L)cusp les représentations
irréductibles supercuspidales dans le paquet Πϕ (L). Supposons que la conjecture 2.15.
Soit π ∈ Π+
λ (G ), (L, τ) ∈ Ω(G ) son support cuspidal et ϕτ ∈ Φ(L) le paramètre de Langlands de τ. Par hypothèse,
(λϕτ )Gb = (λ)Gb et ainsi JH(i GP (τ)) ⊂ Π+
λ (G ). On obtient donc
G
G
G
Π+
JH(i GLU (σ)).
λ (G ) ⊆
L L∈L(L G ) ϕ∈Φ(L)
λ
σ∈Πϕ (L)cusp
L’inclusion réciproque étant immédiate, et on obtient :
Proposition 3.2. — La conjecture de compatibilité de la correspondance de Langlands pour G avec l’induction parabolique (conjecture 2.15) est équivalente à ce que pour tout sous-groupe de Levi L M de L G , pour tout cocaractère
infinitésimal discret λ : WF −→ L M , on a :
G
G
G
Π+
JH(i GLU (σ)).
λ (G ) =
L L∈L(L G ) ϕ∈Φ(L)
λ
σ∈Πϕ (L)cusp
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
15
La correspondance de Langlands prédit un paramétrage d’un paquet Πφ (G ) par les représentations irréductibles du
groupe fini SGφ , qui est essentiellement le groupe des composantes du centralisateur dans Gb de l’image φ. Notre but
dans ce qui suit va être, en se donnant un cocaractère infinitésimal λ : WF −→ L M , de déterminer « explicitement »
cette décomposition, c’est-à-dire de préciser les sous-groupes de Levi, les paramètres de Langlands qui apparaissent
en terme de paramètre de Langlands enrichis. En étant un peu plus précis, nous allons énonçer une conjecture sur
le paramétrage des représentations supercuspidales en général et construire uniquement en terme de paramètres de
Langlands enrichis une application de support cuspidal (pour les groupes classiques). On vérifiera que ces constructions sont compatibles avec ce qui est connu dans le cas des groupes classiques.
3.1. Paramètres de Langlands enrichis des représentations supercuspidales. — Dans cette section, comme son
titre l’indique, nous conjecturons la forme des paramètres de Langlands enrichis des représentations supercuspidales. Pour commencer, remarquons les faits et les tautologies suivants. La correspondance de Langlands prédit
qu’une représentation (essentiellement) de la série discrète σ de G a un paramètre de Langlands φσ ∈ Φ(G ) discret,
c’est-à-dire dont l’image ne se factorise dans un sous-groupe de Levi propre de G . Puisque cette caractérisation ne
porte que sur le paramètre de Langlands φσ , tous les éléments du L-paquet Πφσ (G ) sont des représentations de la
série discrète. Le même phénomène a lieu quand on remplace série discrète par tempérée. En revanche, on sait (et
on a vu) qu’il y a des paquets qui contiennent des représentations supercuspidales et des non-supercuspidales. Ainsi,
si on veut caractériser les paramètres de Langlands ϕ des représentations supercuspidales, on devra nécessairement
prendre en compte les représentations irréductibles de Irr(SGϕ ).
Soit ϕ : WF′ −→ L G un paramètre de Langlands de G discret et ǫ ∈ Irr(SGϕ ). Définissons
H ϕG = ZGb (ϕ WF ).
On a l’égalité remarquable suivante
ZGb (ϕ) =ZGb (ϕ WF , ϕ SL2 )
=ZZGb (ϕ WF ) (ϕ SL2 )
=Z H ϕG (ϕ SL2 )
Ainsi, A Gb (ϕ) = A H ϕG (ϕ SL2 ) et A (H ϕG )◦ (ϕ SL2 ) est un sous-groupe distingué de ce dernier. Considérons le diagramme suivant
A H ϕG (ϕ SL2 )
O
/ / SG
ϕ
?
A (H ϕG )◦ (ϕ SL2 )
Notons ǫe la représentation irréductible de A H ϕG (ϕ SL2 ) qui est la composée de ǫ par la surjection A H ϕG (ϕ SL2 ) ։ SGϕ .
D’après [Kot84, lemma 10.1.1], H ϕG est un groupe réductif et un théorème de Kostant [CG10, p. 3.7.3 & 3.7.23] montre
qu’on a :
‚ ‚
ŒŒ
1 1
◦
Proposition 3.3. — Soit u ϕ = ϕ 1,
∈ (H ϕG ) . Alors Z H ϕG (ϕ SL2 ) est un sous-groupe réductif maximal de
0 1
Z H ϕG (u ϕ ). En particulier, on a :
A H ϕG (ϕ SL2 ) ≃ A H ϕG (u ϕ ).
Définition 3.4. — Soit ϕ ∈ Φ(G ) un paramètre discret et ǫ ∈ Irr(SGϕ ). On garde les notations précédentes, et ǫe désigne
la représentation irréductible de A Gb (ϕ) ≃ A H ϕG (ϕ SL2 ) ≃ A H ϕG (u ϕ ) obtenue à partir de ǫ. On dira que
– ǫ est cuspidale, si toutes les représentations irréductibles de A (H ϕG )◦ (u ϕ ) apparaissant dans la restriction de ǫe à
A (H ϕG )◦ (u ϕ ) sont cuspidales au sens de Lusztig (Définition 2.1) et on notera Irr(SGϕ )cusp l’ensemble des représentations irréductibles cuspidales de SGϕ ;
AHMED MOUSSAOUI
16
– ϕ un paramètre de Langlands cuspidal de G lorsque Irr(SGϕ )cusp est non vide.
Conjecture 3.5. — Soit ϕ ∈ Φ(G ) un paramètre de Langlands de G . Alors le L-paquet Πϕ (G ) contient des représentations supercuspidales de G , si et seulement si, ϕ est un paramètre de Langlands cuspidal. Si tel est le cas, les représentations supercuspidales de Πϕ (G ) sont paramétrées par Irr(SGϕ )cusp . Autrement dit, il existe une bijection :
Πϕ (G )cusp ≃ Irr(SGϕ )cusp .
Remarque 3.6. — La condition de discrétion de ϕ est nécessaire. En effet, prenons G = GL2 (F ) et soit χ1 , χ2
deux caractères distincts de WF . Définissons ϕ : WF′ −→ GL2 (C), pour tout (w, x ) ∈ WF × SL2 (C), par ϕ(w, x ) =
diag(χ1 (w ), χ2 (w )). Alors H ϕG ≃ (C× )2 et la représentation triviale de SGϕ = A H ϕ (1) = {1} est cuspidale (pour l’orbite
G
Hϕ
unipotente C1 ), mais ϕ n’est pas le paramètre d’une représentation supercuspidale de GL2 (F ).
On se propose de décrire la forme des paramètres de Langlands cuspidaux dans les cas du groupe linéaire, symplectique et spécial orthogonal. Pour décrire la forme des paramètres et le calcul des divers centralisateurs, on se réfère
à [GGPW12]. On notera I O (resp. I S ) un certain ensemble de représentations irréductibles de WF de type orthogonal
(resp. symplectique).
Proposition 3.7. — Pour un groupe linéaire ou un groupe classique déployé, les paramètres de Langlands cuspidaux
(définition 3.4) sont :
– pour GLn (F ),
ϕ : WF −→ GLn (C), discret ;
– pour SO2n+1 (F ),
StdG ◦ ϕ =
dπ
MM
π ⊠ S 2a
dπ
MM
π ⊠ S 2a −1 , ∀π ∈ I O , d π ∈ N, ∀π ∈ I S , d π ∈ N∗ ;
π∈IS a =1
π∈IO a =1
– pour Sp2n (F ) ou SO2n (F ),
StdG ◦ ϕ =
dπ
MM
π∈IS a =1
π ⊠ S 2a
dπ
MM
π ⊠ S 2a −1 , ∀π ∈ I O , d π ∈ N∗ , ∀π ∈ I S , d π ∈ N.
π∈IO a =1
De plus, d’après les théorèmes de Harris-Taylor et Henniart pour le groupe linéaire et le théorème de Mœglin, les représentations supercuspidales de G sont paramétrées par (ϕ, ǫ) avec ϕ un paramètre de Langlands cuspidal de G et
ǫ ∈ Irr(SGϕ )cusp . Autrement dit, la conjecture 3.5 est vraie.
Démonstration. — Soit ϕ : WF′ −→ GLn (C) un paramètre cuspidal de G = GLn (F ). Écrivons la décomposition en
composante isotypique de la restriction à WF de ϕ,
M
ϕ WF =
π ⊠ M π,
π∈I
où I est un ensemble fini de représention irréductible de WF . D’où,
H ϕG = Z GLn (C) (ϕ WF )
Y
≃
GLm π (C),
π∈I
avec m π = dim M π . On peut donc écrire u ϕ = (u π )π∈I , avec u π ∈ GLm π (C) et se ramener à un étudier un seul facteur
pour l’existence d’une paire cuspidale. Or, d’après la classification des paires cuspidales (voir table 2), ceci est
Q
équivalent au fait que pour tout π ∈ I , m π = 1 et u π = 1. D’où Z GLn (C) (ϕ) = π∈I GL1 (C). À présent, la discrétion
du paramètre impose que Z (GLn (C))◦ = GL1 (C) soit un tore maximal de Z GLn (C) (ϕ), par suite I est un singleton et
Z GLn (C) (ϕ) = GL1 (C).
Ceci montre que, ϕ est un paramètre cuspidal de GLn , si et seulement si, ϕ est un paramètre de Langlands discret
trivial sur SL2 (C).
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
17
Soit ϕ : WF′ −→ Sp2n (C) un paramètre cuspidal de G = SO2n+1 (F ). Écrivons la décomposition en composantes isotypiques de la restriction à WF de ϕ,
M
M
M
(π ⊕ π∨ ) ⊠ M π .
π ⊠ Mπ
π ⊠ Mπ
ϕ WF =
Ainsi,
H ϕG ≃
Y
π∈IG L
π∈IS
π∈IO
Y
Spm π (C) ×
GLm π (C).
π∈IG L
π∈IS
π∈IO
Y
Om π (C) ×
D’après la classification des paires cuspidales (table 2), on obtient les conditions suivantes :
– pour π ∈ I O , m π = d π (d π + 1), d π ∈ N ;
– pour π ∈ I S , m π = d π2 , d π ∈ N∗ ;
– pour π ∈ I G L , m π = 1.
De plus, ϕ est nécessairement de la forme (on rappelle que S d désigne la représentation irréductible de SL2 (C) de
dimension d ),
dπ
dπ
M
MM
MM
(π ⊕ π∨ ).
π ⊠ S 2a −1
π ⊠ S 2a
StdG ◦ ϕ =
π∈IS a =1
π∈IO a =1
π∈IG L
Par suite, on trouve
Z Sp2n (C) (ϕ) =
dπ
YY
dπ
YY
Y
(Z/2Z) ×
(Z/2Z) ×
π∈IS a =1
π∈IO a =1
GL1 (C).
π∈IG L
Puisque ϕ est discret, Z Sp2n (C) (ϕ) ne contient aucun tore non trivial. Par suite, I G L est vide et donc
Y
(Z/2Z)d π ,
Z Sp2n (C) (ϕ) =
π∈IO ⊔IS
et
StdG ◦ ϕ =
dπ
MM
π∈IO a =1
π ⊠ S 2a
dπ
MM
π ⊠ S 2a −1 .
π∈IS a =1
Écrivons le bloc de Jordan correspondant à ce paramètre de Langlands
Jord(ϕ) = {(π, 2), . . . , (π, 2d π − 2), (π, 2d π ), π ∈ I O } ⊔ {(π, 1), . . . , (π, 2d π − 3), (π, 2d π − 1), π ∈ I S } .
Ainsi, Jord(ϕ) est sans trou et de plus, nous avons décrit à la suite de la table 2 les caractères cuspidaux. Ceux-ci
correspondent exactement aux caractères alternés du théorème de Mœglin 2.7. Réciproquement, un bloc de Jordan
sans trou correspond à ces partitions d’unipotents dans Spm π et SOm π et les caractères alternées à ces caractères
cuspidaux.
Pour un groupe symplectique ou un groupe spécial orthogonal pair, c’est essentiellement la même démonstration.
L
Lemme 3.8.
—◦Soit M un sous-groupe de Levi de G et λ : WF −→ M un paramètre de Langlands de M discret. Alors,
Γ
F
◦
◦
. En particulier, Z M
ZM
c(λ) est un tore.
c (λ) = Z c
M
◦
ΓF
ΓF
◦
◦
. L’autre
Démonstration. — D’après [Kot84, 10.3.1], Z M
c (λ) ⊆ Z c
c (λ) ⊆ Z M
c . De plus, Z M
c(λ) ∩ Z M
c = Z c , d’où Z M
M
M
inclusion étant évidente, il y a égalité.
Proposition 3.9. — On reprend les notations du lemme précédent. Si φ ∈ Φ(M ) est un paramètre de Langlands de M
de cocaractère infinitésimal λ, alors (φ)M
c = (λ)M
c . Ceci implique que le paquet infinitésimal et L-paquet de M défini
par λ coïncident :
Π+
λ (M ) = Πλ (M ).
De plus, toutes les représentations irréductibles de Sλ (M ) sont cuspidales, c’est-à-dire
Irr(SM
) = Irr(SM
)
.
λ
λ cusp
AHMED MOUSSAOUI
18
Démonstration. — Soit φ : WF′ −→ L M un paramètre de Langlands de M de cocaractère infinitésimal (λ)M
c , quitte à
c, ceci signifie que pour tout w ∈ WF , φ(w, d w ) = λ(w ).
conjuger par élement de M
‚
Œ
t
◦
Par connexité, φ(SL2 (C)) ⊆ Z M
, t ∈ C× }, tore maximal de SL2 (C), est un tore
c (φ WF ) . L’image par φ de TSL2 = {
t −1
L
◦
◦
(éventuellement trivial) de Z M
c(φ WF ) contenant φ(TSL2 ). Notons L = Z L M (A) ;
c (φ WF ) . Soit A un tore maximal de Z M
L
d’après [Bor79, 3.6] c’est un sous-groupe de Levi de M qui contient minimalement l’image de φ WF . Puisque pour
b on a pour w ∈ WF , λ(w ) = φ(w, d w ) ∈ L L. Par discrétion de λ, L L = L M et φ W est un
tout w ∈ WF , φ(1, d w ) ∈ A ⊂ L,
F
◦
paramètre discret de M . D’après ce qui précède, Z M
c (φ WF ) est un tore. L’image de SL2 (C) par φ est contenue dans un
tore, cette image est donc triviale. D’où φ = λ.
M ◦
◦
e
Soit ǫ ∈ Irr(SM
c(λ)). Puisque (H λ ) = Z M
c (λ) est un tore, la seule sous-représentation irréductible de la
λ ) et ǫ ∈ Irr(A M
◦
(H λM )
restriction de ǫe à A (H λM )◦ (1) est la représentation triviale et la paire (C1
M
Irr(SM
λ ) = Irr(Sλ )cusp .
, triv) est automatiquement cuspidale. D’où
Remarque 3.10. — Cette proposition montre que la conjecture 3.5 sur le paramétrage des représentations supercuspidales est compatible avec une propriété de la correspondance de Langlands, à savoir que le L-paquet d’un
paramètre discret λ : WF −→ L M n’est constitué que de représentations supercuspidales de M . Notons par ailleurs,
qu’Heiermann dans [Hei06] construit sous diverses hypothèses les paramètres de séries discrètes non-cuspidales à
partir du paramètre de leurs support cuspidal. Sa construction montre que nécessairement la restriction à SL2 (C)
est non triviale pour ces séries discrètes. Ainsi un paramètre discret trivial sur SL2 (C) ne peut contenir que des représentations supercuspidales. Dans [Hai14, 5.6.1], Haines prouve, en supposant (essentiellement) la conjecture de
compatibilité 2.15, que Π+
λ (G ) ne contient que des représentations supercuspidales, si et seulement G = M .
Définition 3.11. — On appelle L-donnée cuspidale enrichie de L G , un triplet (L L, ϕ, ǫ) formé de
– un sous-groupe de Levi L L de L G ;
– ϕ : WF′ −→ L L un paramètre de Langlands L cuspidal ;
– ǫ une représentation irréductible cuspidale de SϕL .
On dit alors que
(i) les L-données cuspidales enrichies (L L 1 , ϕ1 , ǫ1 ), (L L 2 , ϕ2 , ǫ2 ) sont associés, s’il existe g ∈ Gb tel que :
L L , g ϕ = ϕ et ǫ g ≃ ǫ ;
2
2
1
2
1
g
LL
1
=
(ii) les L-données cuspidales enrichies (L L 1 , ϕ1 , ǫ1 ), (L L 2 , ϕ2 , ǫ2 ) sont inertiellement équivalentes, s’il existe g ∈ Gb et
g
χ ∈ L X(L 2 ) tels que : g L L 1 = L L 2 , g ϕ1 = ϕ2 χ et ǫ1 ≃ ǫ2 .
On note Ωst
(G ) l’ensemble des classes de L-données cuspidales enrichies et Bst
(G ) l’ensemble des classes L-donnée
e
e
inertielles enrichies. L’ensemble des L-données cuspidales enrichies est muni d’une structure de variété algébrique
dont les composantes connexes sont indexées par Bst
(G ) et sont des quotients de tores complexes par l’action de
e
groupes finis. Plus précisément, soit ¯j = [L L, ϕ, ǫ]Gb ∈ Bst
e (G ) une L-donnée inertielle enrichie. On lui associe le tore
complexe et le groupe fini
T¯j = {(ϕχ)Lb , χ ∈ L X(L)} ≃ L X(L)/L X(L)(ϕ),
b L
b | ∃χ ∈ X(L),
b (w ϕ)Lb = (ϕχ)Lb , ǫ w ≃ ǫ},
W¯j = {w ∈ NGb (L)/
avec L X(L)(ϕ) = {χ ∈ L X(L) | (ϕ)Lb = (ϕχ)Lb }. Comme précédemment, on a :
G
Ωst
(G ) =
T¯j /W¯j .
e
¯j∈Bste (G )
Définition 3.12. — On appelle centre de Bernstein enrichi de G et on note Zst
e (G ) l’anneau des fonctions régulières
st
sur Ωe (G ) :
Zst
(G ) = C[Ωst
(G )].
e
e
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
19
Contrairement à la décomposition de la section précédente, on ne sait pas associer, pour le moment, à tout paramètre
de Langlands complet (φ, η) ∈ Φe (G ) un triplet dans Ωst
(G ) (ou dans Bst
(G )). Supposons que ce soit le cas (ce sera
e
e
prouvé pour les groupes classiques dans la suite), on a alors une décomposition de l’ensemble des paramètres de
Langlands complets de Gb :
G
Φe (G ) =
Φe (G )¯j,
¯j∈Bste (G )
où Φe (G )¯j désigne l’ensemble des classes de paramètres de Langlands complets associé à ¯j.
Conjecture 3.13. — Soit ϕ : WF′ −→ L L un paramètre de Langlands de L cuspidal. Supposons la conjecture 3.5 vraie.
b ϕ, ǫ]Gb ∈ Bst (G ), la corresSi σ ∈ Πϕ (L)cusp est paramétrée par ǫ ∈ Irr(SϕL )cusp , alors en notant s = [L, σ]G ∈ B(G ), ¯j = [ L,
e
pondance de Langlands induit des isomorphimes :
Ts
−→
T¯j
t
7−→
tb
,
Ws
−→
W¯j
w
7−→
b
w
,
tels que pour tout t ∈ Ts , w ∈ Ws :
Õ
b · tb.
w
·t =w
Cette conjecture énonce essentiellement que la correspondance de Langlands pour les représentation supercuspidales des sous-groupes de Levi de G donne un isomorphisme
Ω(G ) ≃ Ωst
(G ),
e
et donc
Z(G ) ≃ Zst
e (G ),
le membre de droite étant défini en terme de paramètres de Langlands. Par ailleurs, si s = [L, σ] ∈ B(G ), l’isomorphisme Ts ≃ T¯j résulte de la correspondance de Langlands pour les caractères et la compatibilité de la correspon-
b
dance de Langlands pour L avec les caractères, c’est-à-dire, pour tout caractère χ de L, recL (σ ⊗ χ) = recL (σ)χ.
La conjecture 3.13 sera prouvée pour les groupes classiques au théorème 4.1.
b ϕ, ǫ) ∈ Ωst (G ). Notons A Lb = Z ◦ et posons
Supposons que G est déployé et soit (L,
b
L
D Gϕ = {g ∈ Gb | ∃χ ∈ L X(L), g ϕ WF = ϕ WF χ}
= {g ∈ ZGb (ϕ I F ) | g ϕ(Fr)g −1 ϕ(Fr)−1 ∈ A Lb }
◦
◦
Alors, (D Gϕ ) = (H ϕG ) car H ϕG ⊂ D Gϕ et ils ont la même algèbre de Lie.
b) et g ϕ = ϕχ. Considérons
Le groupe Z D Gϕ (ϕ SL2 ) est l’ensemble des éléments g ∈ Gb tels qu’il existe χ ∈ X(L
b g ϕ = ϕχ, g ǫ ≃ ǫ}.
NZ DG (ϕ SL2 ) (A Lb , ǫ) = {g ∈ Gb | g A Lb = A Lb , ∃χ ∈ X(L),
ϕ
b qui induit un isomorphisme
On a un morphisme évident NZ DG (ϕ SL2 ) (A Lb , ǫ) −→ W¯j , donné par n 7→ n L,
ϕ
W¯j ≃ NZ DG (ϕ SL2 ) (A Lb , ǫ)/Z D ϕL (ϕ SL2 ).
ϕ
Notons
W◦¯j = NZ DG (ϕ SL2 )◦ (A Lb )/Z D ϕL (ϕ SL2 )◦
ϕ
≃ NZ H G ◦ (ϕ SL2 )◦ (A Lb )/Z H ϕL ◦ (ϕ SL2 )◦
ϕ
≃ NZ H G ◦ (ϕ SL2 )◦ (A Lb )/A Lb
ϕ
Le dernier isomorphisme du fait que Z H ϕL ◦ (ϕ SL2 = Z Lb (ϕ)◦ = A Lb , car ϕ est un paramètre discret de L. Remarquons que
W◦¯j est un sous-groupe distingué de W¯j . De plus, W◦¯j est le groupe de Weyl du groupe réductif Z H ϕG ◦ (ϕ SL2 )◦ = ZGb (ϕ)◦ ,
)◦
AHMED MOUSSAOUI
20
admettant A Lb pour tore maximal. Notons Σ¯j le système de racines associé à (ZGb (ϕ)◦ , A Lb ) et Σ+
¯j un sous-ensemble de
racines positives. Soit
R¯j = w ∈ W¯j | w Σ+¯j = Σ+¯j .
Puisque W◦¯j agit simplement transitivement sur les systèmes de racines positives, on a la décomposition suivante
W¯j = W◦¯j ⋊ R¯j .
b. Considérons le stabilisateur de (ϕχ)Lb dans W¯j ,
Remarque 3.14. — Soit χ ∈ L X(L) un cocaractère non-ramifié de L
que l’on note W¯j,ϕχ De la même façon que précédemment, on obtient
W¯j,ϕχ ≃ NZGb (ϕχ) (A Lb , ǫ)/Z Lb (ϕχ) ≃ NZ HG
ϕχ
(ϕ
SL2 )
L (ϕ
(A Lb , ǫ)/Z H ϕχ
SL2 ).
3.2. Les groupes de Weil-Deligne. — Commençons par un rappel sur les deux notions de groupes de Weil-Deligne.
À l’origine, Deligne a introduit dans [Del73, 8.3.6] le groupe de Weil-Deligne comme le produit semi-direct
W D F = C ⋊ WF ,
l’action de WF sur C étant définie de la façon suivante : pour tout w ∈ WF , z ∈ C, w z w −1 = |w |z . Ainsi, pour tout
(z , w ), (z ′ , w ′ ) ∈ W D F ,
(z , w )(z ′ , w ′ ) = (z + |w |z ′, w w ′ ).
On reprend les notations précédentes et on note b
g l’algèbre de Lie de Gb . Dans ce contexte, un paramètre de Langlands
de G est la donnée d’un couple (λ, N ) avec
– λ : WF −→ Gb , un morphisme continu et dont l’image est constitué d’éléments semi-simples ;
– N ∈b
g, un élément nilpotent tel que pour tout w ∈ WF , Ad(λ(w ))N = |w |N .
La relation d’équivalence sur ces couples est toujours la Gb -conjugaison, c’est-à-dire on considère (λ, N ) équivalent
à (λ′ , N ′ ), si et seulement si, il existe g ∈ Gb tel que λ′ = g λ et N ′ = Ad(g )N . Pour distinguer les deux notions de
paramètres de Langlands, on appelera les couples définis précédemment des paramètres de Langlands originels.
Notons H Λ = ZGb (λ(I F )) et hΛ = {X ∈ b
g | ∀w ∈ I F , Ad(λ(w ))X = X } et s λ = λ(Fr). Alors s λ normalise λ(I F ), il agit donc
par adjonction sur hΛ . Pour α ∈ C, notons hΛ (α) l’espace propre relative à l’action de s λ dans hΛ associé à la valeur
propre α. La condition que N doit vérifiée est donc équivalente à N ∈ hΛ (q −1 ).
Pour tout w ∈ WF , notons :
‚
dw
|w |1/2
=
0
Œ
0
.
|w |−1/2
À partir d’un paramètre de Langlands de G de la forme φ : WF′ −→ Gb , on définit explicitement un couple (λ, N ) de la
façon suivante : pour tout w ∈ WF ,
‚
Œ
0 1
λ(w ) = φ(w, d w ) et N = d φ SL2
.
0 0
Réciproquement, à tout couple (λ, N ), on peut associer un paramètre de Langlands de G de la forme φ : WF′ −→ Gb .
Ceci repose sur le raffinement par Kostant du théorème de Jacobson-Morozov (voir [GR10, lemme 2.1]). L’élément
N ∈ hΛ étant nilpotent, d’après le théorème de Jacobson-Morozov, il existe un sl2 -triplet (X , Y, T ), c’est-à-dire des
éléments X , Y, T ∈ hλ vérifiant
[T, X ] = 2X , [T, Y ] = −2Y, [X , Y ] = T,
avec X = N . De plus, d’après le raffinement de Kostant, on peut en plus supposer que
X = N ∈ hΛ (q −1 ), T ∈ hΛ (1), Y = hΛ (q ).
Posons S γ =
logq
2
T et soit γ : SL2 (C) −→ ZGb (λ(I F ))◦ le morphisme défini par le sl2 -triplet précédent avec
‚
Œ
1 1
γ
= exp(N ),
0 1
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
21
et χφ : WF −→ Gb le morphisme défini pour tout w ∈ WF , par
χφ (w ) = γ(d w )−1 .
Il est clair que χφ est entièrement déterminé par l’image de Fr, c’est-à-dire par
‚
Œ
q 1/2
0
sγ = γ
∈ ZGb (λ(I F ))◦ .
0
q −1/2
Puisque S γ ∈ hλ (1), λ(Fr) commute à s γ . De plus, on a les relations
Ad(s )N = q N , Ad(s )Y = q −1 Y.
Ceci montre que N , Y, T sont fixés par l’action adjointe des éléments de (λχφ )(WF ), donc γ(SL2 (C)) est contenu dans
ZGb ((λχφ )(WF )). Ceci permet de définir φ : WF′ −→ Gb pour tout w ∈ WF , x ∈ SL2 (C), par
φ(w, x ) = λ(w )χφ (w )γ(x ).
On obtient ainsi une bijection entre les classes de paramètres de Langlands de G et les classes de paramètres de
Langlands originels de G (voir [GR10, proposition 2.2]).
D’après un théorème de Kostant, puisque H Λ est réductif, Z H Λ (γ) est un sous-groupe réductif maximal de Z H Λ (N ) et
Z H Λ (N ) = Z H Λ (γ)U , avec U le radical unipotent de Z H Λ (N ). Puisque N ∈ hΛ (q −1 ), s λ agit par conjugaison sur Z H Λ (N ). Le
sous-groupe U étant caractéristique, s λUs λ−1 = U et d’après [Hum75, Theorem 18.3] ZU (s λ ) est unipotent et connexe.
De plus, en observant l’action sur le sl2 -triplet (X , Y, T ), on voit que Z H Λ (γ) est stable par s λ . Par suite, A H Λ (s λ , N ) ≃
A H Λ (s λ , γ), d’où
A Gb (λ, N ) ≃ A Gb (φ).
e
h
À présent, notons s (resp. s ) la partie elliptique (resp. hyperbolique) de l’élément semi-simple s λ ∈ Gb . Puisque s λ
λ
λ
agit algébriquement sur hΛ , si N ∈ hΛ (q −1 ) alors Ad(s λe )N = N et Ad(s λh )N = q −1 N . Notons
H λ = ZGb (λ(I F ), s λe ) et hλ = {X ∈ b
g | ∀w ∈ I F , Ad(λ(w ))X = X et Ad(s λe )N = N }.
Puisque s normalise λ(I F ), il est normalise également ZGb (λ(I F )). Ainsi, il existe n ∈ N∗ tel que s n ∈ ZGb (λ(I F )) et donc
n
m
s λh ∈ ZGb (λ(I F )). Par suite, une certaine puissance s λh ∈ H λ◦ . Puisque s λh est semi-simple hyperbolique, ceci implique
s λh ∈ H λ◦ .
3.3. Support cuspidal d’un paramètre de Langlands enrichi. — La correspondance de Langlands locale relie Irr(G )
et les classes de paramètres de Langlands complets Φe (G ). Nous avons énoncé (et vérifié pour les groupes classiques)
précédemment une conjecture concernant les paramètres de Langlands complets des représentations supercuspidales. Tout comme l’application de support cuspidal (et de support inertiel) est bien définie, par la correspondance
de Langlands, il lui correspond une application de support cuspidal pour les paramètres de Langlands complets.
Autrement dit, il existe une application
S`c : Φe (G ) −→ Ωst
e (G ),
b, ϕ, ε) avec L
b un sous-groupe de Levi de Gb ,
qui pour tout paramètre complet (φ, η) ∈ Φe (G ), associe un triplet (L
ϕ ∈ Φ(L)cusp un paramètre cuspidal et ǫ ∈ Irr(SϕL ) une représentation cuspidale, au sens défini en 3.4. Par ailleurs, la
e
st
correspondance de Langlands permet de définir une application recΩ(G
) : Ω(G ) −→ Ωe (G ), qui à une paire cuspidale
e
b, rec (σ)). Ainsi, l’application de support cuspidal pour les paramètres de Langlands complets doit
(L, σ) associe (L
L
être compatible avec la commutativité du diagramme suivant :
Irr(G )
recGe
/ Φe (G ) ,
Sc
Ω(G )
receΩ(G )
/
S`c
Ωst
(G )
e
b, ϕ, ǫ).
c’est-à-dire, pour tout π ∈ Irr(G ), si (L, σ) = Sc(π) et (ϕ, ǫ) = receL (σ), alors S`c(recGe (π)) = (L
AHMED MOUSSAOUI
22
Cette section est consacré à la définition du support cuspidal d’un paramètre de Langlands complet (φ, η) « intrinsèquement », c’est-à-dire directement à partir du paramètre complet (sans utiliser la correspondance de Langlands).
Pour cela nous utilisons les techniques de Lusztig pour définir le Levi et le paramètre de Langlands cuspidal.
Nous retrouvons (et nous nous inspirons) une construction similaire chez Lusztig ([Lus88], [Lus95b], [Lus95a]) et
Waldspurger [Wal04] dans leur travaux sur la classification des représentations de réductions unipotentes d’un
groupe simple adjoint (voir notamment [Wal04, §2]).
Soit G un groupe réductif connexe déployé sur F et (φ, η) ∈ Φe (G ) un paramètre de Langlands complet de G . On
reprend les notations de la section précédente. La partie semi-simple de φ est notée λ, l’élément nilpotent de l’algèbre
de Lie associé est noté N φ . Rappelons que pour tout w ∈ WF , χφ (w ) = φ(1, diag(|w |−1/2 , |w |1/2 )). La restriction de φ à
WF est égale à λχφ .
Théorème 3.15. — Soit (φ, η) ∈ Φe (G ) un paramètre de Langlands complet de G . La construction suivant cet énoncé
b ϕ, ǫ0 ) formé d’un sous-groupe de Levi L
b de Gb , un paramètre de Langlands discret ϕ de L,
permet de définir un triplet (L,
une représentation irréductible cuspidale ǫ0 de A Z Lb (ϕ)◦ (ϕ SL2 (C) ) tels que :
– φ et ϕ ont la même partie semi-simple ;
b;
– pour tout w ∈ WF , χφ (w ) ∈ L
– pour tout w ∈ WF , χc (w ) = χφ (w )/χϕ (w ) ∈ Z Lb◦ .
b′ , ϕ ′ , ǫ0′ ) est un autre triplet qui vérifient ces propriétés, alors il est conjugué à (L
b, ϕ, ǫ0 ) par un élément de
De plus, si (L
ZGb (φ WF )◦ .
◦
G
G
sa
On note H φ
= ZGb (λχφ ) le centralisateur dans Gb de l’image de λχφ . On notera plus simplement H φ = H φ
composante neutre et O la H φ -classe de conjugaison de N φ .
On a A Gb (φ) = A H φG (φ SL2 (C) ) et on peut considérer le diagramme suivant :
/ / SG
φ
A H φG (φ SL2 )
O
?
A (H G )◦ (φ SL2 )
φ
e la représentation de A H G (φ SL2 (C) ) obtenue en composant η avec p r et soit η0 une sous-représentation irNotons η
φ
e au sous-groupe distingué A H φ (φ SL2 (C) ). La correspondance de Springer généralisée
réductible de la restriction de η
pour le groupe connexe H φ associe au couple (O, η0 ), un sous-groupe de Levi de H φ . Notons A Lb la composante déb = ZGb (A Lb ) et H ϕ = Z H φ (A Lb ). La correspondance de Springer généralisée associe aussi
ployée de ce Levi et définissons L
à (O, η0 ) la H φ -classe de conjugaison d’un quadruplet (H ϕ , C, L, ρ) formé de :
– H ϕ un sous-groupe de Levi de H φ ;
– C ⊂ hϕ une H ϕ -orbite nilpotente ;
– L un système local irréductible cuspidal H ϕ -équivariant sur C ;
– ρ une représentation irréductible de N H φ (H ϕ )/H ϕ
Le système local L correspond à une représentation irréductible ǫ0 de A H ϕ (N ϕ ), avec N ϕ ∈ C.
Soient Pϕ = H ϕ Uϕ un sous-groupe parabolique de H φ admettant H ϕ comme facteur de Levi. Le plus grand tore
central de H ϕ est A Lb . Dans [Lus88] et [Lus95b], Lusztig a associé à un triplet cuspidal des modules standards. Soit
©
¦
Pϕ = hPϕ ∈ H φ /Pϕ | Ad(h −1 )N φ ∈ C + uϕ .
a l’algèbre de Lie de Z H C (N φ ). Le groupe H C agit sur hφ par :
On notera H C = H φ × C× , Ab = Z H C (N φ )◦ et b
(h, t )X = t −2 Ad(h)X ,
(h, t ) ∈ H C , X ∈ h,
et le groupe Z H C (N φ ) agit sur Pϕ par :
(h, t ) · h ′ Pϕ = hh ′ Pϕ ,
(h, t ) ∈ H C , h ′ Pϕ ∈ Pϕ .
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
Posons a = (S,
logq
2
)∈b
a avec S = d φ SL2
logq
2
23
!
∈ hφ . Le morphisme d’évaluation au point a ∈ Z définit un
logq
− 2
H Ab-module, que l’on note Ca . Considérons les espaces d’homologie et cohomologie suivants
b
b
H •A (Pϕ , L)a = Ca ⊗H A•b H •A (Pϕ , L).
b le plus petit tore de Ab dont l’algèbre de Lie contient a et PDb le sous-ensemble des invariants par D
b dans Pϕ .
Notons D
ϕ
D’après [Lus88, 7.5], [Lus95b, 4.4] et [Lus95b, 10.12 (d)], on a :
b
b
H •A (Pϕ , L)a ≃ Ca ⊗H D•b H •D (Pϕ , L)
b
b
, L).
≃ Ca ⊗H D•b H •D (PD
ϕ
Comme dans la section précédente, notons (X , Y, T ) le sl2 -triplet associé à φ SL2 (avec X = N φ ) et rappelons que
A H φ (φ SL2 ) ≃ A H φ (N φ ).
b
Par construction et d’après [Lus88, 8.10], H Ab(Pϕ , L)a 6= {0} et en particulier PD
ϕ est non vide. Il existe donc h ∈ H φ
tel que Ad(h −1 )N φ ∈ C + uϕ et Ad(h −1 )S ∈ pϕ . Quitte à conjuguer, on peut donc supposer N φ ∈ C + uϕ et S ∈ pϕ .
L’élément S étant semi-simple, il appartient à une sous-algèbre de Levi que nous notons temporairement h′ϕ . Écrivons
N φ = N ϕ + U avec N ϕ ∈ C ⊂ hϕ , U ∈ uϕ . Soient N ϕ′ ∈ h′ϕ la projection de N ϕ sur h′ϕ relativement à la décomposition
pϕ = h′ϕ ⊕ uϕ et C′ sa H ϕ′ -classe de conjugaison. On a Pϕ /Uϕ ≃ H ϕ ≃ H ϕ′ , ainsi la H ϕ -classe de conjugaison C est
isomorphe à la H ϕ′ -classe de conjugaison C′ . Ainsi, quitte à faire ces considérations, on peut supposer que S ∈ hϕ et
N φ ∈ C + uϕ . Puisque [S, N φ ] = (logq )N φ , il s’ensuit que [S, N ϕ ] = (logq )N ϕ .
D’après le théorème de Jacobson-Morozov-Kostant (appliqué à hϕ et à l’action de S), il existe un morphisme
‚
tel que d θ
0
0
Œ
‚
1
t
×
= N ϕ et pour tout t ∈ C , θ
0
θ : SL2 (C) −→ H ϕ ,
Œ
t −1
commute à s = exp(S).
Définissons les cocaractères χϕ et χc , pour tout w ∈ WF , par :
χϕ = θ (d w )−1 , χc (w ) = χφ (w )/χϕ (w ),
si bien que l’on a une décomposition χφ = χϕ χc = χc χϕ .
Puisque pour tout w ∈ WF ,
Ad(λχφ (w ))N ϕ = N ϕ ,
Ad(χφ (w ))N ϕ = |w |−1 N ϕ ,
Ad(χϕ (w ))N ϕ = |w |−1 N ϕ ,
on en déduit que pour tout w ∈ WF , on a :
Ad(χc (w ))N ϕ = N ϕ , Ad(λ(w ))N ϕ = |w |N ϕ .
Par suite, on peut définir un paramètre de Langlands ϕ pour tout (w, x ) ∈ WF′ , par
ϕ(w, x ) = λ(w )χϕ (w )θ (x ).
D’après [Lus84, Proposition 2.8], puisque C supporte un système local cuspidal, N ϕ est un élément nilpotent distingué de hϕ . De plus, pour tout w ∈ WF l’élément semi-simple χc (w ) ∈ H ϕ commute à N ϕ . Donc pour tout
w ∈ WF , χc (w ) ∈ A Lb . On obtient ainsi,
Z H φG (A Lb ) = ZGb (A Lb , λχφ )
H ϕ = Z H φ (A Lb )
= Z Lb (λχφ )
= Z Lb (λχϕ )◦
= Z Lb (λχϕ χc )
= (H ϕL )◦
= Z Lb (λχϕ )
= H ϕL
De plus, d’après [Lus88, 2.3.b)], A Lb est un tore maximal de Z H ϕ (θ )◦ = Z Lb (λχϕ , θ )◦ = Z Lb (ϕ)◦ . Ceci prouve que
b
ϕ : WF′ −→ L,
AHMED MOUSSAOUI
24
est un paramètre de Langlands discret de L. De plus, par construction, il est cuspidal et de partie semi-simple λ.
Profitons d’être dans ce contexte pour introduire les définitions suivantes.
b un paramètre de Langlands cuspidal de
Définition 3.16. — On reprend les notations précédentes. Soit ϕ : WF′ −→ L
′
G
b
L et φ : WF −→ G un paramètre de Langlands de G . On note H φ = ZGb (φ WF ), H ϕL = Z Lb (ϕ WF ) et hGφ , hϕL leurs algèbres
de Lie respectives. On dit que φ est adapté à ϕ si :
– φ et ϕ ont la même ‚
partie
λ;
‚ semi-simple
ŒŒ
t
– pour tout t ∈ C× , φ 1,
∈ H ϕL ;
t −1
– il existe une sous-algèbre parabolique p = hϕL ⊕ up de hGφ , admettant hϕL pour sous-algèbre de Levi telle que : N φ ∈ p
et N φ = N ϕ + U (avec U ∈ up ) ;
b. On appelle cocaractère correcteur du paramètre de ϕ dans Gb , tout cocaractère
Définition 3.17. — Soit ϕ : WF′ −→ L
c : C× −→ Z Lb◦ défini pour tout t ∈ C× , par :
‚ ‚
ŒŒ
t
φ 1,
t −1
ŒŒ ,
c (t ) = ‚ ‚
t
ϕ 1,
t −1
avec φ un paramètre de Langlands de G adapté à ϕ. On note alors χc : WF −→ Z Lb◦ le cocaractère non ramifié de WF
défini pour tout w ∈ WF par χc = c (|w |−1/2 ).
◦
Remarque 3.18. — Le fait que c est à valeur dans Z Lb◦ résulte du fait que les éléments de c (WF ) ⊂ (H ϕL ) commutent à
N ϕ , sont semi-simples et que N ϕ est un élément nilpotent distingué dans hϕL .
Remarque 3.19. — La définition de c montre qu’il y a un nombre fini de cocaractère correcteur du paramètre de ϕ
dans Gb . Plus précisément, ces cocaractères sont uniquement déterminés (à conjugaison près) par l’orbite nilpotente
de N φ . Si on se place du point de vue du groupe de Weil-Deligne originel, notons λ la partie semi-simple de ϕ. Les
cocaractères correcteurs de ϕ dans Gb sont en bijection avec les orbites nilpotentes O ∈ hΛ (q −1 )/ZGb (λ), tel qu’il existe
un élément N ∈ O et une décomposition N = N ϕ +U avec U un élément dans le radical unipotent d’une sous-algèbre
parabolique admettant l pour facteur de Levi.
Pour finir, expliquons pourquoi C ne dépend pas du choix de η0 . En effet, si on prend une autre sous-représentation
e alors elle est de la forme ηx0 , avec x ∈ A H G (N φ ). Or, la correspondance de Springer généralisée pour
irréductible de η,
φ
◦
G
G
(H φ
) est H φ
-équivariante. Ainsi, l’orbite nilpotente associée à (x O, ηx0 ) est x C. Pour le cas des groupes classiques
◦
G
qui nous intéressera dans la suite, c’est-à-dire lorsque (H φ
) est un produit de groupes symplectiques, spéciaux
orthogonaux et linéaires, il y a au plus une orbite nilpotente supportant un système local cuspidal. Nécessairement,
x C = C.
G ◦
) simplement connexe, puis le décomposer en produit presque direct de groupes
En général, on peut supposer (H φ
simples (et d’un tore central), on vérifie à l’aide de la classification des paires cuspidales contenue dans [Lus84]),que
x C = C.
Pour définir de façon satisfaisante le support cuspidal d’un paramètre de Langlands complet, il nous faut associer
non pas une représentation irréductible cuspidale de A Z Lb (ϕ)◦ (ϕ SL2 (C) ) mais une représentation irréductible cuspidale
de A Z Lb (ϕ) (ϕ SL2 (C) ) = A Lb (ϕ). C’est l’objet de la section suivante dans le cas où G est un groupe classique.
3.4. Support cuspidal des paramètres de Langlands enrichis dans le cas des groupes classiques. — Explicitons
cette construction dans le cas qui nous intéresse et introduisons quelques notations. Le groupe G désigne l’un des
groupes suivants SpN (F ) ou SON (F ), Gb son dual de Langlands.
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
25
Théorème 3.20. — Les constructions suivantes permettent de définir une application de support cuspidal surjective
S`c : Φe (G )
−→
(φ, η)
7−→
Ωst
(G ) .
e
b ϕ, ǫ)
(L,
De plus, les fibres de cette application sont paramétrées par les représentations irréductibles
NZGb (ϕ WF χc )(A Lb )/Z Lb (ϕ WF χc ), où c parcourt l’ensemble (fini) des cocaractères correcteurs de ϕ dans Gb .
de
Avant de commencer, introduisons et rappelons le calcul de centralisateurs des paramètres de Langlands. On note
Gb∗ le groupe orthogonal associé si Gb est un groupe spécial orthogonal et Gb∗ = Gb si Gb est un groupe symplectique.
Soit φ ∈ Φ(G ) un paramètre de Langlands. On note I un certain ensemble de représentations irréductibles de WF
qui apparaissent dans StdG ◦ φ WF , qu’on décompose I = I O ⊔ I S ⊔ I G L , où I O (resp. I S ) désigne le sous-ensemble de I
formé des représentations de type orthogonales (resp. symplectiques) et I G L un sous-ensemble maximal de I formés
de représentations qui ne sont pas autoduales et tel que si π ∈ I G L alors π∨ 6∈ I G L . Si bien que :
M
M
M
(π ⊕ π∨ ) ⊠ M π ,
π ⊠ Mπ
π ⊠ Mπ
StdG ◦ φ WF =
π∈IG L
π∈IS
π∈IO
où pour tout π ∈ I , M π est l’espace de multiplicité de π.
En fonction du type de Gb et de π, M π est un espace orthogonal ou symplectique. Ainsi, pour tout π ∈ I , notons Gbπ le
groupe des isométries de M π . Pour être un peu plus clair, en notant m π = dim M π , on a :

si (Gb est un groupe spécial orthogonal et π ∈ I O ) ou (Gb est un groupe symplectique et π ∈ I S )
 Om π (C)
b
Gπ =
Spm π (C) si (Gb est un groupe spécial orthogonal et π ∈ I S ) ou (Gb est un groupe symplectique et π ∈ I O )

GLm π (C) si π ∈ I G L
‚ ‚
ŒŒ
Q
1 1
, on peut décomposer u φ = (u φ,π )π∈I , si bien
On trouve ainsi A Gb∗ (φ WF ) ≃ π∈I Gbπ . En notant u φ = φ 1,
0 1
que
Y
A Gbπ (u φ,π ).
A Gb∗ (φ) ≃
π∈I
À présent, supposons que Gb est un groupe spécial orthogonal. Afin de calculer A Gb (φ), on doit prendre en compte un
certain sous-groupe de ce qui est au-dessus. Plus précisément, notons IeO = {π ∈ I O | dim π ≡ 1 mod 2} et IeO′ = {π ∈
I O | dim π ≡ 0 mod 2}. Ainsi, si
Y
Y
Y
ZGb∗ (φ WF ) ≃
GLm π (C)
Spm π (C) ×
Om π (C) ×
ZGb (φ WF ) ≃ 
π∈IG L
π∈IS
π∈IO

Y
+
Om π (C) ×
π∈IO
Y
Spm π (C) ×
Y
GLm π (C)
π∈IG L
π∈IS
+
Y
Y
Y

Y
GLm π (C)
Om π (C) ×
Spm π (C) ×
≃
Om π (C) ×

π∈IeO
≃ GeO+ ×
Y
π∈IeO′
π∈IG L
π∈IS
Gbπ ,
π∈IeO′ ⊔IS ⊔IG L
où l’on a noté

Y
Y



Y
det(z π ) = 1 .
Om π (C) = (z π ) ∈
GeO+ = 
Om π (C) 

+

π∈IeO

π∈IeO
π∈IeO
e ∈ Irr(A Gb (φ)) obtenue comme précédemment à partir de η en la composant par la projection
Soit η ∈ Irr(SGφ ) et η
A Gb (φ) ։ SGφ . Rappelons que l’on note par S d la représentation irréductible de dimension d de SL2 C. Considérons la
AHMED MOUSSAOUI
26
décomposition en composantes isotypiques :
M M
M M
r π,q π ⊕ π∨ ⊠ S q
r π,q π ⊠ S q
StdG ◦ φ =
π∈IO ⊔IS q∈J π
M
=
M
π ⊠ Sπ
π∈IO ⊔IS
π∈IG L q∈J π
π ⊕ π∨ ⊠ S π ,
π∈IG L
avec pour tout π ∈ I , J π un ensemble d’entiers naturels, r π,q des entiers et S π =
SL2 (C) décomposée en composantes isotypiques.
Si Gb est un groupe symplectique, alors
A Gb (φ) ≃
Y
A Gbπ (u φ,π ) ×
φ
Y
A Gbπ (u φ,π ) ×
A Gbπ (u φ,π ) ×
Y
A Gb ◦ (u φ,π ) ×
Y
π
une représentation de
A Gbπ (u φ,π ) ,
A Gbπ (u φ,π ) ,
π∈IG L
π∈IS
π∈IO
Y
q∈J π r π,q S q ,
π∈IG L
π∈IS
π∈IO
A H G ◦ (φ SL2 ) ≃
Y
L
e ≃ ⊠π∈IO ηπ ⊠π∈IS ηπ ⊠π∈IG L ηπ ,
η
η0 ≃ ⊠π∈IO ηπ ⊠π∈IS ηπ,0 ⊠π∈IG L ηπ ,
et si Gb est un groupe orthogonal alors
Y
Y
Y
A Gbπ (u φ,π ) × A Ge + (u φ,O ) ,
A Gbπ (u φ,π ) ×
A Gbπ (u φ,π ) ×
A Gb (φ) ≃
O
π∈IeO′
A H G ◦ (φ SL2 ) ≃
φ
Y
π∈IG L
π∈IS
A Gb ◦ (u φ,π ) ×
Y
π
π∈IeO′
π∈IS
A Gbπ (u φ,π ) ×
Y
A Gbπ (u φ,π ) ×
Y
π∈IeO
π∈IG L
A Gb ◦ (u φ,π ) ,
π
eO ,
e ≃ ⊠π∈Ie′ ηπ ⊠π∈IS ηπ ⊠π∈IG L ηπ ⊠ η
η
O
η0 ≃ ⊠π∈Ie′ ηπ,0 ⊠π∈IS ηπ ⊠π∈IG L ηπ ⊠π∈IeO ηπ,0 .
O
G
b π , S ϕ,π ).
e H ϕ , θ seront respectivement Gbπ , ηπ , L
Lorsque π ∈ I est fixé, les analogues de H φ
, η,
Soit π ∈ I .
Supposons que (π ∈ I O et Gb symplectique) ou (π ∈ I S et Gb orthogonal) ou (π ∈ I G L ). Dans ce cas, Gbπ est connexe. La
construction précédente appliquée à (u φ,π , χφ,π , ηπ ) dans le groupe Gbπ associe à ce triplet :
b π de Gbπ ;
– un sous-groupe de Levi L
bπ ;
– un morphisme S ϕ,π : SL2 (C) −→ L
– une décomposition χφ,π = χϕ,π χc π ;
b π supportant un système local irréductible cuspidal L
b π -équivariant ;
– une classe unipotente de L
– une représentation irréductible cuspidale ǫϕ,π de A Lbπ (S ϕ,π ) ;
b π )/L
b π.
– une représentation irréductible ρπ de NGbπ (L
Supposons à présent que (π ∈ I O et Gb orthogonal) ou (π ∈ I S et Gb symplectique). Dans ce cas, Gbπ (resp. GeO+ ) est un
groupe orthogonal (resp. un sous-groupe d’un produit de groupes orthogonaux). Dans la construction précédente,
Q
eO ) à A Gb ◦ (u φ,π ) (resp. π∈IeO A Gb ◦ (u φ,π )) et on associe
on considère la restriction ηπ,0 (resp. ⊠π∈IeO ηπ,0 ) de ηπ (resp. de η
π
π
comme dans le cas précédent tous les objets cités. D’après les théorèmes A.4 et A.8, les constructions associées sur
la correspondance de Springer généralisée pour le groupe orthogonal, on peut associer de manière bien définie et
Q
eO )) les objets suivants :
bijective à (u φ,π , χφ,π , ηπ ) (resp. (u φ,O , π∈IeO , η
b π de Gbπ (resp. L
e+ de Ge + ) ;
– un sous-groupe de quasi-Levi L
O
O
Q
b◦
e+ ◦
b◦ (et un morphisme S ϕ,O : SL2 (C) −→
– pour tout π ∈ I O , un morphisme S ϕ,π : SL2 (C) −→ L
e L = (L ) ) ;
π∈IO
π
π
O
– pour tout π ∈ I O , une décomposition χφ,π = χϕ,π χc π ;
b◦ supportant un système local irréductible cuspidal L
b◦ -équivariant ;
– une classe unipotente de L
π
π
– une représentation irréductible cuspidale ǫϕ,π de A Lbπ (S ϕ,π ) (resp. ǫeϕ,O de A Le+ (S ϕ,O ))
O
e+ ).
e+ )/L
b π )/L
b π (resp. ρO de NGe + (L
– une représentation irréductible ρπ de NGb (L
π
O
O
O
e de A Gb (φ) comme une représentation de A ZGb (φ W ) (φ SL2 (C) ),
Après avoir interprété la représentation irréductible η
F
e un paramètre de Langlands cuspidal ϕ pour un certain sous-groupe de Levi L de G et les
nous avons associé à (φ, η)
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
27
données ci-dessus. À présent, nous allons parcourir le chemin inverse, c’est-à-dire interpréter les données associées
ci-dessus en terme d’une représentation irréductible de A Lb (ϕ) (et d’une représentation d’un groupe de Weyl étendu).
bπ, A =
Soit A π la composante déployée de L
Q
π∈I
b = ZGb (A) et A O =
b ∗ = ZGb (A), L
A π, L
∗
Q
π∈IeO
A π.
Nous avons vu que la forme de ces sous-groupes de Levi (ou de quasi-Levi) sont
b π = (C× )ℓπ × Gb ′ ,
L
π
avec Gbπ′ un groupe de même type que Gbπ . Le cocaractère non ramifié χc π de WF est à valeur dans A π . On peut écrire
b π naturel dans un groupe linéaire associé :
sa décomposition à travers le plongement L
M
M
χc π =
ξ ⊕ ξ−1
m π′ 1,
ξ∈K π
avec K π un ensemble de ℓπ cocaractères non-ramifiés de WF et m π′ est la dimension de l’espace pour lequel Gbπ′ est le
groupe des isométries. Le paramètre ϕ construit est donc


M M
M

ϕ=
(πξ) ⊕ (πξ)∨
π ⊠ S ′ϕ,π  ,

π∈I
ξ∈K π
b est de la forme :
avec S ′ϕ,π la factorisation de S ϕ,π à travers Gbπ′ . Le sous-groupe de Levi L
Y
b=
L
GLd π (C)ℓπ × Gb ′ ,
π∈I
et
b∗ =
L
Y
GLd π (C)ℓπ × Gb∗′ ,
π∈I
avec Gb un groupe de même type que Gb , Gb∗′ défini de façon analogue à Gb∗ et d π est la dimension de π. Ainsi,
Y
A Lbπ (S ϕ,π ).
A Lb∗ (ϕ) ≃
π∈I
Si Gb est un groupe symplectique, on peut donc écrire
A Lb (ϕ) ≃
Y
A Lbπ (S ϕ,π ),
π∈I
et si Gb est un groupe orthogonal,
A Lb (ϕ) ≃
Y
A Lbπ (S ϕ,π ) × A Le+O (S ϕ,O ).
π∈I \IeO
À travers ces isomorphismes, nous pouvons donc définir une représentation irréductible cuspidale ǫe de A Lb (ϕ)
correspondant à ⊠π∈I ǫϕ,π dans le cas où Gb est un groupe symplectique et à ⊠π∈I \IeO ǫϕ,π ⊠ ǫeϕ,O dans le cas où Gb est un
groupe orthogonal.
Il s’agit de voir à présent que ǫ se factorise en une représentation de SϕL . Lorsque Gb = SO2n+1 (C), il n’y a rien puisque
b
son centre est connexe (il est trivial) et il en est de même pour L.
Soit π ∈ I . Supposons que Gbπ est un groupe symplectique. D’après [Lus95a, 5.23], −1 agit sur ηπ par le même scalaire
que sur ǫπ . Ainsi, ηπ (−1) = ǫπ (−1). Supposons que Gbπ est un groupe orthogonal. La construction de la correspondance de Springer pour le groupe orthogonal de la section A.4 permet d’affirmer que l’on a aussi ηπ (−1) = ǫπ (−1) et
eO (−1) = ǫeO (−1). Ainsi, on a :
η
Y
Y
e
1 = η(−1)
=
ηπ (−1) =
ǫπ (−1) = ǫe(−1),
π∈I
et
e
eO (−1)
1 = η(−1)
=η
Y
π∈I \IeO
π∈I
ηπ (−1) = ǫeO (−1)
Y
π∈I \IeO
ǫπ (−1) = ǫe(−1).
AHMED MOUSSAOUI
28
Par suite, ǫe se factorise en une représentation irréductible ǫ de SϕL .
Revenons à présent sur la représentation du groupe de Weyl. On a :
Y
Y
Y
b π.
NZGb∗ (φ WF ) (A) ≃
NGbπ (A π ) et Z Lb∗ (φ WF ) = ZZGb∗ (φ WF ) (A) ≃
ZGbπ (A π ) ≃
L
π∈I
π∈I
π∈I
De plus,
Y
e+ = Ge + ∩
L
O
O
b π = ZGe + (A O ).
L
O
π∈IeO
Ainsi, lorsque Gb est un groupe symplectique, on a :
ZGb (φ
WZ b (φ
L
WF
WF )
)
Y
≃
Gb
WLb π ,
π
π∈I
et lorsque Gb est un groupe orthogonal, on a :
ZGb (φ
WZ b (φ
L
WF
WF
)
≃
)
Y
π∈I \IeO
b
Ge +
π
O
WLbG π × WLe+O .
ZGb (φ
Comme précédemment, on peut définir à travers ces isomorphismes une représentation irréductible ρ de WZ b (φ
L
b
WF
WF
)
)
à partir des représentations irréductibles ρπ de WLbG π .
π
4. Paramétrage de Langlands du dual admissible des groupes classiques
Dans la section précédente, nous avons vu que les pour les groupes classiques, les paramètres de Langlands des représentations supercuspidales correspondent aux paramètres de Langlands « cuspidaux » (définition 3.4). De plus,
nous avons construit une application de support cuspidal pour les paramètres de Langlands enrichis. Dans cette
section, on construit une paramétrisation de Langlands des représentations irréductibles. Cette construction est essentiellement basée sur la comparaison de deux algèbres de Hecke qui paramètrent d’une part les représentations
irréductibles dans un bloc de Bernstein et d’autre part les paramètres de Langlands enrichis. Pour la première paramétrisation, nous utilisons les résultats d’Heiermann qui établit une équivalence de catégorie entre les représentations lisses dans un bloc de Bernstein et les modules sur une algèbre de Hecke affine étendue. Pour la seconde,
nous utilisons les résultats de Lusztig. Le lien entre les deux (plus précisément entre les algèbres de Hecke graduées
associées) se fait par comparaison des paramètres des algèbres de Hecke. Ceci sera une conséquence des travaux de
Mœglin qui explicite les points de réductiblités de certaines induites en terme de paramètres de Langlands.
4.1. Relation entre le centre de Bernstein et le centre de Bernstein stable enrichi. — Nous avons construit en
terme de paramètres de Langlands enrichis une variété Ωst
(G ) qu’on conjecture être isomorphe à Ω(G ). Nous vérifions
e
dans cette section que c’est le cas pour les groupes classiques déployés en prouvant le théorème suivant.
b ϕ, ǫ] ∈ Bst (G ) la L-donnée
Théorème 4.1. — Soit G l’un des groupes SON (F ) ou Sp2n (F ). Soit s = [L, σ] ∈ B(G ) et ¯j = [ L,
e
inertielle complète correspondante par la correspondance de Langlands. Notons Ts , T¯j , Ws , W¯j les tores de Bernstein et
groupes de Weyl définis dans les sections précédentes.
On a des isomorphismes Ts ≃ T¯j et Ws ≃ W¯j compatible avec les actions de chacun sur T¯j et Ts . Plus précisément, la
conjecture 3.13 est vraie pour G .
Démonstration. — Nous allons décrire explicitement Ws et W¯j . Commençons par décrire Ws , en suivant les résultats
d’Heiermann [Hei11, 1.12,1.13,1.15] et [Hei10, 2.2].
En reprenant les notations de l’énoncé, on peut supposer que
L=
r
Y
i =1
GLd i (F )ℓi × G n ′
et
σ = σ1 ⊠ . . . ⊠ σ1 ⊠ . . . ⊠ σr ⊠ . . . ⊠ σr ⊠τ,
{z
}
|
|
{z
}
ℓ1
ℓr
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
29
avec n ′ ¶ N , σi une représentation irréductible supercuspidale unitaire de GLd i (F ) et τ une représentation irréductible supercuspidale de G n ′ .
Notons Tσi l’orbite inertielle de σi , c’est-à-dire Tσi = σi χ, χ ∈ X(GLd i (F )) . On peut alors de plus supposer que (voir
[Hei11, 1.13] et [Hei12, 4.1]) :
– pour tout i ∈ J1, r K, si Tσi = Tσi∨ , alors σi ≃ σi∨ ;
– pour tout i , j ∈ J1, r K, si i 6= j , alors σi 6≃ σ j et σi 6≃ σ∨j ;
– pour tout i ∈ J1, r K, ou bien il existe s ∈ R∗+ tel que σi | |s ⋊ τ est réductible, ou bien pour tout s ∈ R∗+ , σi | |s ⋊ τ est
irréductible.
On peut ainsi distinguer trois cas de figure :
(i) σi ≃ σi∨ et il existe s ∈ R∗+ tel que σi | |s ⋊ τ est réductible ;
(ii) σi ≃ σi∨ et pour tout s ∈ R∗+ , σi | |s ⋊ τ est irréductible ;
(iii) σi 6≃ σi∨ .
Qr
Un élément m ∈ i =1 GLd i (F )ℓi peut être décomposé (m i ,j )i ∈J1,r K,j ∈J1,ℓi K . Pour tout i ∈ J1, r K, j ∈ J1, ℓi − 1K, notons
s i ,j ∈ NG (L)/L dont l’action sur m permute les éléments m i ,j et m i ,j +1 et s i ,ℓi ∈ NG ∗ (L)/L dont l’action sur m permute
m i ,ℓi et τ m i−1
,ℓi .
On a une décomposition Ws = Ws◦ ⋊ R s . Le groupe Ws◦ est un produit direct de groupe de Weyl Ws◦,i , où i ∈ J1, r K. Soit
i ∈ J1, r K. Alors Ws◦,i est engendré par :

Ws◦,i
 ⟨s i ,j , j ∈ J1, ℓi K⟩
⟨s , j ∈ J1, ℓi − 1K, s i ,ℓi s i ,ℓi −1 s i−1
⟩
=
,ℓi
 i ,j
⟨s i ,j , j ∈ J1, ℓi − 1K⟩
si σi vérifie (i)
si σi vérifie (ii)
groupe de Weyl de type B ℓi /C ℓi
groupe de Weyl de type D ℓi
si σi vérifie (iii)
groupe de Weyl de type A ℓi −1
Décrivons le groupe R s (voir [Gol11, 1.5]). Pour cela, notons
C = {i ∈ J1, r K | σi vérifie (ii)},
C e = {i ∈ C | d i ≡ 0 mod 2},
C o = {i ∈ C | d i ≡ 1 mod 2}.
Il vient alors
– si G = Sp2n ou G = SO2n+1 , alors
Rs =
Y
⟨s i ,ℓi ⟩.
i ∈C
– si G = SO2n et L = GLd 1 (F )ℓ1 × . . . × GLd r (F )ℓr × SO2n ′ avec n ′ ¾ 2, alors
Y
Rs =
⟨s i ,ℓi ⟩.
i ∈C
– si G = SO2n et L = GLd 1
(F )ℓ1
alors
Y
⟨s i ,ℓi ⟩ × ⟨s i ,ℓi s j ,ℓj | i , j ∈ C o ⟩.
Rs =
× . . . × GLd r
(F )ℓr ,
i ∈C e
Qr
b=
× Gbn ′ le dual de Langlands de L. Pour tout i ∈ J1, r K, soit
À présent, notons L
GLd i
i =1
– πi : WF −→ GLd i (C) un paramètre de Langlands cuspidal de σi ;
– ϕτ : WF′ −→ Gbn ′ un paramètre de Langlands cuspidal de τ ;
b un paramètre de Langlands de σ.
– ϕ : WF′ −→ L
Décomposons StdG ◦ ϕ :
(C)ℓi
ϕ = (π1 ⊕ π∨1 ) ⊕ . . . ⊕ (π1 ⊕ π∨1 ) ⊕ . . . ⊕ (πr ⊕ π∨r ) ⊕ . . . ⊕ (πr ⊕ π∨r ) ⊕ϕτ
|
{z
}
|
{z
}
ℓ1
=
r
M
i =1
ℓi (πi ⊕ π∨i )
ℓr
M
ϕτ
AHMED MOUSSAOUI
30
b χ
b ∈ L X(GLd i (C)) l’orbite inertielle de πi . La condition imposée sur la forme
Pour tout i ∈ J1, r K, notons Tπi = πi χ,
de σ, se traduit sur ϕ par :
– pour tout i ∈ J1, r K, si Tπi = Tπ∨i , alors πi = π∨i , i.e. π est de type symplectique ou orthogonal ;
– pour tout i , j ∈ J1, r K, si i 6= j , alors πi 6= π j et πi 6= π∨j .
D’après la correspondance de Langlands pour le groupe linéaire, on a X(GLd i (F ))(σi ) ≃ L X(GLd i (C))(πi ). Ainsi, la
correspondance de Langlands pour les caractères et ce qui précéde montre que Ts ≃ T¯j .
Soit I l’ensemble des représentations irréductibles de WF associé à ϕ. On a vu qu’on peut décomposer I = I O ⊔I S ⊔I G L .
Décomposons de la même manière StdG ◦ ϕτ :
M
StdG ◦ ϕτ =
π ⊠ Sq
(π,q)∈Jord(ϕτ )
=
M
π ⊠ S π,
π∈I τ
avec I τ l’ensemble des représentations irréductibles de WF apparaissant dans la restriction de ϕ à WF (elles sont de
L
type orthogonal ou symplectique) et S π = q|(π,q)∈Jord(ϕτ ) S q .
Notons I L = {πi , i ∈ J1, r K}. Pour tout π ∈ I L , notons ℓπ = ℓi et pour tout π ∈ I \I L , ℓπ = 0. Pour tout π ∈ I τ , notons
P
m π = q|(π,q)∈Jord(ϕτ ) q et pour tout π ∈ I \I τ , m π = 0. Puisque ϕτ est sans multiplicité, il y a au plus un πi qui apparait
dans cette décomposition. Ainsi, nous pouvons écrire :
M
M
StdG ◦ ϕ =
(2ℓπ π ⊕ π ⊠ S π )
ℓπ (π ⊕ π∨ )
π∈IO ⊔IS
M
StdG ◦ ϕ WF =
π∈IG L
(2ℓπ + m π )π
π∈IO ⊔IS
M
ℓπ (π ⊕ π∨ )
π∈IG L
On obtient ainsi :
ZGb∗ (ϕ WF ) ≃
avec
Gbπ =
Y
Gbπ
et Z Lb∗ (ϕ WF ) ≃
π∈I

 O2ℓπ +m π (C)
Sp2ℓπ +m π (C)

GLℓπ (C)
Y
bπ,
L
π∈I
si (Gb est un groupe spécial orthogonal et π ∈ I O ) ou (Gb est un groupe symplectique et π ∈ I S )
si (Gb est un groupe spécial orthogonal et π ∈ I S ) ou (Gb est un groupe symplectique et π ∈ I O )
si π ∈ I G L

× ℓπ
 (C ) × Om π (C)
bπ =
L
(C× )ℓπ × Spm π (C)

(C× )ℓπ
si (Gb est un groupe spécial orthogonal et π ∈ I O ) ou (Gb est un groupe symplectique et π ∈ I S )
si (Gb est un groupe spécial orthogonal et π ∈ I S ) ou (Gb est un groupe symplectique et π ∈ I O )
si π ∈ I G L
Remarquons que πi 6∈ Jord(ϕτ ), si et seulement si, m πi = 0. Décrivons dans le tableau ci-dessous le système de racines,
ainsi que le groupe de Weyl (étendue) associé par la correspondance de Springer généralisée et les travaux de Lusztig.
Gbπ
bπ
L
condition
R
R red
Gb ◦
WLbG π
π
Sp2ℓ+m
O2ℓ+m
GLℓ
× ℓ
(C ) × Spm
(C× )ℓ × Om
(C× )ℓ
b
WLb◦ π
π
ℓ=0
ℓ 6= 0, m = 0
ℓ 6= 0, m 6= 0
∅
Cℓ
BC ℓ
∅
Cℓ
Bℓ
{1}
WC ℓ
WB ℓ
{1}
WC ℓ
WB ℓ
(1)
(2)
ℓ=0
ℓ 6= 0, m = 0
ℓ 6= 0, m 6= 0
∅
Dℓ
BC ℓ
∅
Dℓ
Bℓ
{1}
WD ℓ
WB ℓ
{1}
WD ℓ ⋊ (Z/2Z)
WB ℓ
(3)
(4)
ℓ¶1
ℓ¾2
∅
A ℓ−1
∅
A ℓ−1
{1}
WA ℓ−1
{1}
WA ℓ−1
(5)
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
31
La forme particulière qu’on a imposé à ϕ montre que D Gϕ = H ϕG . Écrivons a = (a i ,j )i ∈J1,r K,j ∈J1,ℓi K , pour tout i ∈
J1, r K, j ∈ J1, ℓi − 1K, notons sbi ,j ∈ NZ HG (ϕ SL2 ) (A Lb )/Z H ϕL (ϕ SL2 ) dont l’action sur a permute les éléments a i ,j et a i ,j +1 et
ϕ
sbi ,ℓi ∈ NZ H G ∗ (ϕ SL2 ) (A Lb )/Z H ϕL ∗ (ϕ SL2 ) dont l’action sur a permute a i ,ℓi et a −1
i ,ℓi . L’action de ces éléments sur un paramètre
ϕ
de Langlands de L de la forme
ℓi r M
M
M
ϕτ ,
πi ,j ⊕ π∨i ,j
i =1 j =1
est la suivante :
– pour tout i ∈ J1, r K, j ∈ J1, ℓi − 1K, sbi ,j permute πi ,j et πi ,j +1 (et π∨i ,j et π∨i ,j +1 ) ;
– pour tout i ∈ J1, r K, sbi ,ℓi permute πi ,ℓi et π∨i ,ℓi .
Gbπ◦
La table précédente nous montre en particulier que W◦¯j est le produit direct de W◦¯j,i (≃ WLb◦ i ) et
πi

⟨b
s i ,j , j ∈ J1, ℓi K⟩





⟩
s i ,j , j ∈ J1, ℓi − 1K, sbi ,ℓi sbi ,ℓi −1 sbi−1
W◦¯j,i =  ⟨b
,ℓi




⟨b
s i ,j , j ∈ J1, ℓi − 1K⟩
Gbπ◦
si WLb◦
i
πi
Gbπ◦
i
b◦
L
πi
Gbπ◦
i
b◦
L
πi
est de type B ℓi /C ℓi
si W
est de type D ℓi
si W
est de type A ℓi −1
Concernant R¯j , notons
Cb = {i ∈ J1, r K | πi vérifie (3) dans le tableau précédent},
Cbe = {i ∈ C | d i ≡ 0 mod 2},
Cbo = {i ∈ C | d i ≡ 1 mod 2}.
Il vient alors
– si G = Sp2n ou G = SO2n+1 , alors
R¯ j =
Y
⟨b
s i ,ℓi ⟩.
i ∈Cb
– si G = SO2n et L = GLd 1 (F )ℓ1 × . . . × GLd r (F )ℓr × SO2n ′ avec n ′ ¾ 2, alors
Y
R¯ j =
⟨b
s i ,ℓi ⟩.
i ∈Cb
– si G = SO2n et L = GLd 1 (F )ℓ1 × . . . × GLd r (F )ℓr , alors
Y
s i ,ℓi sbj ,ℓj | i , j ∈ Cbo ⟩.
⟨b
s i ,ℓi ⟩ × ⟨b
R¯ j =
i ∈Cbe
De plus, si χ est un caractère non-ramifié de L qu’on décompose en (χi ,j ), où χi ,j est un caractère non-ramifié de
GLd i (F ), alors
– pour tout i ∈ J1, r K, j ∈ J1, ℓi − 1K,
(σ ⊗ χ)s i ,j ≃ σ1 χ1,1 ⊠ . . . ⊠ σi χi ,j +1 ⊠ σi χi ,j ⊠ . . . ⊠ σr χr,ℓr ⊠ τ
sbi ,j
br,ℓr ⊕ ϕτ
bi ,j ⊕ . . . ⊕ πr χ
bi ,j +1 ⊕ πi χ
b1,1 ⊕ . . . ⊕ πi χ
b = π1 χ
ϕσ χ
−1
−1
bi ,j ⊕ π∨i χ
br,ℓ
bi−1
b1,1
⊕ . . . ⊕ π∨i χ
⊕ π∨r χ
⊕ . . . π∨1 χ
,j +1
r
– pour tout i ∈ J1, r K,
(σ ⊗ χ)s i ,ℓi ≃ σ1 χ1,1 ⊠ . . . ⊠ σi χi ,ℓi −1 ⊠ σi∨ χi−1
,ℓi ⊠ . . . ⊠ σr χr,ℓr ⊠ τ
∨ −1
sbi ,ℓi
br,ℓr ⊕ ϕτ
bi ,ℓi −1 ⊕ πi χ
bi ,ℓi ⊕ . . . ⊕ πr χ
b1,1 ⊕ . . . ⊕ πi χ
b = π1 χ
ϕσ χ
∨ −1
−1
bi−1
bi ,ℓi ⊕ π∨i χ
b
br,ℓ
⊕ . . . ⊕ πi χ
⊕ π∨r χ
,ℓi −1 ⊕ . . . π1 χ1,1
r
Ceci montre que Ws ≃ W¯j et que les actions sur les tores correspondants sont compatibles.
AHMED MOUSSAOUI
32
4.2. Représentations et algèbres de Hecke affines. — Soit s = [L, σ] ∈ B(G ). On suppose qu’on a décomposé L et σ
comme dans la démonstration du théorème précédent. Dans [Hei11], Heiermann associe à la paire inertielle s, une
donnée radicielle basée Ψs = (Λs , Σs , Λ∨s , Σ∨s , ∆s ) et des fonctions paramètres (au sens des algèbres de Hecke affine)
(λs , λ∗s ), avec Λs un sous-réseau de Λ(L), Σs un système de racines et ∆s une base de racines simples. De plus, l’image
de Λ∨s ⊗Z C par l’application (1) est isomorphe à Ts .
Lr
On a des décompositions Λs = i =1 Λs,i et Σs = ⊔ri =1 Σs,i en systèmes de racines irréductibles. De plus, le groupe de
Weyl associé à Σs,i est Ws◦,i et Σs,i est de type A, B,C ou D (voir [Hei11, p. 1.13]).
Soit i ∈ J1, r K et notons ∆s,i = ∆s ∩ Σs,i . Si σi est autoduale, soit ζi un caractère non-ramifié de GLd i (F ) tel que
+
σi ζi soit autoduale, non isomorphe à σi . Soit x i+ ∈ R+ (resp. x i− ∈ R+ ), l’unique réel positif tel que σi | |x i ⋊ τ (resp.
−
σi ζi | |x i ⋊ τ) soit réductible. On peut supposer que x i+ ¾ x i− .
– Si Σs,i est de type A,C ou D, pour tout α ∈ ∆s,i ,
λs (α) = 1.
– Si Σs,i est de type B , pour tout α ∈ ∆s,i racine longue,
λs (α) = 1.
Si αi ∈ ∆s,i est la racine courte, alors
λs (αi ) = x i+ + x i− ,
λ∗s (αi ) = x i+ − x i− .
On peut dès lors considérer l’algèbre de Hecke affine Hi définie par la donnée radicielle basée Ψs,i =
(Λs,i , Σs,i , Λ∨s,i , Σ∨s,i , ∆s,i ). C’est une C[v i±1 ]-algèbre associative unitaire (où v i est une indéterminée) définie par les
générateurs (Tw )w ∈Ws◦,i et (θx )x ∈Λs,i vérifiant certaines relations qu’il n’est pas nécessaire d’expliciter (voir [Hei11, 7.1]).
Soit t i l’ordre du groupe cyclique X(GLd i (F ))(σi ) = χ ∈ X(GLd i (F )) | σ ≃ σ ⊗ χ et Hi
spécialisation de l’indéterminée v i en q t i /2 . Notons enfin
Hs =
En notant Mod
€
Hs′
Š
r
O
Hi
v i =q t i /2
v i =q t i /2
l’algèbre obtenue par
et Hs′ = Hs ⋊ C[R s ].
i =1
les modules à droite sur Hs′ , on a :
Théorème 4.2 (Heiermann,[Hei11, 7.7,7.8],[Hei12]). — Il y a une équivalence de catégories
€ Š
Rep(G )s ≃ Mod Hs′ .
De plus, cette équivalence de catégories préserve les objets tempérés et ceux de la série discrète.
4.3. Réduction à une algèbre de Hecke graduée. — En introduisant les algèbres de Hecke graduées, Lusztig a
montré qu’on pouvait étudier certains modules d’une algèbre de Hecke affine en se ramenant à des modules d’une
algèbre de Hecke graduée. Nous allons suivre ce procédé concernant l’algèbre de Hecke affine étendue du théorème
précédent.
On reprend les notations de la section précédente. On rappelle que Ts ≃ Λs ⊗Z C× . Notons ts = Λ∨s ⊗Z C, t∗s = Λs ⊗Z C et
ts,R = Λ∨s ⊗Z R. Soit r une indéterminée et S(t∗s ) l’algèbre symétrique de t∗s .
Soit ζ ∈ Ts , O = Ws · ζ ∈ Ts /Ws l’orbite de ζ sous Ws . À la donnée radicielle Rs et à l’orbite O, Lusztig a associé une
algèbre de Hecke graduée H′s,O qui est une C[r ]-algèbre engendrée par (t w )w ∈Ws , S(t∗s ) et un ensemble d’idempotents
orthogonaux (E t )t ∈O , qui vérifient des relations faisant intervenir une fonction paramètre µO qui s’exprime en
fonction de λs et λ∗s . Pour plus de précisions, voir [Lus89] et [BM93].
Par ailleurs, la construction suivante, permet en quelque sorte de supposer que l’orbite O est réduit à un singleton.
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
33
On définit la donnée radicielle basée suivante Ψs,ζ = (Λs , Σs,ζ , Λ∨s , Σ∨s,ζ , ∆s,ζ ) par
¨
¨
«
1
si α∨ 6∈ 2Λ∨s
Σs,ζ = α ∈ Σs θα (ζ) =
;
±1 si α∨ ∈ 2Λ∨s
+
Σ+
s,ζ = Σs,ζ ∩ Σs ;
Σ∨s,ζ = α∨ , α ∈ Σs,ζ ;
o
n
′ + α′′ avec α′ , α′′ ∈ Σ+
∆s,ζ = α ∈ Σ+
,
α
n’est
pas
de
la
forme
α
ζ
s,ζ ;
Ws,ζ = ⟨s α , α ∈ ∆s,ζ ⟩;
o
n
+
R s,ζ = w ∈ Z Ws (ζ) | w Σ+
s,ζ = Σs,ζ
On peut considérer l’algèbre de Hecke graduée étendue
H′s,ζ,µζ = Hs,ζ,µζ ⋊ C[R s,ζ ].
C’est une C[r ]-algèbre engendrée par (t w )w ∈Ws,ζ , (j r )r ∈R s,ζ et S(t∗s ) vérifiant les relations :
– pour tout w, w ′ ∈ Ws,ζ , t w t w ′ = t w w ′ ;
– pour tout α ∈ ∆s,ζ , γ ∈ t∗s , γt s α − t s α s α (γ) = r µζ (α)⟨γ, α∨ ⟩ avec
¨
2λs (α)
si α∨ 6∈ 2Λ∨s
µζ (α) =
.
λs (α) + λ∗s (α)θ−α (ζ) si α∨ ∈ 2Λ∨s
Soit {w 1 , . . . , w m } un ensemble de représentants de Ws /Z Ws (ζ) (avec w 1 = 1). Pour tout i , j ∈ J1, m K, posons
n
X
CE i ,1 et E = C[E w i ·ζ ]1¶i ¶m .
E i ,j = t w i−1 E ζ t w j , Mn = C[E i ,j ]1¶i ,j ¶m , Cn =
i =1
€
ŠWs
D’après [Lus89, 4.5], le centre de Hs,O est Z = S(t∗s ) ⊗C C[r ] ⊗C E
. Ainsi, tout caractère central ω : Z → C correspond à un élément (σ, r 0 ) ∈ ts /Z Ws (ζ) × C. De plus, si ω : Z → C est un caractère central, nous noterons Mod(Hs,O )ω
la catégorie des Hs,O -modules admettant ω pour caractère central.
On suppose à présent que ζ ∈ Ts est un élément elliptique. L’application
ts,R ⊕ C
(ν , r 0 )
−→
7−→
Ts × C× ,
(ζe ν , e r0 )
est Z Ws (ζ)-invariante et elle fait correspondre Ws · (ζe ν , e r0 ) à Z Ws (ζ) · (ν , r 0 ). Ainsi, elle induit une bijection entre les
caractères centraux de Hs′ de partie elliptique dans O et les caractères centraux hyperboliques de H′s,O .
Théorème 4.3 (Lusztig). — Soit ζ ∈ Ts un élément elliptique, ν ∈ ts,R , r 0 > 1 un réel. Soit ω = Z Ws (ζ)·(ν , r 0 ) un caractère
central hyperbolique de H′s,O et ω = Ws ·(ζe ν , e r0 ) le caractère central de Hs′ correspond à ω par l’application précédente.
1. [Lus89, 8.6] L’algèbre Mn est un algèbre de matrices et on a un isomorphisme :
H′s,O ≃ Mn ⊗C H′s,ζ,µζ = Mn ⊗C (Hs,ζ,µζ ⋊ C[R s,ζ ]).
2. Le foncteur
F : Mod(H′s,ζ,µζ )
−→
Mod(H′s,O ) ,
V 7−→ Cn ⊗C V
W
est une équivalence de catégories et en tant que C[Ws ]-modules, F(V) = IndZ Ws
s (ζ)
V.
3. [Lus89, 9.3] Il y a une équivalence de catégories
Mod(Hs′ )ω ≃ Mod(H′s,O )ω ,
qui combinée avec la précédente donne lieu à l’équivalence de catégories
Mod(Hs′ )ω ≃ Mod(H′s,ζ,µζ )ω .
4. [Lus02a, 4.3,4.4] Cette dernière équivalence de catégories, préservent les modules tempérées et ceux de la série
discrète.
AHMED MOUSSAOUI
34
À présent, on note ζ un caractère non-ramifié unitaire de L. La fonction paramètre µζ associée à (λs , λ∗s ) est définie
de la façon suivante : pour tout α ∈ ∆ζ ,
¨
2λs (α)
si α∨ 6∈ 2Λ∨O
µζ (α) =
∗
λs (α) + λs (α)θ−α (ζ) si α∨ ∈ 2Λ∨O
Puisque s α (ζ) = ζ, θ−α (ζ) = ±1. Plus précisément,
¨
θ−α (ζ) =
1
−1
si (σ ⊗ ζ)s α ≃ σ ⊗ ζ
si (σ ⊗ ζ)s α 6≃ σ ⊗ ζ
Lr
L r Lℓ
On peut décomposer Λs = i =1 Λs,i = i =1 j i=1 Λi ,j , où Λi ,j est un sous-réseau de Λ(GLd i ) d’indice t i . Pour tout
νi ,j ∈ Λi ,j ⊗Z R, notons ςi ,j = (ζi ,j χνi ,j ,q t i /2 ), ςi ,j = (νi ,j , t i (logq )/2), ς = (ςi ,j ), ς = (ςi ,j ). Soit ω = Ws · ς le caractère
central de Hs′ de partie elliptique dans l’orbite de ζ et ω le caractère central hyperbolique correspondant.
D’après les résultats de Lusztig (théorème 4.3), on a une équivalence de catégories :
Mod(Hs′ )ω ≃ Mod(H′s,ζ,µζ )ω .
En particulier, on a une bijection :
Irr(G )ω ≃ Irr(Hs′ )ω ≃ Irr(H′s,ζ,µζ )ω ,
la première résulte de l’équivalence de catégories prouvée par Heiermann, la deuxième par les réductions dues à
Lusztig.
Les valeurs de la fonction paramètre µζ se lisent sur les diagrammes suivants (il s’agit du diagramme de Dynkin
associé à Σi ,ζ = Σζ ∩ Σs,i ) :
A ℓi −1
B ℓi /C ℓi
B ℓi /C ℓi
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2x i±
2
2
2
2
2
2
2
2
2
si σi ∈ Jord(τ)
si σi 6∈ Jord(τ)
2
2
Dn
4.4. Classification en terme de module simples d’une algèbre de Hecke graduée étendue. — Rappelons brièvement la définition des algèbres de Hecke graduées associées à des triplets cuspidaux et le théorème de classification
qui s’en suit.
Soit H un groupe réductif connexe complexe, P = LU un sous-groupe parabolique de H . Notons h l’algèbre de Lie
de H et p = l + u celle de P. Soit C ⊂ l une L-orbite nilpotente supportant un système local irréductible cuspidal Léquivariant noté L. Notons t = [L, C, L] le triplet cuspidal correspondant.
Soit T le plus grand tore central dans L, c’est-à-dire T = Z L◦ et t son algèbre de Lie. On sait que WLH = N H (T )/L est un
groupe de Coxeter. Plus précisément, pour toute forme linéaire α : l −→ C, notons
hα = {X ∈ h, ∀t ∈ t, [t , X ] = α(t )X },
son espace de poids. Notons
Σ = {α ∈ t∗ | α 6= 0, hα 6= 0},
et
Σ+ = {α ∈ Σ | hα ⊂ u}.
Soit P1 , . . . , Pm les sous-groupes paraboliques de H qui contiennent strictement P et qui sont minimal pour cette
propriété. Pour tout i ∈ J1, m K, notons L i le sous-groupe de Levi de Pi qui contient L et Σ+
i = {α ∈ Σ, α z(li ) = 0}. On
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
35
L
a alors li ∩ u = α∈Σ+i hα et Σ est un système de racines (non nécessairement réduit) dans t∗ qui est engendré par les
formes linéaires de t qui sont nulles sur le centre de h. De plus, Σ+
i contient un unique élément αi tel que αi /2 6∈ Σ.
L’ensemble ∆ = {α1 , . . . , αm } est un système de racines simples de Σ. De plus,WLH est le groupe de Coxeter engendré
par les réflexions simples s i , où s i est l’unique élément non trivial de N L i (T )/L.
Soit N ∈ C. Pour tout α ∈ ∆, soit µt (α) ¾ 2 le plus petit entier tel que
ad(N )µt (α)−1 : lα ∩ u −→ lα ∩ u,
est nul. Si α ∈ ∆ est conjuguée à α′ ∈ ∆ dans WLH , alors µt (α) = µt (α′ ). La fonction µt : ∆ −→ N est une fonction
paramètre dans le sens vu dans la section précédente.
Considérons l’algèbre de Hecke graduée associé à ce triplet cuspidal. C’est un C[r ]-module C[W ] ⊗C S(t∗ ) ⊗C C[r ] que
l’on note Hµt = Hµt (t∗ , Σ). Elle est engendrée par (t w )w ∈W et (γ)γ∈t∗ vérifiant les relations
– pour tout w, w ′ ∈ W , t w t w ′ = t w w ′ ;
– pour tout α ∈ ∆, γ ∈ t∗ , γt s α − t s α s α (γ) = r µt (α)⟨γ, α∨ ⟩.
e de A H (X ) telles
Soit X ∈ h un élément nilpotent et soit Irr(A H (X ))L l’ensemble des représentations irréductibles η
e
que (CH
,
η)
soit
associé
par
la
correspondance
de
Springer
généralisée
à
[L,
C
,
L
].
Soit
(S,
r
)
∈
h
⊕ C un élément
0
X
semi-simple tel que [S, X ] = 2r 0 X . On a une injection de A H (S, X ) dans A H (X ) et on note Irr(A H (S, X ))L l’ensemble
des représentations irréductibles de A H (S, X ) apparaissant dans la restriction à A H (S, X ) d’une représentation
e ∈ Irr(A H (X ))L .
η
En utilisant des techniques de cohomologie équivariante, Lusztig définit des modules standards M(S, r 0 , X , η) qui sont
des Hµt -modules et qui vont classifier les objets que l’on veut. Pour être plus précis, on a le théorème suivant :
Théorème 4.4 (Lusztig). —
1. [Lus88, 8.10] M(S, r 0 , X , η) 6= 0, si et seulement si, η ∈ Irr(A H (S, X ))L
2. [Lus88, 8.15] Tout Hµt -module simple sur lequel r agit par r 0 est un quotient M(S, r 0 , X , η) d’un M(S, r 0 , X , η),
avec η ∈ Irr(A H (S, X ))L
3. [Lus88, 8.17], [Lus95b, 8.18] L’ensemble des classes de Hµt -module simple de caractère central (S, r 0 ) est en bijection avec
M(S,r0 ) = {(X , η) | X ∈ h, [S, X ] = 2r0 X , η ∈ Irr(A H (S, X ))L }
4. [Lus02b, 1.21] Un Hµt -module simple M(S, r 0 , X , η) est tempérée, si et seulement si, il existe un sl2 -triplet (X , Y,Z )
vérifiant [S, X ] = 2r 0 X , [S,Z ] = 0, [S, Y ] = −2r 0 Y et S − r 0Z est elliptique. Dans ce cas, M(S, r 0 , X , η) = M(S, r 0 , X , η)
5. [Lus02b, 1.22] Si de plus CH
X est une orbite nilpotente distinguée de H , alors M(S, r 0 , X , η) est une série discrète.
Décrivons le système de racines, le groupe de Weyl et les paramètres associés à un triplet cuspidal dans le cas des
groupes classiques. Ceci est complètement traité dans [Lus88, 2.13].
AHMED MOUSSAOUI
36
H
L
partition
R
R red
Sp2n
(C× )ℓ × Sp2n ′
(1ℓ ) × (2, 4, . . . , 2d )
BC ℓ
Bℓ
(C× )n
(1n )
Cn
Cn
SON
(C× )ℓ × SON ′
(1ℓ ) × (1, 3, . . . , 2d + 1)
Bℓ
Bℓ
SO2n+1
(C× )n
(1n )
Bn
Bn
paramètres
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a +1
2
2
2
a +1
2
2
2
2
2
SO2n
(C× )n
(1n )
Dn
2
2
2
2
Dn
TABLE 3. Système de racines et paramètres associé à un triplet cuspidal
Remarque 4.5. — Dans la table précédente, on a noté a la plus grande part de la partition, c’est-à-dire a = 2d dans
le cas Sp2n et a = 2d + 1 dans le cas SON . De plus, on suppose que n ′ 6= 0 et N ′ 6= 0.
b ϕ, ǫ) ∈ Ωst (G ). On suppose que ϕ est de la forme comme décrit dans la preuve du théorème 4.1 et on note λ
Soit (L,
e
L
L
son cocaractère infinitésimal.
ζ ∈ X(L) un caractère non-ramifié unitaire et χ ∈ X(L) un caractère non-ramifié
Soit
◦
◦
G
L
, C = CM
, M = H ϕζ
hyperbolique. Notons H = H ϕζ
u ϕ , ǫ0 ∈ Irr(A H (u ϕ )) cuspidale apparaissant dans la restriction
de ǫ à A H (u ϕ ) et L le système local irréductible M -équivariant cuspidal sur C correspondant à ǫ0 .
En reprenant les notations de 3.2, ϕ WF = λχϕ . La forme qu’on a imposé à ϕ montre que ϕ est un paramètre tempéré.
Par suite, il n’y a pas d’éléments hyperboliques non trivial dans ϕ(WF ). Ceci montre que H ϕG est égal au groupe H λ de
la section 3.2. Notons S λ ∈ h (resp. S χ ) ∈ h) l’élément semi-simple hyperbolique tel que exp(S λ ) = s λh (voir 3.2) (resp.
logq
exp(S χ ) = χ(Fr)), S = S λ + S χ et r 0 = 2 .
Considérons les constructions précédentes dues à Lusztig pour les objets que l’on vient de définir. D’après le (3) du
théorème 4.4, les Hµt -modules simples de caractère central (S, r 0 ) sont en bijection avec les (classes de) couples (X , η)
formés d’un élement nilpotent X ∈ h vérifiant [S, X ] = 2r 0 X et η ∈ Irr(A H (S, X ))L .
Soit (N φ , η0 ) un couple comme précédemment. Puisque (λχ)(Fr) agit comme s λ s χ et le théorème de Jacobson‚
Œ
‚
Œ
0 1
z
Morozov-Kostant, il existe γ : SL2 (C) −→ H tel que d γ
= N φ et pour tout z ∈ C× , γ
commute
0 0
z −1
‚
Œ
|w |−1/2
à λχ. Définissons le cocaractère χφ pour tout w ∈ WF , par χφ (w ) = γ
. On peut aussi supposer
|w |1/2
que le paramètre qu’on définit ci-après est adapté à ϕ (voir 3.16). On peut donc définir φ : W ′ −→ Gb pour tout
F
(w, x ) ∈ WF × SL2 (C) par
φ(w, x ) = λ(w )ζ(w )χ(w )χφ (w )γ(x ).
De plus, on voit que φ est tempéré, si et seulement si, (λχχφ )h (Fr) = 1, c’est-à-dire S − d γ(diag(r 0 , −r 0 )) est elliptique.
D’après 4.4, le module simple de Hµt correspondant à (N φ , η0 ) est tempéré, si et seulement si, φ est un paramètre
tempéré. On montre de la même façon que φ est discret, si et seulement si, le module simple correspondant à (N φ , η0 )
est une série discrète.
4.5. Paramétrage du dual admissible. — Dans cette section, ayant fixé une paire inertielle s ∈ B(G ) et un L-triplet
(G ), on établit une bijection entre les paramètres de Langlands enrichis dans Φe (G )¯j
inertiel correspondant ¯j ∈ Bst
e
et les représentations irréductibles dans le bloc de Bernstein Irr(G )s . Pour cela, nous allons utiliser les résultats de
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
37
Lusztig concernant la classification de certains « paramètres » avec des modules simples d’une algèbre de Hecke
graduée.
b, ϕ, ǫ] ∈ Bst (G ) correspondant. On
Théorème 4.6. — Soit G un groupe classique déployé. Soit s = [L, σ] ∈ B(G ) et ¯j = [ L
e
a une bijection
Irr(G )s ≃ Φe (G )¯j ,
induisant des bijections
Irr(G )s,2 ≃ Φe (G )¯j,2 ,
et
Irr(G )s,temp ≃ Φe (G )¯j,bdd .
Démonstration. — On suppose avoir normalisé L, σ et ϕ comme précédemment. Lorsque tous les nombres de
torsions t i valent 1, on peut identifier T¯j à un tore maximal de ZGb (ϕ)◦ . Sinon, on peut l’identifier à l’image par z 7→ z t i
sur chaque composante indexée par i . Ainsi, on peut définir la donnée radicielle basée Ψ¯j associée à ce groupe et ce
tore maximal. D’après la démonstration du théorème 3.13, par dualité on peut identifier Ψs et Ψ¯j .
b ∈ L X(L) le cocaractère non-ramifié correspondant. Soit χ ∈ X(L)
Soit ζ ∈ X(L) un caractère non-ramifié unitaire et ζ
un caractère non-ramifié hyperbolique, ω = Ws · (σζχ) un caractère infinitésimal dont la partie elliptique est dans
bχ)
b = W¯j · (ϕ ζ
b le cocaractère infinitésimal correspondant (il faudrait ajouter ǫ pour être
l’orbite de Ws · (σζ). Soit ω
plus précis). Notons ω = Z W¯j · (S) le caractère infinitésimal hyperbolique correspondant avec S ∈ t¯j,R .Les sections
précédentes montrent qu’on a des bijections :
Irr(G )ω ≃ Irr(Hs′ )ω ≃ Irr(H′s,ζ,µζ )ω
Puisque nous avons montré que T¯j et Ts sont isomorphes et que les actions respectives de W¯j et de Ws sont
compatibles. Ainsi, Ψs,ζ ≃ Ψ¯j,ζb. En particulier, Ws,ζ ≃ W¯j,ζb et R s,ζ ≃ R¯j,ζb. Puisque t∗s ≃ t∗¯j et Σs,ζ ≃ Σ¯j,ζb, pour montrer
que l’algèbre de Hecke graduée (étendue) définie par Lusztig coïncide avec H′
b b
¯j,ζ,µ
ζ
, il suffit de montrer que la
fonction paramètre est la même. Or, ceci résulte d’un théorème de Mœglin concernant les points de réductibilité
d’induites paraboliques de cuspidales en fonction du paramètre de Langlands. Le cas qui nous intéresse est lorsque
σi ∈ Jord(τ). D’après le théorème 2.8, 2x = a σi + 1, avec a σi = max{a ∈ N, (σ, a ) ∈ Jord(τ)}. Ainsi, lorsque σi ∈ Jord(τ),
alors a σi + 1 est exactement la valeur apparaissant dans la table 3.
Ici, on se contentera de dire que par restriction, on peut choisir un module simple de H¯j,ζ,µ
b b (de caractère central ω)
ζ
qui permet, d’après le théorème 4.4, de définir comme en fin de section précédente un paramètre de Langlands φ.
En utilisant le théorème 3.20, on obtient une bijection Irr(G )ω ↔ Φe (G )ω .
En conséquence du théorème précédent on obtient :
Théorème 4.7. — La conjecture 2.15 est vraie pour les groupes classiques. Autrement dit, la correspondance de Langlands est compatible avec l’induction parabolique.
Démonstration. — En effet, nous savons grâce aux travaux d’Harris-Taylor, Henniart, Scholze pour le groupe linéaire
et Arthur et Mœglin pour les groupes classiques que les paramètres de Langlands des supercuspidales sont ceux qu’on
avait prédit par la conjecture. Ce qui précède décrit les paramètres de Langlands des sous-quotients d’une induite de
supercuspidale. Or, ces paramètres sont compatibles avec la conjecture.
AHMED MOUSSAOUI
38
Appendice A
Correspondance de Springer généralisée pour le groupe orthogonal
A.1. Correspondance de Springer généralisée pour le groupe orthogonal. — Nous avons vu précédemment que la
correspondance de Springer généralisée pour un groupe réductif connexe G établit une bijection (à G -conjugaison
près)
Σ : (O, η) 7−→ (L, C, ǫ, ρ),
avec
– O une orbite unipotente de G ;
– η une représentation irréductible de A G (u ) (et u ∈ O) ;
– L un sous-groupe de Levi de G ;
– C une orbite unipotente de L ;
– ǫ une représentation irréductible cuspidale de A L (v ) (et v ∈ C) ;
– ρ une représentation irréductible de NG (L)/L.
Nous souhaitons étendre cette bijection au groupe orthogonal. Pour cela, précisons quels objets seront en bijection
et décrivons notre démarche.
Définition A.1. — Soit H un groupe réductif non nécessairement connexe, A ⊂ H un tore et L = Z H (A). On appelle
sous-groupe de quasi-Levi de H , le centralisateur dans H d’un tore contenu dans H . Le groupe de Weyl de L dans H
est WLH = N H (A)/Z H (A).
Remarque A.2. — Soit A ⊂ H un tore contenu dans H et L = Z H (A) un sous-groupe de quasi-Levi de H . Alors,
L ◦ = Z H (A)◦ = Z H ◦ (A)◦ = Z H ◦ (A) est un sous-groupe de Levi de H ◦ . Réciproquement, tout sous-groupe de Levi de
H ◦ est la composante neutre d’un sous-groupe de quasi-Levi de H . De plus, le groupe de Weyl de L ◦ dans H ◦ ,
◦
WLH◦ = N H ◦ (A)/Z H ◦ (A) est un sous-groupe distingué de WLH .
Décrivons les sous-groupes de quasi-Levi du groupe orthogonal et leurs groupes de Weyl relatifs.
H
O2n+1
O2n
L◦
Qk
i =1
L
GLn i × SO2n ′ +1
Qk
i =1 GLn i
Qk
i =1
× SO2n ′
GLn i
Qk
i =1
GLn i × O2n ′ +1
Qk
i =1 GLn i
Qk
i =1
× O2n ′
GLn i
L/L ◦
WLH /WLH◦
Z/2Z
{1}
n i ¾ 0, n ′ ¾ 0
Z/2Z
{1}
n i ¾ 0, n ′ ¾ 2
{1}
Z/2Z
ni ¾ 0
◦
TABLE 4. Sous-groupes de quasi-Levi du groupe orthogonal
À présent, nous nous intéressons uniquement au groupe orthogonal ON que nous notons H .
Nous allons associer à tout couple formé d’une H -classe de conjugaison d’un élément unipotent u ∈ H ◦ et d’une représentation irréductible de A H (u ), une H -classe de conjugaison d’un quadruplet formé d’un sous-groupe de quasiLevi L de H , d’une L-classe de conjugaison d’un élément unipotent v ∈ L ◦ , d’une représentation irréductible cuspidale de A L (v ) (nous verrons plus tard quelle est la définition) et d’une représentation irréductible de WLH .
Pour cela nous allons procéder en trois étapes. Tout d’abord nous étendons la correspondance de Springer au sousgroupe H L de H tel que H L /H ◦ = L/L ◦ . Ensuite, nous l’étendons au sous-groupe H O de H qui stabilise la classe de
H ◦ -conjugaison de u et enfin à H .
Le groupe des composantes du groupe orthogonal étant d’ordre 2, une seule de ces étapes apparaitra ci-dessous.
Néanmoins, dans la section suivante ces trois étapes apparaitront. Commençons par décrire les représentations
irréductibles de A H (u ) en fonction de leurs restrictions à A H ◦ (u ), où u ∈ H ◦ est un élément unipotent.
−1 = CH .
Soit u ∈ H ◦ un élément unipotent. Supposons que A H (u ) 6= A H ◦ (u ). Dans ce cas, pour tout s ∈ H \ H ◦ , s CH
u s
u
◦
Il existe donc s ∈ H \ H tel que :
◦
A H (u ) = A H ◦ (u ) ⋊ {1, s }.
◦
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
39
On sait que A H (u ) est un produit de Z/2Z. On peut donc identifier les représentations irréductibles de A H (u ) à
HomZ (A H (u ), C× ) et les représentations irréductibles de A H ◦ (u ) à HomZ (A H ◦ (u ), C× ). Ces espaces sont des F2 -espaces
vectoriels de dimensions finies et le dernier est sous-espace du premier de codimension 1. Considérons la suite exacte
de groupes abéliens :
1
/ A H ◦ (u )
/ A H (u )
/ {1, s }
/1
On déduit une suite exacte de F2 -espace vectoriel de dimension finie :
/ HomZ ({1, s }, C× )
1
/ HomZ (A H (u ), C× )
/ HomZ (A H ◦ (u ), C× )
/1
Le morphisme HomZ (A H (u ), C× ) −→ HomZ (A H ◦ (u ), C× ) est surjectif pour des raisons de dimensions. Ainsi, tout
caractère de A H ◦ (u ) se remonte en un caractère de A H (u ). Ceci signifie exactement que ηs = η.
Il y a exactement deux caractères de A H (u ) tels que leurs restrictions au sous-groupe distingué A H ◦ (u ) soit égal à η.
Ces caractères sont η ⊠ 1 et η ⊠ ξ, avec ξ le caractère non trivial de {1, s }.
+
. Notons (L ◦ , CvL , ǫ, ρ) les objets associés à (u , η) par la correspondance de Springer généralisée pour
Soit (u , η) ∈ NSO
N
SON .
◦
(I) Supposons (N est impair) ou (N est pair et L = (C× )ℓ × ON ′ avec N ′ ¾ 4).
◦ −1
◦
◦
◦
Dans ce cas, pour tout s ∈ H \ H ◦ , s CH
s = CH
et pour tout s ′ ∈ L \ L ◦ , s ′ CvL s ′−1 = CvL .
u
u
Il existe donc s ∈ H \ H ◦ et s ′ ∈ L \ L ◦ tels que :
A H (u ) = A H ◦ (u ) ⋊ {1, s } et
A L (v ) = A L◦ (v ) ⋊ {1, s ′ }.
Toute représentation irréductible de A H (u ) de restriction η à A H ◦ (u ) est de la forme η ⊠ χ, avec χ une représentation irréductible de {1, s }. De même, toute représentation irréductible de A L (v ) de restriction ǫ à A L◦ (v ) est de
◦
la forme ǫ ⊠ χ ′ , avec χ ′ une représentation irréductible de {1, s ′ }. De plus, WLH = WLH◦ .
On associe à la H -classe de conjugaison de (CH
, η⊠χ), la H -classe de conjugaison du quadruplet (L, CvL , ǫ⊠χ, ρ).
u
(II) Supposons N pair, L ◦ = T = (C× )ℓ et que la partition associée à u contient une part paire de multiplicité impaire.
◦ −1
◦
◦
′
◦
Dans ce cas, pour tout s ∈ H \ H ◦ , s CH
= CH
u s
u . Il existe donc s ∈ H \ H et s ∈ N H (T )\ ∈ N H (T ) tels que :
A H (u ) = A H ◦ (u ) ⋊ {1, s } et
WTH = WTH ⋊ {1, s ′ }.
◦
Puisque s · (CH
, η) = (CH
, η), par équivariance de la correspondance de Springer,
u
u
◦
◦
H
′
H
s
(T, {1}, 1, ρ) = Σ(CH
u , η) = Σ(s · (Cu , η)) = s · Σ(Cu , η) = (T, {1}, 1, ρ ).
◦
◦
◦
′
Ainsi, ρ s ≃ ρ. Comme précédemment, toute représentation irréductible de A H (u ) de restriction η à A H ◦ (u ) est
de la forme η ⊠ χ, avec χ une représentation irréductible de {1, s }. De même, toute représentation irréductible
◦
de WTH de restriction ρ à WTH est de la forme ρ ⊠ χ ′ , avec χ ′ une représentation irréductible de {1, s ′ }.
On associe à la H -classe de conjugaison de (CH
, η⊠χ), la H -classe de conjugaison du quadruplet (T, {1}, 1, ρ⊠χ).
u
′
(III) Supposons N pair et que la partition associée à u ne contient que des parts paires de multiplicités paires.
◦ −1
◦
◦
× ℓ
′
◦
Dans ce cas, pour tout s ∈ H \ H ◦ , s CH
6= CH
u s
u et A H (u ) = A H (u ) = {1}. Ici, L = T = (C ) et il existe s ∈
N H (T )\ ∈ N H ◦ (T ) tel que :
WTH = WTH ⋊ {1, s ′ }.
◦
Par équivariance de la correspondance de Springer généralisée, puisque (CH
, {1}) 6= (CH
, {1}), on a : ρ s 6≃ ρ.
u
s ′ u s ′−1
◦
WTH
◦
WTH
Ainsi, Ind
◦
′
H
H
(ρ) est irréductible et CH
u = Cu ⊔ Cs ′ u s ′−1 .
◦
◦
On associe à la H -classe de conjugaison de (CH
u , 1), la H -classe de conjugaison du quadruplet
(T, {1}, 1, Ind
WTH
WTH
◦
(ρ)).
Définition A.3. — Soit L un sous-groupe de quasi-Levi de H , v ∈ L ◦ un élément unipotent et ǫ ∈ Irr(A L (v )). On
dit que ǫ est cuspidale, si et seulement si, la restriction de ǫ à A L◦ (v ) est une représentation cuspidale. On notera
Irr(A L (v ))cusp l’ensemble des (classes de) représentations irréductibles cuspidales de A L (v ).
AHMED MOUSSAOUI
40
Notons
NH+ = {(CHu , η), u ∈ H ◦ unipotent, η ∈ Irr(A H (u )}/H −conj ,
SH = {(L, CvL , ǫ), L quasi-Levi de H , v ∈ L ◦ unipotent et ǫ ∈ Irr(A L (v ))cusp }/H −conj .
Pour tout t = [L, CvL , τ] ∈ SH , notons Wt = WLH .
Théorème A.4. — Les contructions précédentes définissent une application surjective
+
Ψ : NH
−→ SH ,
induisant une décomposition
NH+ =
G
Mt ,
t∈SH
où Mt = Ψ−1 (t). De plus, pour tout t ∈ SH , on a une bijection
Σt : Mt −→ Irr(Wt ).
Ainsi,
G
NH+ ≃
Irr(Wt ).
t∈SH
+
et (L, v, ǫ) = Ψ(u , η). On a des morphismes Z H −→ A H (u ) et Z L −→ A L (v ). Alors
Proposition A.5. — Soit (u , η) ∈ NH
η(−1) = ǫ(−1) (où l’on voit −1 à travers les morphismes précédents).
Démonstration. — Dans le (I), on peut écrire η = η0 ⊠ χ et ǫ = ǫ0 ⊠ χ, avec η0 ∈ Irr(A H ◦ (u )) et ǫ0 ∈ Irr(A L◦ (v )).
Supposons N pair. Dans ce cas, −1 ∈ H ◦ . D’après, [Lus95a, 5.23], η0 (−1) = ǫ0 (−1), d’où η(−1) = ǫ(−1).
Supposons N impair. Dans ce cas, −1 ∈ A H (u ) \ A H ◦ (u ). Donc, η(−1) = χ(−1) = ǫ(−1). Dans les cas (II) et (III), on
conclue de la même façon.
Remarque A.6. — On remarque d’après la forme des représentations cuspidales de A L (v ), que pour tout w ∈ WLH et
toute représentation irréductible cuspidale ǫ de A L (v ), ǫ w ≃ ǫ.
A.2. Un sous-groupe d’indice deux d’un produit de groupes orthogonaux. — Soit r ¾ 2 un entier, m 1 , . . . , m r ¾ 1
Qr
des entiers. Considérons H = i =1 Om i et
)
(
r
Y
e
det(x i ) = 1 .
H = (x i ) ∈ H ,
i =1
Soit u
∈ H◦
un élément unipotent et η◦ une représentation irréductible de A H ◦ (u ). On a une décomposition de
u = (u i ) ∈
r
Y
SOm i ,
i =1
A H ◦ (u ) =
r
Y
A SOm i (u i ),
i =1
et
η◦ = η1 ⊠ . . . ⊠ ηr ,
avec pour tout i ∈ J1, r K, ηi une représentation irréductible de A SOm i (u i ). On peut supposer avoir arrangé les indices
de la façon suivante :
– pour tout i ∈ J1, p K, m i est impair ou (u i , σi ) est associé par la correspondance de Springer généralisée à un sousgroupe de Levi de la forme (C× )ℓi × SOm i′ avec m i′ ¾ 4 ;
– pour tout i ∈ Jp + 1,q K, la partition associé à u i contient une part paire de multiplicité impaire ;
– pour tout i ∈ Jq + 1, r K, la partition associé à u i ne contient que des parts paires de multiplicités paires.
CENTRE DE BERNSTEIN ENRICHI POUR LES GROUPES CLASSIQUES
41
Pour tout i ∈ J1, r K, notons H i = Om i , et ajoutons un indice i aux objets que nous avons dans la section précédente
i
′
(L i le sous-groupe de quasi-Levi de H i associé à (CH
u i , ηi ⊠ χi ), s i , s i , etc).
Si p = 0, notons
¶
¶
¬
¬
C Le = {1}, C O = s p +1 s p +2 , . . . , s q−1 s q , C I = s q s q+1 , . . . , s r −1 s r ,
E
E
D
D
′
′
′
, . . . , s r′ −1 s r′ .
= s p′ +1 s p′ +2 , . . . , s q−1
s q′ , C I′ = s q′ s q+1
C Le′ = {1}, C O
Si p ¾ 2, notons
¶
¶
¬
¶
¬
¬
C Le = s 1 s 2 , . . . , s p −1 s p , C O = s p s p +1 , s p s p +2 . . . , s p s q , C I = s p s q+1 , . . . , s p s r ,
E
E
D
E
D
D
′
′
= s p′ s p′ +1 , s p′ s p′ +2 , . . . , s p′ s q′ , C I′ = s p′ s q+1
C Le′ = s 1′ s 2′ , . . . , s p′ −1 s p′ , C O
, . . . , s p′ s r′ .
Et dans chacun de ces deux cas, notons
e O = H ◦ ⋊ (C Le × C O ), H
e = H ◦ ⋊ (C Le × C O × C I ), L
e=H
e∩
e Le = H ◦ ⋊ C Le , H
H
r
Y
Li .
i =1
Remarque A.7. — La façon dont on a défini ces groupe suppose que l’on a p ¾ 2, q −p ¾ 2, r −q ¾ 2 pour C Le , C O , C I
respectivement. Si ce n’est pas le cas, alors le groupe considéré est trivial.
On vérifie que
A He Le (u ) = A H ◦ (u ) ⋊ C Le ,
A Le (v ) = A L◦ (v ) ⋊ C Le′ ,
A He (u ) = A H ◦ (u ) ⋊ C Le × C O ≃ A He Le (u ) ⋊ C O ,
eO
′
WLeH = WLH◦ ⋊ C O
,
Š
€
◦
e
′
× C I′ .
WLeH = WLH◦ ⋊ C O
◦
e par étapes de la façon suivante :
On construit la correspondance de Springer généralisée pour H
€
H◦
€
e Le
H
eO
H
e
H
€
CHu , η◦
◦
Š
CHu ◦ , η◦ ⊠ χLe
€
Š
€
CHu , η◦ ⊠ χLe ⊠ χO
€
◦
CHue , η◦ ⊠ χLe ⊠ χO
Š
€
◦
Š
e, CL◦ , ǫ ⊠ χLe , ρ
L
v
Š
e, CL◦ , ǫ ⊠ χLe , ρ ⊠ χO
L
v
Š
L ◦ , CvL , ǫ, ρ
e
WeH
e CL◦ , ǫ ⊠ χLe , Ind
L,
v
Š
L
eO
WeH
ρ ⊠ χO
L
Dans la définition A.3 et le théorème A.4 H désigne un groupe orthogonal. La définition A.3 a toujours un sens en
e . De plus, les constructions précédentes assurent que le théorème A.4 est vraie en remplaçant H
remplaçant H par H
e.
par H
Théorème A.8. — Les contructions précédentes définissent une application surjective
+
Ψ : NH
e,
e −→ SH
induisant une décomposition
NH+e =
G
Mt ,
t∈SHe
où Mt = Ψ−1 (t). De plus, pour tout t ∈ SHe , on a une bijection
Σt : Mt −→ Irr(Wt ).
42
AHMED MOUSSAOUI
Ainsi,
NH+e ≃
G
Irr(Wt ).
t∈SHe
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Paris Cedex 05 FRANCE • E-mail : [email protected] • Url : http://www.imj-prg.fr/~ahmed.moussaoui