C - Univ

C - LES BOBINES OU INDUCTANCES
Les bobines sont des solénoïdes, c'est à dire des enroulements de fil conducteur.
Leur représentation symbolique est :
C - I - FLUX D'AUTO-INDUCTION OU FLUX PROPRE DE LA BOBINE
Lorsqu'un solénoïde de longueur L, comprenant N spires est parcouru par un
courant I, il crée un champ magnétique en son centre de valeur :
B = 4π
π. 10 - 7
N
I
L
On définit le flux d'auto-induction ou flux propre de la bobine comme le
flux du vecteur champ magnétique B qu'elle produit à travers elle même
(c'est à dire à travers les N surfaces S de ses spires).
Φ = NBS
Ce flux propre est donc proportionnel au courant I.
Φ = 4π
π. 10 - 7
N 2S
I
L
C - II - COEFFICIENT D'AUTO-INDUCTION OU INDUCTANCE
Le coefficient L de proportionnalité entre flux propre et intensité de
courant est appelé coefficient d'auto-induction ou de self-induction ou
encore inductance.
Φ=LI
Ce coefficient s'évalue en henry (symbole H).
On remarque que ce coefficient est fonction de la forme du solénoïde et caractérise
donc chaque solénoïde :
L = 4π
π. 10-7
N 2S
L
1
C - III - FONCTIONNEMENT EN COURANT CONTINU
Si le courant qui passe dans la bobine est un courant continu, son flux propre est un
flux constant et dans ce cas la bobine apparaît dans le circuit comme une simple
résistance r (résistance du fil qui la constitue et qui est souvent peu élevée).
Dans un circuit parcouru d'un courant continu, une bobine est une
résistance r qui vérifie à ses bornes la loi d'Ohm.
U=rI
C - IV - FONCTIONNEMENT EN COURANT SINUSOÏDAL
ans le cas d'un courant sinusoïdal, le flux propre est fonction du temps comme l'est le
courant.
Φ(t) = L i(t)
Apparaît donc aux bornes de la bobine, en plus, une f.e.m. d'autoinduction e(t) telle que :
e(t) = -
dΦ
di(t)
=-L
dt
dt
qui s'oppose à la variation de flux propre.
Le signe moins qui marque cette opposition se traduit sur un schéma par un
courant induit ie qui s’oppose à la variation de courant i(t) :
En sens inverse de i(t), si i(t) tend à
augmenter
De même sens que i(t), si i(t) tend à
diminuer
Comme si un générateur
supplémentaire en série était
apparu dans le circuit.
Comme si un générateur
supplémentaire en opposition
était apparu dans le circuit.
i(t)
r,L
i(t)
ie
r,L
ie
uB(t)
uB(t)
Cela se traduit donc par une tension totale uB(t) aux bornes de la bobine :
uB(t) = r i(t) - e(t) = r i(t) + L
di(t)
dt
Ceci permet de considérer une bobine réelle comme un montage série d'une
résistance pure r et d'une inductance pure L sans résistance.
r,L
r
équivaut à
2
L
C - V - IMPEDANCE D'UNE BOBINE
La comparaison des tensions aux bornes d’une résistance et aux bornes d’une
bobine montée en série avec elle, donne des oscillogrammes du type de celui vu
page 3.
Exemple : Si on reprend cet oscillogramme avec la valeur de la résistance égale à 220 Ω et
les conditions de réglage de l’oscilloscope :
horizontalement : 5 ms par centimètre
uB
verticalement : 2 V par centimètre
2,7
uR
0,6
On vérifie que :
i(t) = IMax sin (ω t)
avec
IMax = 0,018 A
ω = 100 π rad.s-1
uB(t) = UMax sin (ω t + ϕ)
avec
UMax = 5,4 V
ϕ = 0,3 π rad
ZB =
5,4
= 300 Ω
0,018
Montrant une tension aux bornes de la bobine en avance sur le courant.
Pour déterminer l’expression de l’impédance en fonction des caractéristiques r et L
de la bobine, il est nécessaire de revenir à l’expression :
uB(t) = r i(t) + L
di(t)
dt
avec
i(t) = IMax sin (ω
ω t)
La tension uB(t) apparaît alors comme une somme de deux tensions sinusoïdales,
π
l’une étant en phase avec le courant et l’autre en avance de sur lui :
2
uB(t) = r IMax sin (ω
ω t) + L ω IMax cos (ω
ω t)
ω t) + L ω IMax sin (ω
ωt+
uB(t) = r IMax sin (ω
π
)
2
3
La représentation de la tension uB(t) et du courant i(t) de Fresnel permet alors
d’établir l’expression de l’impédance de la bobine et du déphasage courant tension :
UMax = (r IMax)2 +(L
UMax
IMax)2
ϕ
UMax = IMax r 2 +L2 2
Z=
LωIMax
Axe de phase nulle
IMax
Umax
= r 2 +L2 2
Imax
rIMax
tg (ϕ
ϕ) =
L
R
L'impédance d'une bobine est fonction de la valeur de sa résistance, de
son inductance L et de la pulsation ω de la tension à ses bornes.
De même le déphasage entre courant et tension est fonction des mêmes
variables.
Exemple : Connaissant les valeurs de l’impédance et du déphasage dans l’exemple qui
précède, il est donc possible de retrouver les valeurs des caractéristiques r et L de la bobine
concernée.
Z=
r 2 + L2
2
= 300 Ω
tg (ϕ
ϕ) =
L
= 1,376
R
ω = 100π rad.s-1
La résolution du système de deux équations à deux inconnues donne :
r = 176,34 Ω
et
L = 0,773 H
Comme les condensateurs, le rôle joué dans un circuit par les bobines est fonction
de la fréquence du courant sinusoïdal. L’impédance et le déphasage sont d’autant
plus grands que la fréquence est élevée.
La résistance r de la bobine peut dans certains cas être faible et donc
négligeable. On parle alors de bobine idéale pour laquelle :
l’impédance se réduit à Lω
ω et le déphasage à +
4
π
2