Correction

Induction)
électromagnétique)
)
Exercice)1):)Freinage)électromagnétique)
!"#$%&'()#*)#+,)("-.)#$*)/%,01-."$%(2&)#'3&")#45(,)#/0"'&/%,(/)#,)/%-".&*-(,)#𝑀𝑁𝑃𝑄#106(*)7#')#
/8%$4#𝑎#)%#𝑏7#')#1-44)#𝑚#"$.*(.)-6*)7#')#,$4(4%-"/)#𝑅#)%#'3("'&/%-"/)#5,05,)#"$.*(.)-6*)9#
:)%%)#45(,)#)4%#)"#%,-"4*-%(0"#4)*0"#*3-;)#(𝑂𝑥)9#<**)#%,-=),4)#&")#>0")#')#*0".&)&,#𝑑!𝑑>𝑏#'-"4#
*-2&)**)#,?.")#&"#/@-15#1-."$%(2&)#&"(+0,1)#')#*-#+0,1)#A#
𝐵=𝐵𝑢!#
!"#-'1)%#2&)#*)#/@-15#)4%#"&*#)"#')@0,4#')#/)%%)#>0")9#!"#"$.*(.)#-&44(#%0&%)#+0,/)#-&%,)# 2&)#
1-."$%(2&)9#
𝑋(𝑡)#,)5,$4)"%)#*3-64/(44)#'&#/8%$#𝑀𝑁#)%#𝑣(𝑡)#'$4(.")#*-#=(%)44)#'&#/-',)9#
#
B-#45(,)#)"%,)#'-"4#*)#/@-15#-=)/#&")#=(%)44)#𝑣!9#C#2&)**)#/0"'(%(0"#)"#,)440,%D)**)#E#
F(#/)%%)#/0"'(%(0"#)4%#=$,(+($)7#'$%),1("),#*-#'(1("&%(0"#')#=(%)44)#∆𝑣9#
Correction):!
Loi!de!modération!de!Lenz!:!l’induction!électromagnétique,!par!ses!effets,!doit!s’opposer!aux!effets!qui!
lui!donne!naissance,!ici!une!augmentation!du!flux!du!champ!magnétique!lorsque!la!spire!entre!dans!la!
zone!de!champ!magnétique.!Ainsi,!l’induction!électromagnétique!va!:!
D freiner!la!spire!(effet!mécanique)!
D générer! un! courant! induit! (effet! électrique),! qui! va! créer! un! champ! magnétique! induit! de! sens!
opposé! au! champ! magnétique! extérieur.! La! règle! de! la! main! droite! nous! indique! donc! que! le!
courant!induit!va!circuler!dans!le!sens!𝑁→𝑀.!
Choix!d’une!orientation!pour!le!courant!induit!:!on!choisit!d’orienter!le!courant!induit!dans!le!sens!
𝑁→𝑀.!Cette!orientation!impose!le!sens!de!la!surface!𝑑𝑆!permettant!de!calculer!le!flux!du!champ!
magnétique!: le!vecteur!surface!élémentaire!apparaissant!dans!le!calcul!du!flux!du!champ!magnétique!
sera!alors!orienté!selon!:!
𝑑𝑆 =−𝑑𝑆𝑢!

Equation! électrique!:! Pour! qu’il! y! ait! induction! électromagnétique,! il! faut! que! le! flux! du! champ!
magnétique!à!travers!la!spire!soit!non!nul,!donc!que!la!spire!soit!au!moins!partiellement!entrée!dans!la!
zone!de!champ!magnétique.!On!distingue!alors!3!situations!:!
0<𝑋(𝑡)<𝑏!
𝑏<𝑋𝑡<𝑑!
𝑑<𝑋𝑡<𝑑+𝑏!
La!spire!n’est!pas!intégralement!
entrée!dans!la!zone!de!champ!
magnétique!
!
Calcul!du!flux!:!
𝜙=𝐵.𝑑𝑆
!
!"#$%
!
!𝜙=𝐵
!
!
!(!)
!
𝑢!.−𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢!!
⇔!!𝜙=−𝑎𝐵𝑋(𝑡)!
Calcul!de!la!f.é.m.!induite!:!on!utilise!
la!loi!de!Faraday!
𝑒𝑡=−𝑑𝜙
𝑑𝑡 !
⇔!!𝑒𝑡=𝑎𝐵
𝑑𝑋
𝑑𝑡 !
⇔!!𝑒𝑡=𝑎𝐵𝑣 !
Circuit!électrique!équivalent!:!!
!
Calcul!du!courant!induit!:!L’intensité!
du!courant!induit!dans!le!circuit!se!
calcule!en!appliquant!la!loi!des!
mailles!:
𝑒(𝑡)−𝑅𝑖(𝑡)=0!
⇔!!𝑖𝑡=
𝑒
𝑅
=
𝑎𝐵
𝑅
𝑣!
La!spire!est!intégralement!entrée!
dans!la!zone!de!champ!
magnétique!
!
Calcul!du!flux!:!
𝜙=𝐵.𝑑𝑆
!
!"#$%
!
𝜙=𝐵
!
!
!(!)
!(!)!!
𝑢!.−𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢!!
⇔!!𝜙=−𝑎𝑏𝐵 !
Calcul!de!la!f.é.m.!induite!:!on!
utilise!la!loi!de!Faraday!
𝑒𝑡=−𝑑𝜙
𝑑𝑡 !
⇔!!𝑒𝑡=0!
Il! n’y! a! pas! de! phénomène!
d’induction! électromagnétique!
car!le!flux!du!champ!magnétique!
à!travers!la!spire!est!constant.!
Pour! qu’il! y! ait! freinage,! il! faut!
que!la!spire!entre!ou!sorte!d’une!
zone!de!champ!magnétique.!
Calcul!du!courant!induit!:!
⇔!!𝑖𝑡=0!
La!spire!est!en!train!de!sortie!de!la!
zone!de!champ!magnétique!
!
Calcul!du!flux!:!
𝜙=𝐵.𝑑𝑆
!
!"#$%
!
𝜙=𝐵
!
!
!
!!!!
𝑢!.−𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢!!
⇔!!𝜙=−𝑎𝐵 𝑑−𝑋𝑡+𝑏!
Calcul!de!la!f.é.m.!induite!:!on!utilise!la!
loi!de!Faraday!
𝑒𝑡=−𝑑𝜙
𝑑𝑡 !
⇔!!𝑒𝑡=−𝑎𝐵
𝑑𝑋
𝑑𝑡 !
⇔!!𝑒𝑡=−𝑎𝐵𝑣 !
Circuit!électrique!équivalent!:!!
!
Calcul!du!courant!induit!:!L’intensité!
du!courant!induit!dans!le!circuit!se!
calcule!en!appliquant!la!loi!des!
mailles!:
𝑒(𝑡)−𝑅𝑖(𝑡)=0!
⇔!!𝑖𝑡=
𝑒
𝑅
=−
𝑎𝐵
𝑅
𝑣!
!

Equation!mécanique!:!Connaissant!le!courant!induit!dans!la!spire,!nous!pouvons!calculer!la!résultante!
des!forces!de!Laplace!qui!s’exercent!sur!la!spire.!
0<𝑋(𝑡)<𝑏!
𝑑<𝑋𝑡<𝑑+𝑏!
Calcul!des!forces!de!Laplace!:!
𝐹
!=𝑖𝑑𝑙⋀𝐵
!
!"#$%!!"#$!!
!
⇔𝐹
!=𝑖𝑑𝑥𝑢!⋀𝐵𝑢!
!!
!
!
+𝑖𝑑𝑦 −𝑢!⋀𝐵𝑢!
!
!
+𝑖𝑑𝑥 −𝑢!⋀𝐵𝑢!
!(!)
!
!
⇔𝐹
!=−𝑖𝐵𝑎𝑢!!
⇔𝐹
!=−
𝑎!𝐵!
𝑅
𝑣!𝑢!!
On!trouve!bien!le!résultat!prédit!par!la!loi!de!
Lenz,!à!savoir!que!la!résultante!des!forces!de!
Laplace! est! une! force! freinante!qui! s’oppose!
au!mouvement.!
Equation!mécanique!:!on!applique!le!PFD!à!la!
spire,!la!résultante!des!forces!de!Laplace!
étant!la!seule!force!appliquée!à!la!spire!:!
𝑚𝑎𝑀=𝐹
!!
On!projette!cette!équation!sur!l’axe!(𝑂𝑥)!:!
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡 =−
𝑎!𝐵!
𝑅
𝑣!!
⇔𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡 =−
𝑎!𝐵!
𝑅
𝑑𝑋
𝑑𝑡 !
⇔𝑑𝑣 =−
𝑎!𝐵!
𝑚𝑅
𝑑𝑋 !
On!intègre!cette!équation!sur!la!longueur!de!
trajet!où!la!spire!subit!l’induction!(b)!:!
𝑑𝑣
!(!)
!(!)
=−
𝑎!𝐵!
𝑚𝑅
𝑑𝑋
!
!
!
𝑣𝑏−𝑣(0)=−
𝑎!𝐵!
𝑚𝑅
𝑏!
⇔
Δ𝑣
2
=
𝑎!𝐵!
𝑚𝑅
𝑏!
Calcul!des!forces!de!Laplace!:!
𝐹
!=𝑖𝑑𝑙⋀𝐵
!
!"#$%!!"#$!!
!
⇔𝐹
!=𝑖𝑑𝑥 −𝑢!⋀𝐵𝑢!
!
!!!!
!
+𝑖𝑑𝑦𝑢!⋀𝐵𝑢!
!
!
+𝑖𝑑𝑥𝑢!⋀𝐵𝑢!
!
!!!!
!
⇔𝐹
!=𝑖𝐵𝑎𝑢!!
⇔𝐹
!=−
𝑎!𝐵!
𝑅
𝑣!𝑢!!
On!trouve!bien!le!résultat!prédit!par!la!loi!de!
Lenz,!à!savoir!que!la!résultante!des!forces!de!
Laplace!est!une!force!freinante!qui!s’oppose!
au!mouvement.!
Equation!mécanique!:!on!applique!le!PFD!à!
la!spire,!la!résultante!des!forces!de!Laplace!
étant!la!seule!force!appliquée!à!la!spire!:!
𝑚𝑎𝑀=𝐹
!!
On!projette!cette!équation!sur!l’axe!(𝑂𝑥)!:!
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡 =−
𝑎!𝐵!
𝑅
𝑣!!
⇔𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡 =−
𝑎!𝐵!
𝑅
𝑑𝑋
𝑑𝑡 !
⇔𝑑𝑣 =−
𝑎!𝐵!
𝑚𝑅
𝑑𝑋 !
On!intègre!cette!équation!sur!la!longueur!de!
trajet!où!la!spire!subit!l’induction!(b)!:!
𝑑𝑣
!(!!!)
!(!)
=−
𝑎!𝐵!
𝑚𝑅
𝑑𝑋
!!!
!
!
𝑣𝑑+𝑏−𝑣(𝑑)=−
𝑎!𝐵!
𝑚𝑅
𝑏!
⇔
Δ𝑣
2
=
𝑎!𝐵!
𝑚𝑅
𝑏#
Pour!que!la!spire!sorte!de!la!zone!de!champ!magnétique,!il!faut!donc!que!:!
Δ𝑣=
2𝑎!𝐵!
𝑚𝑅
𝑏>𝑣!!

Exercice)2):)Rail)de)Laplace)vertical)
!"#/0"4('?,)#&"#'(4504(%(+#')#,-(*#')#B-5*-/)#=),%(/-*7#'-"4#
*)2&)*# &")# 6-,,)# 1$%-**(2&)# 𝑃𝑄7# ')#1-44)# 𝑚7# 5)&%#.*(44),#
4-"4#+,0%%)1)"%#*)#*0".#')#')&;#,-(*4#=),%(/-&;#'(4%-"%4#')#
𝑎9# :)4# ,-(*4# 40"%# ,)*($4# G# &"# .$"$,-%)&,# ')# %)"4(0"7#
'$*(=,-"%#&")#+0,/)#$*)/%,010%,(/)#/0"%("&)#𝑈!9#
B-# ,$4(4%-"/)# %0%-*)# '&# /(,/&(%# )4%# "0%$)# 𝑅#)%# )**)# )4%#
("'$5)"'-"%)# ')# *-# 504(%(0"# ')# *-# 6-,,)# 𝑃𝑄9# !"# 4&5504)#
)"+("#2&)#*3("'&/%-"/)#5,05,)#'&#/(,/&(%#)4%#"$.*(.)-6*)9#
H-"4#*3)45-/)#0I#5)&%#4)#'$5*-/),#*-#6-,,)#,?.")#&"#/@-15#
1-."$%(2&)#4%-%(0""-(,)#)%#&"(+0,1)#A#
𝐵=𝐵𝑒!#
C#*3("4%-"%#("(%(-*7#*-#6-,,)#)4%#*J/@$)#4-"4#=(%)44)#("(%(-*)9#
KL </,(,)#*3$2&-%(0"#$*)/%,(2&)#'&#'(4504(%(+9#
ML </,(,)#*3$2&-%(0"#1$/-"(2&)#'&#'(4504(%(+9#
NL O$40&',)# *)# 4P4%?1)# '3$2&-%(0"4# /0&5*$)4# -("4(# '$%),1("$9# <"# '$'&(,)# *)4# );5,)44(0"4# ')# *-#
=(%)44)#𝑣(𝑡)#')#*-#6-,,)#)%#')#*3("%)"4(%$#𝑖(𝑡)#'&#/0&,-"%#$*)/%,(2&)#/(,/&*-"%#'-"4#*)#'(4504(%(+#)%#
*)4#,)5,$4)"%),9#
QL R&)**)#/0"'(%(0"#'0(%#4-%(4+-(,)#*-#,$4(4%-"/)#𝑅#'&#/(,/&(%#50&,#2&)#*-#6-,,)#%016)#E#
SL H$%),1("),#*-#=(%)44)#*(1(%)#5,(4)#5-,#*-#6-,,)9#
TL C55*(/-%(0"#U&1$,(2&)#A#𝑚=0,5!g#V#𝑈!=1,5!V#V#𝐵=0,5!T#V#𝑅=8!Ω#V#𝑎=5!cm#
Correction):!
Lorsque!la!barre!se!déplace!dans!le!champ!magnétique,!elle!est!le!siège!d’un!phénomène!d’induction!de!
Lorentz.!Elle!se!comporte!donc!comme!un!générateur!de!tension,!délivrant!une!f.é.m.,!égale!à!la!f.é.m.!
induite!donnée!par!la!loi!de!Faraday.!Le!circuit!est!donc!parcouru!par!un!courant!induit,!dont!le!sens!
de!circulation!est!donné!par!le!loi!de!modération!de!Lenz.!
Loi! de! modération! de! Lenz!:! l’induction,! par! ses! effets,!
doit!s’opposer!aux!effets!qui!lui!donne!naissance,!ici!une!
augmentation!du!flux!du!champ!magnétique!lorsque!la!
se! déplace! dans! la! zone!champ! magnétique.! Ainsi,!
l’induction! électromagnétique! va!vouloir! s’opposer! à!
cette! augmentation! du! flux! du! champ! magnétique! en!
créant,!par!l’intermédiaire!du!courant!induit,!un!champ!
magnétique! induit! de! sens! opposé! au! champ!
magnétique!extérieur.!
La!règle!de!la!main!droite!nous!permet!alors!d’affirmer!
que!le!courant!induit!va!circuler!dans!le!sens!𝑄→𝑃.!!
Cette! orientation! impose! le! sens! de! la! surface! 𝑑𝑆!
permettant!de!calculer!le!flux!magnétique!(cf.!figure!ciN
contre)!:!
𝑑𝑆 =−𝑑𝑆𝑒!!
!

!
1) On!calcule!tout!d’abord!le!flux!du!champ!magnétique!à!travers!le!circuit!:!
𝜙=𝐵𝑒!.−𝑑𝑆𝑒!
!
!"#!$"%
!
!𝜙=−𝐵𝑑𝑆
!
!"#!$"%
!
⇔!!𝜙=−𝑎𝐵𝑧(𝑡)!
Calcul!de!la!f.é.m.!induite!:!on!utilise!la!loi!de!Faraday!
𝑒𝑡=−𝑑𝜙
𝑑𝑡 !
⇔!!𝑒𝑡=𝑎𝐵
𝑑𝑧
𝑑𝑡!
⇔!!𝑒𝑡=𝑎𝐵𝑣 !
Circuit!électrique!équivalent!:!!
!
Calcul!du!courant!induit!:!L’intensité!du!courant!induit!dans!le!circuit!se!calcule!en!appliquant!la!
loi!des!mailles!:
𝑈!+𝑒(𝑡)−𝑅𝑖(𝑡)=0!
⇔!!𝑖𝑡=
𝑈!+𝑒
𝑅
!
⇔!!𝑖𝑡=
𝑈!+𝑎𝐵𝑣
𝑅
!
2) Référentiel!:!référentiel!du!laboratoire!supposé!galiléen!
Système!:!tige!PQ!de!masse!m!
Système!de!coordonnées!:!cartésien!!
Bilan!des!forces!:!N!poids!:!𝑃=𝑚𝑔=𝑚𝑔𝑒!!
! !N!!force!de!Laplace!:!𝐹
!!
𝐹
!=𝑖𝑑𝑙⋀𝐵
!
!"#$!!"
!