Correction

Induction électromagnétique Exercice 1 : Freinage électromagnétique On étudie le freinage électromagnétique d’une spire conductrice rectangulaire 𝑀𝑁𝑃𝑄 mobile, de côtés 𝑎 et 𝑏 , de masse 𝑚 négligeable, de résistance 𝑅 et d’inductance propre négligeable. Cette spire est en translation selon l’axe (𝑂𝑥). Elle traverse une zone de longueur 𝑑 𝑑 > 𝑏 dans laquelle règne un champ magnétique uniforme de la forme : 𝐵 = 𝐵𝑢! On admet que le champ est nul en dehors de cette zone. On néglige aussi toute force autre que magnétique. 𝑋(𝑡) représente l’abscisse du côté 𝑀𝑁 et 𝑣 (𝑡) désigne la vitesse du cadre. La spire entre dans le champ avec une vitesse 𝑣! . A quelle condition en ressort-­‐elle ? Si cette condition est vérifiée, déterminer la diminution de vitesse ∆𝑣. Correction : Loi de modération de Lenz : l’induction électromagnétique, par ses effets, doit s’opposer aux effets qui lui donne naissance, ici une augmentation du flux du champ magnétique lorsque la spire entre dans la zone de champ magnétique. Ainsi, l’induction électromagnétique va : -­‐ freiner la spire (effet mécanique) -­‐ générer un courant induit (effet électrique), qui va créer un champ magnétique induit de sens opposé au champ magnétique extérieur. La règle de la main droite nous indique donc que le courant induit va circuler dans le sens 𝑁 → 𝑀. Choix d’une orientation pour le courant induit : on choisit d’orienter le courant induit dans le sens 𝑁 → 𝑀. Cette orientation impose le sens de la surface 𝑑𝑆 permettant de calculer le flux du champ magnétique : le vecteur surface élémentaire apparaissant dans le calcul du flux du champ magnétique sera alors orienté selon : 𝑑𝑆 = −𝑑𝑆𝑢!
Equation électrique : Pour qu’il y ait induction électromagnétique, il faut que le flux du champ magnétique à travers la spire soit non nul, donc que la spire soit au moins partiellement entrée dans la zone de champ magnétique. On distingue alors 3 situations : 0 < 𝑋(𝑡) < 𝑏 𝑏 < 𝑋 𝑡 < 𝑑 𝑑 < 𝑋 𝑡 < 𝑑 + 𝑏 La spire n’est pas intégralement entrée dans la zone de champ magnétique La spire est intégralement entrée dans la zone de champ magnétique La spire est en train de sortie de la zone de champ magnétique Calcul du flux : Calcul du flux : 𝜙=
𝐵 𝑢! . −𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢! !
!
!(!) !
!(!) !
𝜙=
⇔ 𝜙 = −𝑎𝑏𝐵 ⇔ 𝜙 = −𝑎𝐵𝑋(𝑡) Calcul de la f.é.m. induite : on utilise la loi de Faraday 𝑑𝜙
𝑒 𝑡 = − 𝑑𝑡
𝑑𝑋
⇔ 𝑒 𝑡 = 𝑎𝐵 𝑑𝑡
⇔ 𝑒 𝑡 = 𝑎𝐵𝑣 Circuit électrique équivalent : 𝐵. 𝑑𝑆 !"#$%
!
𝜙=
𝐵 𝑢! . −𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢! Calcul de la f.é.m. induite : on utilise la loi de Faraday 𝑑𝜙
𝑒 𝑡 = − 𝑑𝑡
⇔ 𝑒 𝑡 = 0 𝐵 𝑢! . −𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢! ! ! !! !
!(!)!! !
!
𝜙=
𝐵. 𝑑𝑆 !"#$%
!"#$%
𝜙 =
Calcul du flux : 𝜙=
𝐵. 𝑑𝑆 ⇔ 𝜙 = −𝑎𝐵 𝑑 − 𝑋 𝑡 + 𝑏 Calcul de la f.é.m. induite : on utilise la loi de Faraday 𝑑𝜙
𝑒 𝑡 = − 𝑑𝑡
𝑑𝑋
⇔ 𝑒 𝑡 = −𝑎𝐵 𝑑𝑡
⇔ 𝑒 𝑡 = −𝑎𝐵𝑣 Il n’y a pas de phénomène d’induction électromagnétique Circuit électrique équivalent : car le flux du champ magnétique à travers la spire est constant. Pour qu’il y ait freinage, il faut que la spire entre ou sorte d’une zone de champ magnétique. Calcul du courant induit : ⇔ 𝑖 𝑡 = 0 Calcul du courant induit : L’intensité du courant induit dans le circuit se calcule en appliquant la loi des mailles :
Calcul du courant induit : L’intensité du courant induit dans le circuit se calcule en appliquant la loi des mailles :
𝑒(𝑡) − 𝑅𝑖(𝑡) = 0 𝑒
𝑎𝐵
⇔ 𝑖 𝑡 = = −
𝑣 𝑅
𝑅
𝑒(𝑡) − 𝑅𝑖(𝑡) = 0 ⇔ 𝑖 𝑡 =
𝑒 𝑎𝐵
=
𝑣 𝑅
𝑅
Equation mécanique : Connaissant le courant induit dans la spire, nous pouvons calculer la résultante des forces de Laplace qui s’exercent sur la spire. 0 < 𝑋(𝑡) < 𝑏 𝑑 < 𝑋 𝑡 < 𝑑 + 𝑏 Calcul des forces de Laplace : Calcul des forces de Laplace : 𝐹! =
𝑖𝑑𝑙⋀𝐵 𝐹! =
𝑖𝑑𝑙⋀𝐵 !"#$% !"#$ !
!"#$% !"#$ !
!
! !
⇔ 𝐹! =
⇔ 𝐹! =
𝑖𝑑𝑥𝑢! ⋀𝐵𝑢! ! ! !!
!
!
!(!)
!
+
𝑖𝑑𝑦 −𝑢! ⋀𝐵𝑢! +
!
𝑖𝑑𝑥 −𝑢! ⋀𝐵𝑢! +
!
𝑖𝑑𝑦𝑢! ⋀𝐵𝑢! +
!
!
𝑖𝑑𝑥𝑢! ⋀𝐵𝑢! ! ! !!
⇔ 𝐹! = 𝑖𝐵𝑎𝑢! ⇔ 𝐹! = −𝑖𝐵𝑎𝑢! ⇔ 𝐹! = −
𝑖𝑑𝑥 −𝑢! ⋀𝐵𝑢! 𝑎! 𝐵!
𝑣 𝑢! 𝑅
⇔ 𝐹! = −
On trouve bien le résultat prédit par la loi de Lenz, à savoir que la résultante des forces de Laplace est une force freinante qui s’oppose au mouvement. 𝑎! 𝐵!
𝑣 𝑢! 𝑅
On trouve bien le résultat prédit par la loi de Lenz, à savoir que la résultante des forces de Laplace est une force freinante qui s’oppose au mouvement. Equation mécanique : on applique le PFD à la Equation mécanique : on applique le PFD à la spire, la résultante des forces de Laplace spire, la résultante des forces de Laplace étant la seule force appliquée à la spire : étant la seule force appliquée à la spire : 𝑚𝑎 𝑀 = 𝐹! 𝑚𝑎 𝑀 = 𝐹! On projette cette équation sur l’axe (𝑂𝑥) : 𝑑𝑣
𝑎! 𝐵!
𝑚
=−
𝑣 𝑑𝑡
𝑅
𝑑𝑣
𝑎 ! 𝐵 ! 𝑑𝑋
⇔𝑚
=−
𝑑𝑡
𝑅 𝑑𝑡
On projette cette équation sur l’axe (𝑂𝑥) : 𝑑𝑣
𝑎! 𝐵!
𝑚
=−
𝑣 𝑑𝑡
𝑅
𝑑𝑣
𝑎 ! 𝐵 ! 𝑑𝑋
⇔𝑚
=−
𝑑𝑡
𝑅 𝑑𝑡
𝑎! 𝐵!
⇔ 𝑑𝑣 = −
𝑑𝑋 𝑚𝑅
𝑎! 𝐵!
⇔ 𝑑𝑣 = −
𝑑𝑋 𝑚𝑅
On intègre cette équation sur la longueur de On intègre cette équation sur la longueur de trajet où la spire subit l’induction (b) : trajet où la spire subit l’induction (b) : !(!)
!(!)
𝑎! 𝐵!
𝑑𝑣 = −
𝑚𝑅
𝑣 𝑏 − 𝑣(0) = −
!(!!!)
!
𝑑𝑋 !(!)
!
𝑎! 𝐵!
𝑚𝑅
𝑎! 𝐵!
𝑑𝑣 = −
𝑚𝑅
!!!
𝑑𝑋 !
𝑣 𝑑 + 𝑏 − 𝑣(𝑑) = −
𝑏 Δ𝑣 𝑎 ! 𝐵 !
⇔
=
𝑏 2
𝑚𝑅
⇔
Δ𝑣 𝑎 ! 𝐵 !
=
𝑏 2
𝑚𝑅
Pour que la spire sorte de la zone de champ magnétique, il faut donc que : Δ𝑣 =
2𝑎 ! 𝐵 !
𝑏 > 𝑣! 𝑚𝑅
𝑎! 𝐵!
𝑏 𝑚𝑅
Exercice 2 : Rail de Laplace vertical On considère un dispositif de rail de Laplace vertical, dans lequel une barre métallique 𝑃𝑄, de masse 𝑚, peut glisser sans frottement le long de deux rails verticaux distants de 𝑎. Ces rails sont reliés à un générateur de tension, délivrant une force électromotrice continue 𝑈! . La résistance totale du circuit est notée 𝑅 et elle est indépendante de la position de la barre 𝑃𝑄. On suppose enfin que l’inductance propre du circuit est négligeable. Dans l’espace où peut se déplacer la barre règne un champ magnétique stationnaire et uniforme : 𝐵 = 𝐵𝑒! A l’instant initial, la barre est lâchée sans vitesse initiale. 1) Ecrire l’équation électrique du dispositif. 2) Ecrire l’équation mécanique du dispositif. 3) Résoudre le système d’équations couplées ainsi déterminé. En déduire les expressions de la vitesse 𝑣 (𝑡) de la barre et de l’intensité 𝑖 (𝑡) du courant électrique circulant dans le dispositif et les représenter. 4) Quelle condition doit satisfaire la résistance 𝑅 du circuit pour que la barre tombe ? 5) Déterminer la vitesse limite prise par la barre. 6) Application Numérique : 𝑚 = 0,5 g ; 𝑈! = 1,5 V ; 𝐵 = 0,5 T ; 𝑅 = 8 Ω ; 𝑎 = 5 cm Correction : Lorsque la barre se déplace dans le champ magnétique, elle est le siège d’un phénomène d’induction de Lorentz. Elle se comporte donc comme un générateur de tension, délivrant une f.é.m., égale à la f.é.m. induite donnée par la loi de Faraday. Le circuit est donc parcouru par un courant induit, dont le sens de circulation est donné par le loi de modération de Lenz. Loi de modération de Lenz : l’induction, par ses effets, doit s’opposer aux effets qui lui donne naissance, ici une augmentation du flux du champ magnétique lorsque la se déplace dans la zone champ magnétique. Ainsi, l’induction électromagnétique va vouloir s’opposer à cette augmentation du flux du champ magnétique en créant, par l’intermédiaire du courant induit, un champ magnétique induit de sens opposé au champ magnétique extérieur. La règle de la main droite nous permet alors d’affirmer que le courant induit va circuler dans le sens 𝑄 → 𝑃. Cette orientation impose le sens de la surface 𝑑𝑆 permettant de calculer le flux magnétique (cf. figure ci-­‐
contre) : 𝑑𝑆 = −𝑑𝑆𝑒! 1) On calcule tout d’abord le flux du champ magnétique à travers le circuit : 𝜙=
𝐵𝑒! . −𝑑𝑆𝑒! !"#!$"%
𝜙 = −𝐵
𝑑𝑆 !"#!$"%
⇔ 𝜙 = −𝑎𝐵𝑧(𝑡) Calcul de la f.é.m. induite : on utilise la loi de Faraday 𝑑𝜙
𝑒 𝑡 = − 𝑑𝑡
𝑑𝑧
⇔ 𝑒 𝑡 = 𝑎𝐵 𝑑𝑡
⇔ 𝑒 𝑡 = 𝑎𝐵𝑣 Circuit électrique équivalent : Calcul du courant induit : L’intensité du courant induit dans le circuit se calcule en appliquant la loi des mailles :
𝑈! + 𝑒(𝑡) − 𝑅𝑖(𝑡) = 0 ⇔ 𝑖 𝑡 =
𝑈! + 𝑒
𝑅
⇔ 𝑖 𝑡 =
𝑈! + 𝑎𝐵𝑣
𝑅
2) Référentiel : référentiel du laboratoire supposé galiléen Système : tige PQ de masse m Système de coordonnées : cartésien Bilan des forces : -­‐ poids : 𝑃 = 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔𝑒! -­‐ force de Laplace : 𝐹! 𝐹! =
𝑖𝑑𝑙⋀𝐵 !"#$ !"
!
⇔ 𝐹! =
𝑖 −𝑑𝑥𝑢! ⋀𝐵𝑢! !
⇔ 𝐹! = −𝑖𝐵𝑎𝑢! On trouve bien le résultat prédit par la loi de Lenz, à savoir que la résultante des forces de Laplace est une force freinante qui s’oppose au mouvement. Equation mécanique : on applique le PFD à la tige PQ : 𝑚𝑎 𝑀 = 𝑃 + 𝐹! On projette cette équation sur l’axe (𝑂𝑧) : 𝑑𝑣
= 𝑚𝑔 − 𝑖𝐵𝑎 𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑖𝐵𝑎
⇔
=𝑔−
𝑑𝑡
𝑚
𝑚
3) On obtient donc le système d‘équations couplées suivant : 𝑈! + 𝑎𝐵𝑣
𝑖 𝑡 =
𝑅
𝑑𝑣
𝑖𝐵𝑎
=𝑔−
𝑑𝑡
𝑚
On injecte l’expression du courant de la première équation dans la seconde : 𝑑𝑣
𝐵𝑎 𝑈! + 𝑎𝐵𝑣
=𝑔−
𝑑𝑡
𝑚𝑅
⇔ 𝑑𝑣 𝑎 ! 𝐵 !
𝐵𝑎𝑈!
+
𝑣=𝑔−
𝑑𝑡
𝑚𝑅
𝑚𝑅
On reconnaît une équation différentielle du premier ordre dont la forme canonique est : 𝑑𝑣 1
𝐵𝑎𝑈!
𝑚𝑅
+ 𝑣=𝑔−
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜏 = ! ! 𝑑𝑡 𝜏
𝑚𝑅
𝑎 𝐵
On résout cette équation différentielle : Solution générale = Solution
Solution de l'équation
+ particulière
sans second membre
Solution particulière : on trouve la solution particulière en choisissant 𝑢 constant : 𝐵𝑎𝑈!
𝑣=𝜏 𝑔−
𝑚𝑅
Solution sans second membre : en posant A est une constante d’intégration, on a : 𝑑𝑣 1
𝑡
+ 𝑣 𝑡 = 0 donc 𝑣 𝑡 = 𝐴 𝑒𝑥𝑝 − 𝑑𝑡 𝜏
𝜏
Solution générale : 𝐵𝑎𝑈!
𝑡
+ 𝐴 𝑒𝑥𝑝 − 𝑚𝑅
𝜏
Pour trouver l’expression de la constante d’intégration A, on se sert de la condition initiale : 𝐵𝑎𝑈!
𝐵𝑎𝑈!
𝑣 𝑡=0 =0=𝜏 𝑔−
+ 𝐴 donc 𝐴 = −𝜏 𝑔 −
𝑚𝑅
𝑚𝑅
𝐵𝑎𝑈!
𝑡
𝑎𝑖𝑛𝑠𝑖 𝑣 𝑡 = 𝜏 𝑔 −
1 − 𝑒𝑥𝑝 −
𝑚𝑅
𝜏 𝑢 𝑡 =𝜏 𝑔−
On obtient finalement l’expression de 𝑖(𝑡) en reportant l’expression de 𝑣 𝑡 dans la première équation : 𝑈! + 𝑎𝐵𝑣
𝑖 𝑡 =
𝑅
⇔ 𝑖 𝑡 =
𝑚
𝑡
1 − 𝑒𝑥𝑝 −
𝐵𝑎
𝜏
4) Pour que la barre tombe, il faut que : 𝑣 > 0 𝐵𝑎𝑈!
⇔ 𝑔 −
> 0 𝑚𝑅
𝐵𝑎𝑈!
⇔ 𝑔 >
𝑚𝑅
⇔ 𝑅 >
𝐵𝑎𝑈!
= 7,6 Ω 𝑚𝑔
5) La vitesse limite prise par la barre vaut : 𝑣!"# = lim 𝑣 𝑡 = 𝜏 𝑔 −
!→!
𝐵𝑎𝑈!
= 2,7 𝑚. 𝑠 !! 𝑚𝑅
Remarque : -­‐ Pour que la barre descende, on vient de démontrer que la résistance doit être supérieure à une valeur critique. Est-­‐ce cohérent. On peut, pour répondre à cette question, étudier ce qui se passe dans la limite 𝑅 → ∞. Dans cette situation limite, la résistance du circuit est tellement grande qu’aucun courant ne peut circuler dans le circuit. La force de Laplace exercée sur la barre doit donc s’annuler et la barre n’est plus soumise qu’à son poids : elle va donc descendre le long du rail horizontal.