VIB - Vibration des systèmes mécaniques - INSA Rouen

INSA de Rouen - MECA3 - Année 2012-2013
VIB - Vibration des systèmes mécaniques
Sommaire
Introduction 2
1 Vibration des systèmes mécaniques à un degré de liberté 2
1.1 Représentation et équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Représentation .................................................. 2
1.1.2 Equationdumouvement ............................................. 2
1.2 Régime de vibration libre : f(t) = 0 ........................................... 2
1.2.1 Amortissement hypercritique : a>1....................................... 3
1.2.2 Amortissement critique : a=1.......................................... 3
1.2.3 Amortissement sous-critique : a<1....................................... 3
1.3 Régime en vibration forcée dû à une force harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Expressiondelasolution............................................. 4
1.3.2 Etude et représentations de X
x0
en fonction de ω................................. 4
1.4 Régime en vibration forcée dû à une force périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Représentation par des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Remarques .................................................... 5
1.5 Régime en vibration forcée dû à une force quelconque non aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.1 Détermination de la solution par la méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.2 Approche physique du calcul de la réponse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.3 Calcul de la réponse à une excitation quelconque par transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Vibration des systèmes mécaniques à ndegrés de liberté 7
2.1 Equationdumouvement ................................................. 7
2.1.1 EquationsdeLagrange.............................................. 7
2.1.2 Equationmatricielle ............................................... 7
2.2 Fréquencesetmodespropres............................................... 7
2.2.1 Fréquencespropres................................................ 7
2.2.2 Modespropres .................................................. 7
2.2.3 Normalisation................................................... 7
2.3 Régimetransitoire..................................................... 8
2.4 Régimepermanent .................................................... 8
2.4.1 Résolutiondirecte ................................................ 8
2.4.2 Résolutionmodale ................................................ 8
1

Introduction
La notion de vibration se retrouve dans énormément de domaines physiques : mécanique, électricité, optique, acoustique... Quant
aux vibrations mécaniques, celles-ci apparaissent dans toutes les structures : constructions en génie civil, éléments de machinerie,
automobile, aéronautique, etc. On a longtemps étudié ces vibrations dans le but de les atténuer voire les supprimer afin de résoudre
des problèmes de bruit, de confort et de tenue en fatigue.
L’étude de base est celle d’un système à un degré de liberté pour déterminer ses fréquences de résonance, ses amortissements, ses
réponses à une excitation que l’on peut ensuite étendre sur N degrés.
1 Vibration des systèmes mécaniques à un degré de liberté
1.1 Représentation et équation du mouvement
1.1.1 Représentation
x
ressort k
amortisseur c
masse m−kx(t)
−c˙x(t)
f(t)
m
Ce système est le plus simple : il consiste en une seule équation différentielle du second degré à un degré de liberté.
On néglige la masse du ressort et de l’amortisseur. On repère toujours la position xpar rapport à la position d’équilibre. La masse est
soumise aux forces (−kx(t)−c˙x(t) + f(t))−→ xet aux forces de guidage supposées orthogonales à −→ x.
1.1.2 Equation du mouvement
Le principe fondamental de la dynamique donne m¨x(t) = −kx(t)−c˙x(t) + f(t)
Ou encore m¨x(t) + c˙x(t) + kx(t) = f(t)avec
m: masse du système
c: coefficient d’amortissement visqueux
k: raideur du ressort
f(t): effort appliqué à la masse = force d’excitation
On peut définir deux régimes vibratoires : f(t) = 0 : vibrations libres (régime transitoire)
f(t)6=0 : vibrations forcées (régime permanent)
Dans le cas des vibrations forcées, l’excitation peut être :
harmonique/sinusoïdale
t
f
périodique
t
f
quelconque non aléatoire
t
f
aléatoire
Son comportement est défini
par des lois de probabilité.
En termes d’accélération, l’équation s’écrit aussi :
¨x(t) + 2aω0˙x(t) + ω2
0=1
mf(t)avec
ω2
0=k
m:ω0pulsation propre du système conservatif associé (équation si c=0)
f0=ω0
2π: fréquence propre du système conservatif associé
2aω0=c
m:acoefficient d’amortissement réduit
En termes de déplacement, on a m
k¨x(t) + c k˙x(t) + x(t) = 1 kf(t) = xe
1.2 Régime de vibration libre : f(t) = 0
Pour résoudre l’équation différentielle, on va chercher des solutions x(t) = Xest
Celles-ci donnent l’équation caractéristique s2+2aω0s+ω2
0=0 avec ∆=4ω2 0a2−1
2

1.2.1 Amortissement hypercritique : a>1
Solution : x(t) = Aes1t+Bes2t
Racines : s1,s2∈R−:
s1=−ω0a+√a2−1
s2=−ω0a−√a2−1
Coefficients : x(0) = x0
˙x(0) = ˙x0donne
A=˙x0−s2x0
s1−s2
B=−˙x0−s1x0
s1−s2
t
u0
Le mouvement est dit apériodique amorti.
1.2.2 Amortissement critique : a=1
Solution : x(t) =(At +B)est
Racine double : s∈R:s=−ω0a
Coefficients : x(0) = x0
˙x(0) = ˙x0donne A=aω0x0+˙x0
B=x0
t
u0
1.2.3 Amortissement sous-critique : a<1
C’est le cas le plus général en mécanique.
Racines : s1,s2∈C:s1=−aω0+jω
s2=−aω0−jω
avec ω=ω0√a2−1
(pulsation propre de l’oscillateur amorti)
Solution :
x(t) = x1es1t+x2es2t=e−aω0t(X1cos(ωt) + X2sin(ωt))
Coefficients : x(0) = x0
˙x(0) = ˙x0donne
X1=x0
X2=−˙x0+aω0x0
ω
t
u0
Le mouvement est dit pseudo-périodique.
La pseudo-période est T=2π
ω=t0
√1−a2>T0
On peut encore simplifier : x(t) = Xe−aω0tcos(ωt+ϕ)
avec
X=v
u
u
tx2
0+ ˙x0+aω0x0
ω!2
tan(ϕ) = ˙x0+aω0x0
ωx0
Détermination expérimentale de a:
On utilise le décrément logarithmique δ
δ=ln x(t)
x(t+T)!=aω0T=2πa
√1−a2
Pour a<< 1 (cas usuel), on a ω≈ω0et δ≈2πa
Le coefficient de surtension Q=π
δest alors Q=1 2a
1.3 Régime en vibration forcée dû à une force harmonique
On étudie le cas d’une sollicitation extérieure sinusoïdale f(t) = f0cos(ωt),ω>0
A noter que la solution d’une équation différentielle consiste toujours en la somme d’une solution homogène (régime transitoire)
et d’une solution particulière (régime permanent). Les solutions homogènes ayant été développées dans la paragraphe précédent on
ne s’intéresse qu’aux solutions particulières.
3

1.3.1 Expression de la solution
On opère un passage en complexes : f$sut =f0ejωt=⇒x(t) = Xejωt
Ainsi −ω2+2jaωω0+ω2
0X=f0
m
On a donc X(ω) = f0
m
1
ω2
0−ω2+2a jωω0
=x0
1−u2+2jau
(1−u2)2+4a2u2avec
u=ω
ω0
f0=mω2x0=kx0
x0correspond au déplacement sta-
tique dû à la charge f0
Amplitude de vibration : |x(t)|=|X(ω)|=x0
q(1−u2)2+4a2u2
Déphasage entre force et déplacement : tan(Φ) = −2au
1−u2
On peut aussi considérer l’admittance complexe Γ(ω) = X(ω)
f0
m
1.3.2 Etude et représentations de X
x0
en fonction de ω
Etude On s’intéresse uniquement aux cas pour lesquels a<< 1. On pose y(u) = |x(t)|
x0
=X
x0
=kX
f0
=1
q(1−u2)2+4a2u2
avec
u=ω
ω0
et ω2
0=k
m
On obtient un maximum d’amplitude pour ua=√1−2a2
D’où la pulsation à la résonance d’amplitude ωa=ω0√1−2a2<ω0
Dans le cas particulier où l’amortissement est petit, on a X(ωa)
x0
=Xmax
x0
=1
2a√1−a2≈1
2a≈Qavec Qle coefficient de surtension.
Représentation de Bode On va chercher à représenter le niveau décibel de X
x0
(c’est-à-dire le niveau décibel du module de
l’admittance complexe en fonction de ω). La représentation du niveau décibel permet de voir le comportement sur les grandes
amplitudes.
Lieu de Nyquist On va tracer dans le plan complexe la partie imaginaire de Γ(ω)en fonction de sa partie réelle.
R
J
ω=ω0(1+a)
Φ=π
4
ω=ω0(1−a)
Φ=−π
4
ω=ω0
Φ=π
2
ω=ωa
X
x0
=Q≈1
2a
Ψ
ω→+∞ω=0
4

1.4 Régime en vibration forcée dû à une force périodique
1.4.1 Représentation par des séries de Fourier
L’équation différentielle étant linéaire, on peut lui appliquer le principe de superposition. En effet, le réponse totale d’un système
peut toujours être calculée en exprimant l’excitation sous la forme d’une somme de sollicitations élémentaires.
Ainsi, une sollicitation périodique se décompose en une somme de sollicitation harmoniques par ce principe.
En reprenant l’équation du mouvement et en posant ω2
0f(t) = f
m, on peut décomposer f
Ainsi : f(t) = mω2
0 1
2b0+
∞
∑
n=1
ansin(nωt) + bncos(nωt)!avec
b0=2
T
T
Z
0
f(t)dt
an=2
T
T
Z
0
f(t)sin(nωt)dt
bn=2
T
T
Z
0
f(t)cos(nωt)dt
Ou encore : f(t) = mω2
0 b0
2+
∞
∑
n=1
1
2Fncos(nωt+ϕn)!avec F2
n=a2 n+b2 n
ϕn=−an
bn
Cette représentation est discrète dans le domaine des fréquences, Elle porte le nom de spectre de raies.
Ainsi, la solution finale est de la forme x(t) = xS+
∞
∑
n=1
xn(t)avec :
xs=b0
2la réponse statique
xn=Fny(nu)cos(nωt+Φn)la réponse à la pulsation nωavec y(nu) = 1
q(1−n2u2)2+4a2n2u2
tan(Φn) = 2anu
1−n2u2et u=ω ω0
1.4.2 Remarques
La série de Fourier s’étend sur une infinité de termes, mais il est suffisant de le décomposer pour les premiers éléments de plus
forte amplification (notamment au niveau de la résonance).
En utilisant les relations d’Euler, cos(nωt) = ejnωt+e−jnωt
2et cos(nωt) = ejnωt−e−jnωt 2j, la décomposition en série de
Fourier peut prendre la forme f(t) =
∞
∑
n=−∞
Cnejnωtavec C0=b0et Cn=bn+jan
1.5 Régime en vibration forcée dû à une force quelconque non aléatoire
1.5.1 Détermination de la solution par la méthode de Lagrange
En utilisant la méthode de variation de la constante pour x(t) =C1(t)es1t+C2(t)es2t, et en posant arbitrairement la relation ·C1(t)es1t+
·C2(t)es2t=0, on obtient le produit de convolution suivant :
x(t) = h∗f(t) =
t
Z
0
h(t−τ)f(τ)dτavec h(t) = 1
mωe−aω0tsin(ωt)
1.5.2 Approche physique du calcul de la réponse temporelle
Une excitation quelconque peut se décomposer en une infinité d’impulsions élémentaire d’intensité f(τ)∆τ. La réponse de la
structure peut ensuite être calculée par principe de superposition.
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