VIB - Vibration des systèmes mécaniques - INSA Rouen

INSA de Rouen - MECA3 - Année 2012-2013
VIB - Vibration des systèmes mécaniques
Sommaire
Introduction
1
2
2
Vibration des systèmes mécaniques à un degré de liberté
1.1 Représentation et équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Régime de vibration libre : f (t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Amortissement hypercritique : a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Amortissement critique : a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Amortissement sous-critique : a < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Régime en vibration forcée dû à une force harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Expression de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X
1.3.2 Etude et représentations de en fonction de ω . . . . . . . . . . . . . . . . .
x0
1.4 Régime en vibration forcée dû à une force périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Représentation par des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Régime en vibration forcée dû à une force quelconque non aléatoire . . . . . . . . . .
1.5.1 Détermination de la solution par la méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Approche physique du calcul de la réponse temporelle . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Calcul de la réponse à une excitation quelconque par transformation de Fourier
Vibration des systèmes mécaniques à n degrés de liberté
2.1 Equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Equation matricielle . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fréquences et modes propres . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Fréquences propres . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Résolution directe . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Résolution modale . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
. . . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
5
5
5
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Introduction
La notion de vibration se retrouve dans énormément de domaines physiques : mécanique, électricité, optique, acoustique... Quant
aux vibrations mécaniques, celles-ci apparaissent dans toutes les structures : constructions en génie civil, éléments de machinerie,
automobile, aéronautique, etc. On a longtemps étudié ces vibrations dans le but de les atténuer voire les supprimer afin de résoudre
des problèmes de bruit, de confort et de tenue en fatigue.
L’étude de base est celle d’un système à un degré de liberté pour déterminer ses fréquences de résonance, ses amortissements, ses
réponses à une excitation que l’on peut ensuite étendre sur N degrés.
1
Vibration des systèmes mécaniques à un degré de liberté
1.1
Représentation et équation du mouvement
1.1.1
Représentation
ressort k
−kx(t)
masse m
x
m
f (t)
−cẋ(t)
amortisseur c
Ce système est le plus simple : il consiste en une seule équation différentielle du second degré à un degré de liberté.
On néglige la masse du ressort et de l’amortisseur. On repère toujours la position x par rapport à la position d’équilibre. La masse est
−
−
soumise aux forces (−kx(t) − cẋ(t) + f (t)) →
x et aux forces de guidage supposées orthogonales à →
x.
1.1.2
Equation du mouvement
Le principe fondamental de la dynamique donne mẍ(t) = −kx(t) − cẋ(t) + f (t)
m : masse du système
c : coefficient d’amortissement visqueux
Ou encore mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = f (t)
avec
k : raideur du ressort
f (t) : effort appliqué à la masse = force d’excitation
f (t) = 0 : vibrations libres (régime transitoire)
On peut définir deux régimes vibratoires :
f (t) 6= 0 : vibrations forcées (régime permanent)
Dans le cas des vibrations forcées, l’excitation peut être :
harmonique/sinusoïdale
périodique
quelconque non aléatoire
f
f
f
aléatoire
Son comportement est défini
par des lois de probabilité.
t
t
t
En termes d’accélération, l’équation s’écrit aussi :
k
ω02 = : ω0 pulsation propre du système conservatif associé (équation si c = 0)
m
1
ω0
2
ẍ(t) + 2aω0 ẋ(t) + ω0 = f (t)
avec f0 =
: fréquence propre du système conservatif associé
m
2π
c
2aω0 = : a coefficient d’amortissement réduit
m
m
c
1
En termes de déplacement, on a ẍ(t) + ẋ(t) + x(t) = f (t) = xe
k
k
k
1.2
Régime de vibration libre : f (t) = 0
Pour résoudre l’équation différentielle, on va chercher des solutions x(t) = Xest
Celles-ci donnent l’équation caractéristique s2 + 2aω0 s + ω02 = 0 avec ∆ = 4ω02 a2 − 1
2
1.2.1
Amortissement hypercritique : a > 1
1.2.2
Amortissement critique : a = 1
Solution : x(t) = Aes1 t + Bes2 t
Solution : x(t) = (At + B) est
√
s1 = −ω0 a + a2 − 1
√
Racines : s1 , s2 ∈ R− :
s2 = −ω0 a − a2 − 1
Racine double : s ∈ R : s = −ω0 a
x(0) = x0
Coefficients :
ẋ(0) = ẋ0
ẋ0 − s2 x0
s1 − s2
ẋ0 − s1 x0
B=−
s1 − s2
Coefficients :
A=
donne
x(0) = x0
ẋ(0) = ẋ0
donne
A = aω0 x0 + ẋ0
B = x0
u0
u0
t
t
Le mouvement est dit apériodique amorti.
1.2.3
Amortissement sous-critique : a < 1
C’est le cas le plus général en mécanique.
s = −aω0 + jω
Racines : s1 , s2 ∈ C : 1
s
√ 2 = −aω0 − jω
avec ω = ω0 a2 − 1
(pulsation propre de l’oscillateur amorti)
−aω0 t cos(ωt + ϕ)
On peut encore
v simplifier : x(t) =!Xe
u
2
u
ẋ0 + aω0 x0
X = tx02 +
ω
avec
Solution :
ẋ0 + aω0 x0
tan(ϕ) =
x(t) = x1 es1 t + x2 es2 t = e−aω0 t (X1 cos(ωt) + X2 sin(ωt))
ωx0
X1 = x0
x(0) = x0
Coefficients :
donne X = − ẋ0 + aω0 x0
2
ẋ(0) = ẋ0
Détermination expérimentale de a :
ω
On utilise le décrément
logarithmique δ
!
u0
x(t)
2πa
δ = ln
= aω0 T = √
x(t + T )
1 − a2
Pour a << 1 (cas usuel), on a ω ≈ ω0 et δ ≈ 2πa
t
Le coefficient de surtension Q =
π
1
est alors Q =
δ
2a
Le mouvement est dit pseudo-périodique.
2π
t0
La pseudo-période est T =
=√
> T0
ω
1 − a2
1.3
Régime en vibration forcée dû à une force harmonique
On étudie le cas d’une sollicitation extérieure sinusoïdale f (t) = f0 cos(ωt), ω > 0
A noter que la solution d’une équation différentielle consiste toujours en la somme d’une solution homogène (régime transitoire)
et d’une solution particulière (régime permanent). Les solutions homogènes ayant été développées dans la paragraphe précédent on
ne s’intéresse qu’aux solutions particulières.
3
1.3.1
Expression de la solution
On opère un passage en complexes : f $sut = f0 e jωt
f0
Ainsi −ω 2 + 2 jaωω0 + ω02 X =
m
On a donc X(ω) =
x(t) = Xe jωt
=⇒
ω
ω0
f0 = mω 2 x0 = kx0
x0 correspond au déplacement statique dû à la charge f0
u=
1 − u2 + 2 jau
1
f0
= x0
2
2
m ω0 − ω + 2a jωω0
(1 − u2 )2 + 4a2 u2
avec
x0
Amplitude de vibration : |x(t)| = |X(ω)| = q
(1 − u2 )2 + 4a2 u2
2au
1 − u2
X(ω)
On peut aussi considérer l’admittance complexe Γ(ω) =
f0
m
Déphasage entre force et déplacement : tan(Φ) = −
1.3.2
Etude et représentations de
X
en fonction de ω
x0
Etude On s’intéresse uniquement aux cas pour lesquels a << 1. On pose y(u) =
|x(t)| X
kX
1
= =
=q
x0
x0
f0
(1 − u2 )2 + 4a2 u2
avec
ω
k
et ω02 =
ω0
m
√
2
On obtient un maximum d’amplitude pour ua = 1 − 2a√
D’où la pulsation à la résonance d’amplitude ωa = ω0 1 − 2a2 < ω0
u=
Dans le cas particulier où l’amortissement est petit, on a
X(ωa ) Xmax
1
1
=
= √
≈ ≈ Q avec Q le coefficient de surtension.
2
x0
x0
2a
2a 1 − a
X
(c’est-à-dire le niveau décibel du module de
x0
l’admittance complexe en fonction de ω). La représentation du niveau décibel permet de voir le comportement sur les grandes
amplitudes.
Représentation de Bode
On va chercher à représenter le niveau décibel de
Lieu de Nyquist On va tracer dans le plan complexe la partie imaginaire de Γ(ω) en fonction de sa partie réelle.
J
ω → +∞ ω = 0
R
Ψ
ω = ω0 (1 − a)
π
Φ=−
4
ω = ω0 (1 + a)
π
Φ=
4
ω = ωπ0
Φ=
2
4
ω = ωa
X
1
=Q≈
x0
2a
1.4
Régime en vibration forcée dû à une force périodique
1.4.1
Représentation par des séries de Fourier
L’équation différentielle étant linéaire, on peut lui appliquer le principe de superposition. En effet, le réponse totale d’un système
peut toujours être calculée en exprimant l’excitation sous la forme d’une somme de sollicitations élémentaires.
Ainsi, une sollicitation périodique se décompose en une somme de sollicitation harmoniques par ce principe.
En reprenant l’équation du mouvement et en posant ω02 f (t) =
f
, on peut décomposer f
m
T
2Z
f (t) dt
T
=
b0
!
Ainsi : f (t) = mω02
∞
1
b0 + ∑ an sin(nωt) + bn cos(nωt)
2
n=1
avec
2
T
=
an
2
T
=
bn
0
ZT
f (t) sin(nωt) dt
0
ZT
f (t) cos(nωt) dt
0
!
b0 ∞ 1
+ ∑ Fn cos(nωt + ϕn )
2 n=1 2
= a2n + b2n
an
ϕn = −
bn
Cette représentation est discrète dans le domaine des fréquences, Elle porte le nom de spectre de raies.
Ou encore :
f (t) = mω02
Fn2
avec
∞
Ainsi, la solution finale est de la forme x(t) = xS + ∑ xn (t) avec :
n=1
b0
xs =
la réponse statique
2
xn = Fn y(nu) cos(nωt + Φn ) la réponse à la pulsation nω avec y(nu) = q
1.4.2
1
(1 − n2 u2 )2 + 4a2 n2 u2
tan(Φn ) =
2anu
1 − n2 u2
et
u=
ω
ω0
Remarques
La série de Fourier s’étend sur une infinité de termes, mais il est suffisant de le décomposer pour les premiers éléments de plus
forte amplification (notamment au niveau de la résonance).
En utilisant les relations d’Euler, cos(nωt) =
e jnωt + e− jnωt
2
et
cos(nωt) =
e jnωt − e− jnωt
, la décomposition en série de
2j
∞
Fourier peut prendre la forme f (t) = ∑ Cn e jnωt avec C0 = b0 et Cn = bn + jan
n=−∞
1.5
Régime en vibration forcée dû à une force quelconque non aléatoire
1.5.1
Détermination de la solution par la méthode de Lagrange
En utilisant la méthode de variation de la constante pour x(t) = C1 (t) es1 t +C2 (t) es2 t , et en posant arbitrairement la relation ·C1 (t) es1 t +
·C2 (t) es2 t = 0, on obtient le produit de convolution suivant :
x(t) = h ∗ f (t) =
Zt
h(t − τ) f (τ) dτ
avec
h(t) =
1 −aω0 t
e
sin(ωt)
mω
0
1.5.2
Approche physique du calcul de la réponse temporelle
Une excitation quelconque peut se décomposer en une infinité d’impulsions élémentaire d’intensité f (τ) ∆τ. La réponse de la
structure peut ensuite être calculée par principe de superposition.
5
La réponse impulsionnelle est donnée pour une impulsion de Dirac f (t) telle que :
Z∆t
f (τ) dτ
lim
∆t→0
0
En remplaçant dans l’équation du mouvement et en intégrant (x(0) = 0 et ẋ(0) = 0), on obtient lim x(∆τ) =
∆t→0
1
m
1
Par conséquent, soumettre un système à une impulsion de Dirac revient à lui communiquer une vitesse initiale x(0+ ) = . Le
m
mouvement ultérieur correspond au régime libre du système avec ces conditions initiales.
1.5.3
Calcul de la réponse à une excitation quelconque par transformation de Fourier
La transformée intégrale de Fourier et la transformée inverse sont :
X(ω) = L (x(t)) =
Z+∞
x(t) e
+∞
− jωt
dt
x(t) = L
et
−1
−∞
1 Z
(X(ω)) =
X(ω) e jωt dω
2π
−∞
En fréquence, on a :
X( fr ) = L (x(t)) =
Z+∞
x(t) e−2π j fr t dt
x(t) = L −1 (X( fr )) =
et
−∞
Z+∞
X( fr ) e2π j fr t dω
−∞
Cette transformée permet de passer d’une solution temporelle à une solution fréquentielle. La particularité de cette transformée
est de transformer les produits de convolution en produits simples.
Ainsi, X( fr ) = H( f r) F( fr )
6
2
Vibration des systèmes mécaniques à n degrés de liberté
2.1
Equation du mouvement
2.1.1
Equations de Lagrange
Les équations de Lagrange ont cette utilité qu’ils permettent de déterminer plus facilement les équations du mouvement que le
principe fondamental de la dynamique (Un peu de MGEN n’est en l’occurrence pas de refus).
C’est une forme énergétique qui amène à l’équation du mouvement.
!
∂ ∂ EC
∂ EC ∂ EP ∂ R
Son expression est celle-ci :
−
+
+
= Qi
∂t ∂ q̇i
∂ qi
∂ qi ∂ q̇i
avec
2.1.2
EC : Energie cinétique (facilement déterminée via la MGEN)
1
EP : Energie potentielle (forme usuelle : EP = k (qi − q j )2 donnée par
2
les ressorts)
1
R : Energie dissipative (forme usuelle : R = c (q̇i − q̇ j )2 donnée par
2
les amortisseurs)
i ∈ {1, . . . , n} avec n le nombre d’équations
qi : Coordonnées généralisées (degrés de liberté)
Qi : Forces extérieures
Equation matricielle
Un système à n degrés de liberté va s’exprimer sous la forme suivante :
M ẍ(t) + Bẋ(t) + Kx(t) = F(t)
M : Matrice de masse, M ∈ Rn,n symétrique
B : Matrice de viscosité, B ∈ Rn,n symétrique
K : Matrice de raideur, K ∈ Rn,n symétrique
x(t) : Vecteur des coordonnées généralisées, x ∈ Rn
F(t) : Vecteur des forces extérieures, x ∈ Rn
De telles équations matricielles offrent rarement des solutions bien explicites comme pour un seul degré de liberté. Ainsi, il faut
chercher à diagonaliser les matrices.
avec
2.2
Fréquences et modes propres
2.2.1
Fréquences propres
Les pulsations propres ωi sont déterminées par la résolution du polynôme caractéristique :
det r2 M + rB + K = 0
=⇒
λi = ri2 = ±ω12
Ainsi, les fréquences propres correspondent finalement aux valeurs propres du système matriciel.
2.2.2
Modes propres
Les modes propres sont les vecteurs propres du système matriciel, chacun mode propre Φi est solution pour la valeur propre ri
associée :
ri2 M + ri B + K Φi = 0
2.2.3
Normalisation
Si demandé, il est possible normaliser les vecteurs propres. Trois normes sont possibles :
 
X1
√
 .. 
• Norme euclidienne : Pour X =  . , on doit avoir X1 + . . . + Xn = 1
Xn
• Norme par la masse totale : Si la masse totale du système est mt , on doit avoir T Φi MΦi = mt
• Norme par rapport à la matrice masse : On doit avoir Pour T Φi MΦ = 1. Cette norme est la plus utilisée.
7
2.3
Régime transitoire
 2
ω1

Matrice spectrale : S = 
0
0
..
.
ωn2




Matrice modale : Y = Φ1

···
Φn 
Chaque solution qi (t) va finalement être d’une des formes données dans le chapitre précédent selon la présence d’amortissements
ou non. On peut alors calculer la solution du problème initial x(t) = Y q(t)
2.4
Régime permanent
2.4.1
Résolution directe
La méthode directe consiste à chercher à résoudre directement pour chaque équation dans le problème initial. C’est une façon de
faire qui devient déjà assez lourde au-delà de i = 2
2.4.2
Résolution modale
La résolution modale passe par la diagonalisation des matrices précédentes : on effectue un changement de base.
M̃ = TY MY
B̃ = TY BY
Les changements de bases vont nous donner les grandeurs modales du système.
On a alors M̃ q̈(t) + B̃q̇(t) + K̃q(t) = TY F(t) avec q(t) les solutions modales.
La solution dans la base initiale est donnée par x(t) = Y q(t)
8
K̃ = TY KY