Transport et bruit dans les conducteurs cohérents

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ECOLE DE PHYSIQUE CARG` ESE 6. - 18. Octobre
QUANTIQUE M´ ESOSCOPIQUE
Transport et bruit dans les conducteurs coh´erents
Prof. M. B¨uttiker
Exercice 1: Diffusion `a travers deux barri`eres de potentiel
tLtR
L
On consid`ere un conducteur m´esoscopique constitu´e d’un seul canal avec deux barri`eres de
potentiel, s´epar´ees par un conducteur de longueur L. Les courants incidents, r´efl´echis et transmis
sont li´es par une matrice de diffusion
ˆ
S=r t′
t r′(1)
Les coefficients de transmission des deux barri`eres sont donn´es par tLet tR. Dans ce qui suit,
on calcule la probabilit´e de transmission par la double barri`ere et la matrice de diffusion dans
le r´egime de faible transmission, dit de Breit-Wigner. Des ´etats r´esonants apparaissent dans la
partie entre les deux barri`eres.
(a) ´ Ecrire les coefficients de transmission de la double barri`ere en prenant en compte les phases
accumul´ees dans le puits de potentiel et pendant la r´eflexion et transmission. Les matrices
de diffusion de chaque barri`ere αen absence d’un champ magn´etique s’´ecrivent
ˆ
Sα=eiφαi|rα|eiγα|tα|
|tα|i|rα|e−iγα,(2)
o`u φαet γαsont des phases accumul´ees pendant la transmission et la r´eflexion. On suppose
que cette matrice ne d´epend pas de l’´energie des particules incidentes.

(b) Calculer la probabilit´e de transmission et ´evaluer la limite de faible transmission. Faire un
d´eveloppement autour de la phase, pour laquelle la transmission a un maximum (r´esonance).
Exprimer la probabilit´e de transmission et la matrice de diffusion en fonction de l’´energie de
r´esonance.
(c) Trouver ensuite la conductance `a travers le conducteur.
Exercice 2: Contact de tension / contact de d´ephasage
On consid`ere un syst`eme de trois contacts `a un canal reli´es chacun au mˆeme ´etat r´esonant
comme montr´e sur la figure. La diff´erence de potentiel entre le contact gauche et le contact
droit est donn´ee par eV .
left contact
probe
right contact
resonant
state
tLtR
tp
µLµL
µp, np(E)
Le courant dans un contact s’´ecrit de fa¸con g´en´erale
Iα=e
hZdE "(1 −Tαα)nα(E)−X
β6=α
Tαβ nβ(E)#,(3)
o`u la temp´erature peut ˆetre non nulle et la distribution d’´energie dans les contacts est donn´ee
par les fonctions nα(E). Dans le cas o`u tous les contacts sont d´ecrits par des fonctions de Fermi
et o`u la temp´erature est ´egale `a z´ero on trouve dans le r´egime de r´eponse lin´eaire le r´esultat
connu
Iα=e
h"(1 −Tαα)µα−X
β6=α
Tαβ µβ#.(4)
On suppose d’abord que le contact p est une sonde de tension (voltage probe). Cela signifie
que le potentiel dans le contact p, µp, varie en fonction de µαet Tαβ de mani`ere `a ce que le
courant total dans le contact p soit toujours z´ero. Une telle sonde mesure la tension dans le
conducteur. Elle peut ´egalement ˆetre utilis´ee comme mod`ele pour introduire une d´ecoh´erence
dans le syst`eme.
(a) Calculer le potentiel µpen fonction de µLet µRainsi que les probabilit´es de transmission,
Tαβ .

(b) Calculer la conductance G12 et identifier la partie coh´erente et la partie non-coh´erente.
´
Ecrire la conductance en utilisant les probabilit´es dans le r´egime de Breit-Wigner.
Un autre mod`ele utilis´e pour d´ecrire le d´ephasage dans un conducteur est celui d’une sonde de
d´ephasage (dephasing probe). Dans ce cas le courant est z´ero dans chaque intervalle d’´energie
ce qui engendre une distribution hors d’´equilibre dans le contact de la sonde.
(c) Calculer la distribution np(E) dans le contact de d´ephasage et tracer la courbe correspon-
dante en fonction de l’´energie pour kBT= 0.
(d) D´emontrer que la conductance G12 est la mˆeme que dans le cas d’un contact de tension
pour kBT= 0. Cette observation n’est plus valable pour d’autres quantit´es et dans
un cas plus g´en´eral !
Exercice 3: Conductance `a deux contacts – le r´egime Hall quantique
Dans le r´egime Hall quantique, quand un champ magn´etique fort est appliqu´e perpendiculaire-
ment au conducteur, le transport s’effectue dans des ´etats de bord qui sont chiraux. Ces ´etats
de bords repr´esentent des canaux de transport. Le syst`eme peut ˆetre d´ecrit par une matrice de
diffusion comme avant. De nouveau on consid`ere des conducteurs dans lesquel des canaux de
transport (les ´etats de bord) sont connect´es par un ´etat de r´esonance.
(a)
R
tLtR
L
2
(b)
1
tup
tdown
On a d´ej`a calcul´e la conductance du syst`eme (a) avant. Calculer maintenant la conductance du
syst`eme (b) obtenu apr`es avoir d´eform´e g´eom´etriquement le syst`eme (a).
Exercice 4: R´esistance `a quatre contacts
On consid`ere de nouveau des conducteurs dans lesquel des canaux de transport (les ´etats de
bord) sont connect´es par un ´etat r´esonant. Dans ce qui suit on va consid´erer la r´esistance `a
quatre contacts des syst`emes suivants :

(a)
1
2
3
4
t4
t3
t2
t1
(b)
1
2
3
4
tup
tdown
(a) ´ Ecrire les probabilit´es de transmission non nulles dans le r´egime de Breit-Wigner pour les
deux r´ealisations de conducteurs dans le r´egime Hall quantique.
(b) Calculer les r´esistances de Hall et les r´esistances longitudinales de ces deux conducteurs `a
quatre contacts.
Exercice 5: Capacit´e m´esoscopique
Dans cet exercice on consid`ere la r´eponse `a un potentiel externe d’un condensateur m´esoscopique.
Le condensateur, de capacit´e C, est fait d’une plaque, qui consiste en une cavit´e m´esoscopique,
et d’une deuxi`eme plaque macroscopique. La cavit´e est attach´ee `a un r´eservoir `a l’aide d’ un
point contact quantique.
V(ω)
Vc= 0
t
On applique une tension AC au syst`eme, en choisissant une tension de r´ef´erence de sorte que
le potentiel dans la cavit´e soit z´ero et que le potentiel dans le r´eservoir soit donn´e par V(ω).
Dˆu au chargement du condensateur les particules dans la cavit´e sentent un potentiel interne
U(ω), appel´e “screening potentiel”.
On utilise un mod`ele simple comme montr´e sur la figure. Lors d’un trajet `a travers la cavit´e la
fonction d’onde accumule une certaine phase φ.
(a) Ecrire d’abord le courant dans le r´eservoir en fonction du potentiel appliqu´e et de la conduc-
tance dˆu au potentiel externe, Gext. Consid´erer aussi l’effet du potentiel interne U(ω).
Afin de respecter la conservation des courants, le courant dans le r´eservoir doit ˆetre ´egal au
courant de d´eplacement dans la cavit´e, Id(ω) = −iωCU(ω).

(b) Eliminer le potentiel interne de l’´equation donnant le courant dans le r´eservoir.
Pour obtenir le r´esultat final pour le courant et pour la conductance totale, il faut encore ´evaluer
la conductance dˆu au potentiel externe, Gext. Dans le cours on a trouv´e
Gext
αβ (ω) = e2
hZdETr h1αδαβ −S†
tot,αβ (E)Stot,αβ (E+~ω)ifβ(E)−fβ(E+~ω)
~ω(5)
pour le cas d’un potentiel de basse fr´equence. On est ensuite int´eress´e par un d´eveloppement
de Gext
αβ (ω) autour de ω´egale `a z´ero. Ce d´eveloppement nous permettra de calculer le courant
et la conductance totale au premier et deuxi`eme ordre en ω.
(c) Calculer Gext
αβ (ω) jusqu’`a l’ordre ω2pour une matrice de diffusion g´en´erale.
(d) D´emontrer que la matrice de diffusion (ici dans le r´egime de Breit-Wigner) peut s’´ecrire
comme eiψ, avec une phase ψ. Calculer aussi la matrice de Wigner-Smith (dans cet exemple
la matrice de Wigner-Smith est unidimensionnelle).
(e) ´ Ecrire l’expression de la conductance d´evelopp´ee au deuxi`eme ordre en ωen fonction de la
matrice de Wigner-Smith.
Avec ces r´esultats et avec le r´esultat pour le courant trouv´e en (a) et (b), la conductance totale
peut s’´ecrire come
G(ω) = −iωCµ+ω2C2
µRq+... (6)
(f) En d´eduire la capacit´e quantique et la r´esistance de relaxation de charge et les exprimer en
fonction de la matrice de Wigner-Smith. Calculer les limites pour kBT= 0.
Exercice 6: Bruit d’un conducteur m´esoscopique `a deux contacts
On consid`ere de nouveau un syst`eme compos´e de deux ´etats de bords en contact avec un ´etat de
longue dur´ee de vie, voir la figure ci-dessous. On a d´ej`a calcul´e la conductance d’un tel syst`eme.
Dans ce qui suit on va s’int´eresser au bruit.
(a)
R
tLtR
L
Le spectre de bruit `a fr´equence nulle d’un syst`eme `a contacts multiples est donn´e par
Sαβ =2e2
hX
γ,δ ZdETr [Aγδ (α, E)Aδγ (β, E)] fγ(E)(1 −fδ(E)) ,(7)
avec
Aβγ (α, E) = 1αδαβ δαγ −s†
αβ(E)sαγ (E).(8)
(a) Calculer tout d’abord le spectre de bruit dans le cas d’un syst`eme g´eneral `a deux contacts,
compos´es chacun d’un seul canal.