Transport et bruit dans les conducteurs cohérents

ÉCOLE DE PHYSIQUE
QUANTIQUE MÉSOSCOPIQUE
CARGÈSE 6. - 18. Octobre
Transport et bruit dans les conducteurs cohérents
Prof. M. Büttiker
Exercice 1: Diffusion à travers deux barrières de potentiel
tL
tR
L
On considère un conducteur mésoscopique constitué d’un seul canal avec deux barrières de
potentiel, séparées par un conducteur de longueur L. Les courants incidents, réfléchis et transmis
sont liés par une matrice de diffusion
r t′
(1)
Ŝ =
t r′
Les coefficients de transmission des deux barrières sont donnés par tL et tR . Dans ce qui suit,
on calcule la probabilité de transmission par la double barrière et la matrice de diffusion dans
le régime de faible transmission, dit de Breit-Wigner. Des états résonants apparaissent dans la
partie entre les deux barrières.
(a) Écrire les coefficients de transmission de la double barrière en prenant en compte les phases
accumulées dans le puits de potentiel et pendant la réflexion et transmission. Les matrices
de diffusion de chaque barrière α en absence d’un champ magnétique s’écrivent
i|rα |eiγα
|tα |
iφα
Ŝα = e
,
(2)
|tα |
i|rα |e−iγα
où φα et γα sont des phases accumulées pendant la transmission et la réflexion. On suppose
que cette matrice ne dépend pas de l’énergie des particules incidentes.
(b) Calculer la probabilité de transmission et évaluer la limite de faible transmission. Faire un
développement autour de la phase, pour laquelle la transmission a un maximum (résonance).
Exprimer la probabilité de transmission et la matrice de diffusion en fonction de l’énergie de
résonance.
(c) Trouver ensuite la conductance à travers le conducteur.
Exercice 2: Contact de tension / contact de déphasage
On considère un système de trois contacts à un canal reliés chacun au même état résonant
comme montré sur la figure. La différence de potentiel entre le contact gauche et le contact
droit est donnée par eV .
tL
left contact
µL
tR
resonant
state
right contact
µL
tp
probe
µp, np(E)
Le courant dans un contact s’écrit de façon générale
"
#
Z
X
e
dE (1 − Tαα ) nα (E) −
Tαβ nβ (E) ,
Iα =
h
(3)
β6=α
où la température peut être non nulle et la distribution d’énergie dans les contacts est donnée
par les fonctions nα (E). Dans le cas où tous les contacts sont décrits par des fonctions de Fermi
et où la température est égale à zéro on trouve dans le régime de réponse linéaire le résultat
connu
#
"
X
e
Tαβ µβ .
(4)
(1 − Tαα ) µα −
Iα =
h
β6=α
On suppose d’abord que le contact p est une sonde de tension (voltage probe). Cela signifie
que le potentiel dans le contact p, µp , varie en fonction de µα et Tαβ de manière à ce que le
courant total dans le contact p soit toujours zéro. Une telle sonde mesure la tension dans le
conducteur. Elle peut également être utilisée comme modèle pour introduire une décohérence
dans le système.
(a) Calculer le potentiel µp en fonction de µL et µR ainsi que les probabilités de transmission,
Tαβ .
(b) Calculer la conductance G12 et identifier la partie cohérente et la partie non-cohérente.
Écrire la conductance en utilisant les probabilités dans le régime de Breit-Wigner.
Un autre modèle utilisé pour décrire le déphasage dans un conducteur est celui d’une sonde de
déphasage (dephasing probe). Dans ce cas le courant est zéro dans chaque intervalle d’énergie
ce qui engendre une distribution hors d’équilibre dans le contact de la sonde.
(c) Calculer la distribution np (E) dans le contact de déphasage et tracer la courbe correspondante en fonction de l’énergie pour kB T = 0.
(d) Démontrer que la conductance G12 est la même que dans le cas d’un contact de tension
pour kB T = 0. Cette observation n’est plus valable pour d’autres quantités et dans
un cas plus général !
Exercice 3: Conductance à deux contacts – le régime Hall quantique
Dans le régime Hall quantique, quand un champ magnétique fort est appliqué perpendiculairement au conducteur, le transport s’effectue dans des états de bord qui sont chiraux. Ces états
de bords représentent des canaux de transport. Le système peut être décrit par une matrice de
diffusion comme avant. De nouveau on considère des conducteurs dans lesquel des canaux de
transport (les états de bord) sont connectés par un état de résonance.
(b)
(a)
tL
tup
tR
L
R
1
2
tdown
On a déjà calculé la conductance du système (a) avant. Calculer maintenant la conductance du
système (b) obtenu après avoir déformé géométriquement le système (a).
Exercice 4: Résistance à quatre contacts
On considère de nouveau des conducteurs dans lesquel des canaux de transport (les états de
bord) sont connectés par un état résonant. Dans ce qui suit on va considérer la résistance à
quatre contacts des systèmes suivants :
1
1
(a)
(b)
t1
tup
t4
2
t2
4
2
4
tdown
t3
3
3
(a) Écrire les probabilités de transmission non nulles dans le régime de Breit-Wigner pour les
deux réalisations de conducteurs dans le régime Hall quantique.
(b) Calculer les résistances de Hall et les résistances longitudinales de ces deux conducteurs à
quatre contacts.
Exercice 5: Capacité mésoscopique
Dans cet exercice on considère la réponse à un potentiel externe d’un condensateur mésoscopique.
Le condensateur, de capacité C, est fait d’une plaque, qui consiste en une cavité mésoscopique,
et d’une deuxième plaque macroscopique. La cavité est attachée à un réservoir à l’aide d’ un
point contact quantique.
t
Vc = 0
V (ω)
On applique une tension AC au système, en choisissant une tension de référence de sorte que
le potentiel dans la cavité soit zéro et que le potentiel dans le réservoir soit donné par V (ω).
Dû au chargement du condensateur les particules dans la cavité sentent un potentiel interne
U(ω), appelé “screening potentiel”.
On utilise un modèle simple comme montré sur la figure. Lors d’un trajet à travers la cavité la
fonction d’onde accumule une certaine phase φ.
(a) Ecrire d’abord le courant dans le réservoir en fonction du potentiel appliqué et de la conductance dû au potentiel externe, Gext . Considérer aussi l’effet du potentiel interne U(ω).
Afin de respecter la conservation des courants, le courant dans le réservoir doit être égal au
courant de déplacement dans la cavité, Id (ω) = −iωCU(ω).
(b) Eliminer le potentiel interne de l’équation donnant le courant dans le réservoir.
Pour obtenir le résultat final pour le courant et pour la conductance totale, il faut encore évaluer
la conductance dû au potentiel externe, Gext . Dans le cours on a trouvé
Z
h
i f (E) − f (E + ~ω)
e2
β
β
†
ext
Gαβ (ω) =
dETr 1α δαβ − Stot,αβ
(E)Stot,αβ (E + ~ω)
(5)
h
~ω
pour le cas d’un potentiel de basse fréquence. On est ensuite intéressé par un développement
de Gext
αβ (ω) autour de ω égale à zéro. Ce développement nous permettra de calculer le courant
et la conductance totale au premier et deuxième ordre en ω.
2
(c) Calculer Gext
αβ (ω) jusqu’à l’ordre ω pour une matrice de diffusion générale.
(d) Démontrer que la matrice de diffusion (ici dans le régime de Breit-Wigner) peut s’écrire
comme eiψ , avec une phase ψ. Calculer aussi la matrice de Wigner-Smith (dans cet exemple
la matrice de Wigner-Smith est unidimensionnelle).
(e) Écrire l’expression de la conductance développée au deuxième ordre en ω en fonction de la
matrice de Wigner-Smith.
Avec ces résultats et avec le résultat pour le courant trouvé en (a) et (b), la conductance totale
peut s’écrire come
(6)
G(ω) = −iωCµ + ω 2 Cµ2 Rq + . . .
(f) En déduire la capacité quantique et la résistance de relaxation de charge et les exprimer en
fonction de la matrice de Wigner-Smith. Calculer les limites pour kB T = 0.
Exercice 6: Bruit d’un conducteur mésoscopique à deux contacts
On considère de nouveau un système composé de deux états de bords en contact avec un état de
longue durée de vie, voir la figure ci-dessous. On a déjà calculé la conductance d’un tel système.
Dans ce qui suit on va s’intéresser au bruit.
(a)
tL
tR
R
L
Le spectre de bruit à fréquence nulle d’un système à contacts multiples est donné par
Z
2e2 X
dETr [Aγδ (α, E)Aδγ (β, E)] fγ (E)(1 − fδ (E)) ,
Sαβ =
h γ,δ
(7)
avec
Aβγ (α, E) = 1α δαβ δαγ − s†αβ (E)sαγ (E) .
(8)
(a) Calculer tout d’abord le spectre de bruit dans le cas d’un système géneral à deux contacts,
composés chacun d’un seul canal.
(b) Evaluer ensuite le bruit d’équilibre pour le système général, puis pour le système montré
ci-dessus dans le régime de Breit-Wigner. Calculer les limites kB T → 0 et kB T → ∞.
(c) Pour le système hors d’équilibre, calculer le bruit de grenaille à température T = 0.
Indice : Pour résoudre l’intégrale sur l’énergie, utiliser la relation
1
x
1
1
−2x
=
+
.
(x2 + a2 )2
a2 x2 + a2 2a2 (x2 + a2 )2
(9)
(d) Trouver le facteur de Fano
S
,
(10)
2eI
dans le cas où la tension appliquée est petite. Pour quelle configuration est-ce que le facteur
de Fano est égal à un, F = 1 ?
F=