Compléments d`optique

Compléments d’optique
Petite introduction historique
Au XVIIesiècle
1610 Galilée crée une lunette à oculaire divergeant.
1621 Lois de Snell-Descartes.
1670-1675 L’oeuvre de Newton.
– L’invention du Télescope de Newton.
– Interprétation de la décomposition de la lumière par une 1re théorie corpusculaire.
1690 Modèle ondulatoire de la lumière par Huygens.
Au XIXesiècle
1810 Fresnel interprète quantitativement le phénomène de diffraction de la lumière.
1810 Young étudie les interférences lumineuses comme une mise en évidence du caractère ondulatoire de la lumière.
1815 1er spectroscope à réseau par Fraunhoffer.
1870 Les 4 équations de Maxwell lient l’optique à l’électromagnétisme.
1887 Echec de l’expérience de Michelson et mise en défaut du modèle de
≪
l’éther ≫. Point de départ de la relativité.
Au XXesiècle
1905 Einstein interprète l’effet photoélectrique. Modèle corpusculaire de la lumière (émission spontanée / absorption)
et début de la mécanique quantique
1917 Einstein découvre l’émission stimulée (principe utilisé pour la lumière laser)
1960 Mayman invente le 1er Laser.
Mise en perspective
L’optique est un domaine central de la physique. C’est au travers des études de la lumière qu’hier Newton a fait
progresser le savoir déductif et qu’aujourd’hui on dispose de théories poussées et de technologies de pointes... Les études
dans le domaine de l’optique amèneront encore certainement de nombreux bouleversement scientifiques et techniques
dans le siècle à venir (Exemple : Les recherches en fusion inertielle)
1
Compléments d’optique
1
2
Limite de l’optique géométrique
1.1
Le phénomène de diffraction
On réalise l’expérience présentée en figure 1 :
Figure 1 – Montage de diffraction de la lumière laser par une fente fine
Figure 2
Ce phénomène appelé diffraction n’est pas expliqué par l’optique géométrique. Il est dû à la nature ondulatoire
de la lumière.
Avant de décrire plus en détail le modèle ondulatoire de la lumière, nous pouvons déjà effectuer une étude sommaire
du phénomène de diffraction.
1.2
Diffraction par une fente fine
Figure 3 – Largeur de la tâche centrale
Compléments d’optique
3
Si D >> l et D >> a ; on a alors tan θ ≈ θ 1
De plus on peut montrer que
θ=
On a donc :
λ
(1)
a
l
λ
=
2D
a
D’où :
l=
2λD
a
(2)
Remarques
⋆ On peut mettre en évidence l’influence de la longueur d’onde sur la figure de diffraction.
On réalise le montage de la figure 4
Figure 4 – Diffraction de la lumière blanche
Figure 5 – Figure de diffraction par une fente fine
éclairée en lumière blanche
La figure est irisée de rouge sur les bords extérieurs et de bleu sur les bords intérieurs.
⋆ La relation 2 montre que la largeur de la tache centrale diminue si la largeur de la pupille diffractante augmente.
L’effet de la diffraction n’est bien visible que si a / λ
Précisons quelques ordres de grandeur et calculons la largeur de la tache centrale de diffraction :
– Pour D = 2.0 m et λ = 500 nm, si a = 0.01 mm, l = . . . . . . . . . . . .
– Pour D = 2.0 m et λ = 500 nm, si a = 0.1 mm, l = . . . . . . . . . . . .
– Pour D = 2.0 m et λ = 500 nm, si a = 1 mm, l = . . . . . . . . . . . .
Si a >> λ, alors on retrouve l’image géométrique de la source.
⋆ Avec un détecteur photosensible 2 on peut tracer l’éclairement 3 reçu par l’écran en fonction de l’angle θ (ou de
la position sur l’écran) :
1. θ en radians
2. camera CCD par exemple
3. cette grandeur sera défini plus précisément par la suite
Compléments d’optique
4
Figure 6 – Eclairement en fonction de l’ange θ
⋆ Pour une ouverture circulaire de rayon R, la tache centrale de diffraction, appelée
disque. La géométrie du problème implique 4 que :
θ = 0, 61 ×
≪
Tâche d’Airy ≫, est un
λ
(3)
R
Figure 7 – Figure de diffraction d’un faisceau par un
trou circulaire
1.3
La diffraction et la formation des images
Le rôle de la plupart des instruments d’optique (microscope, objectif d’appareil photo, télescope . . . ) est de former
des images. Du point de vue de l’optique géométrique, un instrument ≪ parfait ≫, c’est-à-dire exempt d’aberrations
fait correspondre un point image à chaque point objet .
En réalité, lors de leur cheminement à travers l’instrument, les faisceaux lumineux sont diaphragmés par les
montures des lentilles et donc diffractés 5 . L’image d’un point source par un instrument dépourvu d’aberration n’est
donc pas un point image mais une tache de diffraction. Les montures des lentilles ou miroirs étant la plupart du
temps circulaires, la figure de diffraction obtenue est une tache d’Airy décrite au 1.2. Il est vrai que, si le diamètre
de la pupille diffractante est grand devant la longueur d’onde, la tache centrale de diffraction, qui contient l’essentiel
de l’énergie lumineuse, à une largeur très proche de l’image géométrique. Néanmoins il y a certaines situations où la
diffraction est un facteur important qui limite la finesse des observations et des mesures.
Figure 8 – Limite du pouvoir de résolution d’un système optique parfait
4. et ceci n’a rien de trivial
5. En astrophysique par exemple, la pupille diffractante est réalisée par l’objectif d’une lunette astronomique ou bien le miroir d’un
télescope.
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5
La diffraction apparait comme la limite ultime de la notion d’image ponctuelle.
Pouvoir de résolution et Critère de Rayleigh
Si on considère deux objets ponctuels A et B observés avec un instrument d’optique quelconque. Alors les images
A’ et B’ de A et B à travers cet instrument ne sont pas des points mais des taches de diffraction.
Figure 9 – Cas de l’observation de deux objets
Ainsi, deux points objets rapprochés peuvent donner deux images trop proches pour être distinguées si la distance
entre ces images est du même ordre de grandeur que la taille de la tache de diffraction.
On appelle résolution 6 l’écart minimal entre deux points objets pour qu’on puisse les distinguer avec l’instrument
d’optique considéré.
Quantitativement pour déterminer la résolution d’un système optique, on utilise le ≪ critère de Rayleigh ≫ selon
lequel deux images A′ et B ′ correspondant à deux points A et B sont distinctes si le sommet de la tache de
diffraction de l’une correspond au premier minimum de l’autre.
Exemple : On observe un doublet d’étoiles lointaines avec un téléscope.
– Si les étoiles sont suffisamment éloignées...
Figure 10 – Eclairements de A et B séparés
...le système optique permet de distinguer les deux étoiles.
– Les étoiles sont maintenant plus proches l’une de l’autre...
6. ou pouvoir de résolution
Figure 11 – Eclairement résultant
Compléments d’optique
Figure 12 – Eclairements de A et B séparés
6
Figure 13 – Eclairement résultant
...on atteint la limite de résolution du système optique.
– Si les étoiles sont encore plus rapprochées...
Figure 14 – Eclairements de A et B séparés
Figure 15 – Eclairement résultant
...alors on ne peut plus les distinguer séparément.
Illustration expérimentale
On réalise le montage de la figure 16. Il s’agit de visualiser sur un écran un objet constitué d’un système de deux
trous circulaires (ou deux fentes). On ajuste le diamètre de la lentille avec un diaphragme de diamètre (ou une fente
de largeur) réglable.
Compléments d’optique
7
Figure 16 – Pourvoir de résolution d’un système optique
Lorsque l’on réduit le diamètre du diaphragme (ou la largeur de la fente) placé devant la lentille , la largeur des
tâches centrales de diffraction augmente. Ainsi, pour une ouverture suffisamment petite, on ne peut plus distinguer
les deux images.
1.4
L’origine de la diffraction
Principe de Huyghens-Fesnel (simplifié)
Chaque point M d’une surface Σ atteint par la lumière peut être considéré comme une source secondaire émettant
une onde lumineuse. Les ondes issues des sources secondaires interfèrent entre - elles.
Figure 17 – Effet d’une pupille diffractante sur une onde incidente
Le phénomène de diffraction est donc dû à l’interférence entre une infinité d’ondes issues de la pupille diffractante. Pour aller plus loin dans cette étude, il nous faudrait donc étudier plus en détail le phénomène d’interférences
lumineuses. 7
1.5
Quelques rappels préliminaires
Pour toute onde monochromatique on défini une longueur d’onde dans le vide λ0 . Avec c0 célérité de la lumière
dans le vide (c0 = 3.108 m · s−1 ) et T période du signal, on a :
λ0 = c0 T = 2π
c0
ω
(4)
7. Je rappelle que ce cours n’a pas vocation à réaliser une étude complète du phénomène de diffraction. Cependant toute étude des
phénomène d’interférences, même des plus simples, nécessite de se doter d’un modèle ondulatoire de la lumière.
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8
Figure 18 – spectre électromagnétique dans le vide
Exercices
Question 1 On réalise une expérience de diffraction dans l’air puis dans l’eau avec le même dispositif géométrique
en lumière monochromatique. On observe pour le pic central de diffraction que :
1. Le pic s’élargit
2. Le pic s’amincit
3. Le pic n’est pas modifié
4. Le pic est décalé
Question 2 Deux étoiles sont très proches l’une de l’autre sur la voûte céleste. L’observation avec un premier
télescope ne permet pas de séparer les deux images. Pour les séparer on peut :
1. Diminuer le diamètre du télescope
2. Mettre un filtre de longueur d’onde plus grande
3. Sortir de l’atmosphère
4. Prendre un miroir sphérique
Question 3 En pratique, on n’observe pas la diffraction de la lumière naturelle par des ouvertures usuelles (portes,
fenêtres...) parce que :
1. La lumière naturelle n’est pas polarisée
2. La longueur d’onde est trop courte
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9
3. la fréquence est trop petite
4. l’intensité lumineuse est trop faible
1
Question 4 On considère un prisme taillé dans un verre très dispersif dont l’indice varie comme 2 . On éclaire la
λ
face d’entrée avec de la lumière blanche. Quelle figure est correcte ?
Figure 19 – Réponse 1,2,3 ou 4
Question 5
Pour les constructions en optique géométrique on ne prend pas en compte la diffraction car :
1. On utilise de la lumière polychromatique
2. Les longueurs d’onde utilisées sont suffisamment petites devant celles des dioptres
3. Les longueurs d’onde utilisées sont suffisamment grandes devant celles des dioptres
4. Ce sont des phénomènes tout à fait indépendants
Question 6
La taille du plus petit miroir plan qui vous permet de vous voir en entier :
1. Dépend de votre distance au miroir
2. Est égale à votre taille
3. Est la moitié de votre taille
4. Est le double de votre taille
Question 7 On réalise un système afocal, type lunette de Galilée, avec une lentille divergente et une lentille
convergente. Afin que le grossissement soit supérieur à 1, il faut :
1. Placer l’oeil du côté de la convergente
2. Placer l’oeil du côté de la divergente
3. C’est impossible
4. Peu importe
Question 8
Un faisceau de lumière passe de l’air à un bloc de verre. Il subit une variation :
1. De vitesse
2. De fréquence
3. Des deux
4. Aucune de ces réponses
Question 9 Une fente étroite de largeur D est éclairée en lumière visible à l’aide d’un monochromateur dont on
peut régler la longueur d’onde λ. Quand on diminue λ, la figure observée à grande distance sur l’écran :
1. Reste inchangée
2. Rétrécit et les franges deviennent plus étroites
3. Seul le centre est modifié
4. S’élargit et les franges deviennent plus larges
5. Aucune de ces réponses
Question 10 On veut observer deux étoiles blanches avec un télescope de diamètre D. Pour tenter de les séparer,
il vaut mieux les observer :
1. Sans filtre
2. Avec un filtre rouge
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10
3. Avec un filtre bleu
4. Rien n’y fera, cela ne dépend que du diamètre D
Question 11 Un télescope de diamètre D recueille un signal sans utiliser de filtre. On observe deux étoiles très
voisines sur la sphère céleste. L’une est rouge, de longueur d’onde λR , et l’autre est bleue, de longueur d’onde λB .
L’astronome peut les distinguer si les positions angulaires sont telles que les maxima des 2 taches d’Airy sont :
1. Au moins séparés de λR /D
2. Au moins séparés de λB /D
3. Peu importe, ce sont des sources incohérentes
4. Peu importe, elles sont de couleurs différentes
Question 12 Un rayon laser et une onde sonore pénètrent dans le même liquide avec un angle de 60 ◦ par rapport
à la surface horizontale du liquide. La vitesse du son dans le liquide est 1,8 fois celle du son dans l’air, et l’indice de
réfraction du liquide est 1,8 fois celui de l’air. On compte les angles par rapport à l’horizontale. Que se passe-t-il ?
1. Les deux ondes se réfractent d’un angle de 74 ° par rapport à l’horizontale
2. La lumière se réfracte d’un angle de 74 °, le son de 26 °
3. La lumière se réfracte de 26 °, le son de 74 °
4. la lumière se réfracte, le son pénètre directement sans déviation.
Question 13 Une première lentille mince possède une distance focale de +20 cm, une seconde lentille mince possède
une distance focale de −20 cm. Elles sont toutes deux alignées, et distantes de 20 cm. On place une source lumineuse
à 20 cm à gauche de la première lentille. Où se forme l’image finale ?
1. sur L1
2. sur L2
3. 20 cm à droite de L2
4. 20 cm à gauche de L1
5. 10 cm à gauche de L2
2
Le modèle ondulatoire de la lumière
2.1
Postulat fondamental
La lumière émise par une source peut être décrite par un un champ scalaire a(M, t) appelé l’amplitude 8 du signal.
Dans le cas d’une source étendue,
a(M, t) =
∑
ai (M, t)
(5)
i
Nous choisirons un signal de la forme : a(M, t) = A(M ) cos(ωt ± ϕ(M )) 9 Avec :
– ϕ(M ) la phase de l’onde au point M
– ω la pulsation de l’onde.
– A(M ) est l’amplitude du signal au point M
8. amplitude instantanée
9. L’analyse de Fourier permet de décomposer tout signal en une somme de signaux périodiques :
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2.2
11
Notion d’éclairement
Si une lampe éclaire un écran, on n’observe ni variation temporelle de l’éclairement, ni ≪ éclairement négatif ≫.
Nos yeux ne sont donc pas sensibles directement à a(M, t). Tout d’abord pour une onde visible se propageant dans
l’air, ω ∼ 6 × 3.108 /6.10−7 = 3.1015 rad · s−1 . La variation temporelle de a(M, t) est beaucoup trop rapide pour que
nos yeux ne puissent la percevoir. De plus nos yeux sont des détecteurs quadratiques 10 .
On définit donc l’éclairement 11 en un point M et à l’instant t par 12
ϵ = K < a2 (M, t) >
2.3
(6)
Rayon lumineux et surfaces d’ondes
On appelle surface d’onde l’ensemble des points équiphases atteint par l’onde au même instant t. On peut montrer
que les rayons lumineux 13 sont orthogonaux aux surfaces d’ondes. 14
Développons ceci sur deux exemples (figure 20)
Figure 20 – onde sphérique et onde plane
Si l’on considère un point M à une distance r finie d’une source ponctuelle S, alors on peut décrire l’onde émise
par la source par le modèle de l’onde sphérique monochromatique :
A(M, t) =
A0
cos(ωt + ϕ(M ))
r
Si l’on considère au contraire un point M situé à l’infini, ou bien si la source est placée au niveau du foyer objet
d’une lentille, alors on décrit généralement l’onde avec le modèle de l’onde plane monochromatique 15 :
A(M, t) = A0 cos(ωt + ϕ(M ))
(7)
10. Ils convertissent une énergie lumineuse (énergie électromagnétique proportionnelle à E 2 ) en énergie électrique
11. On parle aussi d’intensité lumineuse
12. L’éclairement à la dimension d’une puissance par unité de surface
13. modèle de l’optique géométrique
14. Ceci s’appelle le théorème de Malus
15. Ce modèle est de loin le plus utilisé car il est le plus simple. Cependant, à de nombreux égards, une description en onde plane apparaı̂t
comme très imparfaite
Compléments d’optique
3
12
Le phénomène d’interférence lumineuses
3.1
Mise en évidence du phénomène : Expérience des bifentes d’Young
Lorsque l’on place une fente diffractante sur le trajet d’un faisceau laser, on observe un ≪ étalement ≫de la lumière
(le phénomène de diffraction). On place maintenant deux fentes côte à côte. On obtient alors la figure 4.3 sur la caméra
CCD
Figure 21 – Eclairement recueillit par une caméra CCD
Il est a priori surprenant qu’après l’ajout d’une seconde fente, certaines zones, initialement éclairées, deviennent
sombres ! Les variations d’intensité à l’intérieur de la tache centrale sont dues au phénomène d’interférences entre les
ondes provenant des deux fentes.
3.2
Superposition de deux ondes lumineuses
On considère deux ondes planes a1 et a2 monochromatiques de pulsations ω1 et ω2 reçues en un point M de
l’espace :
a1 (M, t) = A1 cos(ω1 t + ϕ1 (M ))
a2 (M, t) = A2 cos(ω2 t + ϕ2 (M ))
D’après la relation 5, on a :
a(M, t) = a1 (M, t) + a2 (M, t)
D’où l’éclairement s’exprime :
⟨
⟩
⟨
⟩
ϵ = K a2 (M, t) = K. (a1 (M, t) + a2 (M, t))2
⟩
⟨
⟩
⟨
ϵ = K a21 (M, t) + K a22 (M, t) + K ⟨2a1 (M, t).a2 (M, t)⟩
ϵ = ϵ1 + ϵ2 + ϵ1−2
Il apparait donc le terme ϵ1−2 = 2. ⟨KA1 A2 cos(ω1 t + ϕ1 (M )). cos(ω2 t + ϕ2 (M )⟩ appelé terme d’interférence
ϵ1−2 = KA1 A2 (⟨cos ((ω1 + ω2 )t + (ϕ1 (M ) + ϕ2 (M )))⟩ + ⟨cos ((ω1 − ω2 )t + (ϕ1 (M ) − ϕ2 (M )))⟩)
Quel que soit ω1 et ω2 , ⟨cos ((ω1 + ω2 )t + (ϕ1 (M ) + ϕ2 (M )))⟩ = 0
Pour que ϵ1−2 ̸= 0 Il faut que
{
ω1 = ω2
∆ϕ = ϕ1 (M ) − ϕ2 (M ) = cte ̸= 0
(8)
Compléments d’optique
13
On retiendra la relation de Fresnel :
√
ϵ = ϵ1 + ϵ2 + 2 ϵ1 ϵ2 ⟨cos ∆ϕ⟩
On pose ∆ϕ = 2πp.
16
(9)
p est l’ordre d’interférence.
– Si en un point M on observe un éclairement maximal
⇒ les interférences sont ≪ constructives ≫ ⇒ pϵZ
– Si en un point M on observe un éclairement minimal
⇒ les interférences sont ≪ destructives ≫ ⇒ p est demi entier
– Si en un point M on observe un éclairement quelconque
⇒ p est un réel quelconque
Remarque : Critères de cohérence
Pour que deux ondes monochromatiques interfèrent entre elles il faut donc qu’elles aient même pulsation (donc
même longueur d’onde) et qu’elle soient en relation de phase constante. Cette seconde condition justifie l’utilisation
de dispositifs diviseurs d’ondes.
En effet une source primaire de lumière quelle qu’elle soit (laser, lampe à vapeur métallique ou lampe à incandescence)
n’émet pas la lumière en continu, mais par salves appelées trains d’ondes. (figure 22)
Figure 22 – Emission de trains d’ondes
Pour obtenir deux ondes avec une relation de phase constante il faut que les deux ondes soient issues du même
train d’onde d’où la nécessité d’un dispositif diviseur d’ondes. Il existe deux types de dispositifs présentés sur la figure
23 :
Figure 23 – dispositifs diviseurs d’ondes
Dans le cas des ondes mécaniques progressives comme les ondes sonores, l’émission se fait en continu. Il est donc
plus facile d’obtenir des interférences.(Voir le montage de la figure 24 où l’on fait interférer deux ondes US)
Compléments d’optique
14
Figure 24 – Interférences d’ondes mécaniques progressives
3.3
Différence de marche entre deux ondes planes monochromatiques (OPM)
Rappel : Notion de chemin optique
En notant s l’abscisse curviligne le long d’un rayon lumineux allant de S à M dans un milieu d’indice n, nous
pouvons exprimer le retard τM :
∫
∫
t=τM
M
dt =
τM =
t=0
S
dt
ds =
ds
∫
M
S
1
1
ds =
v
c0
∫
M
nds
S
On défini le chemin optique par
∫
M
(SM ) =
nds = c0 τM (10)
S
Le chemin optique mesure donc en unité de longueur, le temps mis par la lumière pour aller du point S au point M .
Expression de la phase
Si au point S et à l’instant t une OPM s’exprime a(S, t) = A cos(ωt + ϕ(S)) alors au point M ,
a(M, t) = A cos(ω(t − τM ) + ϕ(S)) = A cos(ωt − ωτM + ϕ(S))
= A cos(ωt + ϕ(M ))
Avec :
ϕ(M ) = −ωτM + ϕ(S) = −
ω
2π(SM )
(SM ) + ϕ(S) = −
+ ϕ(S)
c0
λ0
Différence de marche entre deux rayons.
On considère deux rayons issus même train d’onde. Ces deux rayons arrivent au point M par deux chemins optiques
(SM )1 et (SM )2 différents.
Le rayon 1 arrive en M avec une phase
ϕ1 = −
2π(SM )1
+ ϕ(S)
λ0
ϕ2 = −
2π(SM )2
+ ϕ(S)
λ0
Le rayon 2 arrive en M avec une phase
D’où :
∆ϕ =
2π((SM )1 − (SM )2 )
2πδ
=
λ0
λ0
(11)
Compléments d’optique
15
Avec δ = (SM )1 − (SM )2 la différence de marche entre les deux rayons au point M . 17
Ordre d’interférence.
L’intensité est maximale pour ∆ϕ =
2πδ
λ0
= 2πp d’où :
δ
=p
λ0
4
(12)
Quelques dispositifs interférentiels
4.1
Les miroirs de Fresnel
On considère le système suivant :
Figure 25 – Miroirs de Fresnel
On éclaire les miroirs de Fresnel avec une source ponctuelle monochromatique S. Le dispositif réalise une division
du front d’onde : Pour arriver en un point M , les rayons peuvent suivre le chemin optique (SI1 M ) ou (SI2 M ). Nous
somme donc dans une situation où tout se passe comme si les rayons provenaient des deux sources S1 et S2 virtuelles,
images de S respectivement par les miroirs M1 et M2 . Au niveau du point M , les deux rayons arrivent avec une
différence de marche
(
)
λ
λ
δ = (SI2 M ) + − (SI1 M ) +
= (SI2 M ) − (SI1 M )
2
2
NB : On introduit les termes λ2 car lors de la réflexion sur un milieu plus réfringent, une onde subit un déphasage
supplémentaire de π correspondant à une marche supplémentaire de λ2 .
Exemples : air sur verre, air sur eau, réflexion dur un métal
Exercice : Miroir de Lloyd
On considère le dispositif de la figure 26 où une fente S très fine et perpendiculaire au plan de la figure.
17. En fait c’est |∆ϕ| qui nous intéresse.
Compléments d’optique
16
Figure 26 – Miroir de Lloyd
0n donne d = 20 cm et L = 25 cm. On prend h ≪ L. (P ) est le plan perpendiculaire au bord du miroir.
⋆ Mettre en évidence la zone d’interférence sur le plan (P ) et exprimer l’interfrange en fonction des paramètres de
l’énoncé.
4.2
Exemples de Lames minces
Les lames minces naturelles sont à l’origine de beaucoup de phénomènes d’interférences. Les irisations des bulles
de savons sont dues à des phénomènes d’interférences, il en est de même pour les taches irisées sur les parkings de
supermarchés.
Figure 27 – Irisations à la surface d’une bulle
4.2.1
Etude d’une lame d’air
Nous allons réaliser une lame l’air à l’aide d’un interféromètre de Michelson. 18 La figure 28 représente une vue du
dessus d’un interféromètre de Michelson.
Figure 28 – Interféromètre de Michelson
18. La description de cet interféromètre est hors programme
Compléments d’optique
17
On éclaire l’interféromètre de Michelson avec une source ponctuelle, monochromatique S 19 . Les rayons de lumière
éclairent le miroir semi réfléchissant appelé ≪ séparatrice ≫.
Une partie du faisceau est transmis au miroir (M2 ) où elle est réfléchie puis à nouveau réfléchie sur la séparatrice.
L’autre partie du faisceau est réfléchie au niveau de la séparatrice, réfléchie sur le miroir (M1 ) puis transmis par la
séparatrice. Ce système est un dispositif diviseur d’amplitude équivalent à une lame d’air ou (M2∗ )(pour une observation
à l’infini - fig. 29 au centre - ou bien pour une observation à distance finie -fig. 29 à droite-)
Figure 29 – Equivalence en lame d’air
Expression de la différence de marche
Dans le cas d’une observation à une distance D très éloignée des miroirs (à l’infini) on se trouve dans la situation
de la figure 30 :
Figure 30 – Lame d’air lors d’une observation à l’infini
Si e désigne l’épaisseur de la lame d’air. Exprimons la différence de marche δ en fonction de e et i
e = IJ cos i = JK cos i
δ=
IH = IK sin i
IK = 2e tan i
2e
2e
2e(1 − sin2 i)
− 2e sin i tan i =
−
cos i
cos i
cos i
19. un laser dont on élargit le faisceau à l’aide d’un objectif de microscope
Compléments d’optique
18
δ = 2e cos i (13)
Etude des franges d’interférences
On se place dans la situation de la figure 30 où l’on observe les franges d’interférence sur un écran placé dans un
plan D >> e, orthogonal à la lame d’air.
On observe que les franges d’interférences sont des anneaux concentriques. Figure 31
Figure 31 – Allure des franges d’interférence en lame d’air parallèle
En particulier, au centre, on a :
∆ϕ =
2πδ
= 2πp0
λ
d’où
p0 =
2e
λ
Où p0 est d’interférence au centre. En faisant varier l’épaisseur de la lame d’air, on fait varier le rayons des franges
d’interférences.
4.2.2
Etude d’un coin d’air
Nous allons réaliser un coin d’air à l’aide de l’interféromètre de Michelson, toujours éclairé par une source ponctuelle
monochromatique. Pour cela il suffit de faire pivoter l’un des miroirs (figure 32).
Figure 32 – Coin d’air
Expression de la différence de marche sous incidence normale 20
δ = 2eM
20. ou quasi normale
or on a
tan α =
eM
≈α
x
Compléments d’optique
δ = 2αx
19
(14)
On observe que les franges d’interférence visibles sur l’écran sont des franges rectilignes (Figure 33)
Figure 33 – Allure des franges d’interférence en coin d’air
4.3
Les trous d’Young et les bifentes d’Young
4.3.1
Rappel du dispositif
Une source lumineuse ponctuelle S monochromatique éclaire un écran opaque portant deux trous de diamètre
négligeable. Ces deux trous se comportent comme des sources secondaires ponctuelles monochromatiques qui interfèrent entre - elles.
Le dispositif des trous d’Young est donc un dispositif diviseur d’amplitude. 21 On peut aussi utiliser des fentes d’Young :
système constitué d’un écran opaque portant deux fentes d’épaisseur négligeable. Ces deux fentes se comportent comme
des sources secondaires monochromatiques 22 qui interfèrent entre - elles.(Montage en figure 34)
Figure 34 – Bifentes d’Young
Expression de la différence de marche
D’après les hypothèses, les sources S1 et S2 sont cohérentes 23 et en phase. On observe les interférences sur un
écran placé dans un plan orthogonalement aux trous d’Young et situé à une distance D.
δM = (SS2 M ) − (SS1 M ) = (S2 M ) − (S1 M ) = n(S2 M − S1 M )
On remarque que S2 M − S1 M 2 = (S2 M − S1 M )(S2 M + S1 M )
Donc
S2 M 2 − S1 M 2
δM = n
S2 M + S1 M
2
Si D >> x et D >> a, S2 M + S1 M ≈ 2D
On a donc
δM = n
(D2 + (x − a/2)2 + y 2 ) − (D2 + (x + a/2)2 + y 2 )
(D2 + x2 − ax + a2 /4 + y 2 ) − (D2 + x2 + ax + a2 /4 + y 2 )
=n
2D
2D
21. comme les miroirs de Fresnel
22. Ces sources ne sont pas ponctuelles cependant on peut les modéliser par un ensemble de sources ponctuelles incohérentes entre elles,
de telle sorte l’éclairement résultant est la sommes des éclairements. Le dispositif des fentes d’Young permet donc d’avoir un dispositif plus
lumineux
23. Peuvent interférer entre - elles
Compléments d’optique
nax
D
δM =
20
(15)
Intensité lumineuse en un point de l’écran
(
)
√
nax
∆ϕM
d’où
I(M ) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos 2π
λ0 D
[
(
)]
nax
avec
I1 = I2 = I0
I(M ) = 2I0 1 + cos 2π
λ0 D
nax
= 2π
λ0 D
Figure 35 – Eclairement avec des fentes d’Young
Dans la pratique l’éclairement est modulé par le phénomène de diffraction du à l’épaisseur b des fentes.(voir figure
35)
Calcul de l’interfrange
p=
δ
nax
=
λ0
λ0 D
Si le point M est sur une frange brillante, alors p est entier. D’où
xp =
pλ0 D
na
La frange suivante sera donc en
xp+1 =
(p + 1)λ0 D
na
On appelle interfrange l’espace entre deux franges brillantes 24 .
L’interfrange s’exprime donc
i=
λ0 D
λD
=
na
a
(16)
Les franges d’interférences sont donc à nouveau les franges rectilignes équidistantes.
24. ou deux franges sombres
Compléments d’optique
4.4
21
Généralisation
On considère deux sources ponctuelles cohérentes, entre elles, séparées d’une distance a et symétrique par rapport
à l’axe (Oz). On observe les interférences entre les deux sources en un point M du plan (P ), parallèle aux sources,
situé à une distance D ≫ a.
Figure 36 – Situation
≪
classique ≫
On reconnait la situation étudiée précédemment avec le dispositif des fentes d’Young. On peut en fait, généraliser
les résultats démontrés pour les fentes d’Young à tout type de système équivalent.
5
5.1
Inteférences à N ondes - Réseaux de diffraction
Présentation et principe d’un réseau de diffraction
On ajoute d’autres fentes au système des fentes d’Young. On observe sur la figure 37 que, plus le nombre de fentes
est important et plus l’énergie lumineuse est concentrée dans les maximas principaux.
Figure 37 – Répartition de l’intensité lumineuse pour des interférence à N=5, N=10 et N= 100 ondes
Un réseau de diffraction est un arrangement régulier qui impose, à une onde plane incidente, une variation périodique
de son amplitude et/ou de sa phase. La caractéristique principale d’un réseau est son pas a qui correspond à l’espace
entre deux ≪ traits ≫ 25 . Il existe des réseaux par transmission et des réseaux en réflexion( exemple : CD, réseau à
échelette...)
25. On décrit souvent un réseau par le nombre de traits par millimètre(1/a avec a exprimé en mm)
Compléments d’optique
5.2
22
Relation fondamentale des réseaux
On cherche la position des maximas d’intensité :
δ = On+1 H − On K = a sin i′ − a sin i
Pour un maximum d’intensité,
a sin i′ − a sin i = pλ0
On retiendra :
sin i′ − sin i =
pλ0
a
avec p entier (17)
Effet de la diffraction
En pratique on ne peut pas observer une infinité d’ordres. En effet les fentes sont d’épaisseur non nulle. Seuls les
pics situés dans le pic central de diffraction seront visibles (figure 38)
Figure 38 – Effet de la diffraction sur intensité
5.3
Pouvoir dispersif d’un réseau (Non exigible aux IPhO)
– Pour p = 0, il n’y a pas de dispersion. On retrouve l’image géométrique de la source
Compléments d’optique
23
– Pour p ̸= 0 La relation fondamentale des réseaux montre que, pour un ordre p donné, chaque radiation de
longueur d’onde différente sera diffracté dans une direction qui lui est propre.
Le réseau permet donc, comme un prisme de décomposer la lumière blanche et est d’ailleurs un constituant essentiel
de nombreux spectroscopes.
Cherchons comment varie i′ = f (λ) pour une incidence donné :
a cos i′ di′ = p dλ
di′
p
=
dλ
a cos i′
dans le cas des petits angles, on a donc :
di′
p
=
dλ
a
On constate que la dispersion est linéaire 26
5.4
Pouvoir de résolution
On défini le pouvoir de résolution par
P.R =
λ
∆λmin
(18)
A l’aide du critère de Rayleigh, on montre que pour un réseau de N traits, le pouvoir de résolution vaut :
P.R = pN
6
(19)
Diffraction des rayons X par une structure cristalline
Rappelons d’abord que d’après les hypothèses fondamentales de la cristallographie, un cristal est constitué par
des éléments identiques distribués régulièrement dans l’espace aux sommets des mailles d’un réseau. Lorsqu’une onde
électromagnétique progressive harmonique 27 qui constitue un faisceau parallèle de rayons X tombe sur un cristal elle
y pénètre profondément et chacun des atomes qu’elle rencontre, en diffracte une partie dans toutes les directions.
Cela donne naissance à des maximas d’intensité très étroits dans les directions où les ondes diffractées par tous les
éléments sont en phase. On a donc un phénomène de diffraction par n motifs répartis dans une structure périodique
en 3 dimensions. (Exemple figure 39)
Figure 39 – Maille de type Na-Cl
26. Contrairement à la dispersion par un prisme qui n’est pas linéaire (n(λ) = A +
27. sinusoı̈dale
B
)
λ2
Compléments d’optique
24
On peut décrire le phénomène par la situation suivante : Chaque plan réticulaire se comporte comme un miroir
semi réfléchissant (figure 40). Les ondes diffractées par deux plan réticulaires différent interfèrent ensemble.
L’expression de la différence de marche est donnée par la relation de Braag :
Figure 40 – Loi de Braag
δ = 2d sin θ (20)
Les interférences sont constructives si δ = 2d sin θ = pλ. Il y a donc une différence fondamentale avec une simple
réflexion : il faut que les interférences entre les différents plans réticulaires soient constructives dans la direction
d’observation. La diffraction des rayons X est donc une technique permettant de déterminer la structure cristalline
d’un échantillon.
7
Exercices
Question 14 Un dispositif interférométrique conduit à une différence de marche : d = ax2 ; où a est une constante
dépendant de la géométrie du dispositif et x la position du point où l’on observe le phénomène optique. On choisit
x = 0 pour l’ordre d’interférence nul. On peut dire pour l’interfrange i :
1. Il est nul
2. Il est constant
3. Il augmente lorsque x augmente
4. Il diminue lorsque x augmente
Question 15 On réalise l’expérience des fentes d’Young en lumière monochromatique de longueur d’onde λ avec
deux fentes de largueur b = 5λ, distantes de a = 20λ. Combien de franges entières distingue-t-on dans le pic central
de diffraction :
1. Aucune
2. 3
3. 4
4. 7
Question 16 Un demi cylindre en verre est posé sur un miroir. On l’éclaire parallèlement en lumière monochromatique. Si on regarde au dessus, on observe au voisinage de l’axe de contact :
1. Un éclairement uniforme
2. Des franges rectilignes
3. Des anneaux
4. Pas assez d’éléments pour répondre
Compléments d’optique
25
Question 17 Une bulle de savon flotte dans l’air et est éclairée par la lumière ambiante, blanche. Malheureusement,
sous l’effet de la gravité, l’eau savonneuse s’écoule et le film s’amincit, en premier au sommet de la bulle.
Quelle est la couleur, analysée par un spectromètre, au sommet de la bulle juste avant qu’elle n’éclate ?
1. Noire
2. Blanche
3. Jaune
4. Bleue violacée
Question 18 Un réseau de diffraction comporte 300 traits par mm. Si un faisceau lumineux de longueur d’onde
550 nm est envoyé, en incidence normale sur le réseau, combien de taches brillantes observe-t-on sur un écran placé
juste derrière ?
1. 6
2. 7
3. 12
4. 13
Question 19 Une plaque métallique percée d’un trou circulaire est trempé dans du savon liquide, il se forme alors
une couche mince à l’intérieur du trou. On fait tourner la plaque, maintenue horizontale, autour de l’axe vertical
passant par le trou. On éclaire la couche en lumière blanche. On observe :
1. Une surface uniformément lumineuse
2. Des raies droites colorées centrées sur l’axe blanc
3. Des cercles colorés autour d’un centre noir, une teinte apparemment blanche à l’extérieur
4. Une tache blanche au centre puis une teinte continûment variable vers l’extérieur jusqu’à un bord noir
5. Rien de tout ça
Question 20 On fait interférer une source et son reflet dans un miroir (incliné d’un angle suffisamment petit). A
l’ordre zéro :
1. La frange est brillante
2. La frange est noire
3. Les sources ne sont pas cohérentes
4. Pas assez d’éléments pour répondre
Question 21 On réalise des interférences par division de front d’onde. On éclaire en lumière blanche puis on place
un filtre coloré. Si on compare les figures obtenues avec le filtre rouge, puis le filtre bleu :
1. Les franges noires sont aux mêmes endroits
2. La figure d’interférences bleue est plus serrée que la rouge
3. La figure d’interférences rouge est plus serrée que la bleue
4. Les deux figures sont simplement décalées
Question 22 Lorsqu’on décompose la lumière blanche et que l’on compare le spectre obtenu avec un réseau de
fentes très fines et celui obtenu avec un prisme de verre dont l’indice varie en 1/λ2 :
1. Ils sont identiques
2. Ils sont inversés
3. Ils n’ont rien de commun
4. Pas assez d’éléments pour répondre
Question 23
Un interféromètre utilisé en lumière monochromatique produit des franges rectilignes d’égales épaisseurs.
1. C’est un diviseur de front d’onde
2. C’est un diviseur d’amplitude
3. Ce sont des franges d’égale inclinaison
4. La différence de marche est une fonction linéaire de l’abscisse du lieu où on observe les franges