énoncé

Lycée Naval, Spé 2.
TD09 : électromagnétisme, ARQS
Calculs d’inductance
EM071. Inductance propre d’une bobine torique (*)
Une bobine torique, centrée autour d’un axe Oz, est constituée de Nspires join-
tives enroulées sur un tore de section rectangulaire, de rayon intérieur a, de rayon
extérieur bet de hauteur h. Les spires sont parcourues par un courant d’intensité
I.
Dans l’hypothèse de spires jointives (N1), on rappelle que le champ magné-
tique vaut ~ Bint =µ0NI
2πr ~uθau sein de la bobine et qu’il est nul en dehors ~
Bext =~ 0.
1. En considérant le flux propre, déterminer l’inductance propre de la bobine
torique.
2. En considérant l’énergie magnétique, déterminer l’inductance propre de la
bobine torique.
Réponse :L=µ0N2h
2πln b a
EM057. Inductance mutuelle (*)
On considère le dispositif ci-dessous, comportant un fil infini et une spire rectan-
gulaire.
Déterminer le coefficient d’inductance mutuelle entre le fil infini et la spire rec-
tangulaire.
i1
i2x
y
z
b
a
h
Réponse :M=µ0h
2πln b a
EM072. Détection par boucle inductive (**)
En milieu urbain, la détection de véhicules peut s’effectuer par boucle inductive.
Le capteur est une boucle conductrice d’inductance propre L1implantée dans la
chaussée. Lorsque le véhicule passe, des courants de Foucault sont induits dans la
carcasse métallique. Le véhicule est modélisé par un deuxième circuit d’inductance
propre L2parcouru par un courant d’intensité i2.
On note Mle coefficient d’inductance mutuelle. On néglige la résistance des cir-
cuits.
i1
L1
u
A
B
i2
L2
M
boucle inductive véhicule
1. Montrer qu’en présence du véhicule, le dipôle AB est équivalent à une in-
ductance propre L0que l’on exprimera en fonction de L1,L2et M.
2. On constate que L0< L1. Quelle en est la raison physique ?
3. Cette boucle fait partie d’un circuit électronique oscillant dont la fréquence
est fonction de son inductance. Ce circuit est composé d’une capacité Cet
du dipôle AB.
Quelle est la pulsation de résonance ? Calculer sa variation relative en fonc-
tion de la variation relative d’inductance.
Réponses : 1 : L0=L11−M2
L1L2; 3 : ∆ω0 ω0
=M2
2L1L2
Couplage électromécanique
EM108. Chute d’une tige dans un champ magnétique permanent (*)
Une tige horizontale Tde masse met de résistance Rtombe dans un champ de
pesanteur uniforme ~g en glissant sans frottement le long d’un cadre métallique
vertical de résistance négligeable. Un aimant permanent crée un champ magnéto-
statique ~ Bque l’on suppose uniforme et normal au plan du circuit Cformé par le
cadre et T.
g
Btige T
x
y
z
a
1. Analyser qualitativement l’état électrique de Cet le mouvement de T.
1

2. Test lâchée sans vitesse initiale. En négligeant le champ propre de Cdevant
le champ extérieur, étudier le mouvement de T.
Exprimer en particulier en fonction de g,B,a,met Rla vitesse limite de ce
mouvement et la constante de temps τnécessaire à l’établissement de cette
vitesse limite.
Réponses : 2 : v(t) = v∞1−e−t/τ avec v∞=gτ
EM091. Tige et induction (Banque PT 2013, **)
La tige, de longueur aet de résistance R, glisse sans frottement ; ~ Best constant
et uniforme et u(t) = u0cos (ωt).
B
x
y
kRu(t)
1. Donner l’équation différentielle régissant le mouvement de la tige.
2. Déterminer l’amplitude Vmde sa vitesse.
Réponses : 1 : ¨x+ω0
Q˙x+ω2
0x=−Ba
mR uavec ω2
0=k
met B2a2 Rm =ω0 Q;
2 : Vm=|Vm|=
ωBa
mR u0
s(ω2
0−ω2)2+ω2ω2
0
Q2
EM075. Alternateur rudimentaire (**)
Un alternateur transforme une énergie mécanique (ici la rotation de la bobine) en
une énergie électrique (générée par la force électromotrice).
Une bobine plate comportant N= 200 spires, d’aire S= 20 cm2, tourne avec une
vitesse angulaire constante ω= 10 rad.s−1entre les pôles d’un aimant qui produit
un champ uniforme B= 0,2T normal à l’axe de rotation.
vue de dessus
bobine
bobine
BB
B
∆
ω
θ
n
+
La bobine qui constitue un circuit fermé possède une résistance totale R= 1 Ω.
Le champ magnétique qu’elle crée est négligeable devant le champ magnétique de
l’aimant.
1. Calculer la f.e.m induite par le mouvement de la bobine.
2. Déterminer le moment Γop par rapport à l’axe que l’opérateur doit exercer
pour entretenir la rotation :
(a) Première méthode : en déterminant la puissance du couple des forces de
Laplace grâce à la relation PLap +Pfem = 0.
(b) Seconde méthode : en utilisant le fait qu’un champ magnétique exerce
sur un moment magnétique −→ Mun couple −→ ΓLap =−→ M ∧ ~ B.
Réponses : 1 : e=BSNω sin (ωt); 2 : ~ Γop =B2S2N2ωsin2(ωt)
R~uz
Pour aller plus loin
EM077. Pince ampèremétrique (**)
Une bobine torique est constituée de Nspires jointives enroulées sur un tore, de
section rectangulaire, de rayon intérieur a, de rayon extérieur bet de hauteur h.
On suppose N1.
L’inductance propre de la bobine torique vaut : L1=µ0N2h
2πln b a(exercice 1).
Le tore enlace un fil infini d’axe Oz parcouru par un courant sinusoïdal i2(t).
i2
a
1. Déterminer l’inductance mutuelle entre les deux circuits.
2. On court-circuite le circuit torique et on néglige sa résistance interne. On se
place en régime sinusoïdal forcé.
Exprimer le rapport des amplitudes des intensités I1et I2.
3. Une pince ampèremétrique peut être utilisée pour mesurer le courant circu-
lant dans une ligne à haute tension. Expliquer l’intérêt d’un tel dispositif.
Réponses : 1 : M=µ0Nh
2πln b a=L1 N; 2 : I1 I2
=M
L1
=1
N
EM118. Courants de Foucault, barreau cylindrique (***)
On considère un barreau conducteur cylindrique d’axe Oz, de rayon a, de longueur
h≥a, de conductivité γ, placé dans un champ magnétique ~ B0=B0cos (ωt)~ez.
2

1. Exprimer le champ électrique induit ~ E0au sein du conducteur.
2. Exprimer la densité volumique de courants ~ j0qui apparaît dans le conduc-
teur (courants de Foucault). Quelle est la puissance moyenne dissipée par
effet Joule par ces courants dans le conducteur ?
3. Les courants volumiques ~ j0créent un champ magnétique ~ B1variable, et
donc source d’un champ électrique induit ~ E1.
Déterminer ~ B1et ~ E1à l’intérieur du conducteur. À quelle condition a-t-on
k~ B1kk~ B0ket k~ E1kk~ E0k? Commenter.
Réponses : 1 : ~ E0=B0ωr
2sin (ωt)~uθ; 2 : ~
j0=γB0ωr
2sin (ωt)~uθ;P=γB2
0ω2hπa4
16 ;
3 : ~ B1=µ0γB0ωsin (ωt)
4×(a2−r2)~uz;~
E1=−µ0γB0ω2cos ((ωt)
16 r2a2−r2~uθ;
B1m
B0
=1
2×a δ2
avec δ=r2
µ0γω
EM110. Circuits résistifs couplés par mutuelle inductance (***)
On considère le montage ci-contre. On pose M=kL avec 0≤k≤1.
i1i2
E
R R
L L
M
K
Pour t < 0on a i1=i2= 0. À t= 0, on ferme l’interrupteur K.
Déterminer et tracer i1(t)et i2(t)dans les cas :
— premier cas : 0≤k < 1;
— second cas : k= 1.
Les courbes suivantes représentent l’évolution des intensités au cours du temps
(ramenées à l’intensité maximale) pour différentes valeurs de k. Commenter.
Réponses :
0< k < 1:i1(t) = E
R1−1 2exp −t τ[1 + k]+ exp −t τ[1 −k];
i2(t) = E
2R−exp −t τ[1 + k]+ exp −t τ[1 −k];
k= 1 :i1(t) = E
R1−1 2exp −t 2τ et i2(t) = −E 2Rexp −t 2τ.
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