MULTIPLICATION I) Vocabulaire 1) Définition Lorsqu`on multiplie

MULTIPLICATION
I) Vocabulaire
1) Définition
Lorsqu’on multiplie deux nombres, on obtient le produit de ces deux nombres.
Chaque nombre que l’on multiplie est appelé facteur.
Exemple :
7 6 42
produit
facteur facteur
à la main
à la calculatrice, il faut taper :
7
A
6
yn-1
x
2
xn
3
xn-1
=
%
2) Propriétés
Lors d’un calcul d’un produit de plusieurs facteurs, on peut :
1) changer l’ordre des facteurs,
2) regrouper différemment les facteurs.
Exemple :
calcul mental
5 7,2 2
7,2 5 2
7,2 10
72
On change l’ordre des facteurs puis on regroupe différemment les facteurs
II) Ordre de grandeur d’un produit
1) Propriété
Avant d’effectuer un calcul (mental, à la main, ou à la machine), il peut être utile de connaître l’ordre de
grandeur du résultat. Ceci permet parfois d’éviter des erreurs.
Pour obtenir un ordre de grandeur d’un produit, on peut multiplier des ordres de grandeur de chaque facteur.
Exemple :
Ordre de grandeur du produit
189 608
Un ordre de grandeur de 189 peut être 200
Un ordre de grandeur de 608 peut être 600
on change l’ordre des facteurs
on regroupe différemment les facteurs
6
7
3
2
8
2
2
0
2
5
1
8
4
7
1

Donc un ordre de grandeur de
189 608
peut être
200 600
c'est-à-dire 1200
III) Multiplication par 10 ; 100 ; … ou par 0,1 ; 0,01 ;…
Voir activité 5 et 6 p 48 : multiplications
1) Par 10, 100, 1 000…
Dans une écriture décimale, la valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans cette écriture.
En multipliant un nombre par 10, on augmente la puissance de chacun de ses chiffres.
35,2 est 10 fois plus grand que 3,52
2) Par 0,1 ; 0,01 ; 0,001…
En multipliant un nombre par 0,1 , on diminue la puissance de chacun de ses chiffres.
0,352 est 10 fois plus petit que 3,52
Exercices 31, 32, 33 page 56
IV) Multiplication de deux nombres décimaux
1) Calcul « à la main »
Pour multiplier à la main deux nombres décimaux :
1) on multiplie les deux nombres en ignorant les virgules ;
2) on place la virgule dans le produit en comptant le nombre total de chiffres après la virgule dans les facteurs.
Exemples :
Unités
Dixièmes
Centièmes
3,
5
2
Dizaines
Unités
Dixièmes
3
5,
2
Unités
Dixièmes
Centièmes
3,
5
2
Unités
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
0,
3
5
2
1 + 2 = 3 chiffres
derrière la virgule
1
4
5
3
,
0
7
2
,
2
9
0
6
1
7
1
0
1
3 + 2 = 5 chiffres
derrière la virgule
0
5
4
6
,
4
8
9
,
4
9
1
4
3
6
8
0
0

2) A la calculatrice
Exemples :
1
x
4
y
.
Ran#
5
yn
3
xn-1
x
7
A
.
Ran#
2
xn
=
%
0
Rnd
.
Ran#
5
yn
4
y
6
yn-1
x
0
Rnd
.
Ran#
8
B
9
r
=
%
ATTENTION
Un produit n’est pas toujours supérieur à chacun de ses facteurs.
Exemple :
0,2 0,3 0,06 or 0,06 0,2 et 0,06 0,3   
MULTIPLICATION ET DIVISIONS DES FRACTIONS
I) Comment multiplier des nombres en écriture fractionnaire ?
1) Savoir faire
voir activité 7 page 41 a et b : « produit de deux nombres en écriture fractionnaire »
Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire :
1) on multiplie les deux numérateurs entre eux ;
2) on multiplie les deux dénominateurs entre eux.
Notation : Soient a, b, c, d quatre nombres relatifs avec b et d non nuls (différents de 0), alors on a :
db ca d
c
b
a
Voir activité 8 page 41 et 42 : « Avant ou après »
Il est judicieux de simplifier au maximum avant d’effectuer les produits.
Exemple :
4 3 10
5 4 9
A
2) Etude de quelques exemples

27
3 13
…
4
87 2728 87 1416 8
14
7
16 
8
5
15
32
…
II) Comment diviser des nombres en écriture fractionnaire ?
1) Inverse d’un nombre en écriture fractionnaire
voir activité 10 page 42 : « Inverse et écriture fractionnaire »
Deux nombres sont dits inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à un.
Exemples :
5 et
1
5
sont inverses l’un de l’autre car
1
51
5
2
3
est l’inverse de
3
2
car
23
1
32
Remarque : Ne surtout pas confondre avec l’opposé
Conséquence : Soit a un nombre relatif non nul, son inverse est
a
1
, on le note aussi a-1 lire a puissance -1.
Exemples :
3-1 =
7-1 =
1/5-1 =
3/7-1 =
CALCULATRICE x-1
2) Quotient de nombres en écriture fractionnaire
Voir activité 11 page 42 : Quotient de
a
b
par
c
d
Pour diviser un nombre en écriture fractionnaire par un autre non nul, on multiplie la première fraction par
l’inverse de la deuxième.
Notation : Soient a, b, c, d des nombres relatifs avec b, c et d non nuls, alors
a
b
c
d
:
a c a d
b d b c
et
b
a
b
a1
Exemples :
13
12
:
4
5
=…

2
5
:
37
=…
2
3:3
…
2
3
4
5
…
37
5
…
La 4ème A compte 24 élèves.
12
7
de ces élèves sont des externes.
7
4
des externes sont des garcons.
1) Combien y a-t-il d’élèves externes dans cette classe ?
2) Combien y a-t-il de garçons externes dans cette classe ?
3) Quelle fraction des élèves, les garçons externes représentent-ils ?
MULTIPLICATION ET DIVISION
DES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS
I) Multiplication de nombres relatifs
1) Multiplication de deux nombres relatifs
Voir les activités : « POSITIF  NEGATIF » et « NEGATIF  NEGATIF ».
Pour multiplier deux nombres relatifs,
1) On détermine le signe du produit :
* si les deux nombres sont de même signe, le produit est positif ;
* si les deux nombres sont de signes différents, le produit est négatif.
2) On multiplie leurs distances à zéro.
Exemples :
(-3) (-8) = (+24)
(+6) (+2) = (+12)
(-5) (+8) = (-40)
(+6) (-4) = (-24)
ATTENTION : La multiplication et l’addition ont des règles de signes différentes.
 (-5) (-2) = +10
 (-5) + (-2) = -7
2) Multiplication de plusieurs nombres relatifs
Voir l’activité : « SIGNE D’UN PRODUIT ».
Pour multiplier plusieurs nombres relatifs,
1) On compte le nombre de facteurs négatifs :
*si le nombre est pair alors le produit est positif ;
*si le nombre est impair alors le produit est négatif.
2) On multiplie les distances à zéro.
Exemples :
(-4,2) (-3,1) (2,7) (-5,1)=-(4,2 3,1 2,7 5,1)
=-179,2854