TD OH1 et OH2 - ENT Moodle du Lycée du Hainaut
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TD OH1 Oscillateurs harmoniques en et OH2 régime libre et forcé Oscillateur en régime libre Exercice 1 Oscillateur harmonique non amorti Considérons le système représenté ci-dessous : une masse m est suspendue à un ressort vertical de masse négligeable et de raideur k. L'extrémité supérieure du ressort est xe et attachée au point O. Soit l'axe (Ox), vertical et orienté vers le bas. La position de l'extrémité libre du ressort est repérée par son abscisse x. Soit x0 la longueur à vide du ressort et xeq sa longueur lorsque la masse m est accrochée au ressort et est à l'équilibre. 4. Appliquer le principe fondamental de la dynamique et déterminer en combinant les équations précédentes, l'équation diérentielle vériée par x et liant x, xeq , m et k . En déduire la pulsation propre ω0 et la période propre T0 de l'oscillateur ainsi obtenu. 5. A l'instant t = 0, la masse m est dans une position telle que la longueur du ressort est égale à xeq . On communique alors à la masse m une vitesse v0 → → verticale ( v (0) = v0 ux ). Déterminer dans ce cas la solution x(t) de l'équation diérentielle. 6. Tracer l'allure de x(t) ainsi que le portrait de phase de l'oscillateur on précisera le point t = 0. 7. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique et de l'énergie cinétique de la masse. L'énergie mécanique se conserve t'elle au cours du mouvement ? Pourquoi ? Exercice 2 Le circuit LC série en régime libre à t=0, l'interrupteur est en position 1 et on le bascule en position 2. → → 1. Exprimer la force F de rappel élastique en fonction de k, x0 , x et ux . 2. On considère tout d'abord que la masse est à l'équilibre. Par un raisonnement qualitatif et par homogénéité, déterminer la position d'équilibre de la masse xeq en fonction de x0 , g , m et k . 3. Faire le bilan des forces appliquées à la masse m. En écrivant l'équilibre de la masse, vérier l'expression de la longueur xeq du ressort à l'équilibre obtenue précédemment. TSI 1 • C. Boyer Vion • Lycée du Hainaut - Valenciennes 1. Quelle est l'intensité i dans la branche de la bobine et du condensateur en série avant la fermeture de l'interrupteur ? En déduire l'intensité à t = 0+ . 2. Mettre le circuit en équation et déterminer l'équation diérentielle donnant l'évolution de l'intensité dans la branche du LC série. A quelle équation correspond l'équation déterminée ? En déduire la pulsation propre et la période propre de l'oscillateur. 3. Tracez l'évolution de i(t). 4. En réalité, la bobine possède une résistance interne à l'origine de pertes par eet joule. Quel est l'eet sur l'oscillateur ? Tracez l'allure de i(t) dans ce cas. Année 2015-2016 1/5 Exercice 3 Suspension d'un véhicule La suspension d'un véhicule possède une constante de raideur k = 2, 105 N/m et une longueur à vide l0 = 20 cm. Le véhicule reposant sur cette suspension possède une masse de 400 kg. Quelle est la longueur du ressort à l'équilibre ? Exercice 4 m = 75 kg ∆m = 100 kg α = 4, 9 N.m−1 .s → FA = −∆m(1 − z → ) g z0 pour z ∈ 0, z20 avec z0 = 10 km. (a) Etablir la nouvelle équation diérentielle vériée par z et montrer que celle-ci peut se mettre sous la forme suivante. identier et calculer les constantes τ , ω0 et ze . Ascension d'un ballon On étudie l'ascension d'un ballon assimilé à un point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La position du ballon est repérée par son altitude z , l'origine du repère étant choisie au niveau du sol au point occupé par le ballon à l'instant initial. La vitesse initiale du ballon est nulle. Dans tout le problème, le ballon est soumis au champ de pesanteur uniforme de norme g . L'air exerce sur le ballon une force de frottement uide linéaire de coecient α. On donne les valeurs numériques : g = 9, 81 m.s−1 alors : z+ z + ω02 (z − ze ) = 0 τ (b) Le ballon oscille-t-il avant d'atteindre son altitude dénitive ? Exprimer la période T d'une oscillation. (c) Quelle est la durée caractéristique de l'évolution ? Combien observe-t-on d'oscillations ? Exercice 5 Analyse d'un portrait de phase On donne ci-dessous le portrait de phase d'un ressort vertical : 1. La poussée d'Archimède exercée par l'atmosphère sur le ballon est proporton→ → nelle à la masse ∆m d'air atmosphérique occupée par le ballon FA = −∆m g . (a) Etablir l'équation diérentielle vériée par la coordonnée z . (b) Montrer que la vitesse tend vers une valeur limite ż∞ . Calculer cette valeur. (c) Etablir l'expression de la vitesse ż(t) du ballon en fonction de ż∞ , α et m. 2. On prend à présent en compte la raréfaction de l'air avec l'altitude, ce qui se traduit par une diminution progressive de la poussée d'Archimède, qui devient TSI 1 • C. Boyer Vion • Lycée du Hainaut - Valenciennes 1. D'après le portrait de phase obtenu, l'oscillateur est-il soumis à des forces de frottement uide ? Dans quel régime d'oscillations se trouve-t-on ? 2. Déterminer graphiquement la position d'équilibre, la position initiale et la vitesse initiale de l'oscillateur. 3. Donner un ordre de grandeur du facteur de qualité de l'oscillateur. Année 2015-2016 2/5 Exercice 6 Portrait de phase d'un pendule On considère un pendule représenté ci-dessous et dont la position est repérée par l'angle θ . A l'aide d'une instrumentation dédiée, on relève le portrait de phase du pendule en traçant dθ dt en fonction de θ . On obtient la courbe suivante : 1. D'après le portrait de phase, le pendule se comporte-t-il comme un oscillateur harmonique ? En déduire la forme de l'équation vériée par θ(t). 2. Dessiner le schéma du pendule lorsqu'il est au point A. Puis aux points, B, C et D. 3. Dans quel sens le portrait de phase est-il parcouru ? Justier. 4. A quelle conguration correspond le centre du cercle ? La représenter. Est-ce cohérent ? TSI 1 • C. Boyer Vion • Lycée du Hainaut - Valenciennes 5. Tracer le portrait de phase obtenu si on lance le pendule sans vitesse initiale (θ̇ = 0 initialement) et avec un angle initial θ0 légèrement supérieur à π/2. Si on augmente trop initialement θ0 , on obtient le portrait de phase suivant : 6. Commenter et discuter de la modélisation du pendule. Exercice 7 Mouvement avec 2 ressorts Considérons un mobile supposé ponctuel de masse M astreint à glisser le long d'une tige horizontale de direction Ox. Ce mobile est maintenu par deux ressorts à réponse linéaire dont les extrémités sont xées en deux points A et B. Les deux ressorts sont identiques, ont même constante de raideur k et même longueur au repos l0 . Dans la poition d'équilibre du système, les longueurs des ressorts sont identiques et valent leq . Soit O, le ppoint où se trouve le mobile lorsqu'il est à l'équilibre. O constitue l'origine de l'axe des x. On néglige tout frottement. L'étude est menée dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen. A t=0, le mobile est abandonné sans vitesse initiale d'une position x0 (avec x0 6= 0). 1. (a) Faire le bilan des forces appliquées au mobile lorsqu'il se trouve à un point d'abscisse x quelconque. Etablir l'équation diérentielle dont x(t) est solution. Année 2015-2016 3/5 (b) Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique dont on précisera la pulsation et la période T0 en fonction de k et de m. On posera ω02 = 2k m. (c) Donner l'expression de x(t) en tenant compte des conditions initiales. 2. Donner les expressions de l'énergie potentielle élastique Ep (t) des deux ressorts, de l'énergie cinétique Ec (t) du mobile et de l'énergie mécanique totale E(t) du système en fonction de k , x0 , ω0 et t et éventuellement l0 et lq . la présence d'espèces chimiques et biologiques modie la fréquence de résonance de la poutre. Mesurer cette fréquence permet ainsi de détecter la présence ou non de certaines espèces dans un échantillon, comme le montre l'illustration ci-dessous : Oscillateur en régime forcé Exercice 8 Impédance de circuits Déterminer l'impédance équivalente des dipôles suivants : Exercice 9 Applications de la résonance mécanique : biodétection Le phénomène de résonance est notamment appliqué pour les innovations en biodétection et nano-technologies. Grâce à une tension sinusoïdale, on peut faire vibrer une poutre piézoélectrique (piézoélectricité = déformation mécanique après application d'une tension électrique) de manière sinusoïdale. 1. Quel est le facteur de qualité du résonateur ? 2. Donner la pulsation de résonance dans les trois cas : poutre nue, poutre chargée d'anticorps ( fonctionnalisée , poutre avec virus détectés. 3. Quel est l'intérêt d'avoir un facteur de qualité le plus élevé possible ? Un maximum de vibration pour la poutre est obtenu à une certaine fréquence : la fréquence de résonance. On peut montrer expérimentalement et théoriquement que TSI 1 • C. Boyer Vion • Lycée du Hainaut - Valenciennes Année 2015-2016 4/5 Exercice 10 Résonance en intensité du circuit RLC série On s'intéresse à un circuit RLC série, alimenté par une tension e(t) = E0 cos(ωt) . Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution du courant i(t) dans le circuit, selon la valeur de la pulsation de la tension e(t). 1. Représenter le schéma du circuit, ainsi que la position des instruments de mesure permettant la visualisation de l'évolution de i(t) . L'ordre des composants est-il important ? 2. Déterminer l'impédance équivalente à la mise en série de R, L et C. 3. Donner le signal complexe e(t) associé à la tension e(t). Que vaut l'amplitude complexe de e(t) ? 4. Exprimer i(t) en fonction de e(t), R, C, L et ω . 5. On appelle I l'amplitude complexe de i(t). Déduire de la question précédente l'expression de I en fonction de E0 , R, C, L et ω . 6. En déduire la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q du circuit. 7. Montrer que l'on peut écrire : I= E0 /R 1 + j( ωω0 − Représenter i(t) pour les pulsations ω = 100 krad/s et ω = 200 krad/s. (On ne s'intéresse pas au déphasage de ces signaux). 13. A partir du graphique précédent, donner la valeur du facteur de qualité et de la pulsation propre du système. 14. Des élèves sont passés dans la salle entre temps, et ont modié un peu le circuit. Quand on redétermine expérimentalement l'évolution de I en fonction de la pulsation, on trouve désormais le graphique : ω0 ω ) 8. Déterminer l'expression de l'amplitude I de i(t) en fonction de E0 , R, Q, ω0 et ω . 9. Que vaut I si le signal d'entrée e(t) possède une fréquence très basse ? une fréquence très haute ? 10. En quelle pulsation I est-elle maximale ? 11. En déduire une évolution qualitative de en fonction I de ω . Quel phénomène met-on en évidence ? Qu'ont modié les élèves ? 12. On relève expérimentalement l'évolution suivante pour I en fonction de ω et on obtient la courbe suivante : TSI 1 • C. Boyer Vion • Lycée du Hainaut - Valenciennes Année 2015-2016 5/5
