103 Sous-groupes distingués et groupes quotients.

Leçon 103: Exemples et applications des notions de
sous-groupes distingués et de groupe quotient
Adrien Fontaine
21 décembre 2013
1

Table des matières
1 Introduction 3
2 Généralités 3
2.1 Notiondeclasse..................................... 3
2.2 Sous-groupesdistingués................................. 3
2.3 Groupesquotients.................................... 5
2.4 Théorèmes d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Groupes et sous-groupes remarquables 6
3.1 Groupessimples..................................... 6
3.2 Groupedérivéd’ungroupe............................... 9
3.3 Produitdirect...................................... 10
4p-groupes et théorèmes de Sylow 11
5 Résolubilité 13
2

1 INTRODUCTION 3
Cadre : Dans toute la leçon, (G, ., e)désigne un groupe et Hun sous-groupe de G.
1 Introduction
Le passage au quotient est une notion majeure en mathématiques. Sa vocation est de regrouper
des éléments ayant la même propriété et de changer d’espace pour ne plus les distinguer. Ainsi,
des espaces aussi usuels que l’anneau Z/nZ, les espaces Lpou le groupe R/2πZreposent sur cette
construction. Dès lors, en théorie des groupes, la notion de sous-groupe distingué est centrale pour
"passer au quotient".
2 Généralités
2.1 Notion de classe
Définition 1
On appelle classe à gauche de l’élément a∈Grelativement à H, le sous-ensemble
aH ={g∈G/g =ah, h ∈H}
et on définit de même les classes à droite Ha.
Les classes à gauche forment une partition de G. Leur ensemble est noté G/H.
Remarque 1
Attention ! G/H n’est pas un groupe en général !
Définition 2
On définit l’indice de Hdans G, et on note (G:H)comme le cardinal de G/H,i.e
(G:H) =|G/H |
Lorsque le groupe est fini, la considération des classes à gauche conduit au théorème suivant :
Théorème 1 (Lagrange)
Si Gest fini, l’ordre de Het l’indice de Hdans Gdivisent l’ordre de G. Précisément, on a :
|G|=|H| × | G/H |=|H| ×(G:H)
En particulier, l’ordre d’un élément g∈Gdivise l’ordre de G.
2.2 Sous-groupes distingués
Définition 3
On dit que Hest distingué dans G, et on note H  G, si on a :
∀a∈G, ∀h∈H, aha−1∈H

2 GÉNÉRALITÉS 4
Exemple 1
1. {e}et Gsont toujours des sous-groupes distingués, dits triviaux.
2. Dans un groupe abélien, tout sous-groupe est distingué. 1
3. Si f:G→G0est un homomorphisme de groupe, son noyau Ker(f)est un sous-groupe
distingué de G.
4. L’ensemble des automorphismes intérieurs de G(Int(G)) est distingué dans l’ensemble
des automorphisme de G.
Int(G)est l’ensemble des automorphismes de Gde la forme :
σg:G→G
x7→ gxg−1
et on vérifie facilement que pour tout α∈Aut(G), on a α◦σg◦α=σα(g).
5. contre-exemple : Gln(Z)7GLn(R). En effet, le contre-exemple suivant s’étend à toutes
les tailles : "1 0
0 2#"1 1 0 1#"1 0 0 1/2#="1 1/2 0 1 #/∈GL2(Z)
Remarque 2
Pour montrer qu’un sous-groupe est distingué, il suffit de montrer xhx−1∈Hseulement sur
une partie génératrice de H.
Proposition 1
On a équivalence entre :
1. H  G
2. ∀g∈G, gH =Hg
Application : Tout sous-groupe d’indice 2 est distingué.
En effet, si Hest un sous-groupe d’indice 2 de G. Soit a∈G. Si a∈H, on a Ha =H=aH.
Si a /∈H, alors Hétant d’indice 2, la partition de Gen classes à gauches (resp. à droite) est
G=H∪aH (resp. G=h∪Ha). On a donc Ha =Hc=aH. Donc, Hest distingué dans G.
Théorème 2 (Froebenius)
2Si Gest fini. Soit ple plus petit diviseur premier de |G|. Alors tout sous groupe de G
d’indice pest distingué dans G.
Démonstration : Soit Hun sous-groupe d’indice pde G. Considérons l’ensemble G/H des classes
à gauche de Gsuivant H. Sur cet ensemble à péléments, Hagit par translation :
H×G/H →G/H
(h, gH)7→ (hg)H
avec au moins un point fixe, la classe eH =H. L’orbite de tout point non fixe a pour cardinal un
diviseur de l’ordre de Hstrictement supérieur à 1(|ω(gH)|| Stab(gH)|=|H|), donc supérieur
ou égal à p(on peut pas avoir un diviseur de |H|plus petit que pcar sinon ça serait aussi un
diviseur de |G|. Ce qui est incompatible avec ce qui précède (car G/H =Sg∈Gω(gH)). Ainsi,
tous les points sont fixes donc ∀g∈G, ∀h∈H, hgH =gH,i.e g−1hg ∈H.

2 GÉNÉRALITÉS 5
2.3 Groupes quotients
On cherche les relations d’équivalence Rsur Gtelles que G/Rsoit un groupe. On dispose
alors du résultat suivant :
Proposition 2
Si H  G, l’ensemble G/H peut être muni d’une structure de groupe via (xH)(x0H)=(xx0)H
et est appelé groupe quotient de Gpar H.
De plus, on dispose d’un morphisme de groupe surjectif
Π : G→G/H
x7→ xH
de noyau H.
Remarque 3
On a donc une réciproque à l’exemple 3 de sous-groupe distingué.
Exemple 2
1. SLn(K) GLn(K)car SLn(K) = Ker(det)
2. An Sncar An=Ker(ε)où εest la signature d’une permutation.
3
2.4 Théorèmes d’isomorphismes
Dans ce paragraphe, on suppose H  G.4
Théorème 3 (Propriété universelle du groupe quotient)
Soit Γun groupe et ϕ:G→Γun morphisme de groupe tel que H⊂Ker(ϕ). Alors, il existe
un unique ˜ϕG/H →Γtel que ϕ= ˜ϕ◦π.
Corollaire 1 (Premier théorème d’isomorphisme)
Avec les mêmes notations, G/Ker(ϕ)'Im(ϕ).
5
Proposition 3 (Deuxième théorème d’isomorphisme)
6Soit H  G et Kun sous-groupe de G. Alors, les groupes quotients K/K ∩Het HK/H
existent et on a K/K ∩H'HK/H.
Proposition 4 (Deuxième théorème d’isomorphisme)
Soit Kun sous-groupe de Gtel que K⊂H,K  G,H  G. Alors,
G/H '(G/K)/(H/K)
3. mettre les deux propriétés du plan de Alex et Lison
4. besoin du calais p147
5. mettre des exemples d’application, peut être dans OA