derivee a points de discontinuite dense

1
Existence d’une fonction dérivée à points de discontinuité dense
[Gour]
Théorème 1. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions dérivables de I = [0, 1] dans un espace de
Banach E. On suppose que :
• ∃x0 ∈ I, (fn (x0 ))n∈N converge.
• (fn0 )n∈N converge uniformément vers g sur I.
Alors, (fn )n∈N converge uniformément sur I vers une fonction f dérivable et f 0 = g.
Démonstration. :
Etape 1 : pour montrer que (fn )n∈N converge uniformément vers une certaine fonction que
l’on notera f , il nous suffit de montrer que (fn )n∈N est de Cauchy dans l’espace de Banach
C([0, 1], k.k∞ ), i.e qu’elle vérifie le critère dit de Cauchy uniforme.
Fixons ε > 0. Pour p, q ∈ N, on a pour tout x ∈ [0, 1] :
kfp (x) − fq (x)k ≤ k(fp − fq )(x) − (fp − fq )(x0 )k + k(fp − fq )(x0 )k.
{z
} |
{z
}
|
(1)
(fn0 )n∈N
Traitons (1) pour commencer. Comme
vérifie le critère de Cauchy uniforme et donc :
(2)
converge uniformément vers g, alors (fn0 )n∈N
∃N1 , ∀p, q ≥ N1 , ∀x ∈ [0, 1], kfp0 (x) − fq0 (x)k ≤ ε
Par le théorème des accroissements finis entre [x, x0 ] ⊂ [0, 1], on a pour p, q ≥ N1 :
k(fp − fq )(x) − (fp − fq )(x0 )k ≤
sup kfp0 (y) − fq0 (y)k|x − x0 | ≤ ε|x − x0 | ≤ ε.
y∈[x,x0 ]
Passons à l’étude de (2). Comme (fn (x0 ))n∈N converge, elle est également de Cauchy dans R et
à ε fixé, il existe N2 tel que :
∀p, q ≥ N2 , kfp (x0 ) − fq (x0 )k ≤ ε.
Pour N ≥ max(N1 , N2 ) et p, q ≥ N , on a pour tout x ∈ [0, 1], kfp (x) − fq (x)k ≤ 2ε et (fn )n∈N
est bien de Cauchy dans C([0, 1], k.k∞ ).
Etape 2 : On va montrer que f est dérivable et que f 0 = g. Fixons t 6= x ∈ I. On a pour N ∈ N
choisi comme à l’étape 1 :
k
fN (t) − fN (x)
(f − fN )(t) − (f − fN )(x)
f (t) − f (x)
− g(x)k ≤ k
k+k
− g(x)k
t−x
t−x
t−x
{z
} |
{z
}
|
(a)
(b)
fN (t) − fN (x)
0
0
(x)−g(x)k.
(x)k+kfN
−fN
t−x
Pour p ∈ N, d’après l’étape 1, on a pour tout x ∈ [0, 1] :
où on peut encore décomposer (b) sous la forme (b) ≤ k
0
0
kfN
(x) − fN
+p (x)k ≤ ε (∗)
0
0
et en faisant tendre p vers l’infini on a : kfN
(x) − g(x)k ≤ ε. Par définition de fN
(x), pour ε > 0
fixé, il existe α > 0 tel que :
∀t ∈ I, 0 < |t − x| ≤ α, k
fN (t) − fN (x)
0
− fN
(x)k ≤ ε =⇒ (b) ≤ 2ε.
t−x
Intéressons nous maintenant à (a). On a par l’inégalité des accroissements finis
0
0
k(fN +p − fN )(t) − (fN +p − fN )(x)k ≤ sup kfN
+p (y) − fN (y)k|t − x| ≤ ε|t − x|
y∈[t,x]
soit en faisant tendre p vers +∞, en utilisant (∗)
k(f − fN )(t) − (f − fN )(x)k ≤ ε|t − x| =⇒ (a) ≤ ε
Conclusion : ∀t ∈ I, 0 < |t − x| < α, k
[Gour]
f (t) − f (x)
− g(x)k ≤ 3ε, soit f 0 (x) = g(x).
t−x
Application 1. Il existe une fonction dérivable sur [0, 1] à valeurs dans R, telle que sa dérivée
soit discontinue sur un ensemble dense.
2
Démonstration. Introduisons la fonction φ : [−1, 1] −→ R définie par :

x2 sin 1
si x 6= 0
x
qui est clairement dérivable sur [−1, 0[∪]0, 1]
φ(x) =

0
sinon
Etape 1 : montrons que φ est dérivable en 0 et que φ0 est seulement discontinue en 0. Pour
x ∈ [−1, 1] \ {0}, on a :
1
|sin
| ≤ 1 =⇒ −x2 ≤ φ(x) ≤ x2 (inégalité encore vraie en 0).
x
φ(x) − φ(0)
| ≤ |x| et donc φ est dérivable en 0
x−0 1
1
1
avec φ0 (0) = 0. Pour x 6= 0 dans [−1, 1], on a φ0 (x) = 2x sin
− cos
. Or, x 7−→ cos
x
x
x
n’admettant pas de limite en 0 (raisonner avec des suites), φ0 est continue sur [−1, 0[∪]0, 1] et
discontinue en 0.
ainsi pour x 6= 0, on a alors naturellement -|x| ≤
Etape 2 : Q ∩ [0, 1] est dénombrable et dense dans [0, 1], par dénombrabilité de Q ∩ [0, 1], il
existe une bijection r de N∗ dans Q ∩ [0, 1] où l’on note rn = r(n) et on définit aussi une suite
de fonction (fn )n∈N∗ par :
[0, 1]
−→
R
1
φ(x − rn )
x
7−→
n2
P 0
Objectif 1. montrer que la série
fn est uniformément convergente et qu’il existe x0 ∈ [0, 1]
n
P
tel que
fn (x0 ) converge pour pouvoir appliquer les résultats du théorème précédent.
fn :
n
Comme φ est dérivable sur [−1, 1], fn l’est également pour tout n avec fn0 (x) =
Alors, comme φ0 est bornée sur [−1, 1] :
1 0
φ (x − rn ).
n2
M
∃M > 0, |φ0 (x − rn )| ≤ M =⇒ |fn0 (x)| ≤ 2 pour tout x ∈ [0, 1].
n
P 0
On en déduit la convergence normale de
fn et en particulier sa convergence uniforme. Comme
n
P
φ est aussi bornée, on montre de même la convergence de
fn (x) pour tout x, donc en au moins
n
un point x0 ∈ [0, 1]. En appliquant le théorème 1, à la suite correspondant aux sommes partielles
∞
P
P
P
de la série
fn , on en déduit que
fn converge uniformément vers une fonction f =
fn et
n
0
que f =
∞
P
n=0
n
n=0
fn0 .
Etape 3 : montrons que f répond au problème. Comme φ0 n’est discontinue qu’en 0, on remarque
0
immédiatement que fn0 n’est discontinue qu’en
P rn0 ∈ 0[0, 1] ∩ Q et donc pour tout x ∈ [0, 1] \ Q, fn
est continue et par convergence normale de
fn , f l’est aussi sur [0, 1] \ Q.
n
Objectif 2. Montrons que pour x ∈ [0, 1] ∩ Q, f 0 est discontinue.
∗
Soit x ∈ [0, 1] ∩ Q, par bijectivité de l’application r, il existe un unique N ∈ N
que x = rN
P tel
0
et pour tout n 6= N , on a rn 6= x et fn est continue en x = rN . Alors,
fn0 convergeant
n
P 0
0
fn converge normalement vers f 0 − fN
normalement vers f 0 , on a de même
et pour n 6= N ,
n6=N
les fn0 étant continues en rN , la convergence normale de la série des dérivées assure :
P 0
0
f 0 − fN
=
fn est continue en x = rN .
n6=N
[Gour]
0
Conclusion : comme fN
est discontinue en x = rN , nécessairement f 0 l’est aussi. Ainsi, f 0 est
discontinue sur [0, 1] ∩ Q qui est dense de [0, 1].
Remarque 1. En application du théorème de Baire, on montre aussi que l’ensemble des points
de continuité d’une fonction dérivée est une partie dense.