derivee a points de discontinuite dense

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Existence d’une fonction dérivée à points de discontinuité dense
[Gour]
Théorème 1. Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions dérivables de I= [0,1] dans un espace de
Banach E. On suppose que :
• ∃x0∈I, (fn(x0))n∈Nconverge.
•(f0
n)n∈Nconverge uniformément vers gsur I.
Alors, (fn)n∈Nconverge uniformément sur Ivers une fonction fdérivable et f0=g.
Démonstration. :
Etape 1 : pour montrer que (fn)n∈Nconverge uniformément vers une certaine fonction que
l’on notera f, il nous suffit de montrer que (fn)n∈Nest de Cauchy dans l’espace de Banach
C([0,1],k.k∞),i.e qu’elle vérifie le critère dit de Cauchy uniforme.
Fixons ε > 0. Pour p, q ∈N, on a pour tout x∈[0,1] :
kfp(x)−fq(x)k ≤ k(fp−fq)(x)−(fp−fq)(x0)k
| {z }
(1)
+k(fp−fq)(x0)k
| {z }
(2)
.
Traitons (1) pour commencer. Comme (f0
n)n∈Nconverge uniformément vers g, alors (f0 n)n∈N
vérifie le critère de Cauchy uniforme et donc :
∃N1,∀p, q ≥N1,∀x∈[0,1],kf0
p(x)−f0 q(x)k ≤ ε
Par le théorème des accroissements finis entre [x, x0]⊂[0,1], on a pour p, q ≥N1:
k(fp−fq)(x)−(fp−fq)(x0)k ≤ sup
y∈[x,x0]
kf0
p(y)−f0 q(y)k|x−x0| ≤ ε|x−x0| ≤ ε.
Passons à l’étude de (2). Comme (fn(x0))n∈Nconverge, elle est également de Cauchy dans Ret
àεfixé, il existe N2tel que :
∀p, q ≥N2,kfp(x0)−fq(x0)k ≤ ε.
Pour N≥max(N1, N2)et p, q ≥N, on a pour tout x∈[0,1],kfp(x)−fq(x)k ≤ 2εet (fn)n∈N
est bien de Cauchy dans C([0,1],k.k∞).
Etape 2 : On va montrer que fest dérivable et que f0=g. Fixons t6=x∈I. On a pour N∈N
choisi comme à l’étape 1:
kf(t)−f(x)
t−x−g(x)k≤k(f−fN)(t)−(f−fN)(x) t−xk
| {z }
(a)
+kfN(t)−fN(x)
t−x−g(x)k
| {z }
(b)
où on peut encore décomposer (b)sous la forme (b)≤ k fN(t)−fN(x)
t−x−f0
N(x)k+kf0 N(x)−g(x)k.
Pour p∈N, d’après l’étape 1, on a pour tout x∈[0,1] :
kf0
N(x)−f0 N+p(x)k ≤ ε(∗)
et en faisant tendre pvers l’infini on a : kf0
N(x)−g(x)k ≤ ε. Par définition de f0 N(x), pour ε > 0
fixé, il existe α > 0tel que :
∀t∈I, 0<|t−x| ≤ α, kfN(t)−fN(x)
t−x−f0
N(x)k ≤ ε=⇒(b)≤2ε.
Intéressons nous maintenant à (a). On a par l’inégalité des accroissements finis
k(fN+p−fN)(t)−(fN+p−fN)(x)k ≤ sup
y∈[t,x]
kf0
N+p(y)−f0 N(y)k|t−x| ≤ ε|t−x|
soit en faisant tendre pvers +∞, en utilisant (∗)
k(f−fN)(t)−(f−fN)(x)k ≤ ε|t−x|=⇒(a)≤ε
Conclusion : ∀t∈I, 0<|t−x|< α,kf(t)−f(x)
t−x−g(x)k ≤ 3ε, soit f0(x) = g(x).
[Gour] Application 1. Il existe une fonction dérivable sur [0,1] à valeurs dans R, telle que sa dérivée
soit discontinue sur un ensemble dense.

2
Démonstration. Introduisons la fonction φ: [−1,1] −→ Rdéfinie par :
φ(x) = 
x2sin 1
xsi x6= 0
0sinon
qui est clairement dérivable sur [−1,0[∪]0,1]
Etape 1 : montrons que φest dérivable en 0et que φ0est seulement discontinue en 0. Pour
x∈[−1,1] \ {0}, on a :
|sin 1
x| ≤ 1 =⇒ −x2≤φ(x)≤x2(inégalité encore vraie en 0).
ainsi pour x6= 0, on a alors naturellement -|x| ≤ φ(x)−φ(0)
x−0| ≤ |x|et donc φest dérivable en 0
avec φ0(0) = 0. Pour x6= 0 dans [−1,1], on a φ0(x) = 2xsin 1
x−cos 1 x. Or, x7−→ cos 1 x
n’admettant pas de limite en 0(raisonner avec des suites), φ0est continue sur [−1,0[∪]0,1] et
discontinue en 0.
Etape 2 : Q∩[0,1] est dénombrable et dense dans [0,1], par dénombrabilité de Q∩[0,1], il
existe une bijection rde N∗dans Q∩[0,1] où l’on note rn=r(n)et on définit aussi une suite
de fonction (fn)n∈N∗par :
fn:
[0,1] −→ R
x7−→ 1
n2φ(x−rn)
Objectif 1. montrer que la série P
n
f0
nest uniformément convergente et qu’il existe x0∈[0,1]
tel que P
n
fn(x0)converge pour pouvoir appliquer les résultats du théorème précédent.
Comme φest dérivable sur [−1,1],fnl’est également pour tout navec f0
n(x) = 1
n2φ0(x−rn).
Alors, comme φ0est bornée sur [−1,1] :
∃M > 0,|φ0(x−rn)| ≤ M=⇒ |f0
n(x)| ≤ M
n2pour tout x∈[0,1].
On en déduit la convergence normale de P
n
f0
net en particulier sa convergence uniforme. Comme
φest aussi bornée, on montre de même la convergence de P
n
fn(x)pour tout x, donc en au moins
un point x0∈[0,1]. En appliquant le théorème 1, à la suite correspondant aux sommes partielles
de la série P
n
fn, on en déduit que P
n
fnconverge uniformément vers une fonction f=
∞
P
n=0
fnet
que f0=
∞
P
n=0
f0
n.
Etape 3 : montrons que frépond au problème. Comme φ0n’est discontinue qu’en 0, on remarque
immédiatement que f0
nn’est discontinue qu’en rn∈[0,1] ∩Qet donc pour tout x∈[0,1] \Q,f0 n
est continue et par convergence normale de P
n
f0
n,f0l’est aussi sur [0,1] \Q.
Objectif 2. Montrons que pour x∈[0,1] ∩Q,f0est discontinue.
Soit x∈[0,1] ∩Q, par bijectivité de l’application r, il existe un unique N∈N∗tel que x=rN
et pour tout n6=N, on a rn6=xet f0
nest continue en x=rN. Alors, P
n
f0
nconvergeant
normalement vers f0, on a de même P
n6=N
f0
nconverge normalement vers f0−f0
Net pour n6=N,
les f0
nétant continues en rN, la convergence normale de la série des dérivées assure :
f0−f0
N=P
n6=N
f0
nest continue en x=rN.
Conclusion : comme f0
Nest discontinue en x=rN, nécessairement f0l’est aussi. Ainsi, f0est
discontinue sur [0,1] ∩Qqui est dense de [0,1].
[Gour]
Remarque 1. En application du théorème de Baire, on montre aussi que l’ensemble des points
de continuité d’une fonction dérivée est une partie dense.