Travaux Dirig´es de Physique M´ecanique - Université Paris-Sud

Travaux Dirigés de Physique
Mécanique
L1 S2 Phys–103
Université Paris–Sud 11
2010
2
Table des matières
1
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5
5
5
6
7
7
8
8
Dynamique dans des référentiels galiléen et non galiléen
2.1 Dynamique dans un référentiel galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dynamique dans un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
13
3 Énergie
3.1 Travail-Circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Théorème de l’énergie cinétique, Énergie potentielle, stabilité . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
16
4
Moment cinétique
23
5
Mouvement à force centrale
5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Gravitation - Lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Dynamique spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
27
28
6
Système à deux corps, centre de masse, collisions
6.1 Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
34
7
Dynamique des solides indéformables
7.1 Distribution continue de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
37
2
Cinématique - Changement de référentiel
1.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . .
1.1.2 Coordonnées polaires . . . . . . . . . .
1.1.3 Abscisse curviligne, rayon de courbure
1.1.4 Coordonnées cylindriques . . . . . . .
1.1.5 Coordonnées sphériques . . . . . . . .
1.2 Changement de référentiels . . . . . . . . . . .
3
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TD 0
7.2
4
Mécanique I
Phys–103
7.1.2 Moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
38
Université Paris–Sud 11
Phys–103
Mécanique I
TD 1
TD 1
Cinématique - Changement de référentiel
1.1
1.1.1
Cinématique
Coordonnées cartésiennes
Exercice 1.1.1 (F) :
1. Un point mobile M peut se déplacer suivant une trajectoire rectiligne le long d’un axe Ox. On enregistre expérimentalement son accélération a en fonction du temps t et on obtient le résultat suivant :
0 < t < 2 s : a = −2 ms−2 ; 2 < t < 4 s : a = +2 ms−2
2. Le mobile part de l’origine sans vitesse initiale. Déterminer l’expression v(t) de la vitesse v du mobile
en fonction du temps t (on supposera que v(t) est une fonction continue du temps). Même question
pour sa position x(t).
3. Tracer a(t), v(t) et x(t) sur des graphes en faisant correspondre l’axe des abscisses au temps t.
Vérifier leur cohérence. Noter en particulier à quels instants la vitesse du mobile s’annule. Qu’en
est-il du graphe x(t) à ces instants ?
4. Quelle est la vitesse moyenne entre 0 et 2 secondes ?
5. Quelle est la distance parcourue entre les instants t = 0 et t = 2 secondes ?
Exercice 1.1.2 (F) : Un point matériel M se déplace le long d’une courbe dont les équations paramétriques
sont :
−t
x(t) = Le τ
y(t) = R sin(ωt)
z(t) = R cos(ωt)
où t représente le temps.
1. Donner la dimension des constantes L, R, τ et ω.
2. On appelle m, la projection de M sur le plan Oyz. Déterminer la trajectoire du point m. En déduire
l’allure de la trajectoire de M .
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TD 1
Mécanique I
Phys–103
3. Calculer les composantes du vecteur vitesse ~v de M à la date t.
4. Calculer les composantes de l’accélération ~a de M à la date t.
−
−
5. Déterminer les normes de →
v et →
a à t = 0 si L = 3 m, R = 5 m, τ = 1 s et T ≡
vecteurs au même instant.
2π
ω
= 1 s ; tracer ces
Exercice 1.1.3 (F) : Un mouvement plan est donné par ses équations horaires : x(t) = r cos(kt2 ) et
y(t) = r sin(kt2 ), où r et k sont des constantes positives.
1. Quelles sont les dimensions de r et k ?
2. Quelle est la trajectoire ? La dessiner.
3. Calculer les composantes et la norme de la vitesse. Le mouvement est-il uniforme ?
4. Calculer les composantes et la norme de l’accélération.
1.1.2
Coordonnées polaires
Exercice 1.1.4 (F) : Un point mobile M , se déplace sur un cercle de centre O et de rayon R avec une
−
vitesse dont la norme croı̂t linéairement avec le temps k→
v k = kt où k est une constante positive.
−−→
1. Donner l’expression du vecteur position OM , dans la base locale associée aux coordonnées polaires.
2. Exprimer, dans la base locale associée aux coordonnées polaires, les composantes de la vitesse et de
l’accélération du point M . On note M0 la position du point à t = 0. On choisira le système d’axes
Ox, Oy tel que M0 soit situé sur l’axe Ox.
3. Déterminer les composantes de ces mêmes vecteurs en coordonnées cartésiennes.
4. Déterminer la distance parcourue le long du cercle, du point M0 au point M (t) à l’instant t.
Exercice 1.1.5 (FF) : On considère la courbe définie par l’équation en coordonnées polaires :
ρ(θ) = r0 (1 + cos θ)
où r0 est est une constante positive. Un point matériel M décrit cette courbe de telle manière que θ = ωt
(ω = constante). On prendra θ ∈ [0, 2π[.
1. Tracer la courbe ainsi définie, après avoir étudié les symétries et calculé ρ pour quelques valeurs de θ
comprises entre 0 et π.
−
−
2. Calculer les composantes du vecteur vitesse de M dans la base (→
u ,→
u ), où ~u , ~u est la base
ρ
θ
ρ
θ
locale associée aux coordonnées polaires. Reporter qualitativement sur la courbe le vecteur vitesse
aux points θ = 0, π2 , π, 3π
.
2
1
−
3. Montrer que k→
v k = ω(2ρr0 ) 2 .
−
4. Calculer l’accélération →
a et représenter ce vecteur aux points θ = 0, π ,π, 3π .
2
6
2
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Phys–103
1.1.3
Mécanique I
TD 1
Abscisse curviligne, rayon de courbure
Exercice 1.1.6 (FF) : Dans un repère orthonormé Oxy, les coordonnées d’une particule sont données en
fonction du temps t par :
x(t) = ct
y(t) = bt(t − τ )
où c = 2 S.I, b = 4 S.I. et τ = 1 S.I.
1. Donner la dimension des constantes c et b.
2. Déterminer l’équation de la trajectoire en coordonnées cartésiennes ; la tracer.
3. Écrire l’élément infinitésimal d’abscisse curviligne ds en fonction de t et dt. Donner ensuite sous la
forme d’une intégrale, la distance parcourue entre l’instant t = 0 et l’instant t = 2 s.
−
−
4. Calculer les composantes du vecteur vitesse →
v à la date t. Tracer →
v à t = 0 s et t = 0,5 s
5. Montrer que la particule possède une accélération constante dont on calculera les composantes tangentielle aT et normale aN . En déduire le rayon de courbure de la trajectoire à t = 0,5 s.
Exercice 1.1.7 (FF) : Une particule se déplace dans un plan. Son accélération est donnée au cours du
−
−
→ où →
−
→ sont des vecteurs unitaires du repère intrinsèque lié
temps par l’expression →
a = α→
ut + βt4 −
u
ut et −
u
n
n
à la trajectoire orientée et α et β sont des constantes positives. On suppose qu’à l’instant t = 0 la particule
est au repos à l’origine des coordonnées.
1. Donner les dimensions de α et β.
2. Calculer l’abscisse curviligne s(t) en fonction du temps.
3. Déterminer le rayon de courbure R(s) de la trajectoire en fonction de s. Vérifier l’homogénéité de la
relation.
4. En déduire l’allure de la trajectoire.
−
5. Calculer la norme de l’accélération →
a en fonction de s. Vérifier l’homogénéité des résultats.
1.1.4
Coordonnées cylindriques
Exercice 1.1.8 (FFF) : On considère l’hélice d’équation en coordonnées cartésiennes x = R cos θ, y =
R sin θ, z = hθ, parcourue par un point animé d’un mouvement uniforme de vitesse ~v . (R et h sont des
constantes).
1. Calculer les vecteurs ~v et ~a en coordonnées cylindriques, puis en coordonnées intrinsèques.
2. Montrer que ~v fait un angle constant avec le plan Oxy, et que ~a est toujours dirigée vers l’axe Oz.
3. Calculer le rayon de courbure.
4. Calculer l’abscisse curviligne que parcourt le point pendant un tour, θ variant de 0 à 2π.
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7
TD 1
1.1.5
Mécanique I
Phys–103
Coordonnées sphériques
Exercice 1.1.9 (F) : Un point sur la terre est repéré par deux angles : la latitude λ et la longitude l.
1. Donner la définition des deux angles. On fera un schéma.
2. Soient θ et φ les coordonnées sphériques d’un point à la surface de la terre. Exprimer θ et φ en
fonction de λ et l. On choisira pour l’axe Oz, l’axe de la terre orienté du Sud vers le Nord, O étant le
centre de la terre. L’axe Ox sera choisi de la façon la plus simple possible.
3. La latitude et la longitude de Paris sont : λp = 48◦ 52 N et lp = 2◦ 200 E. Déterminer les coordonnées
cartésiennes de Paris dans le repère Oxyz, sachant que le rayon de la Terre est : RT = 6400 km
4. En partant de Paris, on voyage à vitesse v constante, en maintenant une latitude constante. Déterminer
l’expression de φ(t) en fonction du temps t.
5. En partant de Paris, on se déplace à vitesse v constante, en maintenant une longitude constante.
Déterminer l’expression de θ(t) en fonction du temps t.
Exercice 1.1.10 (FF) : Soient M1 et M2 deux point distincts, à la surface de la terre. On note θ1 , φ1
et θ2 , φ2 les coordonnées sphérique respectives des deux points M1 et M2 . Le but de cet exercice est de
déterminer la longueur l, du chemin le plus court reliant les deux points M1 et M2 sur la surface de la terre.
On notera Oz l’axe de la terre orienté du Sud vers le Nord, O étant le centre de la terre. On supposera que
la terre est parfaitement sphérique.
1. Donner l’expression des coordonnées cartésiennes des points M1 et M2 en fonctions de leurs coordonnées sphériques.
−−−→ −−−→
2. Soit ψ l’angle entre les vecteurs OM1 et OM2 . Exprimer cos ψ en fonctions des coordonnées sphérique
des points M1 et M2 .
3. En déduire l’expression de l en fonction des coordonnées sphériques des points M1 et M2 et du rayon
de la terre RT .
4. Les latitude et longitude de Paris sont : 48◦ 52 N et 2◦ 200 E. Celles de New York sont : 40◦ 40 N
et 74◦ 000 W. En déduire la distance l, la plus courte sur la terre entre ces deux villes. On donne
RT = 6400 km.
1.2
Changement de référentiels
Exercice 1.2.1 (F) : Des flocons de neige tombent verticalement par rapport au sol, en parcourant 8 m par
seconde. A quelle vitesse les passagers d’une voiture, roulant à 50 km.h−1 sur une route droite, les voient-ils
frapper le pare-brise du véhicule ?
Exercice 1.2.2 (FF) : Un enfant lâche une bille dans la cage de l’escalier de son immeuble depuis le 4ème
étage, à l’instant où l’ascenseur y passe. Son père, qui monte par l’ascenseur jusqu’au 10ème étage avec une
vitesse constante, observe aussi la chute de la bille. Les grandeurs physiques suivantes sont-elles identiques
pour l’enfant et pour son père :
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Phys–103
Mécanique I
TD 1
1. la vitesse de la bille à un instant donné ?
2. le temps de chute total ?
3. l’accélération de la bille à un instant quelconque ?
4. la distance totale parcourue par la bille ?
Exercice 1.2.3 (FF) : Un avion s’envole de Brest vers Bâle. Sa vitesse, constante par rapport à l’air, est
égale à 360 km.h−1 et le vent souffle du Nord-Ouest à 60 km.h−1 . On admettra que Brest est à l’Ouest de
Bâle à environ 1000 km.
1. Quel doit être le cap suivi par le pilote ?
2. Quelle est la durée du voyage ?
3. Reprendre les question 1 et 2 pour le voyage de retour.
Exercice 1.2.4 (FF) Le manège : Un manège d’enfant tourne avec une vitesse angulaire ω constante.
Le propriétaire doit, pour ramasser les tickets, parcourir la plate-forme en rotation. On considère R0 , le
référentiel lié au manège, muni du repère O0 x0 y 0 , et de la base orthonormée correspondante (~i0 , ~j 0 ), dont
l’origine O0 coı̈ncide avec le centre du manège. On notera R le référentiel lié à la terre, muni du repère
Oxy, où O = O0 , avec la base orthonormée associée (~i, ~j).
1. Partant du centre, le propriétaire suit un rayon de la plate-forme avec une vitesse constante ~v 0 par
rapport au manège.
(a) Établir les équations du mouvement du propriétaire x0 (t), y 0 (t), dans le référentiel R0 (mouvement vu par les enfants). On choisira l’axe O0 x0 de telle sorte que la vitesse du propriétaire soit
parallèle à cet axe : ~v 0 = v 0~i0
(b) Déterminer les composantes des vecteurs (~i0 , ~j 0 ) sur la base (~i, ~j). On supposera, qu’à l’instant
initial, les deux repères O0 x0 y 0 et Oxy sont confondus.
(c) En déduire les équations du mouvement du propriétaire en coordonnées cartésiennes x(t) et y(t),
puis en coordonnées polaires ρ(t), θ(t), dans le référentiel R (vu par les parents). On donnera
l’équation de la trajectoire ρ(θ) dans le référentiel R.
(d) Déterminer la vitesse ~v du propriétaire dans le référentiel R, à partir des équations de son mouvement.
(e) Retrouver l’expression de la vitesse ~v , en utilisant les lois de composition des mouvements.
(f) Déterminer l’accélération ~a du propriétaire, mesurée dans le référentiel R, à partir de l’expression de ~v .
(g) Retrouver l’expression de l’accélération ~a en utilisant la composition des accélérations.
2. Le propriétaire parcourt maintenant la plate-forme en suivant un arc de cercle de rayon r0 , concentrique à la plate-forme, donc sa vitesse linéaire, par rapport au manège, r0 ω 0 est constante. Reprendre
l’ensemble des questions précédentes. Que se passe-t-il en particulier si ω 0 = −ω ?
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TD 1
10
Mécanique I
Phys–103
Université Paris–Sud 11
Phys–103
Mécanique I
TD 2
TD 2
Dynamique dans des référentiels galiléen et non
galiléen
2.1
Dynamique dans un référentiel galiléen
Exercice 2.1.1 (F) : Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?
1. Un corps ne peut se déplacer sans qu’une force agisse sur lui ;
2. Toute variation de vitesse d’un corps exige l’action d’une force ;
3. Si l’énergie cinétique d’un corps est constante, aucune force ne s’exerce sur lui ;
4. Si la force exercée sur un corps devient et reste nulle, le corps s’arrête.
Exercice 2.1.2 (F) Pendule dans un référentiel galiléen : Un pendule simple est constitué d’un fil inextensible de longueur l constante (fil toujours tendu), de masse négligeable, dont l’une des extrémités est
fixée en O à un support fixe et dont l’autre extrémité est liée à une bille de masse m, considérée comme
ponctuelle. Soit Oz l’axe vertical descendant passant par O, de vecteur unitaire ~k. Le référentiel lié aux
axes Ox,Oy,Oz est considéré comme galiléen.
1. Déterminer la position d’équilibre M0 de la bille dans le champ gravitationnel terrestre supposé
−
→
constant, de norme g, et donner l’expression correspondante de la norme N0 = kN0 k de la tension du
fil (force que le fil tendu exerce sur la bille à l’équilibre).
2. On écarte la bille de sa position d’équilibre d’un angle θ0 , fil toujours tendu, dans un plan vertical
contenant l’axe Oz. A un instant t0 , pris comme instant initial, on lâche la bille sans vitesse initiale. On
admet que le mouvement de la bille s’effectue dans le plan ainsi défini et on néglige tout frottement.
A l’instant t, on repère la position de la bille par ses coordonnées polaires l et θ dans le plan du
\
mouvement où θ(t) = (Oz,
OM ). On notera ~ul et ~uθ les vecteurs unitaires de la base locale des
coordonnées polaires.
(a) Faire le bilan des forces appliquées à la bille à l’instant t.
(b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la bille et obtenir les expressions des
composantes radiale et orthoradiale de l’accélération de la bille.
(c) Obtenir l’équation différentielle qui régit le mouvement du pendule. On se placera dans le cas
où θ0 est petit. En déduire la pulsation ω et la période T des oscillations de la bille.
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TD 2
Mécanique I
Phys–103
~ en
(d) Lorsque θ = 0 (le pendule passe par sa position d’équilibre), exprimer la tension du fil N
→
−
fonction de θ̇. Montrer que k N k est maximale en ce point.
Exercice 2.1.3 (F) Balistique :
1. Sans frottement : A l’instant t = 0, on lance du point O, avec une vitesse initiale ~v0 , un projectile
ponctuel M de masse m ; ~v0 fait un angle α0 avec le plan horizontal et la projection de ~v0 sur ce plan
est portée par Ox. On suppose que l’accélération de la pesanteur est indépendante de l’altitude z. On
suppose que le mouvement est un mouvement de chute libre dans le vide.
(a) Calculer la vitesse du projectile à l’instant t.
(b) Quelles sont les équations horaires du mouvement x(t), y(t) et z(t). Commentaires.
(c) Quelle est l’équation de la trajectoire ? Pour quelle valeur de α0 la portée est-elle maximum ?
2. Avec frottement : On reprend le problème précédent en supposant que le projectile est soumis à une
force de freinage proportionnelle à sa vitesse f~ = −k~v (k étant une constante positive).
(a) Établir les équations différentielles du mouvement.
(b) En déduire la vitesse à l’instant t. Que se passe-t-il quand t tend vers l’infini ?
(c) Quelles sont les équations horaires du mouvement x(t), y(t) et z(t) ? Montrer que lorsque t tend
vers l’infini, la trajectoire admet une asymptote. Donner l’allure de cette trajectoire.
(d) Montrer que si le coefficient de frottement k est suffisamment faible, on retrouve les équations
de la chute libre dans le vide (faire un développement limité à l’aide de la formule de Taylor).
Exercice 2.1.4 (FF) Charge dans un champ magnétique : Dans un référentiel galiléen, muni d’un
repère (O,~ı, ~, ~k), On considère le mouvement d’une particule de charge q (q > 0) placée dans un champ
~ = B~k. Au temps t = 0, la particule se trouve à l’origine O et possède une vitesse
magnétique uniforme B
initiale ~v0 contenue dans le plan xOz et faisant un angle α avec ~k. On néglige l’action de la pesanteur, et on
−
→
pose ω = qkmB k (fréquence angulaire cyclotron). On rappelle que la force de Lorentz est donnée par :
~
F~ = q~v ∧ B.
1. Ecrire l’équation différentielle à laquelle obéit le mouvement de la particule.
2. Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire en coordonnées cartésiennes : x(t), y(t) et
z(t).
3. En déduire la nature du mouvement de la particule dans le plan xOy et sur l’axe Oz.
4. On se place dans le cas où α = π/2. Que devient le mouvement de la particule ? Etudier en particulier l’intersection de la trajectoire avec l’axe Oy. Pourrait-on sélectionner des particules de vitesse
donnée ?
~ = E0~i, en plus du
5. La particule se déplaçant dans le plan xOy est soumise à un champ électrique E
champ magnétique. Résoudre les équations du mouvement.
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Phys–103
2.2
Mécanique I
TD 2
Dynamique dans un référentiel non galiléen
Exercice 2.2.1 (F) : Une personne se tient sur un pèse-personne situé dans un ascenseur. L’ascenseur étant
à l’arrêt, le pèse-personne indique 70 kg. L’ascenseur monte en décrivant trois phases :
phase 1 : Une phase d’accélération constante de 2,0 ms−2 .
phase 2 : Une phase d’accélération nulle.
phase 3 : Une phase de décélération constante de 2,0 ms−2 .
1. Quelle indication fournit le pèse-personne durant chacune des phases du mouvement de l’ascenseur ?
On prendra g = 9,8 ms−2 .
2. Après l’arrêt, le câble casse et l’ascenseur tombe en chute libre. Qu’indique alors le pèse-personne ?
Exercice 2.2.2 (FF) Pendule dans un référentiel non galiléen : Le pendule décrit dans l’exercice 2.1.2
est suspendu en O au plafond d’un véhicule se déplaçant avec un mouvement de translation horizontale
uniformément accéléré, d’accélération ~at , par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.
1. Soit M00 la position de la masse m à l’équilibre définissant l’axe Oz 0 . Déterminer cette position
d’équilibre par l’angle non orienté entre les axes Oz et Oz 0 .
2. A l’instant t = 0, on écarte la masse m de sa position d’équilibre dans le plan vertical contenant Oz
et Oz 0 , du même angle θ0 qu’au 2.1.2.2 et on la lâche sans vitesse initiale. En prenant, dans le plan
du mouvement, l’axe Oz 0 comme axe polaire et pour θ0 l’angle (Oz 0\
, OM 0 (t)), obtenir les équations
différentielles en θ0 du mouvement de la masse m. Dans le cas des petits angles, quelle est la période
T 0 des oscillations ?
Exercice 2.2.3 (F) Coriolis et le lavabo : vous avez peut être entendu cette affirmation : “Le sens de
rotation de l’eau qui s’écoule d’un lavabo n’est pas le même dans l’hémisphère Sud et dans l’hémisphère
Nord, c’est l’effet Coriolis !”.
1. La vitesse d’écoulement de l’eau étant de l’ordre de 0,1 m/s, donner un ordre de grandeur de l’intensité
de l’accélération de Coriolis.
2. En déduire un ordre de grandeur de la vitesse engendrée par l’accélération de Coriolis après une
seconde d’écoulement.
3. Pensez vous que l’accélération de Coriolis peut déterminer le sens de rotation de l’écoulement ?
Exercice 2.2.4 (FF) Le manège : Un manège d’enfant tourne avec une vitesse angulaire ω constante. Le
propriétaire (de masse m) doit, pour ramasser les tickets, parcourir la plate-forme en rotation. On considère
R0 , le référentiel lié au manège, muni du repère O0 x0 y 0 , et de la base orthonormée correspondante (~i0 , ~j 0 ),
dont l’origine O0 coı̈ncide avec le centre du manège. On notera R le référentiel lié à la terre, muni du repère
Oxy, où O = O0 , avec la base orthonormée associée (~i, ~j). On suppose que le référentiel R est galiléen.
1. Partant du centre, le propriétaire suit un rayon de la plate-forme avec une vitesse constante ~v 0 par
rapport au manège.
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TD 2
Mécanique I
Phys–103
(a) Déterminer le vecteur vitesse angulaire ω
~ qui décrit le mouvement du référentiel R0 par rapport
au référentiel R.
(b) En raisonnant dans le référentiel R0 , donner les expressions des forces d’inertie qui s’appliquent
sur le propriétaire du manège.
(c) Quelle est la force F~ que doit exercer le propriétaire pour maintenir sa trajectoire. On déterminera
les valeurs numériques des composantes de F~ aux instants où le propriétaire est à une distance
r = 5 m du centre du manège.
→
−
(d) A.N : ω = 10 tours/min, m = 70 kg, k v 0 k = 2 km/h.
2. Le propriétaire parcourt maintenant la plate-forme en suivant un arc de cercle de rayon r0 , concentrique à la plate-forme, donc sa vitesse linéaire, par rapport au manège, r0 ω 0 est constante. Reprendre
l’ensemble des questions précédentes. On décrira la trajectoire du propriétaire dans le référentiel R0
par ses coordonnées polaires.
3. A.N : ω 0 = 2 tours/min, r0 = 3 m.
Exercice 2.2.5 (FFF) Balistique et rotation de la Terre : Un projectile, assimilé à un point matériel,
est lancé à la latitude λ = 45˚ dans un plan méridien avec une vitesse initiale v0 = 800 m.s−1 dirigée du
Nord vers le Sud et faisant un angle α = 6◦ avec le plan horizontal. On néglige les forces de frottement.
1. On suppose que la Terre est un référentiel galiléen. Calculer :
(a) La durée du trajet.
(b) La portée du tir. En déduire la variation de latitude du projectile entre le point de tir et le point
d’impact.
(c) La hauteur maximale atteinte par le projectile.
2. On tient compte de la rotation de la Terre.
(a) Quelle est l’influence de la force centrifuge sur la position du point de chute ? Déterminer la
durée de la trajectoire et la portée du tir.
(b) Quelle est l’influence de la force de Coriolis sur la position du point de chute ? On procédera
par approximations successives en supposant que, pour calculer la force de Coriolis, on peut
remplacer la vitesse du projectile par son expression approchée.
14
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Mécanique I
TD 3
TD 3
Énergie
3.1
Travail-Circulation
Exercice 3.1.1 (FF) Circulation : On considère un point matériel de masse m soumis à une force F~ (M ).
On note (~i,~j,~k) la base orthonormée d’un repère cartésien OXY Z et (~uρ ,~uθ ) la base orthonormée locale
associée aux coordonnées polaire dans le plan OXY . Pour chacune des forces suivantes, calculer la circulation (ou travail) de F~ (M ) le long des trajectoires proposées :
(b)
(a)
(c)
B
A
y
C
A
1
R
3
O
O
x
2
A
O
R
B
F IG . 3.1 – Chemins pour le calcul des circulations.
1. F~ (M ) =-K~uρ où K est une constante.
On reliera les points A(0, R, 0) et B(0, −R, 0) situés sur la sphère d’équation x2 + y 2 + z 2 = R2 via
un grand cercle ou la ligne droite joignant les deux points (voir figure 3.1(a)).
2. F~ (M ) = ρ cos θ ~uρ + ρ sin θ ~uθ .
π
On considérera les chemins suivants reliant les points A(R,0) et C(R, ) en coordonnées polaires
4
placés sur un cercle de centre O et de rayon R : AC (le long de l’arc de cercle), AOC (sur les segments
de droite reliant ces points) et AOBC (sur AOB selon les segments de droite reliant ces points et sur
π
BC le long du cercle, B(R, )) (voir figure 3.1(b)).
2
2 ~
~
3. Les vecteurs F1 (M ) = 3x y i + (x3 + xy 2 )~j , F~ (M ) = 3x2 y~i + (x3 − y 3 )~j et F~2 (M ) = F~1 − F~ .
On calculera la circulation le long des trajectoires suivantes reliant l’origine O au point A (1,1,0) :
la ligne droite d’équation y = x et un déplacement selon la parabole d’équation y = x2 (voir figure 3.1(c)).
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15
TD 3
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Exercice 3.1.2 (F) :
1. Quel travail doit-on fournir pour, élever une masse M d’une même hauteur h, soit verticalement, soit
en tirant sans frottement sur un plan incliné d’un angle α avec l’horizontale ?
2. Quel est le travail du poids pendant ce mouvement ? Est-il positif ou négatif ?
3. On suppose que la masse se déplace à vitesse constante v. Quelle puissance doit-on développer pour
effectuer ce travail ?
4. Comment le travail à fournir serait-il modifié s’il existait des forces de frottement sur l’air ou sur le
plan incliné ?
3.2
Théorème de l’énergie cinétique, Énergie potentielle, stabilité
Exercice 3.2.1 (F) Traı̂neau : On lâche un traı̂neau au sommet C d’une pente inclinée, faisant un angle
β avec l’horizontale. La piste étant enneigée et le sol durci par le gel, la réaction du plan incliné comporte
~ et une force de frottement f~ parallèle au plan incliné.
une composante normale R
1. Statique :
On suppose que le frottement est suffisant pour que le traineau reste immobile sur la pente inlinée.
On rappelle que le coefficient de frottement statique ks est défini par :
−−→
kfmax k
ks = →
−
kRk
(3.1)
−−→
où kfmax k est la norme maximale de la force de frottement f~ que le contact peut fournir tout en
maintenant le traineau immobile.
~ en fontion de m, β et l’accélération de la pesanteur g.
(a) Exprimer les normes de f~ et de R
(b) En déduire une relation entre le coefficient de frottement statique ks et l’angle β pour que le
traineau se mette en mouvement.
(c) A.N. : vérifier que cette relation est bien staisfaite avec ks = 0.1 (frottement metal sur glace) et
β = 60◦ .
2. Dynamique :
Le traı̂neau est maintenant en mouvement, on note f~0 la force de frottement dynamique. Il termine
en D son mouvement sur la piste inclinée puis se déplace sur une piste horizontale, de même nature
que la piste CD, jusqu’à son arrêt au point E. On note ` = CD et `0 = DE et kd le coefficient de
frottement dynamique.
(a) Calculer le travail WCD de la résultante des forces appliquées au traineau sur le trajet incliné
CD. On exprimera WCD en fonction de kd , `, β, m et g.
(b) Calculer le travail WDE de la résultante des forces appliquées au traineau sur le trajet horizontal
DE. On exprimera WDE en fonction de kd , `0 , β, m et g.
(c) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer kd en fontion du rapport r =
β.
16
`0
`
et de
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TD 3
(d) A.N : calculer `0 sachant que ` = 5 m, kd = 0.05 et β = 60◦ .
Exercice 3.2.2 (FF) Rotation d’un pendule : Un pendule est constitué d’une masse ponctuelle m suspendue à l’extrémité d’une tige rigide de longueur l et de masse supposée négligeable. L’autre extrémité de
la tige est fixée au point C. La tige peut tourner dans le plan xOz autour du point C. Le repère cartésien
xOz, où l’axe Oz est vertical dirigé vers le haut, est muni de la base orthonormée (~i, ~k). L’origine O du
système de coordonnée coı̈ncide avec la position la plus basse de la masse m. Au cours de son mouvement,
la position de la masse m est repérée par l’angle θ que fait la tige avec la verticale (voir figure 3.2) . Le but de
z
C
l
θ
uθ
M
uρ
O
x
F IG . 3.2 – Le pendule
cet exercice est de déterminer la vitesse minimale qu’il faut donner à la masse m, initialement à l’équilibre,
pour que son mouvement soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation.
1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la masse m. On précisera quelles sont les forces qui
travaillent au cours du mouvement du pendule.
2. Donner l’expression de l’énergie potentielle Ep de la masse m en fonction de sa hauteur z, puis en
fonction de l’angle θ. On prendra l’origine de l’énergie potentielle en O.
3. Tracer le graphe représentant l’énergie potentielle Ep (θ) en fonction de θ, pour θ ∈ [−π, π]. On
précisera la position des maxima et des minima de la courbe représentative de Ep (θ). En déduire les
positions d’équilibre stable et instable.
4. Le pendule est initialement immobile à sa position d’équilibre stable. En utilisant le graphe de Ep (θ)
précédent, déterminer l’énergie minimale E0 qu’il faut fournir à la masse m pour que son mouvement
soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation.
5. En déduire la vitesse initiale minimale v0 qu’il faut donner à la masse m pour que son mouvement
soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation. On donne l = 40 cm et on
prendra pour l’accélération de la pesanteur g = 10 m s−2 .
Exercice 3.2.3 (FFF) : On s’intéresse à la dynamique d’une particule se déplaçant sur un axe xx0 et
soumise au potentiel V (x) représenté sur la figure 3.3. On veut étudier qualitativement le mouvement de
la particule pour différentes valeurs de son énergie mécanique Em . Pour chacun des cas ci-dessous, décrire
qualitativement le mouvement, puis tracer l’allure de x(t) et ẋ(t) :
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V(x)
Vb
V
x2
x1
x3
x
Vmin
F IG . 3.3 – Énergie potentielle.
1. Lorsque Em < 0, avec les conditions initiales : x(0) = x1 et ẋ(0) > 0.
(a) Exprimer la période du mouvement comme une intégrale d’une fonction du potentiel.
(b) On suppose de plus que Em = Vmin + ∆E, où ∆E est assez petit pour qu’on puisse approcher
V (x) par son développement
limité autour de x = x1 . En déduire la période du mouvement
d2 V (x) . Pour cela on pourra utiliser le résultat de la question précédente, ou
en fonction de dx2 x=x1
résoudre l’équation différentielle donnant x(t).
2. Dans les cas suivants, décrire le comportement de x(t) et de ẋ(t) pour t → ∞.
(a) Lorsque 0 < Em < Vb , avec les conditions initiales x(0) = x3 et ẋ(0) < 0.
(b) Lorsque Em = 0, avec les conditions initiales x(0) = x1 et ẋ(0) < 0.
(c) Lorsque Em > Vb , avec les conditions initiales x(0) = x3 et ẋ(0) < 0.
Exercice 3.2.4 (FF) Oscillateurs couplés : Deux billes de même masse m sont reliées par un ressort de
raideur k. Chacune des billes est aussi reliée à un autre ressort de raideur k 0 , l’autre extremité de ces ressorts
étant fixe. On suppose qu’à l’équilibre, les ressorts ne sont ni comprimés ni étendus. On supposera que les
billes peuvent être considérées comme ponctuelles et qu’elles ne peuvent se déplacer que sur l’axe Ox (voir
figure 3.4). On notera x1 et x2 les positions respectives des masses m1 et m2 par rapport à leurs positions
d’équilibre (i.e. à l’équilibre x1 = x2 = 0).
F IG . 3.4 – Oscillateurs couplés
1. Ecrire l’énergie potentielle V(x1 ,x2 ) du système formé des deux oscillateurs couplés, en fonction des
positions x1 et x2 de chacune des billes des raideurs des ressort.
2. Déterminer l’expression des forces qui s’appliquent sur chacune des masses à partir de l’expression
de V (x1 , x2 ).
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TD 3
2
3. On note X = x1 +x
et x = x2 − x1 . Déterminer l’expression de l’énergie mécanique du système en
2
fonction de ces nouvelles variables X et x. En déduire que le système des deux oscillateurs couplés
peut en fait être considéré comme deux oscillateurs “fictifs” indépendant. On donnera les fréquences
respectives ω et Ω des deux oscillateur “fictifs”.
4. En déduire, l’expression générale de x1 (t) et x2 (t) en fonction du temps t et des fréquences ω et Ω.
5. A t = 0, on lache les deux billes à partir des positions x1 = `1 et x2 = `2 , sans vitesse initiale.
Donner l’expression des positions x1 (t) et x2 (t) des billes en fonction du temp, des fréquences ω, Ω
et des positions initiales `1 , `2 . Décrire qualitativement le mouvement des oscillateurs dans les deux
cas particuliers où `1 = `2 et `1 = −`2 .
6. A quelle condition la dynamique du système est elle périodique, pour toutes conditions initiales ?
Exercice 3.2.5 (FF) Pendule et ressort : On considère une masse ponctuelle m accrochée à l’extrémité
d’un pendule de longueur L dont le point de suspension est fixé en C. La masse m est de plus accrochée à
un ressort de raideur k, dont l’autre extrémité est fixée au point A. Á l’équilibre le ressort est horizontal et la
masse m est située en O, à la verticale du point de suspension C du pendule (voir figure 3.5). On supposera
que le mouvement du pendule a lieu dans un plan.
C
L
M
A
O
F IG . 3.5 – Pendule et ressort.
1. Calculer l’énergie potentielle du pendule supposé seul en fonction de l’angle θ, repérant sa position
par rapport à la verticale. On prendra l’origine de l’énergie potentielle à l’équilibre.
2. Calculer l’énergie potentielle du ressort supposé seul lorsqu’on écarte le pendule de l’angle θ.
3. Sachant que l’énergie potentielle totale est la somme des deux termes calculés précédemment, en
déduire son expression dans l’approximation des petits angles (on effectuera un développement limité
de l’énergie potentielle au deuxième ordre en θ ).
4. Calculer l’énergie cinétique du pendule en fonction de θ̇. En déduire une expression de l’énergie
totale du système dans l’approximation des petits angles.
5. En déduire l’équation différentielle du mouvement vérifiée par θ. Déterminer la pulsation ω du mouvement de la masse m, dans l’approximation des petits angles.
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TD 3
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6. Application numérique : on donne k = 100 N.m−1 , m = 1 kg, L = 10 cm, g = 10 m.s−2 . Calculer
la fréquence des oscillations. On suppose que le pendule a été lâché sans vitesse initiale pour une
valeur θ0 = 1o, estimer l’énergie totale du système sachant que (1,8)2 = 3,24 et π 2 ≈ 10. Calculer
l’incertitude absolue sur l’énergie totale sachant que k et L sont connus avec une précision de 1% (les
autres quantités sont connues avec précision).
Exercice 3.2.6 (F) Vitesse de libération : Un projectile est lancé du sol d’un corps céleste, supposé
sphérique et homogène, avec une vitesse v~0 dirigée verticalement vers le haut. On négligera les frottements
de l’éventuelle atmosphère du corps céleste, de masse Mp et de rayon Rp .
1. Exprimer la norme v de la vitesse du projectile lorsqu’il est à la distance r du centre du corps céleste,
en fonction de la constante de gravitation universelle G, de r, v0 , Mp et Rp .
2. En déduire que le projectile ne peut s’éloigner indéfiniment de la planète (et échapper à son attraction gravitationnelle) que si la vitesse initiale v0 dépasse une valeur minimale vl appelée vitesse de
GMp
. Interprétation graphique.
libération. Exprimer vl en fonction de g0 =
Rp2
3. Application numérique :
– Pour la Terre : M = 6.1024 kg, R = 6400 km.
– Pour la Lune dont le rayon et la masse sont respectivement 3,7 et 81 fois plus petits que pour la
Terre.
– On rappelle que la constante de gravitation universelle est G = 6.67 × 10−11 S.I..
4. Pour une masse M donnée, il existe un rayon limite pour lequel la lumière elle même ne peut plus
s’échapper, on parle alors de trou noir. Calculer ce rayon pour une masse solaire (M =2 1030 kg,
c = 3 × 108 m.s−1 ).
Ce rayon limite est dénommé rayon de Schwarzschild (1873-1916) bien qu’il ai été invoqué pour
la première fois à la fin du 18ème siècle par les deux astronomes John Michelle et Pierre-Simon de
Laplace.
Exercice 3.2.7 (FF) : Un petit morceau de glace de masse m, repéré par le point M , glisse sans frottements sur la surface externe d’un igloo qui est une demi-sphère de rayon R dont la base est horizontale.
Au temps t = 0, il est lâché sans vitesse initiale d’un point M0 de cote z0 = R sin θ0 où θ0 est l’angle
−−−→
\
(Ox, OM0 ) (voir figure 3.6).
z
uρ
uθ
M
R
θ
x
F IG . 3.6 – Glissade sur un igloo.
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TD 3
1. Déterminer les composantes de la vitesse et de l’accélération dans un repère local (O, ~uρ , ~uθ ) lié à M
(voir figure 3.6).
~ la réaction de la demi-sphère sur M . En utilisant la relation fondamentale de la
2. On désigne par N
→
−
−
dynamique, déterminer l’expression de k N k en fonction de la norme de la vitesse v = k→
v k de M .
→
−
3. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, donner l’expression de v puis k N k en fonction de
l’angle θ.
→
−
4. Représenter la variation de k N k en fonction de θ. Pour quelle valeur de θ, le point M “décolle-t-il”
de l’igloo ? Quelle est alors sa vitesse de décollage ? Quelle est la nature de la trajectoire quand la
masse m quitte la surface de l’igloo ?
5. Montrer que le cas particulier θ0 =
π
2
correspond à une position d’équilibre. Étudier sa stabilité.
6. Application numérique : On donne m = 80 kg, θ0 = 60◦ , g = 10 ms−2 , R = 2 m. Calculer l’énergie
totale du système (on prendra l’origine de l’énergie potentielle en θ = 0) avant et après le décollage
en négligeant les frottements de l’air. Calculer la vitesse au décollage. Quelles sont les incertitudes
relatives pour ces trois quantités si on suppose une incertitude relative de 1% sur m, R et θ0 .
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TD 3
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Mécanique I
TD 4
TD 4
Moment cinétique
Exercice 4.1 (F) Moment d’une force : Soient 3 forces :
F~1 = ~i
F~2 = −2~j + ~k
F~3 = −~i + 0, 5~j − 4~k
~ On suppose que les forces s’appliquent au point A(4, −3, 1) :
Déterminer la force résultante R.
→
~i = −
1. Calculer le moment M
OA ∧ F~i de chacune des forces par rapport à O(0, 0).
~ des moments.
2. Calculer la somme M
→ ~
~ 0 =−
~ par rapport à O.
3. Calculer le moment M
OA ∧ R
de la résultante R
0
~ et M
~ .
4. Comparer M
~ 0 avec R.
~ Pouvait-on prévoir le résultat ?
5. Calculer l’angle de M
Exercice 4.2 (FF) : Du sommet O d’une tour, on lance à l’instant t = 0, dans le champ de gravitation
−
−
terrestre ~g = −k→
g k→
uz , un objet assimilable à un point matériel A de masse m avec une vitesse initiale
−
−
−
−
horizontale →
v0 = k→
v0 k→
uy . On néglige tout frottement, on suppose le référentiel terrestre galiléen et k→
gk=
−2
9,81 m.s .
1. Rappeler l’expression des coordonnées y et z de A à l’instant t (origine des coordonnées en O).
2. En déduire l’expression :
−
→
(a) du moment par rapport à O des forces agissant sur A à l’instant t : M O (t).
~ O (t).
(b) du moment cinétique de A par rapport à O, à l’instant t : L
3. Vérifier le théorème du moment cinétique.
Exercice 4.3 (FF) : Un point matériel M de masse m glisse sans frottements sur un plan horizontal P . Il
est retenu par un fil de masse négligeable qui coulisse à travers un petit trou situé en O du plan horizontal
−−→
et on fait varier manuellement la distance ρ = kOM k selon la loi ρ = −V t + ρ0 où V est une constante
positive (voir figure 4.1). A t = 0, M se trouve en M0 (ρ0 ) et possède une vitesse v~0 située dans le plan P
−−→
et faisant un angle α avec OM 0 .
1. En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver une première quantité conservée.
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TD 4
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M
P
O
F IG . 4.1 – Le fil coulisse à travers un petit trou . . .
2. Dans le bon choix des coordonnées, exprimer la vitesse ~v de M en fonction des données.
3. Calculer la tension exercée par le fil sur le point mobile. Montrer que sa norme, au voisinage de ρ = 0
tend vers une limite non physique.
4. Déterminer la trajectoire du point M
Exercice 4.4 (FF) : Un point matériel M de masse m glisse sans frottements sur un plan horizontal P .
Il est retenu par un fil de masse négligeable qui s’enroule autour d’un cylindre fixe de rayon a et d’axe
Oz, O étant dans le plan P . On note r la distance HM , H étant le point où le fil rejoint le cylindre (H est
également dans le plan P ). On repère H par ses coordonnées polaires et on repère M dans la base locale
liée à H (~uρ , ~uθ ) (voir figure 4.2). On désigne par l la longueur totale du fil. A t = 0, le point M est lancé
de telle façon que le fil s’enroule autour du cylindre en restant tendu.
z
M
O
H
P
M
r
H
uθ
uρ
O
θ
x
a
F IG . 4.2 – Le fil s’enroule autour d’un cylindre . . .
1. Faire le bilan des forces s’exerçant sur M à l’instant t.
−−→
2. En remarquant que : OM = a~uρ +r~uθ , calculer la vitesse ~v du point M et montrer qu’elle est toujours
−
perpendiculaire à HM . En déduire que k→
v k et donc l’énergie cinétique E de M sont constantes.
c
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3. Calculer en fonction de m, r et Ec le moment cinétique de M en O puis la force s’exerçant sur M.
Exercice 4.5 (FF) Atome de Bohr : On considère un électron de charge −e et de masse m en orbite
autour d’un proton fixe de charge +e situé à l’origine O du système de coordonnées. Soit M le point
−−→
−−→
.
représentant la position de l’électron, soient r = kOM k et ~ur = OM
r
1. Montrer que la trajectoire de l’électron est plane. Dans la suite, on utilisera des coordonnées polaires
(r, θ) pour décrire la position de l’électron. On négligera les effets de gravitation.
2. La force F~ subie par l’électron a pour expression dans la base polaire (~ur , ~uθ ) : F~ = −K~ur /r2 (on
a posé K = e2 /(4πε0 )). Montrer que F~ dérive d’une énergie potentielle Ep (r) qu’on exprimera en
fonction de K et r (on prendra une énergie potentielle nulle à l’infini).
~ le moment cinétique de l’électron par rapport à O. Exprimer les
3. On note ~uI = ~ur ∧ ~uθ . Soit L
~ dans la base (~ur , ~uθ , ~uI ) en fonction de m, r, et θ̇ = dθ .
coordonnées de L
dt
4. On considère désormais que l’électron reste sur une orbite circulaire de rayon R. En utilisant le
principe fondamental de la dynamique en déduire :
(a) que le mouvement est circulaire uniforme
(b) l’expression de la norme v de la vitesse de l’électron en fonction de K, m et R.
K
(c) que l’énergie mécanique totale est E = − 2R
.
5. Calculer la norme L du moment cinétique de l’électron en fonction de K, m et R. Retrouver ce
résultat – à une constante près – par une équation aux dimensions (c’est-à-dire chercher α, β, γ tels
que L = K α mβ Rγ ).
6. En 1913 Niels Bohr a fait l’hypothèse que L ne pouvait prendre que des valeurs du type suivant :
Ln = n~ où n ∈ N et ~ = 1.055 × 10−34 J.s (~ est appelé constante de Planck). Montrer alors que les
valeurs possibles pour le rayon R et l’énergie mécanique totale E se mettent sous la forme :
Rn = RB n2
et
En = −
EB
.
n2
On exprimera RB et EB en fonction de ~, m et K. Donner les valeurs numériques de RB et EB
respectivement en angstroms (1Å = 10−10 m) et en électron-volts (1 eV = 1.602 × 10−19 J). On
donne K = 2.31 × 10−28 S.I et m = 9.11 × 10−31 kg.
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Mécanique I
TD 5
TD 5
Mouvement à force centrale
5.1
Généralités
Exercice 5.1.1 (F) : Un point matériel M de masse m est soumis à une force dont le support passe
constamment par un point fixe O. L’intensité de cette force est inversement proportionnelle au cube de
−−→
, en convenant que K et F sont positifs si la force est
la distance r = kOM k. On posera F = Km
r3
répulsive, négatifs si elle est attractive.
1. Montrer que le mouvement de M est plan et qu’il satisfait à la loi des aires.
2. Dans le plan de la trajectoire, on repère le point M à l’aide des coordonnées polaires (r, θ) d’origine
O. On posera r2 θ̇ = C. En appliquant le principe fondamental de la dynamique et en tenant compte
de la loi des aires, montrer que r(t) est solution d’une équation différentielle du second ordre qu’on
appellera équation (I).
3. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que r(t) est solution d’une équation différentielle
du premier ordre qu’on appellera équation (II).
4. Les équations (I) et (II) sont-elles équivalentes ?
5. On suppose que les conditions initiales sont telles qu’à l’instant t = 0, le point M se trouve en A de
−→
coordonnées r0 = a, θ0 = 0. La vitesse initiale est perpendiculaire à OA. On orientera le plan de
telle sorte que C soit positive. Quelle valeur particulière C0 faut-il donner à C pour que la trajectoire
soit un cercle de centre O ? Quelle doit être la nature de la force ? Quelle est en fonction de K et a la
période du mouvement ?
5.2
Gravitation - Lois de Kepler
Exercice 5.2.1 (F) : Une comète décrit une orbite elliptique autour du Soleil. On considère deux points A
et B de cette orbite, A étant plus éloigné du Soleil que B . Comparer en A et B les valeurs des grandeurs
physiques relatives à la comète :
1. énergie potentielle ;
2. vitesse (en module) ;
3. accélération (en module) ;
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TD 5
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4. moment cinétique (par rapport au Soleil).
Exercice 5.2.2 (FF) Kepler et Newton : Kepler énonce entre 1609 et 1618 les trois lois qui régissent
dans une très bonne approximation le mouvement des planètes autour du Soleil.
L1 : Les planètes décrivent des orbites planes elliptiques dont le Soleil est l’un des foyers.
−→
L2 : En des temps égaux, le rayon vecteur SP (Soleil-Planète) balaie des aires égales.
L3 : Le rapport du cube du demi-grand axe de la trajectoire d’une planète au carré de la période orbitale
est une constante indépendante de la planète.
Newton (1680) énonce la forme bien connue de la loi de l’attraction gravitationnelle entre deux corps. On
se propose ici de la déduire des trois lois de Kepler.
1. Montrer que les lois L1 et L2 permettent de prouver que
note C.
r2 θ̇
2
est une constante du mouvement qu’on
2. Montrer alors que l’accélération de chaque planète est centripète. En déduire que la force de Newton
est attractive et s’écrit :
→
−
4C 2 1 →
−
ur
F = −m
p r2
où p est le paramètre de l’ellipse d’équation : r =
p
.
(1+e cos θ)
3. En déduire que :
→
−
4π 2 a3 1 −
F = −m 2 2 →
ur
T r
où T est la période du mouvement de la planète. Montrer à partir de L3 et du principe de l’action et
4π 2 a3
de la réaction que G = M
2 , MS désignant la masse du soleil.
ST
5.3
Dynamique spatiale
Exercice 5.3.1 (F) Lancement d’un satellite : Un satellite de masse m est lancé d’un point P de la surface
de Terre (rayon R) à la latitude λ puis il est mis sur une orbite circulaire (C) de rayon r = R + h, dans un
plan incliné de λ par rapport au plan équatorial.
1. Calculer, dans les 2 cas suivants, l’énergie Ef qu’il a fallu fournir à ce satellite pour le mettre sur une
telle orbite :
(a) En négligeant la rotation de la Terre sur elle-même.
(b) La Terre tourne sur elle-même d’un mouvement uniforme de vitesse angulaire ω. Distinguer
les 2 sens de rotation du satellite par rapport à la Terre. En déduire la latitude λo et le sens de
lancement les plus avantageux pour un tel lancement.
2. On suppose que λ = λo et m = 80 kg. Quel est l’écart relatif
h R On donne : R = 6370 km, go = 9, 8 m.s−2 .
∆Ef
Ef
dû à la rotation de la Terre pour
3. On suppose le satellite géostationnaire. Que vaut alors h ? Reprendre la question 2 avec la nouvelle
valeur du rayon.
28
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Mécanique I
TD 5
Exercice 5.3.2 (FF) Changement d’orbite : Un satellite de masse m tourne autour de la Terre sur une
orbite circulaire (orbite ”basse” de rayon r1 et de vitesse v1 ). On veut le transférer sur une autre orbite
circulaire (orbite ”haute” de rayon r2 > r1 et de vitesse v20 ). Pour cela on lui fait décrire une demi-ellipse
dite orbite de transfert, dont un foyer est le centre de la Terre et qui se raccorde tangentiellement aux deux
orbites circulaires précédentes. On allume donc les propulseurs du satellite pendant une durée brève au
début et à la fin de cette demi-ellipse. Ceci correspond à communiquer à chaque fois au satellite, de façon
instantanée, un supplément de vitesse sans changement de sa direction. Le but de cet exercice est de calculer
ces suppléments de vitesse ∆v1 = v10 − v1 et ∆v2 = v20 − v2 en fonction des rayons, r1 , r2 , du rayon R, de
la Terre et de g0 l’accéleration de pesanteur à la surface de la Terre.
1. Faire un schéma représentant la Terre, les deux orbites cirulaires et l’orbite de transfert.
2. Déterminer la norme de la vitesse v1 du satellite sur l’orbite circulaire de rayon r1 en fonction de R,
g0 et r1 .
3. Déterminer la norme de la vitesse v20 du satellite sur l’orbite finale circulaire de rayon r2 en fonction
de R, g0 et r2 .
4. En se servant des lois de conservation, établir deux relations reliant la vitesse initiale v10 et la vitesse
finale v2 sur l’orbite de transfert. En déduire v10 et v2 en fonction de R, g0 et r1 et r2 .
5. Calculer les supléments de vitesse ∆v1 = v10 − v1 et ∆v2 = v20 − v2 en fonction de R, g0 et r1 et r2 .
On prendra r1 = 7000 km, r2 = 42000 km, le rayon de la Terre R = 6400 km et g0 = 9, 81 ms−2
Exercice 5.3.3 (FF) Retour d’un satellite : Pour ramener sur la Terre un satellite géostationnaire S, on
le ralentit au moment où il atteint un certain point A de sa trajectoire, sa vitesse passant donc d’une valeur u
sur l’orbite géostationnaire à vA < u, mais gardant la même direction. On appellera T le centre de la Terre.
1. calculer u et le rayon rs de la trajectoire géostationnaire.
2. A.N. :RT = 6400 km, g0 = 10 m/s2 .
3. Comparer l’énergie de S sur l’orbite géostationnaire et après ralentissement. En déduire la nature de
sa nouvelle trajectoire (E).
4. On veut que le satellite atterrisse en un point C tel que T A ⊥ T C. Que reprèsentent les points T et
A, et la distance T C pour (E) ?
5. Calculer la vitesse vA pour que l’atterrissage se déroule ainsi. Monter que vA s’exprime simplement
en fonction de u, RT et rs . Aide : calculer d’abord a le demi-grand axe de E en fonction de RT et de
rs .
6. Faire l’application numérique.
Exercice 5.3.4 (FFF) Survol de Saturne par Voyager 2 (26-8-81) : On assimile Saturne et la Sonde
Voyager 2 à deux points matériels, notés respectivement O et P et de masse M et m, avec m M .
On se place dans le référentiel galiléen lié au point O qui est supposé immobile pendant la rencontre (car
m M ). Soit ~v0 la vitesse d’approche, quand la sonde est très éloignée de Saturne. On note b la distance
de O à la droite passant par P et parallèle à v~0 . b est appelé le paramètre d’impact (voir figure 5.1).
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TD 5
Mécanique I
x
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O
θ
ρ
b
a
A
vA
P
v0
F IG . 5.1 – Survol de saturne par Voyager 2
1. Conditions de survol : L’interaction gravitationnelle infléchit la trajectoire au voisinage de Saturne.
−→ →
Soit a la distance minimale de survol kOAk, −
vA la vitesse de P en A et G la constante de gravitation
−→
universelle. Expliquer simplement l’orthogonalité de OA et −
v→
A . À partir des lois de conservation
s’appliquant au mouvement de P , exprimer vA en fonction de v0 , a et b et calculer le rapport ab . On
prendra v0 = 15 km.s−1 , a = 161500 km, M = 5.7 × 1026 kg et G = 6.673 × 10−11 SI.
−
2. Trajectoire : On repère ici le point P par ses coordonnées polaires ρ(t) et θ(t). Soit →
v (t) la vitesse
du point P .
(a) Justifier et exprimer en coordonnées polaires deux lois de conservation s’appliquant au mouvement de P .
(b) On pose C = v0 b et u =
1
ρ
. Reformuler le carré de la vitesse v 2 en fonction de C, u et
du
.
dθ
(c) La loi de conservation de l’énergie conduit à une équation différentielle dont la solution est de
la forme :
GM
1
= 2 (1 + e cos(θ − θ0 ))
u(θ) =
ρ(θ)
C
Calculer e en fonction de v0 , b, G et M . Vérifier que e > 1.
(d) En utilisant la condition limite en θ = 0, chercher la relation donnant θ0 . Quelle est la signification physique de θ0 ?
(e) On note θe l’angle d’éloignement de la sonde. C’est à dire l’angle θ qui repère la sonde quand
elle est à une grande distance de Saturne après son survol. Déterminer l’expression de θe en
fonction des données du problème.
(f) L’angle de déviation χ de la sonde est l’angle entre les vecteurs vitesses de la sonde, avant et
après son survol de Saturne. Donner la valeur numérique de χ.
Exercice 5.3.5 (FF) La comète Hale-Bopp :
1. On admet que la Terre décrit un cercle de rayon ρ autour du Soleil S à la vitesse u = 30 km.s−1 .
(a) Écrire la relation entre u, ρ et la masse du Soleil MS .
(b) Exprimer la période τ de rotation de la Terre autour du soleil en fonction de ρ et de MS .
Dans la suite du problème, les quantités u, ρ et τ serviront d’unités de base pour exprimer respectivement les vitesses, les distances et les temps.
30
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Mécanique I
TD 5
F IG . 5.2 – Comète Hale-Bopp. Observer : Wally Pacholka Location : Joshua Tree National Park, California
Date : April 5, 1997 05 :30-05 :50 UT. (http ://www.jpl.nasa.gov/comet)
2. Dans un premier temps, on suppose que la comète C de Hale-Bopp (1997) suit une trajectoire parabolique de foyer S dont le périhélie1 q est égal à 0.9145ρ. Caractériser cette trajectoire. En déduire la
vitesse de C au périhelie P en fonction de u, ρ et q. On fera l’application numérique. (pour comparaison, la comète de Hale-Bopp est passée à 1.3ρ de la terre environ).
3. En réalité, la trajectoire de C est elliptique, d’excentricité e = 1 − x avec x = 4.75 × 10−3
(a) Déterminer la distance SA où A est l’aphélie2 , et la vitesse de C en A. on fera l’application
numérique.
(b) Dans combien d’année T “reverra-t-on” Hale-Bopp ? Dans ce but, établir la formule suivante :
T =τ
q
ρx
32
En admettant que e et ρq ont été déterminés chacun avec une précision de 0.03% en déduire la
précision sur T . Exprimer T lui même avec son incertitude.
1
2
le périhélie est le point de l’orbite le plus rapproché du Soleil
l’aphélie est le point de l’orbite le plus éloigné du soleil
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TD 5
32
Mécanique I
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Mécanique I
TD 6
TD 6
Système à deux corps, centre de masse, collisions
6.1
Centre de masse
Exercice 6.1.1 (F) Système Terre-Lune : Est-ce que le centre de masse du système Terre-Lune se trouve à
l’extérieur ou à l’intérieur de la Terre ? On donne MT ' 6·1024 kg, ML ' 7, 4·1022 kg, RT L ' 380000 km,
RT ' 6400 km.
Exercice 6.1.2 (F) : Soient trois points matériels de masses identiques situés dans le plan Oxy et repérés
par leurs coordonnées cartésiennes en centimètres :
A(0, 0), B(2, 0), C(0, 3).
Déterminer les coordonnées du centre de masse des points (A, B, C). On fera un schéma.
Exercice 6.1.3 (F) Propriétés géométriques :
1. Montrer que le centre de masse G123 de trois points matériels (M1 , M2 , M3 ), de masses respectives
m1 , m2 , et m3 est le centre de masse des deux points matériels (G12 , M3 ) de masses respectives
m1 + m2 et m3 .
2. Généraliser cette propriété au cas de N points matériels (N > 3).
3. En déduire une construction graphique du centre de masse d’un triangle, puis d’un quadrilatère formé
de masses identiques.
Exercice 6.1.4 (FF) Mouvement planétaire : Une planète est assimilée à un point matériel P de masse
m. Elle est soumise à la seule attraction gravitationnelle d’une étoile assimilée à un point matériel E et
de masse M . On étudie le cas où la planète et l’étoile se déplacent dans un même plan sur des cercles
concentriques de même centre O et de rayons différents notés r pour la planète et R pour l’étoile, avec
r > R. Le point O sera supposé fixe dans le référentiel galiliéen lié à l’observateur
1. Trajectoires, vitesses et quantités de mouvement :
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33
TD 6
Mécanique I
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(a) Représenter les trajectoires, les points O, P , E (on pourra prendre pour le dessin : r = 6 cm et
R = 3 cm).
−
−
(b) Soient (E, −
u→, →
u ) et (P, →
u ,−
u→) les repères locaux utilisés pour étudier les mouvements de
R
θ
r
ϕ
l’étoile et de la planète. Représenter ces vecteurs sur votre dessin.
−
→ −
→
(c) Exprimer dans leurs repères locaux les vecteurs vitesse de la planète et de l’étoile, VP et VE .
−
→ −
→
(d) Même question pour les vecteurs quantité de mouvements de la planète et de l’étoile, PP et PE .
−−→
En déduire l’expression de la quantité de mouvement totale du système planète + étoile, PT ot .
−
→ −
→
(e) Représentez les vecteurs PP et PE .
2. Vitesses angulaires
(a) Faire le bilan des forces. Ecrire ces forces dans les repères locaux. Représenter-les sur le schéma.
(b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique au système planète + étoile. En déduire que
−−→
−−→ →
−
PT ot est constant. Justifier ensuite que PT ot = 0 .
(c) En déduire que les vitesses angulaires de la planète et de l’étoile sont égales. Si nécessaire, refaire un nouveau schéma avec les 2 trajectoires concentriques, l’étoile et la planète étant placées
dans la seule position possible à un instant donné.
−
→
−
(d) Exprimer le moment cinétique de la planète par rapport à O, LP , en fonction de r, m, ϕ̇ et →
uz .
−
→
(e) Montrer que LP est constant. En déduire que ϕ̇ et θ̇ sont constants.
(f) En déduire que M R = m r : le point O est le centre de masse du système étoile + planète.
6.2
Collisions
Exercice 6.2.1 (F) Expérience de Chadwick : Des neutrons de masse m sont émis avec une vitesse v par
une cible de béryllium frappée par des particules α (les particules α sont des noyaux d’Helium (He)). On
bombarde avec ces neutrons des cibles contenant des atomes d’hydrogène ou d’azote au repos et l’on mesure
0
les vitesses maximales vp0 et vN
des protons ou des noyaux d’azote émis (en prenant comme hypothèses
0
MN = 14 Mp et vp0 = 7.5 vN
). En supposant les collisions élastiques, montrer que l’on peut en déduire une
valeur approchée de la masse du neutron.
Exercice 6.2.2 (F) Ralentisseur de neutrons : Dans un réacteur nucléaire, les neutrons rapides émis au
cours de la fission de l’uranium doivent être ralentis. Pour réaliser ce ralentissement, on leur fait traverser
un matériau dans lequel ils subissent des collisions avec des noyaux que l’on considérera au repos. En
supposant que les collisions sont frontales, calculer la perte d’énergie cinétique subie par un neutron de
masse m1 de vitesse v1 qui heurte un atome de masse m2 . Dans quelles conditions la perte d’énergie estelle maximale ?
Exercice 6.2.3 (FF) Trains : Une locomotive de masse m1 cherche à accrocher un train de wagon au
repos de masse m2 . Pour cela elle se dirige en ligne droite à vitesse constante v1 vers le train de wagons.
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Mécanique I
TD 6
1. La locomotive rate sa manoeuvre. On suppose le choc élastique, déterminer les vitesses v10 et v20 de la
locomotive et du train de wagons après le choc.
2. La locomotive réussit la manoeuvre et on suppose que le choc est parfaitement mou.
(a) Déterminer la quantité de mouvement du convoi (locomotive + wagons) après le choc.
(b) Déterminer la quantité d’énergie ∆E absorbée par le choc en fonction des masses et de la vitesse
v1 de la locomotive avant le choc.
(c) Pour comprendre la signification de ∆E on reprendra les deux questions précédentes mais dans
le référentiel du centre de masse.
(d) Préciser la signification de l’hypothèse de choc mou.
3. A.N : v1 = 2 km/h, m1 = 10 tonnes, m2 = 500 tonnes.
Exercice 6.2.4 (FF) : On considère le choc élastique de deux particules de même masse m et de vitesses
initiales v~1 donnée et v~2 = ~0 . On appelle θ et φ les angles entre la direction incidente (direction de v~1 ) avec
les directions des vitesses finales v~1 0 et v~2 0 respectivement.
1. Montrer que θ + φ = π2 .
0
communiquées à la particule 2 en fonction de
2. Calculer la norme v20 de v~2 0 et l’énergie cinétique Ek,2
→
−
0
θ et de v1 = k v1 k. Pour quelles valeurs de θ, Ek,2 est elle extrémale ?
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TD 6
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Mécanique I
TD 7
TD 7
Dynamique des solides indéformables
7.1
7.1.1
Distribution continue de masse
Centre de masse
Exercice 7.1.1 (F) : Soit une tige homogène de masse m, longueur L. A l’une de ses extrémités est fixée
une masse ponctuelle m0 . Déterminer la position du centre de masse de ce système.
Exercice 7.1.2 (FF) Disque évidé : Soit une plaque constituée d’un disque D1 de centre O et rayon a,
dans laquelle a été évidé un disque D2 de diamètre OA = a, A étant un point de la périphérie de D1 .
Déterminer le centre de masse de la plaque.
7.1.2
Moment d’inertie
Exercice 7.1.3 (F) Tige homogène : Calculer le moment d’inertie d’une tige homogène de masse M ,
longueur L :
1. par rapport à un axe perpendiculaire à la tige et passant par son centre
2. par rapport à un axe perpendiculaire à la tige et passant par l’une de ses extrémités (on fera ce calcul
de deux façons : d’abord directement, puis en utilisant le résultat de la question précédente et le
théorème de Huygens)
Exercice 7.1.4 (FF) Disque homogène : Calculer le moment d’inertie d’un disque plan homogène de
masse M et rayon R
1. par rapport à l’axe perpendiculaire au disque et passant par son centre
2. par rapport à un axe passant par un diamètre
Exercice 7.1.5 (FF) Cylindre plein homogène : Calculer le moment d’inertie d’un cylindre plein, homogène, de masse M , de hauteur h et de rayon R, par rapport à l’axe du cylindre.
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TD 7
Mécanique I
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Exercice 7.1.6 (FF) Sphère pleine homogène : Calculer le moment d’inertie d’une sphère pleine homogène de masse M , rayon R, par rapport à un axe passant par un de ses diamètres.
Exercice 7.1.7 (F) Plaque carrée homogène : Calculer le moment d’inertie d’une plaque carrée homogène de masse M et coté a
1. par rapport à un axe parallèle à un des ses côtés et passant par son centre
2. par rapport à un axe passant par un de ses côtés.
7.2
Dynamique
Exercice 7.2.1 (F) Rotation d’un cylindre : Un cylindre d’axe vertical, de masse M et rayon R, peut
tourner sans frottements autour de son axe. Il est initialement immobile. Puis à partir du temps t = 0, on
applique en un point A de la surface du cylindre une force horizontale et tangente à la surface du cylindre,
de module constant F . Déterminer la vitesse angulaire acquise par le cylindre au bout de deux tours.
Exercice 7.2.2 (F) Pendule : Soit une tige homogène OA de masse m, longueur l. A l’extrémité A de la
tige est fixée une masse ponctuelle m0 . L’autre extrémité O de la tige est fixe, et le système peut osciller
autour d’un axe horizontal passant par O. Déterminer la période des petites oscillations de ce pendule.
Exercice 7.2.3 (FF) Pendule semi-circulaire : Un solide S a la forme d’un demi-cercle de centre C
et de rayon a, fermé par un diamètre. Le fil constituant S a une masse linéı̈que constante λ. Un repère
orthonormé CXY Z est lié au solide S de telle sorte que son origine coı̈ncide avec C et que l’axe CZ soit
perpendiculaire au plan de S (voir figure 7.1).
Y
Y
H
H
G
C
Z
θ
C
X
F IG . 7.1 – pendule semi-circulaire
1. Déterminer la position du centre de gravité de S.
2. Calculer le moment d’inertie de S par rapport à l’axe CZ.
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Mécanique I
TD 7
3. On note H le point du demi-cercle situé sur l’axe CY . Le solide peut osciller sans frottements autour
d’un axe horizontal HZ perpendiculaire au plan du demi-disque.
(a) Calculer le moment d’inertie IH de S par rapport à l’axe HZ.
(b) Montrer que les petites oscillations du pendule sont sinusoı̈dales et calculer la période des oscillations, en fonction de m, la masse totale du pendule, g, d (distance HG) et IH .
Exercice 7.2.4 (F) Oscillations amorties : Une tige homogène OM de masse m et longueur l, est mobile
dans un plan vertical autour d’un axe horizontal fixe passanr par O. L’articulation en O est parfaite. Un
dispositif amortisseur exerce en un point A de la tige (OA = a) une force de frottement fluide f~ = −k v~A
où v~A est la vitesse du point A.
1. Etablir l’équation différentielle satisfaite par le mouvement angulaire de la tige.
2
2. On pose 2λ = 3ka
et ω02 = 32 gl . On suppose que la force de frottement est suffisamment faible pour
ml2
que λ2 soit très petit devant ω02 . Montrer que les mouvements de faible amplitude sont des oscillations
amorties et calculer la période des pseudo-oscillations.
Exercice 7.2.5 (FF) La poulie : Une poulie est constituée d’un disque de rayon R et de masse M . Elle
peut tourner autour d’un axe horizontal Oy passant par son centre O. Une masse ponctuelle m est attachée
à une corde (de masse négligeable) enroulée autour de la poulie. A l’instant t = 0, on débloque la poulie
auparavant bloquée. On travaille dans un référentiel galiléen, et on utilisera un système d’axes Oxyz (voir
la figure 7.2, l’axe Oy étant orienté pour que le système d’axes soit direct). La position de la masse m sera
repérée par z(t). On rappelle que le moment d’inertie d’un disque de rayon R et de masse M par rapport à
2
un axe passant par son centre s’écrit : I = M2R .
F IG . 7.2 – La poulie
1. Faire le bilan des forces appliquées d’une part à la poulie, d’autre part à la masse m (bien tenir compte
de la tension de la corde qui est égale en norme aux deux extrémités, mais de direction opposée). Les
représenter très soigneusement sur un dessin.
2. Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour la masse m. Le projeter sur l’axe Oz.
3. Exprimer vectoriellement le moment de la tension de la corde appliqu’ee à la poulie, par rapport au
−
point O, en fonction de R, T (norme de la tension) et →
uy
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TD 7
Mécanique I
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4. Exprimer la projection du moment cinétique de la poulie par rapport à O sur l’axe de rotation en
.
fonction de M, R et dz
dt
2
5. En déduire l’accélération de la masse m, ddt2z en fonction de g, m et M . Que se passe-t-il quand la
masse M de la poulie devient très faible par rapport à m, ou très grande ? Pouvait-on prévoir ces
résultats ?
Exercice 7.2.6 (FFF) Roulement sans glissement d’un cylindre : Un cylindre homogène d’axe Oz,
de masse M et de rayon R, roule sans glisser sur un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale.
Soient vG la norme de la vitesse de son centre de masse et ω la vitesse angulaire du mouvement de rotation
du cylindre autour de son axe, à l’instant t.
1. Etablir l’expression de l’énergie cinétique du cylindre à un instant donné, en fonction des données,
de vG et ω.
2. Quelle relation entre vG et ω la condition de roulement sans glissement impose-t-elle ? Soit I le point
du cylindre qui est en contact avec le sol à l’instant t. Quelle est à l’instant t la vitesse de ce point ?
3. Indiquer sur un schéma les forces qui s’exercent sur le cylindre.
4. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, déterminer la vitesse du centre de gravité à l’instant t.
(on supposera que le cylindre est laché sans vitesse à l’instant t = 0).
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