TD 1 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Université Bordeaux Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2014–2015
FEUILLE D’EXERCICES no1
Anneaux, généralités
Dans les exercices 1, 2 et 3, les anneaux considérés ne sont supposés a priori ni
commutatifs ni unitaires.
Exercice 1 – Un anneau (A, +,×)est dit de Boole si A6={0A}et si tout x∈A
est idempotent i.e. vérifie x2=x.
1) Soit Aun anneau de Boole. Montrer que pour tout x∈Aon a x+x= 0A.
2) En déduire qu’un anneau de Boole est commutatif.
3) Montrer qu’un anneau de Boole intègre n’a que 2 éléments et est isomorphe
à(Z/2Z,+,×).Indication : on pourra supposer que Acontient deux éléments
distincts non nuls x,yet calculer xy(x+y).
4) Un anneau de Boole peut-il avoir 3 éléments ?
Exemple d’anneau de Boole : si Eest un ensemble non vide, (P(E),∆,∩)est un
anneau de Boole.
Exercice 2 – Soit (A, +,×)un anneau. Un élément xde Aest dit nilpotent s’il
existe un entier n>1tel que xn= 0A. Si x∈Aest nilpotent, le plus petit entier
n>1tel que xn= 0Aest appelé l’indice de nilpotence de x.
1) Montrer qu’un élément non nul nilpotent est diviseur de zéro à droite et à
gauche mais que la réciproque n’est pas toujours vraie.
2) Soient a, b ∈Atels que ab soit nilpotent d’indice de nilpotence n. Montrer que
ba est nilpotent. Que peut-on dire de son indice de nilpotence ?
3) Soient aet bdeux éléments nilpotents de A. On suppose qu’ils commutent
i.e. ab =ba. Montrer que a+bet ab sont nilpotents. Que peut-on dire de leurs
indices de nilpotence (en fonction de ceux de aet b) ?
4) Le but de cette question est de montrer que si aet bne commutent pas
(donc si Aest non commutatif), cette propriété peut être fausse. Soient Kun
corps (commutatif) et A=M2(K)muni de l’addition et du produit standards.
Montrer que Aest un anneau non commutatif et trouver deux éléments de A
nilpotents dont la somme et le produit ne sont pas nilpotents.
5) On suppose désormais Aunitaire d’élément neutre 1Apour ×. Soit a∈A
nilpotent. Montrer que 1A−aest inversible et exprimer son inverse sous forme
de polynôme en a.
6) Soient a, b ∈Atels que 1A−ab soit inversible. Montrer que 1A−ba est aussi
inversible et exprimer son inverse en fonction de celui de 1A−ab.Indication : on
pourra commencer par supposer ab nilpotent.

Exercice 3 – Soient (A, +,×)et (B, +,×)deux anneaux. On appelle morphisme
d’anneaux de Adans Btoute application f:A→Btelle que pour tout a∈A
et tou b∈Bon ait f(a+b) = f(a) + f(b)et f(a×b) = f(a)×f(b). Si Aet B
sont unitaires, on dira que fest un morphisme d’anneaux unitaires si en outre
on a f(1A) = 1B.
1) Soient Aet Bdeux anneaux unitaires. Soit fun morphisme d’anneaux de A
dans B. Montrer que si Best intègre, soit fest le morphisme nul (f(x)=0pour
tout x), soit fest un morphisme d’anneaux unitaires.
2) Déterminer les morphismes d’anneaux de (Z,+,×)dans lui-même.
3) Même question avec l’anneau Z/nZ(n>2). Quels sont ceux qui sont des
automorphismes (morphismes bijectifs de l’anneau dans lui-même) ?
4) Si n∈N,n>2, on note Z[√n]le plus petit anneau inclus dans R, muni
des lois induites par les lois usuelles de Ret contenant Zet √n. Montrer que
Z[√n] = {a+b√n;a, b ∈Z}.
5) Quels sont les morphismes d’anneaux unitaires de Z[√2] dans lui-même ? Sont-
ce des automorphismes ?
6) Existe-t-il des morphismes d’anneaux unitaires de Z[√2] dans Z[√3] ?
7) Soit fun morphisme non nul de l’anneau (R,+,×)dans lui-même.
a) Montrer que pour tout xde Qon a f(x) = x.
b) Montrer que pour tout x>0on a f(x)>0et en déduire que fest croissante.
c) Déterminer f.
Dorénavant, tous les anneaux considérés sont supposés commutatifs.
Exercice 4 –
1) Soit Aun anneau fini unitaire et intègre. Montrer que Aest un corps. Indica-
tion : si a∈A\ {0}, considérer l’application f:A→Adéfinie par f(x) = ax.
2) Soit Aun anneau unitaire fini. Si nest un entier >1, on note n·1Al’élément
1A+ 1A+···+ 1A(nfois). Posons E={n>1; n·1A= 0A}. Montrer que E6=∅.
3) Sous les mêmes hypothèses on appelle caractéristique de Aet on note Car(A)
le plus petit élément de E. Montrer que si Aest intègre, Car(A)est premier.
Est-ce encore vrai si on ne suppose pas Aintègre ?
4) Soit Aun anneau unitaire intègre à quatre éléments. Quelle est la caractéris-
tique de A?
5) Montrer qu’il existe, à isomorphisme près, un seul anneau unitaire intègre à
quatre éléments.