Quelques interactions de la topologie classique et quantique en

Quelques interactions de la topologie
classique et quantique en dimension trois
M´emoire pr´esent´e par
MICHAEL EISERMANN
pour obtenir
L’HABILITATION ` ADIRIGER DES RECHERCHES
sp´ecialit´e
MATH´ EMATIQUE
Soutenue le 14 d´ecembre 2007 `a l’Institut Fourier devant le jury compos´e de
Thomas FIEDLER (Toulouse)
Nathan HABEGGER (Nantes)
Michael HEUSENER (Clermont-Ferrand)
Pierre VOGEL (Paris VII)
Louis FUNAR (Grenoble)
Christine LESCOP (Grenoble)
Vlad SERGIESCU (Grenoble)
Au vu des rapports de Thomas FIEDLER, Colin ROURKE, et Pierre VOGEL.

Andrea, Jan, Hannah —
nicht nichts ohne Euch
aber nicht dasselbe

Remerciements
´
Eminents Acad´emiciens,
Vous me faites l’honneur de me demander de fournir
`a l’Acad´emie un rapport sur mon pass´e gordien.
d’apr`es Franz Kafka (1883-1924),
Rapport pour une acad´emie
Quand je suis arriv´e d´ebut septembre chez le pr´esident de la commission d’habili-
tation, Michel Brion, pour discuter de mon projet d’habilitation avant la fin de l’ann´ee,
Michel m’a convaincu que ce serait un d´efi sportif, d’abord pour moi, mais plus encore
pour les rapporteurs. Je remercie d’autant plus sinc`erement Thomas Fiedler, Colin Rourke,
et Pierre Vogel d’avoir accept´e et assum´e ce travail.
J’´etends mes remerciements `a tous les membres du jury de m’avoir fait l’honneur de
leur participation `a ma soutenance, malgr´e de multiples contraintes.
Durant mes premi`eres ann´ees en France, ´ Etienne Ghys `a Lyon puis Christine Lescop
et Vlad Sergiescu `a Grenoble m’ont particuli`erement soutenu et encourag´e, et je leur en
suis tr`es reconnaissant.
Je remercie ´egalement Christoph Lamm pour notre coop´eration qui a tenu si longtemps
bien que nous nous soyons ´eloign´es g´eographiquement et professionnellement.
Quant `a l’´eternelle aventure linguistique, en exag´erant une citation de Weyl [96] je
dirais : The gods have imposed upon my writing the yoke of two foreign tongues that were
not sung at my cradle. Si j’ai r´eussi `a m’en sortir c’est grˆace `a mes chers coll`egues franc¸ais
qui m’ont tout appris. Sylvain Gallot, Christine Lescop, et Alexis Marin m’ont patiemment
expliqu´e des finesses de la langue franc¸aise, qui est la leur. Les bizarreries subsistantes sont
de ma propre fabrication artisanale.
Ainsi je conclus par l’expression de mon profond sentiment de soulagement. —
Dans l’ensemble, je suis arriv´e `a ce que je voulais obtenir.
Que l’on ne dise pas que ce n’´etait pas la peine.

Table des mati` eres
Remerciements iii
Introduction vii
1. Un bref aperc¸u historique vii
2. Topologie classique vs quantique vii
3. L’organisation de ce m´emoire viii
Publications ix
1. Publications issues de la th`ese ix
2. Articles post´erieurs `a la th`ese ix
3. Articles soumis ix
4. Vulgarisation ix
Chapitre I. Invariants de type fini et vari´et´es exotiques 1
1. Nœuds et compl´etion par homotopie 2
2. Vari´et´es exotiques 4
3. La question de la torsion 6
4. ´ Etude des nœuds locaux 8
5. Quelques perspectives 11
Chapitre II. Th´eorie des quandles 13
1. D´efinition et premiers exemples 13
2. Op´erateurs de Yang-Baxter 14
3. Correspondance de Galois 18
4. Quelques perspectives 21
Chapitre III. Entrelacs rubans et unions sym´etriques 23
1. Le polynˆome de Jones des entrelacs rubans 23
2. Unions sym´etriques 27
Bibliographie 31
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