TD de mécanique no2 Dynamique du point matériel en référentiel

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD de mécanique no2
Dynamique du point matériel en référentiel galiléen
Exercice 1 - Ressort incliné.
Soit un ressort de raideur ket de longueur à vide ℓ0dont les extrémités
sont reliées à un point fixe Od’un plan incliné (d’angle α) et à un
point matériel Mde masse m. On pose OM =xet on néglige tous les
frottements. A partir de sa position d’équilibre, Mest déplacé de Det
lâché sans vitesse initiale.
Donner l’expression de xà tout instant.
Réponse : la position d’équilibre vérifie : xeq =mg sin α
k+ℓ0
A tout instant, on a x(t) = xeq +Dcos(ω0t)
O
M
α
x
y
Figure 1
Exercice 2 - Point matériel sur un plateau vibrant.
Un point matériel Mde masse mest posé sur un plateau horizontal P. Le plateau Pest animé d’un mouvement
vibratoire vertical d’équation z(t) = Acos(ωt).
Quelle relation doit lier A,ωet g(champ de pesanteur) pour que le point matériel reste toujours en contact avec le
plateau ?
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement du point matériel Mtant qu’il est en contact avec le
plateau.
Traduire la condition de contact entre le point matériel et le plateau.
Réponse : Tant qu’il y a contact entre le point matériel et le plateau g > ω2A
Exercice 3 - Plan incliné avec frottements solides.
Un solide Mde masse mse trouve au sommet d’un plan incliné
d’angle α, sans vitesse initiale. On note Hla distance de ce point
initial Oau plan horizontal, et gle champ de pesanteur (supposé
constant).
1 . Quelle est la condition, dite de glissement, sur le cœfficient f
de frottements pour que le solide se mette en mouvement à t= 0 ?
2 . Déterminer l’accélération du solide à l’instant t.
3 . En déduire la norme de la vitesse du solide au point A.
Aα
x
H
O
t= 0
Figure 2
1. Réponse : le solide se met en mouvement lorsque tan α > f
2. Réponse : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré : −→ a(M)/R=g(sin α−fcos α)−→ ex
3. Réponse : la vitesse du mobile au point A:v(A) = p2g H(1 −fcot α)
S. Bénet 1

Exercice 4 - Looping.
Une petite voiture, assimilable à un point matériel Mde masse m, est lancée
avec une vitesse v0sur une piste horizontale plane prolongée par un demi-
cercle vertical de rayon R.
La voiture glisse sans frottement sur le support, qu’elle est susceptible de
quitter (la liaison n’est pas bilatérale).
Sa position à l’intérieur du demi-cercle est repérée par l’angle θ(t) formé par
le rayon OM avec la verticale descendante (OH).
1 . Comment varie la vitesse de la voiture jusqu’au passage au point H?
2 . Déterminer l’expression de la vitesse angulaire de la voiture lorsqu’elle
est située dans la piste semi-circulaire à la position repérée par l’angle θ, en
fonction de v0,g,Ret θ.
θ
O
−→
g
M, −→ v0
H
S
M
Figure 3
3 . Déterminer la norme de la réaction de la piste semi-circulaire sur la voiture (en supposant le contact maintenu),
en fonction de m,v0,R,get θ. Comment varie-t-elle en fonction de θ?
4 . À quelle condition sur la vitesse de lancement v0la voiture atteindra-t-elle le sommet Sde la piste sans que le
contact avec celle-ci soit rompu ?
2. Réponse : ˙ θ=pv2
0/R −2g/R(1 −cos θ)
3. Réponse : k−→ Rnk=mv2
0
R−mg(2 −3 cos θ.
4. Réponse : v0>√5gR .
Exercice 5 - Tir d’un projectile.
Un projectile de forme sphérique est lancé à la date t= 0 depuis un point origine O, suivant la verticale ascendante
(Oz) et avec une vitesse initiale v0= 50 m.s−1.
Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre Rsupposé galiléen dans les conditions de l’expérience.
On note −→ g=−g−→ ez, le champ de pesanteur, supposé uniforme dans la zone d’espace décrite par le projectile avec
g= 9,8m.s−2.
La résistance de l’air est modélisée par une force de frottements d’intensité F=kπr2
0v2où kest une constante positive,
r0= 2,0cm le rayon du projectile et vsa vitesse instantanée.
On donne k= 0,25 U.S.I. Le projectile est en plomb, de masse volumique ρ= 11,3g.cm−3.
1 . Quelle est l’unité S.I. de la constante k?
2 . Comparer la force de frottements au poids. Commenter.
3 . Montrer que, dans la phase ascendante de la trajectoire, on a du
dz=−2g−2kπ mr2
0u, en posant u=v2.
4 . En déduire l’expression de la fonction z(u) au cours de la phase ascendante. On posera d=m
2kπr2
0
.
5 . Calculer l’altitude maximale Hatteinte par le projectile.
S. Bénet 2/3

Exercice 6 - Enroulement d’un fil.
Un point matériel de masse mse déplace dans le plan horizontal (O, −→ i , −→ j)
et est relié par un fil idéal inextensible de longueur L(inférieure au péri-
mètre du cercle C) à un point fixe Ad’un cercle Cde rayon R.
L’étude est réalisée dans le référentiel Rlié au cercle supposé galiléen.
On néglige toute force de frottements.
At= 0, le point matériel est en M0et sa vitesse initiale est −→ v0.
Au cours du déplacement du point matériel, le fil s’enroule sur le cercle
C, et on supposera que le fil reste toujours tendu.
1 . Exprimer le vecteur vitesse −→ v(M)/Rdu point matériel dans la base
(−→ i , −→ j , −→ k) en fonction de l’angle θ.
2 . Déterminer les trois équations qui régissent le mouvement du point
matériel.
~
i
~
j
θ
O
M
M0
A
−→
v0
Figure 4
3 . Montrer que Lθ −R
2θ2=v0t.
4 . Donner l’expression de l’instant t1auquel le fil est entièrement enroulé sur le cercle C.
5 . Calculer le module k−→ Tkde la tension du fil à tout instant, le mettre sous la forme k−→ Tk=α1−t
τ1/2
en
explicitant les constantes αet τen fonction de m,R,Let v0. L’hypothèse fil tendu est-elle justifiée ?
Exercice 7 - Méthode de mesure d’un cœfficient de frottement solide
Deux points matériels Met M′, de masse respective met m′, sont
reliés par un fil inextensible susceptible de glisser sur une poulie
idéale.
Initialement, le fil est tendu et le point Mrepose sur un support,
à une hauteur hdu sol. A l’instant t= 0, on enlève le support,
le point M′descend, et le point Mse met à glisser sur le plan
horizontal avec un coefficient de frottement f.
On cherche à déterminer expérimentalement le coefficient de frot-
tement f.
En considérant 2 phases pour le mouvement de M(la deuxième
commence lorsque M′touche le sol), le but de l’exercice est de
déterminer la distance Dparcourue par Mavant de s’arrêter et
d’en déduire f, en fonction de m,m′,het D.O
x
z
h
M′(z)
M(x)
1 . Appliquer le principe fondamental de la dynamique au système {M(m)} puis au système {M′(m′)}.
2 . Intégrer l’équation du mouvement de M(remarquer qu’il existe une relation très simple entre ˙xet ˙zqui découle
de l’inextensibilité du fil) pour déterminer l’instant t1où M′touche le sol et la vitesse de Mcorrespondante notée ˙x1.
3 . Intégrer l’équation du mouvement de Mpendant la 2ième phase (attention : les conditions à t=t1servent
maintenant de "conditions initiales" pour l’intégration).
4 . Déterminer la distance Den fonction de fpuis le coefficient de frottement fen fonction de m,m′,het D.
S. Bénet 3/3