De la fonction de production aux fonctions de coûts

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,
NOTE n°3
De la fonction de production aux fonctions de coûts
Soit la fonction de production à deux facteurs :
y=10 LK
[1]
où y représente le niveau de production, L la « quantité de travail » et K la « quantité de
capital », toutes ces variables étant exprimées en unités physiques.
On cherche ici à établir les fonctions de coût à court terme et à long terme, c’est-à-dire la
relation entre le coût et le niveau de la production. On y parvient en résolvant un problème
d’optimisation sous contrainte. En l’occurrence, il s’agit de minimiser le coût de production
sous les contraintes de la fonction de production et des prix des ressources productives.
Nous commencerons par étudier les propriétés de cette fonction de production, puis le
passage de la fonction de production à la fonction de coût à court terme, la détermination de la
fonction de coût à long terme et enfin de la fonction de profit. Je vous laisse le soin d’établir
les représentations graphiques de ces fonctions.
1) Étude de la fonction de production
a) Étude des rendements marginaux
La productivité marginale du « travail » est donnée par la dérivée partielle première de la
fonction de production [1] par rapport à L :
PmLº¶y L,K
( )
¶L=5K L
[2]
De même, la production marginale du « capital » est donnée par la dérivée partielle première
de la fonction de production par rapport à K :
PmKº¶y L,K
( )
¶K=5L K
[3]
On constate que la productivité marginale de chaque facteur de production est strictement
décroissante à mesure qu’augmente la quantité du facteur en question. Cette propriété découle
de la fonction de production 

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b) Étude des rendements d’échelle
Multiplions par une même constante (sous la condition
l >1
) la quantité de L et de K.
On obtient :
10 l L
( )
l K
( )
ou encore
l 10 LK
( )
soit
l y
( )
.
Le niveau de la production est donc multiplié par quand les quantités de facteurs sont toutes
et simultanément multipliées par . En d’autres termes, l‘échelle de la production augmente
dans la même proportion que l’échelle des facteurs. On dit alors que les rendements d’échelle
sont constants. Ils eussent été croissants si nous avions choisi une fonction de la forme :  
 ou décroissants avec une fonction de production de la forme :   
A noter que le concept de rendements d’échelle n’a de sens qu’à long terme dans la mesure où
il suppose que les quantités de tous les facteurs puissent varier.
La nature des rendements d’échelle conditionne les coûts à long terme. Dans le cas présent, le
coût total augmente dans la même proportion que la production puisque celle-ci augmente
dans la même proportion que les quantités de facteurs employés par l’entreprise (à
technologie et prix de facteurs inchangés).
En conséquence, le coût moyen de production à long terme (c’est-à-dire le rapport du coût
total à la production) est constant. Il est décroissant lorsque les rendements d’échelle sont
croissants et croissants lorsque les rendements d’échelle sont décroissants. C’est ce que
l’analyse mathématique confirmera dans le dernier paragraphe.
2) De la fonction de production à la fonction de coût à court terme
La contrainte constituée par la fonction de production étant donnée, il reste à compléter
l’ensemble des contraintes par la donnée des prix des facteurs.
On supposera donc :
PL=8
P
K=2
où PL désigne le prix d’une unité de travail et PK le prix d’une unité de capital. Le coût total
des facteurs peut s’écrire en général comme suit (à court terme comme à long terme) :
CT =PLL+P
KK
[4]
Dans le cas présent, cela donne l’équation :
CT =8L+2K
[5]
Il s’agit de l’équation de la droite d’isocoût.

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En réécrivant cette équation sous la forme :
K=CT
2-4L
[6]
on fait clairement apparaître le prix relatif du travail c’est-à-dire le rapport
PL
PK
ici égal à 4.
Ce rapport joue un rôle très important en économie. Une variation de ce rapport induit des
effets de substitution (au moins à long terme) et de coût. Graphiquement, ce rapport est égal
(au signe « moins » près) à la pente de la droite d’isocoût, c’est-à-dire à ce qui correspond ici
à la contrainte budgétaire de l’entreprise. Le signe « moins » traduit bien la contrainte à
laquelle est confrontée l’entreprise qui ne peut acquérir davantage des deux facteurs de
production à la fois et qui ne peut donc pas augmenter l’emploi d’un facteur de production
sans réduire (d’où le signe « moins ») l’emploi d’un ou plusieurs autres facteurs.
À court terme, nous poserons l’hypothèse
K=K
, c’est-à-dire que nous supposerons que
l’entreprise ne peut pas ajuster la quantité de capital à un éventuel changement de son
environnement. Par exemple, si les prix des facteurs venaient à changer, l’entreprise ne
pourrait modifier la quantité de capital (par exemple le nombre de machines) et la variation
des prix n’aurait d’incidence que sur la quantité de travail demandée par l’entreprise. La seule
variable d’ajustement à court terme est donc ici le travail.
Plus précisément, on supposera
K=K=16
Cela nous donne donc à court terme l’équation de la droite de coût suivante:
CT =8L+32
[7]
Nous avons ici une expression du coût total en fonction du seul facteur variable à court terme,
L. Nous cherchons à obtenir une expression (équation) du coût total à court terme en fonction
du niveau de la production y et nous pouvons y parvenir car nous savons qu’il existe une
relation entre L et y à partir de la fonction de production de l’entreprise.
En effet, sachant
K=K=16
, on obtient la fonction de production
y=10 16L
, soit :
y=40 L
[8]
et donc en inversant cette fonction :
L=y2
1600
[9]
En remplaçant dans l’équation du coût total L par son expression en fonction de y on obtient :

4
CTy=8. y2
1600 +32 =y2 200 +32
[10]
Nous venons d’obtenir l’équation du coût total en fonction de la production, CTy. C’est ce
que nous cherchions.
Cette équation nous permet de calculer directement le coût minimal associé à un niveau donné
de production, sans avoir à repasser par la fonction de production (mais qui est sous-jacente à
cette fonction de coût, bien entendu), tant que les prix relatifs des facteurs et la fonction de
production ne changent pas. Si les prix relatifs des facteurs ou la fonction de production
changeaient, il faudrait établir une nouvelle fonction de coût.
Notez que cette équation comporte deux parties : une partie variable (= coût variable) en
fonction de la production y, et une partie fixe (= coût fixe) c’est-à-dire qui ne varie pas en
fonction de la production. Cette distinction entre coûts fixes et variables n’a de sens qu’à
court terme du point de vue de l’analyse économique. Autrement dit, les coûts ne sont pas
fixes ou variables par nature, mais par référence à un problème d’optimisation (= de
décision) sous des contraintes différentes. Le « court terme » impose au décideur (ici
l’entreprise) des contraintes plus fortes que le « long terme » — le nombre de variables de
décision (ou « d’ajustement ») est plus grand à long terme qu’a court terme.
À partir de l’équation du coût total de production on peut établir celle du coût moyen et du
coût marginal. Le coût moyen à court terme est de la forme :
CMyºCTy
y=y 200 +32 y
[11]
et le coût marginal a pour équation :
CmyºdCTy
dy =1 100 y
[12]
Le coût marginal est le coût supplémentaire (donc variable) induit par une « petite »
augmentation de la production.
3) De la fonction de coût à court terme à la fonction de coût à long terme
À long terme, l’entreprise peut s’ajuster « pleinement » à un nouvel environnement. Elle
demeure évidemment dépendante du marché et de la technologie, mais sa capacité
d’adaptation (= d’optimisation) est plus grande qu’à court terme, de sorte que les coûts de
production à long terme seront nécessairement inférieurs ou au plus égaux aux coûts de
production à court terme.
Dans le cas présent, il s’agit d’abord de trouver la quantité optimale de capital à long terme.
Nous avons supposé jusqu’alors une quantité de capital fixée à
K=K=16
, fruit des
décisions passées de l’entreprise. Cette quantité devient variable (= devient une variable de

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décision) à long terme. Le raisonnement est alors le suivant : il faut trouver la valeur de K qui
minimise le coût de production à long terme, ce qui revient à chercher la valeur de K qui
annule la dérivée partielle première de la fonction de coût total de production par rapport au
facteur K.
Nous avions à court terme une fonction de coût total de production de la forme :
CTy=y2
200 +32
[10]
qu’on peut détailler ainsi :
CTy=P
L
y2
102K
æ
è
çö
ø
÷+P
K.K
[13]
où PL = 8, PK = 2 ,
K=16
et où l’expression
y2
102K
æ
è
çö
ø
÷
est tirée de la fonction de production
inversée par rapport à L.
Désormais, à long terme, K est variable et nous cherchons sa valeur optimale, c’est-à-dire
celle qui minimise le coût de production à long terme. Nous pouvons alors écrire la fonction
de coût de la façon suivante :
CTy,K=8
100
y2
K+2.K
[14]
C’est une fonction à deux variables, mais il existe une relation entre ces deux variables : la
fonction de production. Si donc on calcule la dérivée partielle du premier ordre de cette
équation du coût par rapport à K on obtient :
¶CTy,K
¶K= - 2 25
y2
K2
æ
è
çö
ø
÷+2
[15]
et en posant la condition d’optimisation
¶CTy,K
¶K=0
[16]
on obtient :
K=y
5
[17]
Ce n’est pas une valeur, mais une relation fonctionnelle : le niveau optimal de K à long terme
dépend du niveau de la production qui reste donc à déterminer et ne peut l’être que si on
connaît K ! La relation est donc circulaire : nous avons bien établi une relation optimale entre
y et K à long terme, mais la valeur précise de y et de K est en l’état des choses indéterminée.
Pour lever cette indétermination, nous n’avons pas d’autres possibilités ici que de choisir
arbitrairement une valeur de y ou (exclusif) une valeur de K.