mouvement d`un point materiel a masse variable → considerations
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MOUVEMENT D'UN POINT MATERIEL A MASSE VARIABLE Mécanique Analytique Î CONSIDERATIONS GENERALES Î EQUATION GENERALE DES SYSTEMES A MASSE VARIABLE Î EXEMPLES : Î mouvement d'une particule à masse relativiste Î mouvement vertical d'une fusée terrestre Î gouttes d'eau tombant dans une atmosphère saturée 1 CONSIDERATIONS GENERALES Mécanique Analytique Î Variation de masse par unité de temps : m & = dm dt Î Les systèmes fermés n'échangent aucune masse avec le monde extérieur. Î"Point matériel" contenant des réactions chimiques qui diminuent sa masse, sans échange de matière avec le monde extérieur. ÎElectron à grande vitesse, dont la masse varie suivant la "loi m relativiste" : (c=vitesse de la lumière). m= 2 0 v 1− c 2 2 CONSIDERATIONS GENERALES Mécanique Analytique Î Les systèmes ouverts : échangent de la masse avec le monde extérieur. ÎFusées éjectant des gaz. ÎGouttes d'eau qui tombent et grossissent par condensation. ε = masse cédée par le système au monde extérieur par unité de temps. ÎSi la variation de masse n'est due qu'à des échanges dm avec le monde extérieur : dt 3 = −µ Mécanique Analytique EQUATION GENERALE DES SYSTEMES A MASSE VARIABLE Î Elle s'obtient en exprimant le bilan de la quantité de mouvement pendant un temps dt, compte tenu que, pendant ce temps : Îla masse varie de dm, Îune quantité de matière est éventuellement éjectée avec une vitesse relative w (positive dans le sens de v). Î Dans les axes absolus, la qualité de mouvement vaut : Îà l'instant t : mv 4 Îà l'instant t+dt : ( v + dv )(m + dm ) + µ ( v + w ).dt Île bilan : d ( mv ) + µ ( v + w ) = F dt Mécanique Analytique MOUVEMENTS D'UNE PARTICULE A MASSE RELATIVISTE (1) ÎSystème fermé dont les variations de masse sont données par : m= ÎQuantité de mouvement : ÎLoi du mouvement : 5 v= vitesse de la particule c= vitesse de la lumière m0 v 1− c p = mv = d (mv ) = F dt 2 ≈ 3.108 m / s m0 v v 1− c 2 MOUVEMENTS D'UNE PARTICULE A MASSE RELATIVISTE (2) Mécanique Analytique Î Exemple d'une particule accélérée dans un mouvement rectiligne par une force constante F : d m0 v ⇒ 2 dt v 1− c 1 =F 0.9 0.8 0.7 0.6 ⇒ m0 v v 1− c 2 = Ft + Cte 0.4 0.3 Î Condition initiale : t=0, v=0 ⇒v= ct (T2 + t 2 ) 1/ 2 0.5 où ⇒ Cte=0 T= m 0c F v = c 0.2 t 1 + t2 0.1 0 0 1 2 3 4 t Î Le mouvement rectiligne sous l'influence d'une force constante n'est uniformément accéléré qu'au début (t<<T). Sa vitesse vaut approximativement : v = Ft m0 6 5 Mécanique Analytique MOUVEMENTS D'UNE PARTICULE A MASSE RELATIVISTE (3) Î Espace parcouru entre les instants 0 et t (on suppose que le point part de l'origine). x = c T + t − Tc 2 2 Î Le diagramme de l'espace parcouru en fonction du temps se présente comme une hyperbole, passant par 0, au lieu de la parabole classique. 12 Î Pour t<<T : 10 x 1 = t2 cT 2 8 1 F 2 t x = 2 m0 6 4 2 x = cT (1 + t 2 ) − 1 0 0 7 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 MOUVEMENT VERTICAL D'UNE FUSEE TERRESTRE (1) Mécanique Analytique Î Système ouvert où la variation de masse provient uniquement de gaz éjectés avec une vitesse w par rapport à la fusée. dm = −µ dt m dv dm w − mg = dt dt Î La pesanteur peut être négligée : dv dm m = w dt dt ⇒ v = v 0 + w ln m m0 w ≈ 2 km / s Vitesse de satellisation ≈ 8 km / s ⇒ m ≈ m 0e − 4 ≈ 8 m0 55 MOUVEMENT VERTICAL D'UNE FUSEE TERRESTRE (2) Mécanique Analytique Î La pesanteur ne peut être négligée, adoptons une loi de variation exponentielle de la masse : dm = −µ = −λ m dt m = m 0e − λ t ⇒ v = v 0 + ( − λw − g )t Î Le mouvement est bien uniformément accéléré. Pour que la vitesse augmente, il faut que : λ w >g 9 ou µ g 1 > ≈ m w 200 Mécanique Analytique GOUTTES D'EAU TOMBANT DANS UNE ATMOSPHERE SATUREE (1) Î Gouttelettes sphériques dans une atmosphère saturée : Îde masse m Îsous l'influence d'une force mg Î La condensation produit proportionnelle à la surface : µ=− une dm = − κ4πr 2 dt 4π 3 r 3 κ ⇒ r = t + r0 ρ m=ρ 10 augmentation de masse, Mécanique Analytique GOUTTES D'EAU TOMBANT DANS UNE ATMOSPHERE SATUREE (2) Î Equation du mouvement : ÎLe milieu envisagé se compose de vapeur saturée et est supposé immobile. ÎLa vitesse relative de la matière w est -v dv = µv + m g dt dv 3κ v =− . +g dt ρ r m v (t) κ r = t + r0 ρ ÎSupposons que, pour t=0, v = v0 ρ g r03 ρg v= r + v0 − r0 3 4κ 4κ r 11 t (ou r )
